7.1現(xiàn)代控制理論-發(fā)展歷程回顧

1、7.1現(xiàn)代控制理論發(fā)展歷程回顧（參考譯文）引言本文介紹現(xiàn)代控制理論的主要方法及其發(fā)展的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-控制系統(tǒng)理論。現(xiàn)在，學(xué)術(shù)界認(rèn)為控制理論是一個跨學(xué)科的研究領(lǐng)域，有許多數(shù)學(xué)概念和方法，這些概念和方法使現(xiàn)代控制理論成為一個重要的、引人注目的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支?？刂葡到y(tǒng)理論有各種各樣的方法并經(jīng)歷了不同的發(fā)展階段。本文將簡單地進(jìn)行描述。對控制系統(tǒng)理論的方法基礎(chǔ)、起源、歷史和各種應(yīng)用進(jìn)行總體回顧，它與數(shù)學(xué)和技術(shù)的相互作用促進(jìn)了這一學(xué)科的發(fā)展。可以這樣說：控制論的這些方法都有它們各自的價值并且繼續(xù)在理論和實(shí)踐中作出重要的貢獻(xiàn)。控制一詞有兩個主要的含義。首先，檢測實(shí)物或數(shù)學(xué)裝置是否能夠達(dá)到令人滿意的性能。其次，對裝

2、置進(jìn)行操作或施加影響，使其按要求運(yùn)行?？刂凭褪鞘寡b置“從混亂到有序”（拉丁銘文）?？刂普摰乃枷肟梢宰匪莸絹喞锸慷嗟聲r期。在他的最有影響的著作“政治”一書中，寫道：“,如果每個儀器可以完成自己的工作，遵循或預(yù)見其它裝置的意愿,，如果梭子編織緯紗和撥子彈奏七弦琴而不需要手引導(dǎo)他們，那么首領(lǐng)將不需要仆人，主人也不需要奴隸?！蔽覀兛吹剑瑏喞锸慷嗟掠梅浅Ｃ魑姆绞矫枋隽丝刂评碚摰哪繕?biāo)：使生產(chǎn)過程自動運(yùn)行，完成人們要求的目標(biāo)，并讓人類獲得自由。首先，人類至高無上。自然或人工系統(tǒng)的描述更多的是人為的，往往不是它們是什么，而更多的是它們像什么。即使由歐幾里得和亞歷山大時期（200-284年）的丟番圖的工作綜合

3、形成的古代數(shù)學(xué)，都是用三段論法進(jìn)行描述?？梢詫⑹澜缈醋魇且粋€名詞或動詞。古代哲學(xué)家斷言，世界在“沒有太多”戒律下按照法律、所有生物體支配的方法進(jìn)行論述。斐波那契（1170年至1250年）在他的書算術(shù)寶典中第一次嘗試引入計算。然而，經(jīng)過三個世紀(jì)后計算的重要性才得到體現(xiàn)。笛卡爾（1596?1650年）提出了方法的概念。伽利略（1564年?1642年）開始使用物理實(shí)驗，后來艾薩克牛頓爵士（1642年？1727年）和拜倫戈特弗里德萊布尼茨（1646年至1716年）引入微積分學(xué)，完成科學(xué)的第一次質(zhì)變，將科學(xué)的運(yùn)算基礎(chǔ)（這主要是繼承了亞里士多德的思想）轉(zhuǎn)變成我們今天所知的現(xiàn)代形式。這些運(yùn)算基礎(chǔ)建立了數(shù)學(xué)的

4、首要地位，從而產(chǎn)生了我們今天仍將生存的現(xiàn)實(shí)世界。這一新的思想包括物理實(shí)驗的使用和涉及微分方程的數(shù)學(xué)模型的使用。至高無上的數(shù)學(xué)如此活躍，以致于科學(xué)家仍在繼續(xù)涉及萬事萬物的數(shù)學(xué)表示，即數(shù)學(xué)模型，避免著手考慮存在性。他們有興趣來求解這些數(shù)學(xué)模型，得到它們的特性，并研究這些數(shù)學(xué)模型的解。然而，科學(xué)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，主要是在過去的一個世紀(jì)里，經(jīng)歷了第二次質(zhì)變，這是由于兩類發(fā)現(xiàn)的結(jié)果杰克遜，1994。第一類發(fā)現(xiàn)指從數(shù)學(xué)模型獲取萬事萬物的動態(tài)行為的限制。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，所有的數(shù)學(xué)模型都有局限性：分析數(shù)學(xué)推理，確定性物理預(yù)測，閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定模型。另外，庫爾特發(fā)現(xiàn)，任何足夠一般的數(shù)學(xué)系統(tǒng)的一致性或完備性都無法用被廣泛

