有限元分析理論基礎(chǔ)ppt課件

1、有限元分析理論基礎(chǔ)山東交通學(xué)院汽車(chē)工程系車(chē)輛工程教研室材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)與彈性力學(xué) 本課程中所指的是有限單元法在彈本課程中所指的是有限單元法在彈性力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。因此要用到彈性力性力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。因此要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程。本章將簡(jiǎn)學(xué)的某些基本概念和基本方程。本章將簡(jiǎn)單介紹這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有單介紹這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識(shí)。限單元法的預(yù)備知識(shí)。預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 1、研究的內(nèi)容：基本上沒(méi)有什么區(qū)別。、研究的內(nèi)容：基本上沒(méi)有什么區(qū)別。 彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下彈性力學(xué)也是

2、研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變的平衡和運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。形。2、研究的對(duì)象：有相同也有區(qū)別。、研究的對(duì)象：有相同也有區(qū)別。 材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的等桿狀構(gòu)件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的板與殼及其它還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)

3、別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 3、研究的方法：有較大的區(qū)別。、研究的方法：有較大的區(qū)別。 雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，但是在建立這三方面條件時(shí)，面進(jìn)行研究，但是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來(lái)建立這些條件的，因而要件的整個(gè)截面來(lái)建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，的假設(shè)。這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而

4、彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無(wú)限小單元確的。而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無(wú)限小單元體來(lái)建立這些條件的，因而無(wú)須引用那些體來(lái)建立這些條件的，因而無(wú)須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學(xué)也比較精確。所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，的解答來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。并確定它們的適用范圍。材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)x xq qy yx圖 1-1ax xq qy yx0 0圖 1-1b彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力材料力學(xué)學(xué) 總之，彈性力學(xué)與材料

5、力學(xué)既有聯(lián)總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。 但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問(wèn)題時(shí)，往往需方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問(wèn)題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)

6、處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：于材料性質(zhì)的假定：彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定 (1) 物體是連續(xù)的，亦即物體整個(gè)體積內(nèi)物體是連續(xù)的，亦即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示。函數(shù)來(lái)表示。(2) 物體是完全彈性的，亦即當(dāng)使物體產(chǎn)物體是完全彈性的，亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全生變形的外力被除去以

7、后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任一瞬時(shí)的形狀完當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力，與它全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力，與它過(guò)去的受力情況無(wú)關(guān)。過(guò)去的受力情況無(wú)關(guān)。(3) 物體是均勻的，也就是說(shuō)整個(gè)物體是物體是均勻的，也就是說(shuō)整個(gè)物體是由同一種材料組成的。這樣，整個(gè)物體的由同一種材料組成的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)物體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù)彈性模量和波桑系數(shù))才才不隨位置座標(biāo)而變。不隨位置座標(biāo)而變。彈性

8、力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定(4) 物體是各向同性的，也就是說(shuō)物物體是各向同性的，也就是說(shuō)物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)不同方向的物理性質(zhì)體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)不同方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。 (5) 物體的變形是微小的，亦即當(dāng)物物體的變形是微小的，亦即當(dāng)物體受力以后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位體受力以后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1，這樣，在考慮，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以用物體變形以后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以用變形前的尺寸來(lái)代替變形后的尺寸，變形前的尺寸來(lái)代替變形后

9、的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)物體的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì)，這就使得或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。程。2-1 外力、應(yīng)力、應(yīng)變與位移在有限元法中的表示方法外力、應(yīng)力、應(yīng)變與位移在有限元法中的表示方法一、外力一、外力 外力可以分為體積力、面積力和節(jié)點(diǎn)之中力*，分別用以下符號(hào)表示：1體積力 ),(),(),(zyxFzyxFzyxFFbzbybxb 2表面力 ),(),(),(zyxFzyxFzyxFFszsysxs3節(jié)點(diǎn)集中力

10、nPPPP21節(jié)點(diǎn)集中力是廣義力，可以是力，也可以是力矩。二、應(yīng)力二、應(yīng)力 空間三維問(wèn)題 zyxzyxzyxzyxzyxzyxzxyzxyzzyyxx,平面問(wèn)題 ),(),(),(yxyxyxxyyyxx三、應(yīng)變?nèi)?、?yīng)變空間三維問(wèn)題 zyxzyxzyxzyxzyxzyxzxyzxyzzyyxx,平面問(wèn)題 ),(),(),(yxyxyxxyyyxx四、位移四、位移 ),(),(),(zyxwzyxvzyxuu空間三維問(wèn)題 平面問(wèn)題 ),(),(yxvyxuu xxx一維問(wèn)題 一維問(wèn)題 一維問(wèn)題 xxx xuuxx2-2 彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的基本方程一、平衡方程一、平衡方程 在物體內(nèi)的任意

