第六章-高階譜分析ppt課件

1、第六章 高階譜分析 6.1三階相關(guān)和雙譜的定義及其性質(zhì) 6.2累量和多譜的定義及其性質(zhì) 6.3累量和多譜估計(jì) 6.4基于高階譜的相位譜估計(jì) 6.5基于高階譜的模型參數(shù)估計(jì) 6.6利用高階譜確定模型的階 6.7多譜的應(yīng)用第六章 高階譜分析 6.0 引言 我們先回顧一下前面的所學(xué)的知識(shí)。 維納Filter，自適應(yīng)信號(hào)處理，現(xiàn)代譜估計(jì)等，都是用信號(hào) 模型分析法，代替了信號(hào)波形分析法。在這些理論中，以為：一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是由圖6-1所示信號(hào)模型產(chǎn)生： V(n)u(n)y(n)x(n)H(z)h(n)圖6-1 隨機(jī)信號(hào)的模型 其中：是均值為零，方差為的高斯正態(tài)白噪聲。 是線性時(shí)不變系統(tǒng)，具有最小相位。則

2、信號(hào)的譜與模型參數(shù)有如下關(guān)系： （6.1） 模型中，還假設(shè)：加性測(cè)量噪聲是高斯白噪聲，其均值為0，方差為1，且與信號(hào)統(tǒng)計(jì)無(wú)關(guān)，即不影響信號(hào)的譜形狀，即： （6.2） 22|)(|)(juxxeHS222| )(|)()(vjvxxyyeHSS)()()()(2mhnynuEmRuuy 從上面的式子，可以看出，功率譜及相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)是不含信號(hào)的相位信息的被稱為“盲相的。 而在實(shí)際中，往往非高斯，不是最小相位，甚至是非線性的，也往往不是白色的。 這就需要用高階譜來(lái)分析信號(hào)。 6.1 三階相關(guān)和雙譜的定義及性質(zhì) 一、定義 設(shè)為零均值，三階實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列，其三階相關(guān)函數(shù)為： （6.3） （2nd-o

3、rder)()()(),(2121mnxmnxnxEmmRxx)()()(mnxnxEmRxx 它的二維付里葉變換就是雙譜Bi-spectrum）。 bi-spectrum （6.4） 二、性質(zhì) 三階相關(guān)函數(shù)的對(duì)稱性symmetry Properties） （6.5）)(2121221121),(),(mmxxmmxemmRB | |,|21ix),(),(),(),(),(),(2122211121211221mmmRmmmRmmmRmmmRmmRmmRxxxxxx坐標(biāo)變換實(shí)質(zhì) 這可以通過(guò)定義式，直接證明。0002m1m12mm )(12mm 2m1m3210 1 2 31/8平面內(nèi)值！2m

4、21mm 1m01m02m21mm 意義：只要知道圖中由，兩直線在第一象限中所限定的無(wú)限三角形內(nèi)的，就可以得知整個(gè)平面內(nèi)所有的的值。 雙譜的對(duì)稱性，周期性和共軛性： 當(dāng)為實(shí)序列時(shí)，由定義和三階相關(guān)函數(shù)的對(duì)稱性很易證明！ 說(shuō)明意義：（共軛性：Conjugate Symmetric Properties）),(),(),()2,2(),(),(),(),(),(),(21*2121212112121212211221wwBwwBwwBwwBwwwBwwwBwwwBwwwBwwBwwBxxxxxxxxxx 雙譜的對(duì)稱性和周期性說(shuō)明，只要知道如圖中的陰影部分內(nèi)的，就可知道整個(gè)平面內(nèi)各點(diǎn)的值。 確定性序