5、接受的邏輯原則證明。這與數(shù)學(xué)系統(tǒng)可以建立任何真實(shí)結(jié)果的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相抵觸。第二類發(fā)現(xiàn)與計算機(jī)科學(xué)和信息學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)。通過引入計算機(jī)實(shí)驗，這就擴(kuò)大科學(xué)研究的運(yùn)算基礎(chǔ)?？茖W(xué)的第二次質(zhì)變擴(kuò)大了物理實(shí)驗和數(shù)學(xué)模型的運(yùn)算基礎(chǔ)，包括將知識作為計算或數(shù)值實(shí)驗的第三次運(yùn)算基礎(chǔ)。這些數(shù)值實(shí)驗使科學(xué)家進(jìn)入一個陌生的世界。用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行的深入的和非常復(fù)雜的計算實(shí)驗確定了重新處理實(shí)際存在。為了更好地描述，數(shù)值實(shí)驗恢復(fù)了存在的首要地位，而完成這一恢復(fù)的學(xué)科就是信息學(xué)。基本上，信息學(xué)可以定義為：“來自數(shù)學(xué)概念計算，把這些數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變?yōu)樗惴?，以及受收斂性和?fù)雜性約束的相關(guān)算法的研究?！边@就是信息學(xué)的本質(zhì)，將先進(jìn)的數(shù)學(xué)概念成

6、算法，用計算程序執(zhí)行算法。從某種意義上說，信息學(xué)是可計算的線性代數(shù)?？刂葡到y(tǒng)理論在科學(xué)的各個方面決定了科學(xué)的發(fā)展，這反過來又影響了控制理論的發(fā)展。本文的結(jié)構(gòu)如下。第2節(jié)介紹控制理論中的關(guān)鍵概念，重點(diǎn)是反饋、波動和優(yōu)化的概念。第3節(jié)給出系統(tǒng)控制理論的頻域方法，基本的概念是傳遞函數(shù)。第4節(jié)中描述基于微分方程理論的時域代數(shù)方法。第5節(jié)闡述多項式矩陣域頻率方法，這就非常自然地將經(jīng)典的傳遞函數(shù)描述推廣到多輸入-多輸出系統(tǒng)。下一節(jié)將集中闡述作為代數(shù)法外延的幾何法。最后，再下一節(jié)涉及結(jié)構(gòu)有向圖方法，對控制設(shè)計來說系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是至關(guān)重要的?？刂评碚撝械幕靖拍罨谖锢硐到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，控制問題的數(shù)學(xué)描述本質(zhì)上相當(dāng)

7、復(fù)雜，控制理論的基本思想相當(dāng)簡單且非常直觀。這些重要思想可以在自然界中發(fā)現(xiàn)，也可以在人類進(jìn)化和人類行為中發(fā)現(xiàn)。在控制理論中有三個基本概念。第一個概念是反饋。查爾斯達(dá)爾文(1805年至1882年)最重要的貢獻(xiàn)之一就是長期存在著的反饋是物種進(jìn)化的原因這一理論。后來，維托伏特拉(1860年至1940年)使用這一概念來解釋在一個封閉池塘里兩個種群的魚之間的平衡。但是，最有影響的是維納(1885年至1964年)在生物學(xué)中引入了富有成果的正反饋和負(fù)反饋的概念。在貝爾電話實(shí)驗室邁爾，1970，這個詞已經(jīng)被早期的工程師引入到了工程中。現(xiàn)在，在幾乎所有領(lǐng)域中，都是一個使用頻繁的概念。反饋過程就是系統(tǒng)的狀態(tài)(即輸