11、一點(diǎn)P，割取一個(gè)微小的平行六面體，它的直于坐標(biāo)軸，而棱邊的長(zhǎng)度分別為，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上圖2-1所示。以x軸為投影軸，列出投影的平衡方程，0 xF得：0XdxdydzdxdydxdydzzdzdxdzdxydydzdydzxzxzxzxyxyxyxxxxxxxxoyxzABCPyyyzyzdzzzzzzdzzzxzxdzzzyzydxxxzxzdxxxxxxdxxxyxydyyyyyydyyyxyxdyyyzyzzzzxzyxxxyxz0Xdxdydzdxdydzdxdyzdxdydzdxdydzdxydzdxdydzdxdydzxdydzzxzxzxyxyxyxxxxx

12、xxx0dxdydzFdxdydzzdxdydzydxdydzxbxzxxyxx整理后得到：0bxzxxyxxFzyx在上式中消掉dxdydz得到利用0yF和0zF還可以得到另外兩個(gè)方程，即：000bzzzyzzxbyyzyyxybxzxxyxxFzyxFzyxFzyx彈性體平衡微分方程 該方程給出地是微元體的平衡條件，即平衡的微分條件。也就是說(shuō)如果整個(gè)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，結(jié)構(gòu)內(nèi)部任意點(diǎn)微元體都必須滿足的條件。二、幾何方程二、幾何方程給出彈性體內(nèi)部任意點(diǎn)處的應(yīng)變與位移之間的微分關(guān)系。 1 1、應(yīng)變與位移的關(guān)系、應(yīng)變與位移的關(guān)系以xx為例，彈性體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變與位移的關(guān)系如圖示： yxA ,),(

13、ydxxB 在結(jié)構(gòu)取一微小線段dx，兩個(gè)端點(diǎn)變形前的坐標(biāo)分別為：、兩個(gè)端點(diǎn)變形后的坐標(biāo)分別為：),(),(yxvyyxuxA),(),(ydxxvyydxxudxxB、在小變形情況下，變形后微小線段的長(zhǎng)度可以近似表示為為：dxxudxyxuydxxudxyxuxydxxudxx),(),(),(),(xudxdxdxxudxdxdxxx根據(jù)應(yīng)變的定義可得：zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyxxyyxx 同理可推導(dǎo)出其它5個(gè)應(yīng)變分量。則彈性體內(nèi)任意點(diǎn)的6個(gè)應(yīng)變分量可以表示為：yvxuyvxuxyyyxx對(duì)于平面問(wèn)題，應(yīng)變-位移關(guān)系可以簡(jiǎn)化為：xuxx對(duì)于一維問(wèn)題，應(yīng)變-位移關(guān)系可以

14、進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：2 2、應(yīng)變、應(yīng)變- -位移關(guān)系的矩陣表示位移關(guān)系的矩陣表示wvuxzyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxx000000000三維情況xzyzxyzyx000000000令：其中 zyx,稱(chēng)微分算子，稱(chēng)算子矩陣。 uvuxyyxyvxuyvxuxyyyxx00二維問(wèn)題的應(yīng)變-位移關(guān)系可簡(jiǎn)化為：一維問(wèn)題的應(yīng)變-位移關(guān)系可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為： uuxxuxx則應(yīng)變-位移關(guān)系可以簡(jiǎn)記為統(tǒng)一的矩陣形式： u三、物理方程本構(gòu)關(guān)系）三、物理方程本構(gòu)關(guān)系） eD1、有限元本構(gòu)關(guān)系的矩陣形式為：221000000221000000221000000100010001

