自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1、1第第2 2章章 自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2.1 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 2.3 傳遞函數(shù)2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.5 自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.6 信號(hào)流圖22.1 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 微分方程微分方程 是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型，要研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，必須列寫系統(tǒng)的微分方程。一個(gè)控制系統(tǒng)由若干具有不同功能的元件組成，首先要根據(jù)各個(gè)元件的物理規(guī)律，列寫各個(gè)元件的微分方程，得到一個(gè)微分方程組 ，然后消去中間變量，即得控制系統(tǒng)總的輸入和輸出的微分方程。3例例2.1

2、R-L-C 2.1 R-L-C 串聯(lián)電路串聯(lián)電路)()()()(tutRidttdiLtucr )(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrccc dttduCtic)()( )()()(22tudttduRCdttudLCccc 2.1 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 4)()(1ommmiixxfFxxKF 02xKFo oommixKxxfxxK21)()( :BAioooooimoimxxfKxKKKxxfKxKKxxxKxKxK 2121212211iooxKKKxKKfKKx2112121)( 例例2.2 2.2 彈簧彈簧阻尼器系

3、統(tǒng)阻尼器系統(tǒng)2.1 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 5電磁力矩： 安培定律電樞反電勢(shì)： 楞次定律電樞回路： 克?；舴蛄仄胶猓?牛頓定律brERiu mebcE icMmm mmmmmmmMfJ 例例2.3 2.3 電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)2.1 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 6電機(jī)時(shí)間常數(shù)電機(jī)傳遞系數(shù) )/()/(memmmmemmmccfRcKccfRRJTrmmmmrmmmmuKTuKT 消去中間變量 i, Mm , Eb 可得：2.1 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 7建立動(dòng)態(tài)微

4、分方程的步驟建立動(dòng)態(tài)微分方程的步驟（1）根據(jù)元件的工作原理和在系統(tǒng)中的作用，確定元件的輸入量和輸出量（必要時(shí)還考慮擾動(dòng)量），并根據(jù)需要引進(jìn)一些中間變量。（2）根據(jù)各元件在工作過程中所遵循的物理或化學(xué)定律，按工作條件忽略一些次要因素，并考慮相鄰元件的彼此影響，列出微分方程。常用的定律有：電路系統(tǒng)的基爾霍夫定律、力學(xué)系統(tǒng)的牛頓定律和熱力學(xué)定律等等。（3）消去中間變量后得到描述輸出量與輸入量（包括擾動(dòng)量）關(guān)系的微分方程，即元件的數(shù)學(xué)模數(shù)學(xué)模型。型。2.1 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 8微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式 (1)將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的右邊； 與輸

5、出量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的左邊。 (2)方程兩邊導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降階排列。其一般形式為其一般形式為imimmimmimononnonnonxbdtdxbdtxdbdtxdbxadtdxadtxdadtxda11110111102.1 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 9第第2 2章章 自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 n 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 n 2.2 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 n 2.3 傳遞函數(shù)n 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖n 2.5 自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n 2.6 信號(hào)流圖102.2 2.2 非線性系統(tǒng)

6、微分方程模型的線性化非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 000輸入輸出輸入輸出輸入輸出ab飽和（放大器）死區(qū)（電機(jī)）間隙（齒輪）1 幾種常見的非線性幾種常見的非線性 112 2 線性化的方法線性化的方法（1 1）忽略弱非線性環(huán)節(jié)）忽略弱非線性環(huán)節(jié)（如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對(duì)系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略）（2）偏微法（小偏差法，切線法，增量線性化法）偏微法（小偏差法，切線法，增量線性化法） 偏微法基于一種假設(shè)，就是在控制系統(tǒng)的整個(gè)調(diào)節(jié)過程中，各個(gè)元件的輸入量和輸出量只是在平衡點(diǎn)附近作微小變化。這一假設(shè)是符合許多控制系統(tǒng)實(shí)際工作情況的，因?yàn)閷?duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)而言，一有偏差