8、出)決定著在任何時刻控制量的計算方式的這樣一個過程。第二個關(guān)鍵概念是波動。這是在我們的日常生活中我們使用了多次的一個基本原理。基本上，這一概念的思想是，我們沒有必要施加過大和過猛的信號立即或直接驅(qū)動系統(tǒng)到希望的狀態(tài)。常?？刂葡到y(tǒng)讓其波動會更有效且能夠?qū)嶋H實(shí)現(xiàn)，并試圖找到不會施加太大的信號就能驅(qū)動系統(tǒng)到期望狀態(tài)的動力學(xué)。這一概念早期由霍爾1907年和一些工程師提出，霍爾1907年在比較政治經(jīng)濟(jì)學(xué)家的行為時，認(rèn)為供需定律的合理作用必須允許波動，而工程師們還沒有認(rèn)識到在蒸汽發(fā)動機(jī)調(diào)速器中需要波動。需要有波動是一個非常普遍的原理，我們從數(shù)學(xué)規(guī)劃的罰函數(shù)或內(nèi)點(diǎn)法中同樣發(fā)現(xiàn)了這一原理。第三個非常重要的概念

9、是優(yōu)化。這是一個非常成熟的數(shù)學(xué)分支，其目標(biāo)是找到變量值，以便在受到一些限制時使利潤最大和成本最低。與控制理論具有密切關(guān)系，主要是因為在系統(tǒng)和控制理論中的大量的各種問題可歸結(jié)為幾個標(biāo)準(zhǔn)凸或準(zhǔn)凸優(yōu)化問題的線性矩陣不等式。重要的一點(diǎn)就是，由此產(chǎn)生的優(yōu)化問題利用內(nèi)點(diǎn)法可以非常有效地進(jìn)行數(shù)值求解。因此，控制問題簡化為優(yōu)化問題構(gòu)成原始問題的求解，顯然具有很實(shí)際的意義安德烈，2001，Boyd，ElGhaoui，F(xiàn)eron和Balakrishnan，1994。此外，理查德貝爾曼(1920?1984)提出的動態(tài)規(guī)劃和LevPontryagin(1908?1988年)提出的用于非線性最優(yōu)控制的最大值原理，奠定了

10、現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)。頻域方法首先對控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的方法之一就是頻域方法。這是基于皮埃爾西蒙拉普拉斯(1749年至1827年)，約瑟夫傅立葉(1768?1830),奧古斯丁路易柯西(1789年至1857年)等的研究結(jié)果。頻域法的核心概念是傳遞函數(shù)。線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為Y(s)/U(s)，其中Y(s)是輸出的拉普拉斯變換，和U(s)是系統(tǒng)輸入的拉普拉斯變換?？梢宰C明，傳遞函數(shù)是系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(t)的拉普拉斯變換。因此，H(s)=Y(s)/U(s)，即H(s)體現(xiàn)了系統(tǒng)傳遞特性。這種方法適用于線性時不變系統(tǒng)，特別是圖形技術(shù)非常有效的單輸入-單輸出系統(tǒng)。頻域法是在解決大量長距離通訊系統(tǒng)

11、的主要問題的過程中產(chǎn)生的。為了減少放大器失真，HaroldS.Black(1898年至1983年)經(jīng)過六年的堅持，于1927年在放大器中引入負(fù)反饋使長途通訊發(fā)生了一場革命Black，1934。作為一種系統(tǒng)控制方法，在眾多的應(yīng)用領(lǐng)域造成了很大的影響。HarryNyquist在貝爾實(shí)驗室提出了設(shè)計穩(wěn)定放大器的理論(1889至1976年)。他推導(dǎo)出了基于傳遞函數(shù)極坐標(biāo)圖的一個穩(wěn)定判據(jù)，一般稱為奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)Nyquist，1932。后來，同樣是在貝爾實(shí)驗室，HendrikBode(1905?1982年)使用傳遞函數(shù)的幅值和相位頻率響應(yīng)圖研究閉環(huán)穩(wěn)定性，并引入了增益和相位裕量的概念Bode，194