5、列的雙譜 設(shè)為有限長(zhǎng)確定性序列，其雙譜為： （6.6） 其中：0-平面內(nèi)的值221161101022121)()(),(),(21*2121HHHBhnjnenhH)()( 可以這樣來(lái)證明： 的三階相關(guān)函數(shù)為 其雙譜為：)(nh)()()(),(2121mnhmnhnhmmRnh)()()()()()()()()()()()(),(),(21*212121)()(2)(1)(2)(212121222111221121221121HHHHHHenhemnhemnhemnhmnhnhemmkBnwjnmnjmmnjmmmjnmmmmjhmmh 雙譜中的相位信息 由 ，并設(shè)： 則有： （6.7） 例

6、：求一正弦波 和含直流分量的正弦波 的雙譜。)()()(),(21*2121HHHBh)(),(2121| )(|)(| ),(|),(21jjhheHHeBB| )( | )(|)(| | )(|212121HHH,Bh)()()(),(212111ttx01cos)(tAtx02cos)( 解： 的頻譜 是兩個(gè) 的函數(shù) 由雙譜定義式確定序列）： 的雙譜，只在 的公共交點(diǎn)上有非零值即三個(gè)因子全不為0時(shí)， ） 有三組線： ，)(1tx)(1X)()(21)(001X)()()(),(21*12111211XXXBx)(1tx0201及0),(21xB02101，020三組線沒(méi)有共同交點(diǎn)2W1W

7、0),(211xB0W021WW0 的頻譜 為 同理，只是這時(shí)每組直線變成三根： )(2tx)(2X)()(21)()(002 AX000，02W0W0W1W0W0W)()()(),(21*22212212XXXBxotherwise 000 4)0 , 0(),( 00000021213),-),(,),(-,),(,(), (AA 從上例可見(jiàn)，雙譜可以顯示一個(gè)系統(tǒng)的對(duì)稱性，即輸出中有無(wú)直流分量。實(shí)際上，一雙譜還可以顯示系統(tǒng)是否顯現(xiàn)非線性，輸出將含有高次諧波，如 等。 假設(shè) 除了含有 外還有 ，則每組直線將含四根，他們有六個(gè)公共交點(diǎn)。 利用這個(gè)特點(diǎn)，即可監(jiān)測(cè)機(jī)械系統(tǒng)是否發(fā)生損壞而產(chǎn)生高次諧波

8、振動(dòng)。t02cos)(X)(0)2(020021ttx02cos)( 6.2 累量和多譜的定義及其性質(zhì) 前面討論了三階相關(guān)及其付里葉變換雙譜。它不是將K階相關(guān)or K階矩定義為K階譜，而是將與高階矩相關(guān)的參數(shù)累量作為高階譜的付氏變換對(duì)。只是特別的，三階累量正好與三階相關(guān)等同。 6.2.1 隨機(jī)變量的累量probability density function） 設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為 ，那么 的特征函數(shù)為： （6.8） Taylor Series泰勒展開(kāi)：)(xfxxexfjvxEvjvxd)()exp()(!)()(!)0( !)0(!)0()0()(1)(1)(1)(1kjvCjvk

9、jvkvkvkkkkkkkkkkkkk 這里： ， 為 的 階累量 例：考察具有特殊地位的高階隨機(jī)變量 的累量 解： 的概率密度函數(shù) 為 其特征函數(shù) ： 結(jié)果表明，高斯隨機(jī)變量的二階以上的累量為零。這是因?yàn)槎A以上的矩不提供新的信息。 0)()(ln1)0(vkkkkkkvdvdjjCkCxk),(2mxx)(xf22)(2121)(mxexf)(v)3(0,! 2)()(21)(ln)()d21)()(2212222)(21212222kCCmCjvjvmvjmvvvxeevevkjvxmxvjmv 二、累量與矩的關(guān)系 先將按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi) 代入 寫(xiě)成： （6.10a） !1kjvxjvxek