7、就產(chǎn)生控制作用，來減小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡點(diǎn)附近。2.2 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 120 xy飽和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0) 設(shè)設(shè) A(x0,y0)A(x0,y0)平衡點(diǎn)，平衡點(diǎn)，函數(shù)在平衡點(diǎn)處連續(xù)可微，函數(shù)在平衡點(diǎn)處連續(xù)可微，則可將函數(shù)在平衡點(diǎn)附近則可將函數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)忽略二次以上的各項(xiàng)，上式可以寫成忽略二次以上的各項(xiàng)，上式可以寫成 其中其中這就是非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型這就是非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型202200)(! 21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxk

8、y0yyy0 xxx0 xdxdyk13)(cos)(0txExy )()()(0 xyxyxy xxEy 00sin取一次近似，且令 有 例例 已知某裝置的輸入輸出特性已知某裝置的輸入輸出特性求小擾動(dòng)線性化方程。求小擾動(dòng)線性化方程。 200000)(! 21)()()(xxxyxxxyxyxy解解 在工作點(diǎn)(x0, y0)處展開泰勒級(jí)數(shù))(sin000 xxxE 2.2 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 14rQShSdtdh1 hhhhdthdhhh 00021|0)(1)21()(0000rrQQShhhSdthhd 解解 在 處泰勒展開，取一次近似

9、0h代入原方程可得 例例 某容器的液位高度某容器的液位高度 h h 與液體流入量與液體流入量 Q Q 滿足方程滿足方程式中式中 S S 為液位容器的橫截面積。若為液位容器的橫截面積。若 h h 與與 Q Q 在其工作點(diǎn)附近在其工作點(diǎn)附近做微量變化，試導(dǎo)出做微量變化，試導(dǎo)出 h h 關(guān)于關(guān)于 Q Q 的線性化方程。的線性化方程。2.2 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 15SQhSdtdhr000 rQShhSdthd 120 在平衡點(diǎn)處系統(tǒng)滿足 上兩式相減可得線性化方程 2.2 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 16 如果

10、一非線性元件輸入輸出關(guān)系如圖所示 此時(shí)不能用偏微分法，可用平均斜率法得線性化方程為kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1（3 3）平均斜率法）平均斜率法2.2 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 17 注意：注意：上述幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對(duì)于某些嚴(yán)重的非線性，如 不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數(shù)法進(jìn)行分析。0繼電特性0飽和特性2.2 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 18n 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 n 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 n 2.3 2.3 傳遞函數(shù)傳

11、遞函數(shù)n 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖n 2.5 自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n 2.6 信號(hào)流圖第第2 2章章 自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型191 拉普拉斯變換 2 傳遞函數(shù)3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.3 2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)201 1 復(fù)數(shù)有關(guān)概念復(fù)數(shù)有關(guān)概念 （1 1）復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù)）復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù) js )()()(sFsFsFyx 例例1 1 jssF 22)(（2 2）模、相角）模、相角 22yxFFsF xyFFsFarctan （3 3）復(fù)數(shù)的共軛）復(fù)數(shù)的共軛 yxjFFsF )(（4 4）解析若）解析若F(s)F(s)在在 s s 點(diǎn)的各階點(diǎn)的各階 導(dǎo)數(shù)都

12、存在，則導(dǎo)數(shù)都存在，則F(s)F(s)在在 s s 點(diǎn)解析。點(diǎn)解析。 模模相角相角 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換21（2 2）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù)atetf )( dtedteetfLtasstat 00)( as)(aseasa)t(s 1101101 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換222 2 拉氏變換的定義拉氏變換的定義 0)()()(dtetfsFtfLts（1 1）階躍函數(shù)）階躍函數(shù) )()(tfsF像像原像原像3 3 常見函數(shù)的拉氏變換常見函數(shù)的拉氏變換 0001)(tttf ssesdtetLstst110111100 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換23（3 3）正弦函數(shù)）正弦函

13、數(shù) 0sin00t t t f(t) dteeejdtetf(t)Lsttjtjst 0021sin dteej)tj(s)t-(s-j 021 001121)tj(s)tj(sejsejsj 22222211121 ssjjjsjsj1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換24（1 1）線性性質(zhì)）線性性質(zhì)4 4 拉氏變換的幾個(gè)重要定理拉氏變換的幾個(gè)重要定理（2 2）微分定理）微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 00001221 nn-n-n-nnfsffsfssFstf0 0初條件下有：初條件下有： sFstfLnn 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換25例