15、)21)(1 (EDe對(duì)于三維情況有： 2 2、對(duì)于二維平面應(yīng)力問(wèn)題的定義、對(duì)于二維平面應(yīng)力問(wèn)題的定義平面應(yīng)力)0(zzyzxz由此可以得出 0zxyz2100010112EDe 此時(shí)有 )(1yyxxzzvv3 3、對(duì)于二維平面應(yīng)變問(wèn)題的定義、對(duì)于二維平面應(yīng)變問(wèn)題的定義平面應(yīng)變)0(zzyzxz由此可以得出 0zxyz 221000101)21)(1 (EDe 此時(shí)有 )(yyxxzzv四、相容方程協(xié)調(diào)方程）四、相容方程協(xié)調(diào)方程） 相容方程給出彈性體的變形協(xié)調(diào)性條件，彈性體在變形之前是連續(xù)的，變形后仍然要保持連續(xù)。即彈性體內(nèi)部各點(diǎn)的位移必須是單值連續(xù)的，不能出現(xiàn)重疊或開(kāi)裂現(xiàn)象。 由于有限元采

16、用的多項(xiàng)式位移插值函數(shù)全部滿足相容條件，只要求了解這一概念，具體形式不作要求。虛功原理及虛功方程虛功原理及虛功方程圖圖1-8a示一平衡的杠桿，對(duì)示一平衡的杠桿，對(duì)C點(diǎn)點(diǎn)寫(xiě)力矩平衡方程：寫(xiě)力矩平衡方程：圖圖1-8b表示杠桿繞支點(diǎn)表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖：的剛體位移圖：綜合可得：綜合可得：即：即：式式(1-15)是以功的形式表述的。是以功的形式表述的。說(shuō)明：圖說(shuō)明：圖a的平衡力系在圖的平衡力系在圖b的的位移上作功時(shí)，功的總和必須位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。等于零。這就叫做虛功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBACBA B A圖 1-8abABABBA

17、abPP15)-(1 0BBAAPP虛功原理虛功原理 進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)，進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)， 和和 這兩個(gè)位這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足傾斜，一定滿足(1-15)式的關(guān)系。式的關(guān)系。 將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，是否真正發(fā)生了位移

18、，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，由于是假想，故稱(chēng)為虛位移故稱(chēng)為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱(chēng)虛功原理。在圖功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱(chēng)虛功原理。在圖1-8a中的中的 和和 所作的功就不是發(fā)生在它本身所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)狀態(tài)a)的位的位移上，移上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位移因?yàn)樗旧硎瞧胶獾模淮嬖谖灰?，而是在狀態(tài)，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?jiàn)，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)的位移上作的功?？梢?jiàn)，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來(lái)說(shuō)就是虛位來(lái)說(shuō)就是虛位移，亦即是狀態(tài)移，亦即是狀態(tài)(a

19、)假象的位移。假象的位移。ABAPBP虛功原理虛功原理 必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來(lái)講，它必須的兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來(lái)講，它必須是在位移過(guò)程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來(lái)講，雖然是虛是在位移過(guò)程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來(lái)講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。合的微小的剛體位移。 還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)

20、，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。(如圖如圖1-8中的反力中的反力 ，由于支點(diǎn)，由于支點(diǎn)C沒(méi)有位移，故沒(méi)有位移，故 所作的虛功對(duì)于零所作的虛功對(duì)于零)。反之，如圖。反之，如圖1-8中的中的 和和 是在位移過(guò)程中作功的力，稱(chēng)為主動(dòng)力。因而，在是在位移過(guò)程中作功的力，稱(chēng)為主動(dòng)力。因而，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫(xiě)虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。寫(xiě)虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作

21、虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。cRcRAPBP虛功原理與虛功方程虛功原理與虛功方程虛功原理表述如下：虛功原理表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所有束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)各力所作的功的代數(shù)和和)恒對(duì)于零。恒對(duì)于零。虛功原理用公式表示為：虛功原理用公式表示為：這就是虛功方程，其中這就是虛功方程，其中P和和 相應(yīng)的代表力和虛位移。相應(yīng)的代表力和虛位移。16)-(1 0PW虛功原理虛功原理-用于彈性體的情用

22、于彈性體的情況況 虛功方程虛功方程(1-16)是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖1-8的杠的杠桿是絕對(duì)剛性，沒(méi)有任何的變形，因而在方程桿是絕對(duì)剛性，沒(méi)有任何的變形，因而在方程(1-15)或或(1-16)中沒(méi)有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。中沒(méi)有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功W要包括外力功要包括外力功(T)和內(nèi)和內(nèi)力功力功(U)兩部分，即：兩部分，即： W = T - U ；內(nèi)力功；內(nèi)力功(-U)前面有一負(fù)號(hào)，前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過(guò)程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所是由于彈性體在變形過(guò)程中，內(nèi)力是克服變形而