10、jvx)(vkkkkkjvxmkjvmjvjvmxEkjvxEjvxjvExkjvxjvxxfeEv!)(! 2)(1 !)()(! 2)(1 d !1)()(22122 又由累量定義式， 還可寫(xiě)成： （6.10b） 比較這兩個(gè)式子： 項(xiàng)次： kkkxkkkkxkkjvkCnjvjvkCjvkCvv)(!1)(! 21)(!1 )(!exp)(exp)(12111)(vxjv)(11xEmC)(212122mxEmmC)(2331312133mxEmmmmC)(612434141221312244mxEmmmmmmmC 可見(jiàn)：二、三階累量分別就是二、三階中心矩。當(dāng)均值為零時(shí)，就是二、三階相關(guān)。

11、但四階及其更高階累量相應(yīng)的中心矩。 累量的物理意義： 一階累量是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，大致地描述概率分布的中心。 二階累量是方差，描述了概率分布的離散程度。 三階累量是三階中心矩，描述了概率分布的非對(duì)稱性。 定義： （無(wú)量綱） 為偏態(tài)系數(shù)，或偏態(tài)歪斜度）。 顯然，正態(tài)隨機(jī)變量 的偏態(tài) （ ） 33CSx)0(133mxECg0gS03C 設(shè) ，對(duì)四階累量的分析正態(tài)隨機(jī)變量） 而正態(tài)隨機(jī)變量的四階矩為： 闡明：累量是任意隨機(jī)變量的矩與正態(tài)隨機(jī)變量的同階矩的差。 用均方差的四次方 除四階累量，記為 Kurtosis峰度 為峰態(tài)，顯然正態(tài)分布 =0 01m22443mmC42233m4x344mxxx

12、正態(tài)分布比正態(tài)分布尖銳的直線 比正態(tài)分布平坦的曲線x0f(x)GmmCGmmGGmmmxECkkk44433313)(（正峰）0 x0 x負(fù)值）(0 x 6.2.2 隨機(jī)過(guò)程的累量 考慮隨機(jī)序列 的 階累量。設(shè)矢量 ， 是隨機(jī)矢量；矢量 ， 是 的特征函數(shù)的自變量。 的 階累量 定義為累量生成函數(shù) 的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中 的系數(shù)。其中累量生成函數(shù)為 即 （6.11） 隨機(jī)過(guò)程的累量與前面討論的隨機(jī)變量的累量類似，只是用矢量代替了標(biāo)量，所以它們所用的運(yùn)算方法和所得到的結(jié)論都是類似的。 , 21kxxxkTkxxxX21ixTkvvvV21ivixXkkxxxC,21 Vkvvv,21XjVEVTex

13、pln02121,2121,knvvvkkkkxxxvvvvvvjC 6.2.3 多普的定義 設(shè) 為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其 階累量 是絕對(duì)可和的，那么 的 階譜 定義為 階累量的 重傅里葉變換，即 通常把 的 稱為高階譜或多譜，特別地，將三階譜 稱為雙譜，四階譜 稱為三譜。 6.2.4 累量和多譜的性質(zhì) 1、累量具有對(duì)稱性 nxk121,kxkC nxk121,kxkSk1kiikikxkkxkjCS11121,121,exp,213kxkS,21, 3xS321, 4,xS 2、相互獨(dú)立的兩隨機(jī)序列的組合序列的累量等于零 3、隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)后的累量等于隨機(jī)信號(hào)的累量系統(tǒng)沖激響應(yīng)的累量的卷積

14、4、信號(hào)的高階累量能夠決定模型的沖激響應(yīng) 6.3 累量和多譜估計(jì) 在信號(hào)模型中，信號(hào) 的累量可根據(jù)式6.17b由信號(hào)模型的沖激響應(yīng) 來(lái)計(jì)算。但在許多實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)的累量只能夠由測(cè)量到的有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)序列 來(lái)估計(jì)。結(jié)合第四章中自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式4.5），也可以用時(shí)間平均代替統(tǒng)計(jì)平均，來(lái)求得累量 的估計(jì) 稱為取樣累量。例如均值為零的信號(hào)的三階取樣累量 nx nhNxxx,21xkC,xkC, 為 （6.30） 式中， 是在區(qū)間R內(nèi)的取樣數(shù)。四階取樣累量要復(fù)雜一些，根據(jù)式6.12可知，四階累量與四階相關(guān)和二階相關(guān)有關(guān)，因此，四階取樣累量定義為 （6.31） 2121,31,nxnxnxNCRnRxRN