14、例2 2 求求 ?)( tL 解解. . t1t tLtL1 例例3 3 求求 ?)cos( tL 解解. . tt nsi1cos tLtL nsi1cos 01ss101 221 ss22 ss1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換26（3 3）積分定理）積分定理 0111-fssFsdttfL 零初始條件下有：零初始條件下有： sFsdttfL 1進(jìn)一步有：進(jìn)一步有： 0101011211nnnnnnfsfsfssFsdttfL 個(gè)個(gè)例例4 4 求求 L Lt=? t=? 解解. . dttLtL10111 ttsss21s 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換27例例5 5 求求解解. . dt

15、tt 220222111 ttsss?22 tL dttLtL2231s 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換28（4 4）實(shí)位移定理）實(shí)位移定理例例6 6解解. . )( 1)( 1)(atttf )(1)(1)(attLtfL )()(00sFetfLs F(s) ,at 0at 0 10t 0tf 求求 sesas11 seas 11 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換29（5 5）復(fù)位移定理）復(fù)位移定理 )()(AsFtfeLtA ate L teLt-5cos3 )t(eLt35cos2222155 sss-sse 例例7 7例例8 8例例9 9 22533 ss3225 ssss atetL

16、 1asss 1 )(teLt155cos2 22215522 ssesas 11 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換30（6 6）初值定理）初值定理)(lim)(lim0sFstfst 21)(ssF 例例1010 ttf )(lim)0(sFsfs 01lim2 sss1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換31（7 7）終值定理）終值定理)(lim)(lim0sFstfst )(1)(bsasssF 例例1111 abbsasssfs11lim0 22ssF ttfsin例例12120lim220 sss1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換325 5 用拉氏變換方法解微分方程用拉氏變換方法解微分方程)(

17、1)()()(21ttyatyaty ssYasas1)()(212 L L變換變換0)0()0( yy)(1)(212asasssY )(1sYLty 系統(tǒng)微分方程系統(tǒng)微分方程L L-1-1變換變換1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換331) 1) 拉氏變換的定義拉氏變換的定義 0)()(dtetfsFts（2 2）單位階躍）單位階躍2) 2) 常見函數(shù)常見函數(shù)L變換變換)(tfs1（5 5）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù)ate )(1as )(sF)( 1 t（1 1）單位脈沖）單位脈沖1)(t （3 3）單位斜坡）單位斜坡21 st（4 4）單位加速度）單位加速度31 s22t（6 6）正弦函數(shù)）正弦函

18、數(shù)t sin)(22 s（7 7）余弦函數(shù)）余弦函數(shù)t cos)(22 ss1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換6 6 拉氏變換小結(jié)拉氏變換小結(jié)34（2 2）微分定理）微分定理3) 3) L變換重要定理變換重要定理（5 5）復(fù)位移定理）復(fù)位移定理（1 1）線性性質(zhì)）線性性質(zhì)（3 3）積分定理）積分定理（4 4）實(shí)位移定理）實(shí)位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）終值定理）終值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 0111-fssFsdttfL )()(0sFetfLs )()(AsFtfeLtA )(lim)(lim0sFstfst )(lim)(li

19、m0sFstfst 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換354) 4) 拉氏反變換拉氏反變換 jjstdsesFjtf )(21)(（1 1）反演公式）反演公式（2 2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法）試湊法試湊法系數(shù)比較法系數(shù)比較法留數(shù)法留數(shù)法a)s(sa)-s(saF(s) 1a)s(sF(s) 1例例1 1 已知已知，求求?)( tf解解. . ateaf(t) 11 assa1111 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換36cacacacannnn01)1(1)(. 5)5)用用L變換方法解線性常微分方程變換方法解線性常微分方程0 0 初條件初條件nm:L)().(0111sCas