12、0。1947年，在麻省理工學(xué)院輻射實(shí)驗室，NathanielB.Nichols(1914年？1997年)提出了設(shè)計反饋系統(tǒng)的尼科爾斯圖，建立了伺服系統(tǒng)理論James，Nichols和Phillips，1947?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計的一個重要進(jìn)展是由北美航空的WalterR.Evans（1920至1999年）引入的根軌跡法。這種方法的基本思想就是使用開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)確定當(dāng)某一個參數(shù)發(fā)生變化時閉環(huán)系統(tǒng)的特性。經(jīng)典控制理論就是在頻域和s平面中使用Nyquist、Bode、Nichols和Evans的方法來描述。需要的所有條件就是頻率響應(yīng)的幅值和相位，或開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)。對于單輸入-單輸出系統(tǒng)，所

13、有這些條件非常容易得到，頻率響應(yīng)以及傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)可以準(zhǔn)確地確定。除此之外，可以使用增益和相位裕量的概念進(jìn)行魯棒設(shè)計。要確定復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，方框圖代數(shù)用得很普遍。不需要系統(tǒng)動力學(xué)的內(nèi)部描述，也就是說，只需要系統(tǒng)的輸入/輸出特性。圖形技術(shù)很難應(yīng)用到多輸入多輸出或多回路系統(tǒng)。由于多變量系統(tǒng)中控制回路間的相互關(guān)聯(lián)，即便每個單輸入單輸出轉(zhuǎn)遞函數(shù)都有可接受的階躍響應(yīng)特征和魯棒性，整個系統(tǒng)也將不再如此。Horowitz提出的定量反饋理論，克服了許多的這些限制，提供了設(shè)計多變量系統(tǒng)的一個有效的辦法Horowitz，1963，Horowitz和Sidi，1972。定量反饋理論是一種頻域技術(shù)，在對象不

14、確定性的指定范圍內(nèi)運(yùn)用尼科爾斯圖實(shí)現(xiàn)魯棒設(shè)計?；痉椒ㄊ菍⑺谕臅r域響應(yīng)變?yōu)轭l域容限，從而導(dǎo)出傳遞函數(shù)界。對于非線性系統(tǒng)，古典技術(shù)可被視為非線性系統(tǒng)的線性形式，在平衡點(diǎn)處系統(tǒng)特性是近似線性的。在某些情況下，系統(tǒng)的上述描述是很有用的，但仍然非常有限。省略的重要因素是動態(tài)變化和系統(tǒng)中將輸入變成輸出的內(nèi)部機(jī)理。因此，就要考慮一些新的系統(tǒng)描述，下面予以介紹。時域代數(shù)方法這種方法基于微分方程理論。微分方程理論是在Newton、Leibniz、Bernoulli兄弟、JacopoRiccati（1676年1754年），LeonhardEuler（17071783年）等創(chuàng)建的微積分的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。約瑟

15、夫路易斯拉格朗日（1736年至1813年）和威廉羅文漢密爾頓（1805至1865年）運(yùn)用微分方程研究了動力系統(tǒng)的運(yùn)動分析。在這種表達(dá)式中最重要的問題就是穩(wěn)定性。喬治艾里（1801年至1892年）第一個使用微分方程討論閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定性艾里，1840年。詹姆斯克萊克麥克斯韋（1831年1879年）分析了瓦特的蒸汽機(jī)調(diào)速器的穩(wěn)定性麥克斯韋，1868年?；舅枷胧菍⑦\(yùn)動微分方程進(jìn)行線性化以便找到系統(tǒng)的特征方程，并且證明了如果特征方程的根具有負(fù)實(shí)部則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。后來，EdwardRouth（1831年至1907年）提供了一種數(shù)值方法可以確定何時多項式具有負(fù)實(shí)部根，發(fā)表了一篇有關(guān)給定運(yùn)動狀態(tài)的穩(wěn)定性的