15、 321, 41nxnxnxnxNCRnRx 13, 22, 232, 21, 2xxxxCCCC 21, 23, 2xxCC 式中，二階累量的估計(jì) 就是第四章中式4.5所表示的自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)取樣自相關(guān)。 累量估計(jì)的計(jì)算量比自相關(guān)估計(jì)大得多，而且估計(jì)方差也大得多。通常應(yīng)用分段、加窗等平均、平滑技術(shù)來(lái)減少估計(jì)的方差。 6.4 基于高階譜的相位譜估計(jì) 自相關(guān)函數(shù)丟失了信號(hào)的相位信息，而由累量可以得到信號(hào)的相位譜。在圖6.1所示的信號(hào)模型中，把隨機(jī)信號(hào) 看成是由白噪聲 激勵(lì)線性系統(tǒng) 產(chǎn)生的。設(shè)非最小相位系統(tǒng)表示為 ，其中 是相位譜。xC, 2 nx nu zH jeHH 在實(shí)際應(yīng)用中，使用與三階累

16、量對(duì)應(yīng)的雙譜 和四階累量對(duì)應(yīng)的三譜 就夠了。根據(jù)式6.18b）,它們與系統(tǒng)頻率特性 有如下關(guān)系： （6.32） （6.33） 根據(jù)式6.32或式6.33），可由估計(jì)得到的 或 推算出系統(tǒng) 的相位譜 。一般有迭代算法和矩陣偽逆3, 3, 3jxxeSS4, 4, 4jxxeSSjeH21212132121,321,3,HHHSux 3213213214321321, 4321, 4,HHHHSux34 zH 算法兩種估計(jì)相位譜的方法，下面介紹矩陣偽逆算法。 （1由 推算 在實(shí)際應(yīng)用中，都是用離散值進(jìn)行計(jì)算。式6.32的離散形式為 （6.34） 式中的 對(duì)應(yīng)于 。這里， 是 和 的取樣間隔，即假設(shè)

17、它們的取樣間隔相等，表示為 。當(dāng) 或 等于N時(shí)，對(duì)應(yīng)的 或 等于 。取初值 。因此， 和 離散化后分別用整數(shù) 和 表示 。在圖6.2b的陰影區(qū)域所表示的雙譜的主值區(qū)域3 2121213,kkkkkk2 , 1ikiik12211k2k12 00 121k2k 中， 的取值為 ； 的取值為 。 由式6.34可以得到方程組 2k2, 2 , 12Nk1k2221, 1,kNkkk 2121 , 13 3212 , 13L L NNN111, 13 5323 , 23 4222 , 23L LNNNN222,23 將以上方程組寫(xiě)成矩陣形式 式中 A3 TNNN2,23 , 22 , 21, 12 ,

18、 11 , 133333 TN2110002000000000000101100000000102011000000001000000011010000000011100000000012A 可以證明， 的秩等于N-1，可以消去 中與 有關(guān)的最后一行，便得到一組滿秩方程 式中， 矩陣 的維數(shù)決定于N是奇數(shù)還是偶數(shù)。當(dāng)N是奇數(shù)時(shí)，維數(shù)為 ；當(dāng)N是偶數(shù)時(shí)，維數(shù)為 最后，通過(guò)偽逆求解，得到 AA NA TN121A12/2 NN14/11NNN1TTAAA (2)由 推算 式6.33的離散形式為 定義 取 , 初值 ， 4 3213213214,kkkkkkkkk lknknsnink,31400