20、asasannnn )(.)(01110111sRasasasabsbsbsbsCnnnnmmmm 011011)()(.)(asasabsbsbsCnnnnmmmmttr nnsCsCsC 2211tnttneCeCeCsCLtc 21211)()(: : 特征根（極點(diǎn)）特征根（極點(diǎn)）i : : 相對(duì)于相對(duì)于 的的模態(tài)模態(tài)tie i :1 Lrbrbrbrbmmmm01)1(1)(. )().(0111sRbsbsbsbmmmm 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換37用留數(shù)法分解部分分式用留數(shù)法分解部分分式一般有一般有其中：其中：)(.)()()(011011mnasasabsbsbsAsBs

21、Fnnnnmmmm 設(shè)設(shè))()(.)(21011nnnnnpspspsasasasA 0)( sAI. 當(dāng)當(dāng) 無重根時(shí)無重根時(shí) niiinnpsCpsCpsCpsCF(s)12211 nitpitpntptpineCeCeCeCtf12121)().F(s)p(sCipsii limipsi(s)AB(s)C 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換38342)(2 ssssF例例2 2 已知已知，求求?)( tf解解. .3131221 sCsC)(s(ssF(s)2131213121lim11 )(s(ss)(sCs2113233123lim32 )(s(ss)(sCs321121 ssF(s)t

22、teef(t)32121 3455)(22 sssssF例例3 3 已知已知，求求?)( tf解解. .34)2()34(22 sssssF(s)3)(1(21 ssstteetf(t)32121)( 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換39223)(2 ssssF例例4 4 已知已知，求求?)( tf解一解一. .jjj)j)(s(ssj)(sCjs221131lim11 jij)j)(s(ssj)(sCjs221131lim12 tjtjejjejjf(t)1()1(2222 解二：解二：jsC-jsCj)-j)(s(ssF(s) 1111321 jtjttejejej )2()2(21 tt

23、jejtsin4cos221 ttetsin2cos 22113 )(ssF(s)t etef(t)ttsin2cos 22221112111 )(s)(ss221121 )(ss1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換400)()()(1 npspssAII. 當(dāng)當(dāng) 有重根時(shí)有重根時(shí)nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111( (設(shè)設(shè) 為為m m重根，其余為單根重根，其余為單根) )1p1111111s-pC)(s-pC)(s-pCLf(t)m-m-mm .F(s)p(sdsd)(m-C .F(s)p(sdsdjC .F(s)p(sdsdC.F(s

24、)p(sCmmmpsmjjpsm-jmpsm-mpsm11)1(11)(1111111lim!11lim!1lim! 11lim11nnmms-pCs-pC tpmm-mm.eCtCt)(mCt)(mC1!2!112211 tpnmiiieC 11 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換41nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111mmpsC.F(s)p(s 11lim111212111 mm-m-mm)(s-pC)(s-pC)(s-pCCF(s)(s-pnmnmmms-p)(s-pCs-p)(s-pC1111 2111211)()1()(20mmmm

25、psCmpsCC.F(s)p(sdsd 111lim! 11m-mpsC.F(s)p(sdsd 3112122)()2)(1(200mmmpsCmmC.F(s)p(sdsd 21221lim! 21m-mpsC.F(s)p(sdsd 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換42)3()1(2)(2 sssssF例例5 5 已知已知，求求?)( tf解解. .31143122 scscsc)(scF(s)(s)s(ss)(sCs3121lim2212 )(s)s(ss)(sdsdCs3121lim! 112211)(s)s(sss.Cs312lim203 31121132114311212 s.s.s.

26、)(s.F(s)ttteetef(t)3121324321 )(s)s(sssCs312)3(lim234 2131121 )(221)3(3)2()3(lim ssssssss43 32 121 1 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換431 拉普拉斯變換 2 2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.3 2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)44)()()(sRsCsG )(.01)1(1)(01)1(1)(trbrbrbrbcacacacammmmnnnn 2 2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 1) 1) 定義定義: : 在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比

27、。拉氏變換與輸入量拉氏變換之比。微分方程一般形式：45)(.01)1(1)(01)1(1)(trbrbrbrbcacacacammmmnnnn )(.)()(01110111sGasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm )(.)(.01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 2 2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)微分方程一般形式微分方程一般形式：拉氏變換拉氏變換：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：)asasasbsbsbs(abG(S)n1n1n1nm1m1m1m00 n1jjm1ii)p(s)z(sK46 2) 2) 傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì) (1) G(s)是復(fù)函數(shù)； (2)