16、論文Routh，1877。Vishnegradsky1877獨(dú)立地利用微分方程分析了蒸汽機(jī)調(diào)速器的穩(wěn)定性。但是，最完美和最一般的穩(wěn)定性理論是由亞歷山大李雅普諾夫（1857至1918年）創(chuàng)建，他采用廣義能量的概念研究了非線性微分方程的穩(wěn)定性李雅普諾夫，1893年，引入了一些一直沿用至今的概念和技術(shù)。根據(jù)李雅普諾夫的思想，YakovTsypkin（1919-1997）研究了穩(wěn)定非線性控制設(shè)計的相平面，而瓦西里米哈伊波波夫1961年提出了非線性穩(wěn)定性分析的園判據(jù)。時域中另一個重要的問題是最優(yōu)控制和估計。約翰貝努利（16671748年）第一次清晰地闡述了最優(yōu)性原理。伯努利和牛頓獨(dú)立解決了最速降線問題，

17、從而牢固確立了微積分的強(qiáng)有力地位。后來，皮埃爾德費(fèi)馬（16011665年）（光學(xué)）、卡爾弗里德里希高斯（17771855年）、讓達(dá)朗貝爾（17171783年）、顧拜旦莫佩屠斯（16981759年）、歐拉、拉格朗日、漢密爾頓和阿爾伯特愛因斯坦（18791955）（力學(xué)）明確地闡述了各種最優(yōu)性原理。理查德貝爾曼在1957年明確地提出了離散時間系統(tǒng)最優(yōu)控制的動態(tài)規(guī)劃原理貝爾曼，1957年，而列夫龐特里亞金于1958年提出了求解非線性最優(yōu)控制問題的最大值原理龐特里亞金等，1962年，這兩個最優(yōu)性原理描述最優(yōu)反饋控制律的特性。貝爾曼的主要思想是引入一個滿足漢密爾頓-雅可比方程的價值函數(shù)（貝爾曼函數(shù)）。另

18、一方面，龐特里亞金最大值原理的基本思想是利用協(xié)態(tài)方程使與系統(tǒng)相關(guān)的哈密頓函數(shù)最大化。值得指出的是這兩種方法的結(jié)論是相同的。然而，龐特里亞金最大值原理推廣了力學(xué)中的拉格朗日乘子的概念，貝爾曼最優(yōu)性原理提供了一個新穎的觀點(diǎn)，那就是價值函數(shù)及其隨時間的變化具有重要作用約內(nèi)斯庫和波比亞，1981年?，F(xiàn)代控制理論起始于魯?shù)婪蚩柭墓ぷ鳎霭媪艘幌盗兄?，在這些著作中提出了非線性系統(tǒng)理論的主要問題?？柭拓愃誓罚?960年研究了在時域中非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性?？柭?，1960a討論了系統(tǒng)的最優(yōu)控制以及線性二次型調(diào)節(jié)器的設(shè)計?？柭?960b提出了最優(yōu)濾波、估計理論與離散卡爾曼濾波的設(shè)計方程

19、。卡爾曼和布希，1961提出了連續(xù)型卡爾曼濾波器。為了克服頻域方法的限制(需要很多設(shè)計技巧，并且不能提供唯一的反饋)，卡爾曼引入了狀態(tài)的概念，它是一種在輸入與輸出之間起中介作用的數(shù)學(xué)實(shí)體。這個概念的重要性是基于這樣一個事實(shí)，即動力系統(tǒng)的狀態(tài)強(qiáng)調(diào)因果關(guān)系和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的觀念。對于有限維系統(tǒng)，即狀態(tài)屬于一個有限維向量空間的系統(tǒng)，可以用下列形式的一階向量微分方程來描述：y(門二G1i(71其中，x(t)為內(nèi)部變量向量，即系統(tǒng)的狀態(tài)，u(t)為控制輸入向量，y(t)為測量輸出向量。矩陣A、B和C描述了系統(tǒng)的動態(tài)關(guān)聯(lián)?？柭诳刂坪凸烙嬂碚撝惺褂眠@種描述形式明確地闡述了反饋控制和最優(yōu)化的概念。他在控制理論中