19、nnnkknnk6216110Nn, 3 , 2 00 有 寫(xiě)成矩陣形式 式中， 2122s 361422133s 621112216NNs NNNNNLSB TN121 TNssss32L L 且 矩陣 是 的正定矩陣，對(duì)其直接求逆便得到相位譜 2321006142300012NNNNBB 11NNSB1 6.5 基于高階譜的模型參數(shù)設(shè)計(jì) 6.0 引言 根據(jù)已知的有限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列來(lái)估計(jì)圖6.1所示的隨機(jī)信號(hào)模型的參數(shù)，稱為模型參數(shù)估計(jì)。模型可以是AR模型、MA模型和ARMA模型，估計(jì)它們的參數(shù)時(shí)，要依據(jù)一定的準(zhǔn)則，例如通常比較多地采用最小均方差準(zhǔn)則。第四章討論基于自相關(guān)函數(shù)的模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題

20、。在那里，估計(jì)得到的模型參數(shù)僅與信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)或功率譜包絡(luò)相匹配，只適合于高斯隨機(jī)信號(hào)因?yàn)楦咚惯^(guò)程僅用二階統(tǒng)計(jì)量就能夠完全加以描述）。基于自相關(guān)函數(shù)的模型參數(shù)估計(jì)存在以下幾個(gè)問(wèn)題。 （1若要估計(jì)非高斯信號(hào)的模型參數(shù)，那么僅僅考慮與自相關(guān)函數(shù)相匹配，就不可能充分獲得隱含在數(shù)據(jù)中的信息。 （2若信號(hào)不僅是非高斯的而且還是非最小相位的，那么采用基于自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)方法所得的模型參數(shù)，由于它只能是最小相位的，所以反映不出原信號(hào)的非最小相位的特點(diǎn)。 （3當(dāng)測(cè)量噪聲較大，尤其當(dāng)測(cè)量噪聲是有色噪聲時(shí)，基于自相關(guān)函數(shù)方法所得的模型參數(shù)有較大的估計(jì)誤差。 基于高斯譜的模型參數(shù)估計(jì)方法能夠有效地解決上述三個(gè)問(wèn)題

21、。 考慮圖6.1所示的信號(hào)模型，現(xiàn)在假設(shè)，圖中的 是平穩(wěn)非高斯白噪聲序列， ； 是高斯有色噪聲； 是有理傳輸函數(shù)， 其差分方程如式(6.24)所示。 nu 0nuE121,121,kukkukC nv zH 將式6.25）、式6.26和式6.28合寫(xiě)成一個(gè)公式如下： 該式在形式上類似于式4.8）。考慮到 ， 是因果的，即當(dāng) 時(shí)上式右端等于零，便可從上式得到所謂高階Yule-Walker，方程如下： ， ， （6.35） 下面分別討論基于高斯譜的AR、MA和ARMA模型參數(shù)及階數(shù)的估計(jì)。對(duì)各種算法的復(fù)雜程度、抗噪能力及它性質(zhì)則不作深入討論。 njhjhbniCakjqjukxkipi20,00

22、, 0 ,xkykCC, nhq 00 , 0 ,0nhniCaukxkipi0q 6.5.1 AR模型參數(shù)估計(jì) 令A(yù)RMA模型的差分方程式6.24中的 ，就得到模型。這種情況下，高階Yule-Walker方程式6.35成為 式中， 是一個(gè)取任意值的參量， 是信號(hào) 階 累量的一維“切面”，即在 中，僅有 是自變 量，其它參數(shù)均 為固定值。上式中取 個(gè)線性方程聯(lián)立，令 ，則上式可表示成 其中 0q00 , 0 ,0,0,0khkiCaukxkipi000k0 , 0 ,0,kiCxkk121,kxkC112,k)0(1MMpMp1, 2 , 1 00AkCTpaaA11 和 矩陣 具有Toepl