28、 G(s)只與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)； (3) G(s)與系統(tǒng)微分方程直接關(guān)聯(lián)； (4) G(s) = L k(t) ； (5) G(s) 與 s 平面上的零極點(diǎn)圖相對(duì)應(yīng)。第2章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2 2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)47 （1）原則上不反映非零初始條件時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的全部信息； （2）適合于描述單輸入/單輸出系統(tǒng)； （3）只能用于表示線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的局限性傳遞函數(shù)的局限性 2 2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)48 例例8 8 已知某系統(tǒng)在已知某系統(tǒng)在0 0初條件下的階躍響應(yīng)為：初條件下的階躍響應(yīng)為： 試求試求：（：（1 1） 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； （2 2） 系統(tǒng)的增益；系統(tǒng)的

29、增益； （3 3） 系統(tǒng)的特征根及相應(yīng)的模態(tài)；系統(tǒng)的特征根及相應(yīng)的模態(tài)； （4 4） 畫出對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)圖；畫出對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)圖； （5 5） 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； （6 6） 求系統(tǒng)微分方程；求系統(tǒng)微分方程； （7 7） 當(dāng)當(dāng) c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 時(shí)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。時(shí)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。 解解. .（1 1） )4)(1()2(2)(1)()()()( ssssGssSCsRsCsG 2 2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù))4)(1()2(2413111321)( ssssssssC491422 K t

30、tee42141 41)4)(1()2(2)()(21111sCsCLsssLsGLtk324)2(2lim11 ssCstteessLtk41343241341132)( (2) (2) (4) (4)如圖所示如圖所示(3) (3) (5) (5) 341)2(2lim42 ssCs 2 2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)50)()(4542)4)(1()2(2)(2sRsCsssssssG rrcccLsRssCss4245:)()42()()45(12 (6) (6) 2 2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)51)(4)0()( 5)0()0()(:2sCcssCcscsCsL )4)(1(43455145)2(2)

31、(222 sssssssssssssC（7 7）)()2(2)0()0()5()()45(2sRsccssCss 2 2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)52344)5(lim11 ssCs4131113441)4)(1()5()(210 sssCsCssssC413134)(0 setcttttttreeeeetctctc 213134131321)()()(440其中初條件引起的自由響應(yīng)部分其中初條件引起的自由響應(yīng)部分311)5(lim42 ssCs 2 2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)53n 2.1 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 n 2.2 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化非線

32、性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 n2.3 2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)n2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖n2.5 2.5 自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n2.6 2.6 信號(hào)流圖信號(hào)流圖第第2 2章章 自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 541 1 結(jié)構(gòu)圖的概念和組成結(jié)構(gòu)圖的概念和組成1) 概念 將方框圖中各時(shí)間域中的變量用其拉氏變換代替，各方框中元件的名稱換成各元件的傳遞函數(shù)，這時(shí)方框圖就變成了結(jié)構(gòu)圖。2) 組成 (1)方框：有輸入信號(hào)，輸出信號(hào)，傳遞線，方框內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù)，一條傳遞線上的信號(hào)處處相同。 2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖55

33、 (2)比較點(diǎn)： 綜合點(diǎn)，相加點(diǎn) 加號(hào)常省略 負(fù)號(hào)必須標(biāo)出 (3)引出點(diǎn)： 一條傳遞線上的信號(hào)處處相等 ，引出點(diǎn)的信號(hào)與原信號(hào)相等。G(s)X(s)Y(s)2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖56 2 2 結(jié)構(gòu)圖的繪制結(jié)構(gòu)圖的繪制 例：繪制雙T網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖rucu11sC21sC1R2R1i2i1u2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖572221212111111)()()()()(1)()()()()()(sCsIsuRsususIsCsIsIsuRsususICCr畫圖時(shí)G(s)R(s)C(s)從左向右列方程組)()()(sCsGsR2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)