20、引入了可控性、可觀測性、可檢測性等基本概念，并用它們來確定一個如下形式的反饋控制律：二-f)(7.2)以便達(dá)到合適的閉環(huán)性能。在標(biāo)準(zhǔn)線性二次型調(diào)節(jié)器問題中，通過極小化一個二次型性能指標(biāo)來確定反饋矩陣K:J=f'(iTCx+urRu)dl比(7.3)其中Q和R為加權(quán)矩陣，這是設(shè)計參數(shù)。線性二次型調(diào)節(jié)器設(shè)計的重要性在于，如果Q和R選擇正確，那么就可以計算反饋增益矩陣K使J取有限值，即涉及u(t)和x(t)加權(quán)范數(shù)的積分是有界的，因此，u(t)和x(t)最終趨向于零。這種特性保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性卡爾曼，F(xiàn)alb和Arbib，1969年。像u(t)=-Kx(t)這樣的反饋控制律稱為靜態(tài)的。另

21、一種是動態(tài)反饋補(bǔ)償形式：:(/)-£=()+fu()+Gy()u(；)=Hz(t)(74其中補(bǔ)償器的輸入是系統(tǒng)的輸入和輸出?，F(xiàn)在的設(shè)計問題就是如何選擇矩陣E、F、G和H才能使系統(tǒng)獲得良好的閉環(huán)性能。線性系統(tǒng)理論這一根本問題的有效求解方法包括：極點(diǎn)配置、局部和精確擾動抑制、受限解耦、擴(kuò)展解耦、左可逆性，并行解耦和極點(diǎn)配置，并行擾動定位和解耦等，都可以通過動態(tài)補(bǔ)償來獲得。然而，使用動態(tài)補(bǔ)償進(jìn)行設(shè)計的缺點(diǎn)和限制在于補(bǔ)償器的維數(shù)和被控對象的維數(shù)一樣大，可控性或可觀測性子空間不是最小維數(shù)，缺乏透明度，與頻率響應(yīng)方法的關(guān)系不明顯。幾何方法和結(jié)構(gòu)有向圖方法考慮這些最小子空間，因而為解決線性系統(tǒng)理論

22、的根本問題給出了非常優(yōu)美的和有效的設(shè)計算法。此外，使用靜態(tài)或動態(tài)反饋設(shè)計方法得到的線性二次型調(diào)節(jié)器不能保證魯棒性。設(shè)計控制器以滿足魯棒穩(wěn)定性和一些性能指標(biāo)的問題就稱為魯棒控制。HR控制理論是現(xiàn)代控制理論的基石之一，發(fā)展魯棒控制理論就是要解決那些實(shí)用性很強(qiáng)的實(shí)際問題。被廣泛接受的解決魯棒控制問題的現(xiàn)代技術(shù)就是將其簡化成線性矩陣不等式問題(LMI問題)。歷史上，LMI問題第一次出現(xiàn)在1890年，當(dāng)時李雅普諾夫證明線性動態(tài)系統(tǒng)(7.5)i(t)=I)是穩(wěn)定的，即其所有軌跡收斂于零，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣不等式有解:(7.6)4tP+=Pt>0上式對未知矩陣P是線性的。在1940年，Lu're、P

23、ostnikov和其他學(xué)者將李雅普諾夫方法應(yīng)用到驅(qū)動器中帶非線性的控制問題，從而獲得了用LMI形式表示的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。這些不等式是依賴于頻率的多項式不等式。后來，在1960年弗拉基米爾雅庫波維奇、波波夫、卡爾曼、安德森和其他學(xué)者研究得到了正實(shí)引理，該引理將LMI問題簡化成簡單的圖形準(zhǔn)則：波波夫圓判據(jù)和Tsypkin判據(jù)。可以公正地說，雅庫波維奇是LMI領(lǐng)域之父。他早在1962年發(fā)表的有關(guān)某些特殊矩陣不等式的求解的一些結(jié)果是眾所周知的。約內(nèi)斯庫和斯托伊卡1999年基于廣義波波夫-雅庫波維奇理論研究了魯棒鎮(zhèn)定和Ha問題。將魯棒控制問題簡化成LMI問題提供了一種解答方案。關(guān)鍵的思想是卡爾曼-雅庫波維奇