23、itz性質(zhì)，參數(shù) 的選擇應(yīng)保證 的秩為 ，從而可解出 個(gè)變量 。但這個(gè)問(wèn)題的求解尚無(wú)一般性結(jié)論。通常為“平安起見(jiàn)，取 個(gè)一維切面，即取 ；取 ；將對(duì)應(yīng)的線性方程聯(lián)立求解，得到 。 在常用的三階和四階累量Yule-Walker方程中，系數(shù)分別為 和0 , 0 ,10 , 0 , 010 , 0 ,20 , 0 , 120 , 0 , 020 , 0 ,10 , 0 , 110 , 0 , 010,0,0,0,0,0,0,0,0kpMpCkMpCkpCkCkCkpCkCkCkCxkxkxkxkxkxkxkxk 0kC0k 0kCpppaaa,211p)0(, 2 , 1MMp0 , 0 ,0qkp

24、kak, 2 , 10, 3,kCx0 ,0, 4kCx 由于基于累量來(lái)估計(jì)AR模型參數(shù)的方法，也歸納為求解Yule-Walker方程，因此，這種方法與基于自相關(guān)函數(shù)估計(jì)AR模型參數(shù)的方法具有類似的估計(jì)性質(zhì)，同時(shí)也同樣存在著估計(jì)的穩(wěn)定性問(wèn)題。 與4.6節(jié)中討論的AR譜估計(jì)性質(zhì)相類似，AR過(guò)程的多譜估計(jì)與已知的多譜相匹配程度，也可以用線性預(yù)測(cè)誤差的多譜來(lái)度量，同樣也可以用多譜的平坦度來(lái)衡量。若用前 個(gè) 值作線性預(yù)測(cè)見(jiàn)式4.42即 則預(yù)測(cè)誤差為 p nx knxanxkpk1 1,00aknxanxnxnekpk 根據(jù)式6.18b可寫(xiě)出預(yù)測(cè)誤差 的多譜為 若線性預(yù)測(cè)系數(shù) ，使得 上式中 為一常量，

25、則有 （6.36） 即確實(shí)是由的非正態(tài)白噪聲激勵(lì)一個(gè)參數(shù)為的AR過(guò)程所 ne 121,1121121,kxkikikekSAAASkaukkekS,121,uk, ikikukxkAAAAS11121, 產(chǎn)生的。因此，預(yù)測(cè)誤差的多譜的平坦程度可以作為AR過(guò)程與實(shí)際多譜接近程度的度量。 另一方面，用多譜來(lái)估計(jì)AR模型參數(shù)，也存在著穩(wěn)定性問(wèn)題。在用功率譜估計(jì)AR模型參數(shù)時(shí)，為解決穩(wěn)定性問(wèn)題，只要把不穩(wěn)定的極點(diǎn)替換成其倒數(shù)極點(diǎn)它們關(guān)于園是對(duì)稱的就行了，因而用多譜來(lái)估計(jì)AR模型參數(shù)時(shí)，卻不能作這種替換即將 換成 ），因?yàn)橐噪p譜為例， 而， 可以看出 與 并不相等。對(duì)其它高階譜也是一樣。因此，用多譜估計(jì)

26、AR模型參數(shù)時(shí)，必須用合適的方法把非穩(wěn)定極點(diǎn)變換成非因果AR過(guò)程。實(shí)際上，非因果AR模型在一些特殊情況下，例如，在天文信號(hào)、空間信號(hào)、地質(zhì)信號(hào)以及被污染了的圖像信號(hào)的處理中大量得到應(yīng)用。 1, 2111, 2zSzAzAzSxxz1z 12111211121, 3,zzAzAzAzzSx2111211111211, 3,zzAzAzAzzSx21, 3,zzSx1211, 3,zzSx 非因果AR模型估計(jì)方法通常有三種：全搜索法，優(yōu)化計(jì)算法和轉(zhuǎn)換為MA模型法。 6.5.2 MA模型參數(shù)估計(jì) 對(duì)于由第四章中的式4.11所表示的MA模型，已有不少用累量方法估計(jì)模型參數(shù) 的方法。這些方法大致可分為三