23、產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得：根據(jù)虛功原理，總功等于零得： T - U = 0 外力虛功外力虛功 T = 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功移上的虛功(外力功外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功內(nèi)力功)。有限元分析的一般過(guò)程有限元分

24、析的一般過(guò)程一、結(jié)構(gòu)的離散化一、結(jié)構(gòu)的離散化 將結(jié)構(gòu)或彈性體人為地劃分成由有限個(gè)單元，并通過(guò)有限個(gè)節(jié)點(diǎn)相互連接的離散系統(tǒng)。這一步要解決以下幾個(gè)方面的問(wèn)題這一步要解決以下幾個(gè)方面的問(wèn)題:1、選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒖枷?，既要考慮到工程設(shè)計(jì)習(xí)慣，又要照顧到建立模型的方便。2、根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，選擇不同類(lèi)型的單元。對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)可能同時(shí)用到多種類(lèi)型的單元，此時(shí)還需要考慮不同類(lèi)型單元的連接處理等問(wèn)題。3、根據(jù)計(jì)算分析的精度、周期及費(fèi)用等方面的要求，合理確定單元的尺寸和階次。4、根據(jù)工程需要，確定分析類(lèi)型和計(jì)算工況。要考慮參數(shù)區(qū)間及確定最危險(xiǎn)工況等問(wèn)題。5、根據(jù)結(jié)構(gòu)的實(shí)際支撐情況及受載狀態(tài)，確定各工況的邊界約束和有效

25、計(jì)算載荷。 eQNu 在有限元法中通常選擇多項(xiàng)式函數(shù)作為單元位移插值函數(shù)，并利用節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件，將位移插值函數(shù)整理成以下形函數(shù)矩陣與單元節(jié)點(diǎn)位移向量的乘積形式。 位移插值函數(shù)需要滿足相容協(xié)調(diào)條件，采用多項(xiàng)式形式的位移插值函數(shù)，這一條件始終可以滿足。 但近年來(lái)有人提出了一些新的位移插值函數(shù)，如：三角函數(shù)、樣條函數(shù)及雙曲函數(shù)等，此時(shí)需要檢查是否滿足相容條件。二、選擇位移插值函數(shù)二、選擇位移插值函數(shù) 1、位移插值函數(shù)的要求 形函數(shù)的性質(zhì)：1相關(guān)節(jié)點(diǎn)處的值為 1，不相關(guān)節(jié)點(diǎn)處的值為 0。2形函數(shù)之和恒等于 1。2、位移插值函數(shù)的收斂性完備性要求：、位移插值函數(shù)的收斂性完備性要求： 1） 位移插

26、值函數(shù)必須包含常應(yīng)變狀態(tài)。位移插值函數(shù)必須包含常應(yīng)變狀態(tài)。 2位移插值函數(shù)必須包含剛體位移。位移插值函數(shù)必須包含剛體位移。3、復(fù)雜單元形函數(shù)的構(gòu)造、復(fù)雜單元形函數(shù)的構(gòu)造 對(duì)于高階復(fù)雜單元，利用節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件求解形函數(shù)，實(shí)際上是不可行的。因此在實(shí)際應(yīng)用中更多的情況下是利用形函數(shù)的性質(zhì)來(lái)構(gòu)造形函數(shù)。eeLxLxN,1以階梯軸的形函數(shù)為例eLxN 11eLxN2兩個(gè)形函數(shù)分別為在 節(jié)點(diǎn)有：i在 節(jié)點(diǎn)有：j0121NN1221NN在任何點(diǎn)有：121 NN 這里我們稱(chēng) 為 的相關(guān)節(jié)點(diǎn)， 為 的相關(guān)節(jié)點(diǎn)，其它點(diǎn)均為不相關(guān)節(jié)點(diǎn)。 ij1N2N 使用最小勢(shì)能原理，需要計(jì)算結(jié)構(gòu)勢(shì)能，由彈性應(yīng)變能和外力虛