34、構(gòu)圖58將上頁(yè)方程改寫如下相乘的形式：)(1)()(1)()()(1)()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCsIsIsIRsusuCCr2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖59繪圖繪圖：ur(s)為輸入，畫在最左邊。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)這個(gè)例子不是由微分方程組代數(shù)方程組結(jié)構(gòu)圖，而是直接列寫s域中的代數(shù)方程，畫出了結(jié)構(gòu)圖。2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖60 若重新選擇一組中間變量，會(huì)有什么結(jié)果呢？(剛才中間變量為i1,u1,i2，現(xiàn)在改為I,I1

35、,I2)rucu1C2C1R2R1I2II從右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖61 這個(gè)結(jié)構(gòu)與前一個(gè)不一樣，所以選擇不同的中間變量，結(jié)構(gòu)圖也不一樣，但是整個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是不會(huì)變的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI繪圖繪圖 2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖623 3 結(jié)構(gòu)圖的等效變換結(jié)構(gòu)圖的等效變換（1 1）串聯(lián)）串聯(lián)G(s)X(s)Y(s)()()()()()()(),

36、()()()()()()()(21211121sGsGsxsysGsxsysGsxsxsGsGsxsysG證明：X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖63 (2)(2)并聯(lián)并聯(lián))()()()()()()()()()()()()()()()()()(2121212121sGsGsGsGsxsGsGsxsGsxsGsxsysysysGsGsG證明：G(s)X(s)Y(s)X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖64(3)(3)反饋反饋這是個(gè)單回路的閉環(huán)形式，反饋可能是負(fù)，可能是正，我們這

37、是個(gè)單回路的閉環(huán)形式，反饋可能是負(fù)，可能是正，我們用消去中間法來證明。用消去中間法來證明。G(s)G(s)H(s)H(s)E(s)E(s)R(s)R(s)2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖65)()(1)()()()()()()()(1)()()()()()()()()()(sGsHsGssRsCsGsRsGsHsCsGsHsCsGsRsGsBsRsC 以后我們均采用(s)表示閉環(huán)傳遞函數(shù)，負(fù)反饋時(shí)， (s)的分母為1回路傳遞函數(shù)，分子是前向通路傳遞函數(shù)。正反饋時(shí)， (s)的分母為1回路傳遞函數(shù)，分子為前向通路傳遞函數(shù)。 單位負(fù)反饋時(shí))(1)()(sGsGs2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)

38、構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖664 4 結(jié)構(gòu)圖等效變換方法結(jié)構(gòu)圖等效變換方法1) 三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式2) 相鄰綜合點(diǎn)可互換位置3) 相鄰引出點(diǎn)可互換位置注意注意: : 1) 不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式2) 引出點(diǎn)綜合點(diǎn)相鄰，不可互換位置2.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖67引出點(diǎn)移動(dòng)引出點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H12.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖68G2H1G1G3綜合點(diǎn)移動(dòng)綜合點(diǎn)移動(dòng)向同類移動(dòng)向同類移動(dòng)G1G2G3H1G12.4 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖69G1G4H3G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G

39、3H3H170 n 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 n 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 n 2.3 傳遞函數(shù)n 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖n 2.5 2.5 自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n 2.6 信號(hào)流圖第第2 2章章 自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型712.5 2.5 自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 2 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3 閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù) 72 1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu): 前向通道傳遞函數(shù) 、 與反饋通道傳遞函數(shù) 的乘積稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)，相當(dāng)于 )(1sG)(2sG)(sH)(

40、/ )(sRsB)()()()()(21sHsGsGsRsB73 2 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 1) 1) 給定輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)給定輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 令 ,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效為 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出 對(duì)輸入對(duì)輸入 的閉環(huán)傳遞函數(shù)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 易知 0)(sD)(sC)(sR)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCs)()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsRssC74 2 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2) 2)擾動(dòng)輸入作用下擾動(dòng)輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 令 ,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效為 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出 對(duì)對(duì)擾動(dòng)作用擾動(dòng)作用 的閉環(huán)