27、類：閉合解方法，線性代數(shù)方法和非線性優(yōu)化方法。式6.22或式6.23就是閉合解方法的公式。這種方法抗噪音能力差，而且沒(méi)有提供任何關(guān)于估計(jì)誤差和修正方差的信息，因此難以實(shí)際使用。但它有理論分析價(jià)值。比較而言，線性代數(shù)方法最為實(shí)用。優(yōu)化方法涉及非線性問(wèn)題。因而實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較困難。但近年來(lái)，有人提出用類人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的并行結(jié)構(gòu)解非線性規(guī)劃問(wèn)題，從而可以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化方法。下面討論后兩類算法。ib 線性代數(shù)法 為了得到基于累量的關(guān)于變量 的線性方程，需要利用信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)量與高階統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系。先考察累量 的一維切面 ： 式中，m為參量，取任一數(shù)值。例如，當(dāng) 時(shí)， 是 的一維對(duì)角切面 。 的傅里葉變換記為 ，

28、其Z變換記為，即 根據(jù)累量計(jì)算公式6.17b以及Z變換的性質(zhì)，上兩式可分別表示成 ib121,kxkCmCxk,mCmCxkxk,0m0,xkCxkC,121kmCxk, xkS, zmCzSxkxk, mnhnhnhmCknukxk20, 上式代入式6.38），得到 （6.39） 式6.39給出了高階譜與二階譜之間的關(guān)系，它對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為 （6.40） 根據(jù)累量的對(duì)稱性，可以只取其主區(qū)域參見(jiàn)圖6.2b的 陰影區(qū)域），即取 。若取 ，則式(6.40) 的右端僅有一項(xiàng)是非零值，于是得到線性方程組 zSzHzzHzSzHxzmzkuxkuk,2,11 mlhlhlRlhmlCzkxxixkiu

29、kzu0,0,qq2qm qqbRbqlCqxxixkqiukzu2,0, 和 （6.38） 式6.38中， 是 的Z變換，實(shí)際上 符號(hào)*表示復(fù)卷積。 再考慮二階譜 即功率譜 ，由式4.9得知： 或?qū)懗?zHzzHzHzSmzkukxk1, zHk 2 nhk 2 zHkkZHzHzHzH個(gè)22 zSxz, zSxx 1,zHzHzSzSzuxxxz zSzHzHxzzx,11 常用的三階和四階累量線性方程組分別為 利用最小二乘法即可由上兩式的任一式子解出式中的q+1 個(gè)變量值 和 。當(dāng)存在測(cè)量噪聲時(shí)， 在此情況下，假設(shè)，則可不需要知道。 2、非線性優(yōu)化算法 優(yōu)化算法有全搜索法和非線性最小二乘

30、法兩種方案。全 搜索法與前面介紹的AR模型的全搜索法相同，只是需要 qCbRbqllCxzuuqxxlxqi, 3, 3, 31 qCbRbqllCxzuuqxxlxqi, 4, 4, 41qlbl, 2 , 12,3uuqb 將代之以?，F(xiàn)在討論非線性二乘法。 以三階累量為例，首先由N個(gè)已知數(shù)據(jù) 來(lái)估計(jì)三階累量，得到 利用累量的對(duì)稱性質(zhì)，只需要計(jì)算圖6.2b的陰影區(qū)域即主區(qū)域中的累量，即上式中的 和 只取以下點(diǎn)上的值： 然后，調(diào)整q+1個(gè)參數(shù) 和 使下式所示的代價(jià)函數(shù) 最小： （6.41） Nxxx,2,1 21121, 31,nxnxnxNCNnx12 qqq,0 ,;2 , 2,1 , 2