27、功兩部分構(gòu)成。結(jié)構(gòu)已經(jīng)被離散，彈性應(yīng)變能可以由單元彈性應(yīng)變能疊加得到，外力虛功中的體力、面力都是分布在單元上的，也可以采用疊加計(jì)算。1、計(jì)算單元彈性應(yīng)變能 dVTVee21 單元體積。單元體積。 eV eQNu由幾何關(guān)系代入前式有： eVTTeeTTVeeQdVBDBQdVQBDBQee2121令： dVBDBKTVee稱(chēng)單元?jiǎng)偠染仃?，?jiǎn)稱(chēng)單剛。 這樣單元彈性應(yīng)變能可以表示為： eeTeeQKQ21三、 單元分析目的：計(jì)算單元彈性應(yīng)變能和外力虛功。目的：計(jì)算單元彈性應(yīng)變能和外力虛功。2 2、計(jì)算單元外力功、計(jì)算單元外力功 dVFNQdVFNQdVFuWbTVTebTTVebTVebeee dV

28、FNPbTVebe ebTeebPQW 1) 體力虛功令： 稱(chēng)單元等效體力載荷向量。 單元體力虛功可以表示為： eeeAsTTesTTAesTAesdAFNQdAFNQdAFuW1112) 表面力虛功單元上外力已知的表面 ,注意！這里只考慮結(jié)構(gòu)的邊界表面。eA1eAsTesdAFNP1令： 稱(chēng)單元等效面力載荷向量。 單元表面力虛功可以表示為： esTeebPQW 從前面推導(dǎo)可以看出：從前面推導(dǎo)可以看出： 單元彈性應(yīng)變能可計(jì)算的部分只有單元?jiǎng)偠染仃?，單元外力虛功可?jì)算的部分只有單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量。在實(shí)際分析時(shí)并不需要進(jìn)行上述推導(dǎo)，只需要將假定的位移插值函數(shù)代入本節(jié)推導(dǎo)得出的單

29、元?jiǎng)偠染仃?、等效體力載荷向量和等效面力載荷向量的計(jì)算公式即可。 所以我們說(shuō)有限元分析的第三步是計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?、等效體力載荷向量和等效面力載荷向量。幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明： 1單元?jiǎng)偠染仃嚲哂姓ㄐ浴⑵娈愋院蛯?duì)稱(chēng)性三各重要特性。所單元?jiǎng)偠染仃嚲哂姓ㄐ?、奇異性和?duì)稱(chēng)性三各重要特性。所謂正定性指所有對(duì)角線元素都是正數(shù)，其物理意義是位移方向與載謂正定性指所有對(duì)角線元素都是正數(shù)，其物理意義是位移方向與載荷方向一致；奇異性是說(shuō)單元?jiǎng)偠染仃嚥粷M秩是奇異矩陣，其物理荷方向一致；奇異性是說(shuō)單元?jiǎng)偠染仃嚥粷M秩是奇異矩陣，其物理意義是單元含有剛體位移；對(duì)稱(chēng)性是說(shuō)單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱(chēng)矩陣，意義是單元含有剛體位移；對(duì)稱(chēng)性

30、是說(shuō)單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱(chēng)矩陣，程序設(shè)計(jì)時(shí)可以充分利用。程序設(shè)計(jì)時(shí)可以充分利用。2按照本節(jié)公式計(jì)算的單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量稱(chēng)為一致載荷向量。實(shí)際分析時(shí)有時(shí)也采用靜力學(xué)原理計(jì)算單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量，實(shí)際應(yīng)用表明在大多數(shù)情況下，這樣做可以簡(jiǎn)化計(jì)算，同時(shí)又基本上不影響分析結(jié)果。四、整體分析四、整體分析 目的：計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)的勢(shì)能，代入最小勢(shì)能原理：目的：計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)的勢(shì)能，代入最小勢(shì)能原理： 1、計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能。 QKQQKQQKQeTneeTneeeTenee212121111令： eKK結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣總剛） 此時(shí)結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能可以表示為： QKQT21結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能可計(jì)算的部分只有 K所以我們說(shuō)，結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能的計(jì)算就歸結(jié)為總剛的計(jì)算。2、計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)的外力虛功。 iTneesTeneebTeiTneesneebPPQPQPQPQWWW1111將 變換形式寫(xiě)成 ebTePQ, ebTPQ, 將 變換形式寫(xiě)成 esTePQ, esTPQ,外力虛功可以表示