24、-波波夫引理：已知一個數(shù)青0單輸入單輸出最小系統(tǒng)（A,b,c）的兩個n維向量b、c和一個nxn維赫爾維茨矩陣A，如果矩陣對（A,b）是完全可控的，那么存在q滿足：崗（7.7）當(dāng)且僅當(dāng)742血"巳皿-腫-冊鼻0（7$）對所有實(shí)數(shù)3成立。卡爾曼-雅庫波維奇-波波夫引理將控制理論的兩個領(lǐng)域聯(lián)系起來：頻率法和時域代數(shù)法。這導(dǎo)致了正實(shí)引理，有界實(shí)引理，圓判據(jù)，網(wǎng)絡(luò)理論，自適應(yīng)控制等。波波夫1962提出了用于判定非線性的絕對穩(wěn)定性的著名的波波夫頻域穩(wěn)定性判據(jù)。波波夫的判據(jù)可以使用圖形化的手段檢查，方法是驗證非線性系統(tǒng)“線性部分”的奈奎斯特圖僅限于復(fù)平面的一個特定區(qū)域中。雅庫波維奇1962年，19

25、64年建立了波波夫判據(jù)和滿足某些矩陣不等式的正定矩陣的存在性之間的聯(lián)系，從而創(chuàng)建了控制理論中的線性矩陣不等式分支。LMI的重要性在于它可以有效地利用內(nèi)點(diǎn)法求解。由于發(fā)表于1984年的卡馬卡的工作，內(nèi)點(diǎn)法開始了數(shù)學(xué)規(guī)劃的革命。在1988年，涅斯捷羅夫和涅米洛夫斯基發(fā)展了直接應(yīng)用于線性矩陣不等式的內(nèi)點(diǎn)法，表明LMI可以用凸優(yōu)化技術(shù)有效地求解Boyd,Ghaoui,Feron和Blakrishnan,1994年。一般來說，在控制問題中我們沒有遇到規(guī)范型或半定型的LMI問題，而更多的是存在矩陣變量。大多數(shù)軟件包用來求解規(guī)范型或半定型的LMI問題。因此，預(yù)處理階段是必要的。將非線性凸矩陣不等式轉(zhuǎn)換成LM

26、I問題，我們可以使用Schur補(bǔ)：4G)£(”C(xy(7.9)18941970年）給出的引理，該引理直接在魯棒性中一個非常有用的技巧是由保羅芬斯拉（來源于LMI理論的另一個定理：下面的描述是等價的x*Ax>0Jorallx鼻0圖M如血三0fl>0wherr辭=0.4+岸forsomejraiorp（7.10）最近，涅斯捷羅夫證明，多項式的正性可以表示為一個線性矩陣不等式。這就給出了對控制中4+XB+U*T*>0for購用比X遇到的幾個問題的新的統(tǒng)一的認(rèn)識：多項式的譜分解(以及H2和H込最優(yōu)控制)，多項式全局優(yōu)化(魯棒穩(wěn)定性分析)，正實(shí)和有界實(shí)引理(非線性系統(tǒng)控制及

27、H«控制)，多項式穩(wěn)定的充分條件(魯棒分析和設(shè)計)。多項式矩陣域頻率方法這個方法考慮了一個矩陣分?jǐn)?shù)描述和多項式方程的設(shè)計，它擴(kuò)展了經(jīng)典的具有強(qiáng)大設(shè)計能力的傳遞函數(shù)表述法，將多輸人多輸出系統(tǒng)表述成輸入輸出形式，而不是狀態(tài)空間形式。Rosenbrock1974年和Wolovich1974年認(rèn)為這種方法的基礎(chǔ)是在零初始條件下微分方程的拉氏變換得到的復(fù)變量s的多項式。m-輸入、p-輸出的線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)行為可以由一個真分?jǐn)?shù)p初傳遞矩陣T(s)表示t仃】二仃九(£)(7.11)并且該真分?jǐn)?shù)傳遞矩陣總是可以分解為T(s)=R(s)P(s)-1，其中R(s)和P(s)是維數(shù)分別為px

