均值不等式簡單難度講義

1、均值不等式知識講解1、 等號成立條件條件：對于任意實數(shù)，當且僅當時，等號成立證明：，當時，；當時，當且僅當時，等號成立2、 均值不等式定義：如果，是正數(shù)，那么，當且僅當時，有等號成立此結(jié)論又稱均值不等式或基本不等式證明：，即，所以三、均值不等式的幾何解釋解釋：對于任意正實數(shù)，以的線段為直徑做圓，在直線上取點C，使，過點C作垂直于直線AB的弦，連接AD、DB、如圖已知，那么，即這個圓的半徑為，顯然，當且僅當點C與圓心重合，即時，等號成立四、均值不等式的理解1.對于任意兩個實數(shù)，叫做的算術(shù)平均值，叫做的幾何平均值此定理可以敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)2.對于的理解應(yīng)為是的充要

2、條件也就是如果，則3.注意和成立的條件不同前者是，后者是五、極值定理1.若（和為定值），則當時，取得最大值是；【證明】都是正數(shù)，有，當且僅當時， 取得最大值是；2.若（積為定值），則當時，取得最小值是；【證明】都是正數(shù)，當且僅當時，等號成立又，【注意】利用極值定理求最大值或最小值是應(yīng)注意：注意均值不等式的前提條件：函數(shù)式中的各項必須都是正數(shù)，在異號時不能運用均值不 等式，在同負時可以先進行轉(zhuǎn)化，再運用均值不等式；求積最大值時，應(yīng)看和是否是定值；求和最小值時，看是否為定值通過加減的方法配湊成使用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理的形式；注意“1”的代換；等號是否成立: 只有具備了不等式中等號成立的條件，

3、才能使函數(shù)式取到最大或最小值否則不能由均值不等式求最值，只能用函數(shù)的單調(diào)性求最值運用均值不等式的前提有口訣：一正二定三相等 典型例題一選擇題（共10小題）1（2019海拉爾區(qū)校級二模）已知正實數(shù)x，y滿足2x+y=1，則xy的最大值為（）A18B23C14D252（2019延邊州模擬）若a0，b0，lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為（）A8B6C4D23（2019春聊城期末）已知a、b是不相等的正數(shù)，x=a+b2，y=a+b，則x、y的關(guān)系是（）AxyByxCx2yD不能確定4（2019秋蓮湖區(qū)校級期末）已知a0，b0，a+b=2，則y=1a+4b的最小值是（）A92B72C5

4、D45（2019秋陸川縣校級期末）已知x，y0，且1x+1y=2，則x+2y的最小值為（）A3-22B3-222C3+22D3+2226（2019春昌吉市期末）當x0，y0，1x+9y=1時，x+y的最小值為（）A10B12C14D167（2019春沙坪壩區(qū)校級期末）實數(shù)a，b均為正數(shù)，且a+b=2，則1a+2b的最小值為（）A3B3+22C4D32+28（2019春南關(guān)區(qū)校級期末）若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（）A245B285C6D59（2019秋武邑縣校級期末）若x，y是正數(shù)，且1x+4y=1，則xy有（）A最大值16B最小值116C最小值16D最大值11610（2019紅橋區(qū)模擬）已知x2，則x+1x+2的最小值為（）A12B1C2D0二填空題（共4小題）11（2019金山區(qū)二模）函數(shù)y=x+9x，x（0，+）的最小值是 12（2019秋楊浦區(qū)校級期末）若正數(shù)a、b滿足loga（4b）=1，則a+b的最小值為 13（2019春秦淮區(qū)校級期中）已知正實數(shù)x，y滿足xy=3，則x+y的最小值是 14（2019春宿遷期末）已知正實數(shù)x，y滿足2x+y=1，則xy的最大值為 三解答題（共1小題）15（2019南通模擬）某工廠要建造一個長方體無蓋貯