41、傳遞函數(shù)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的輸出為 )(sC0)(sR)(sD)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsDsCsD)()()()(1)()()()(212sDsHsGsGsGsDssCD75 2 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 3) 3)給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下系統(tǒng)的總輸出給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下系統(tǒng)的總輸出 根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在多個(gè)輸入作用下，其總輸出等于各種輸入單獨(dú)作用所引起的輸出分量的代數(shù)和， 系統(tǒng)的總輸出為)()()(1)()()()()(1)()()()(2122121sHsGsGsDsGsHsGsGsRsGsGsC76 3 閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)閉

42、環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù) 偏差偏差是指給定輸入信號(hào) 與主反饋信號(hào) 之間的差值，用 表示，即 其拉氏變換為 研究各種輸入作用下所引起的偏差變化規(guī)律時(shí)，常用偏差傳遞函數(shù)來表示。 )(tr)(tb)(te)()()(tbtrte)()()(sBsRsE77 3 閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù) 1) 1)給定輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)給定輸入作用下的偏差傳遞函數(shù) 令 ，此時(shí) 與 之比稱為偏差對(duì)給定作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，簡(jiǎn)稱閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)，用 表示，由得 0)(sD)(sE)(sR)(sE)()()()(11)()()(21sRsHsGsGsRssEE)()()(11)()()(21sH

43、sGsGsRsEsE78 3 閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù) 2) 2)擾動(dòng)輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)擾動(dòng)輸入作用下的偏差傳遞函數(shù) 令 ，此時(shí) 與 之比稱為偏差對(duì)擾動(dòng)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，簡(jiǎn)稱擾動(dòng)偏差傳遞函數(shù)，用 表示，由有 )(sE0)(sR)(sD)(sDE)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsDsEsDE)()()()(1)()()()()(212sDsHsGsGsHsGsDssEDE79 3 閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù) 3) 3)給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下的總偏差給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下的總偏差 根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可求出

44、系統(tǒng)在給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下的總偏差為 不難發(fā)現(xiàn)，閉環(huán)傳遞函數(shù)都具有相同的分母，即這正是閉環(huán)控制系統(tǒng)的本質(zhì)特征。通常把這個(gè)分母多項(xiàng)式稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，而將稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。閉環(huán)特征方程的根稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征根或閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。)()()(1)()()()()()(1)()(21221sHsGsGsDsHsGsHsGsGsRsE)(1)()()(1321sGsGsGsGk80 n 2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 n 2.2 非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化 n 2.3 傳遞函數(shù)n 2.4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖n 2.5 自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n 2.6 2.6

45、 信號(hào)流圖信號(hào)流圖第第2 2章章 自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型81 2.6 2.6 信號(hào)流圖信號(hào)流圖1 1 術(shù)語介紹術(shù)語介紹 1) 節(jié)點(diǎn) 結(jié)構(gòu)圖中所有的引出點(diǎn)，比較點(diǎn)稱節(jié)點(diǎn)。 2)前向通路 從輸入到輸出，并與任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各傳遞函數(shù)的乘積，叫前向通路增益。 3)回路 起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，且與其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的閉合通路叫單獨(dú)回路，回路中所有傳遞函數(shù)的乘積叫回路增益。824)不接觸回路 相互間沒有公共節(jié)點(diǎn)的回路稱為不接觸回路。2 2 梅遜公式梅遜公式 任一結(jié)構(gòu)圖中，某個(gè)輸入對(duì)某個(gè)輸出的傳遞函數(shù)為nkkPP1 2.6 2.6 信號(hào)流圖信號(hào)流圖83式中：n 為前向通路的條數(shù) Pk為第k條前向通路增益 為系統(tǒng)特征式 =1-（所有單獨(dú)回路增益之和）+（所有每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路增益乘積之和）-（所有三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和）+fedcbaLLLLLL1k為第k條前向通路特征式的余子式，即將第k條前向通路去掉，對(duì)余下的圖再算一次。 2.6 2.6 信號(hào)流圖信號(hào)流圖84梅遜公式梅遜公式 例例R-CR-CR(s)C(s)L1= G1 H1L2= G3 H3L3= G1G2G3H3H1L4= G4G3L5 = G1G2G3