28、m和mXm的相對右互質(zhì)多項式矩陣。使用這種表示形式，Wolovich提出了能夠獲得任何期望的閉環(huán)傳遞矩陣的非常一般的補(bǔ)償器。為了求解任意極點(diǎn)配置、靜態(tài)和動態(tài)解耦以及精確模型匹配這些基本問題，在這方面的補(bǔ)償器需要專門設(shè)計。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是，設(shè)計目標(biāo)可以在頻域里根據(jù)期望的傳遞矩陣進(jìn)行最好的描述，并且可以利用多項式矩陣補(bǔ)償方法實(shí)現(xiàn)任何期望的傳遞矩陣。這一方法的最新發(fā)展就是多項式系統(tǒng)理論隆貝里和伊里倫，1983,伊里倫，2003。微分系統(tǒng)的基本思想是將微分算子p=d/dt解釋為從可微時間函數(shù)空間X到其本身的線性映射。因此，微分方程用p-多項式方程表示。鎮(zhèn)定、非互聯(lián)系統(tǒng)估計和診斷的問題可以得到解決。這種

29、理論的優(yōu)勢是它的許多特征與經(jīng)典傳遞函數(shù)方法類似，但是在多變量情形下卻極為有效。多項式系統(tǒng)理論的主要缺點(diǎn)是基本的運(yùn)算在p-多項式環(huán)(這是一個弱代數(shù)結(jié)構(gòu))中進(jìn)行。對于一個未知信號，p域多項式的方程組無法求解。因此，方程求解用結(jié)構(gòu)性因素取代。后來，威廉姆斯1991年，1997年引入了行為系統(tǒng)理論的概念，它原則上與多項式系統(tǒng)理論是一樣的。LMI提供了系統(tǒng)理論的多項式矩陣域頻率方法的技術(shù)支持。事實(shí)上，在實(shí)軸上為正的多項式集合是一個凸集，可以用LMI描述。源于紹爾的工作的這種思想與大衛(wèi)希爾伯特的(18621943年)關(guān)于代數(shù)平方和分解的第17問題有關(guān)。多項式矩陣的充分穩(wěn)定條件可以用LMI表示：多項式矩陣R

30、(s)是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個多項式矩陣P(s)與矩陣P=P*>0滿足LMIR十ZT尸尸SfF)>0(7.12)其中，V是一個特殊置換矩陣。幾何方法線性系統(tǒng)理論的幾何方法是代數(shù)方法的推廣，起源于巴賽爾、拉切和麥姆1969年以及巴賽爾和麥姆1969a,b的論文，在那些論文中引入了受控不變量和條件不變量。旺漢姆和摩爾士1970將這些對象更名為：(A,B)不變量和(C,A)不變量，它們在多變量控制中發(fā)揮了關(guān)鍵作用，并建立了閉環(huán)多變量系統(tǒng)的幾何設(shè)計方法。旺漢姆1979使用線性空間的抽象幾何概念綜合幾何方法并闡明線性控制理論中許多問題的一種簡潔的且無坐標(biāo)的表示和解決方案，包括：模型匹配、干

31、擾抑制、參考跟蹤、解耦和極點(diǎn)配置等。巴賽爾和麥姆1982、舒馬赫1983采用了新的幾何對象，所謂的自有界受控不變量和自隱藏條件不變量，這證明在極小化動態(tài)補(bǔ)償器的復(fù)雜性方面以及求解上述的具有穩(wěn)定性問題是非常有效的。補(bǔ)償器的極小化是線性系統(tǒng)理論幾何方法的關(guān)鍵問題。現(xiàn)在，致力于將卡爾曼控制和卡爾曼濾波(H2控制和過濾)與幾何解耦聯(lián)系起來，從而有可能解決離散和連續(xù)時間情況中的奇異問題Stoorvogel,1992Saberi,SannutiandandChen,1995,Marro，PrattichizzoandZattoni，2002。這種方法的主要缺點(diǎn)是將矩陣代數(shù)的比較簡單的語言化為高維向量空間中的更抽象的語言，幾乎喪失對問題的直觀解釋。結(jié)構(gòu)有向圖方法控制理論的所有上述方法都有嚴(yán)重的局限性：（1）無論是微分方程形式還是多項式矩陣頻率形式，系統(tǒng)描述中的系數(shù)都是數(shù)值準(zhǔn)確已知的。（2）與系統(tǒng)分析和控制器綜合相