31、;0 , 2;1 , 1;0 , 1;0 , 0,21qlbl, 2 , 1u , 3J221, 300,212121xlllqiqCbbbJ 調(diào)整參數(shù)可以采用迭代算法，如最陡下降法、牛頓法或Marqnardt-hevenberg等。例如，用最陡下降法 式中， 是增益常量，由式6.40得到 這是一個(gè)非線性最小二乘方問(wèn)題，Mendel等人提出用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題的求解。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將在本書(shū)第八章中討論。 qlnbnbnbJlll, 2 , 1,121, 300,2121xlllqiqlCbbbbJqlbbbbbbmmlmlmmllll, 2 , 1,12221121 6.5.3 ARMA

32、模型參數(shù)估計(jì) 人們已提出不少基于累量的ARMA模型參數(shù)估計(jì)方法。下面介紹其中的三類方法：剩余時(shí)間序列法、非線性優(yōu)化法和相位恢復(fù)法。 1、剩余時(shí)間序列法 實(shí)際上這就是第四章4.10.2節(jié)中的方法。這種方法分成三步來(lái)完成。 第一步：估計(jì)ARMA模型中的AR系數(shù) ，可采用最小二乘方或AR模型參數(shù)估計(jì)等真法來(lái)求解超定線性方程組式6.35），其中取 第二步：求剩余時(shí)間序列 ，其中 是由ARMA模型差分方程決定的信號(hào)，iaqpqpqkMMpqqq, 1,;0, 2, 10 nxnxnx nx 即 是對(duì) 的估計(jì)： 式中， 是 的估計(jì)值。現(xiàn)在假設(shè) ，則有 就是說(shuō)，剩余時(shí)間序列 是一個(gè)MA 模型； 第三步：用前

33、面介紹的任何一種MA模型參數(shù)估計(jì)方法估計(jì) 。 lnubinxanxqllpii01 nx nx inxanxpii1ia iaiiaa lnubnxqll0 nx qlb 2、非線性優(yōu)化法 該方法與MA模型參數(shù)估計(jì)的非線性二乘法相同，也分兩步進(jìn)行。 第一步：根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù) 估計(jì)自相關(guān)函數(shù) (式(4.5)和累量 (式(6.30)或式(6.31)。 第二步：設(shè)矢量 求最佳估計(jì) ，使下式表示的代價(jià)函數(shù) 最小 式中， 為一常數(shù)。 nx xxRxkC,ukvuqpbbbaaa,222121J 112121,11,2|,2|21kkxkkxkxxxxCCRRJ 3、相位恢復(fù)法 首先，基于二階統(tǒng)計(jì)量即功率譜估

34、計(jì)出一個(gè)最小相位的參數(shù)模型，然后，用各種技術(shù)恢復(fù)相位信息。下面介紹三種恢復(fù)相位的技術(shù)。 第一，全搜索法。這種方法前面已經(jīng)討論過(guò)。其具體步驟是：首先，基于二階統(tǒng)計(jì)量估計(jì)出最小相位模型 ；然后，將若干零點(diǎn)映射到單位圓外，極點(diǎn)不動(dòng)，使代價(jià)函數(shù)(式(6.37)最小，從而得到非最小相位系統(tǒng) 。值得注意的是，這種方法丟失了系統(tǒng) 中的全通因子，稱為盲全通因子的方法。這是因?yàn)榈谝徊教幚碇胁捎玫氖窍嚓P(guān)函數(shù)的信息即二階統(tǒng)計(jì)量）。設(shè)某一系統(tǒng)的 為 zHMP zH zH zH 111azazzHzH 式中， 是全通因子，它對(duì)幅度特性沒(méi)有任何貢獻(xiàn)， 但卻提供了部分相位信息。只要采用了相關(guān)處理，全通因子就會(huì)被丟掉。 第二

35、，相位估計(jì)法。首先基于二階統(tǒng)計(jì)量估計(jì)出 的模 ，即由 得出 。然后基 于高階譜估計(jì) 的相位譜 。 第三，系統(tǒng)級(jí)聯(lián)法。將最小相位系統(tǒng) 分解成一個(gè)最小相位系統(tǒng) 與一個(gè)全通系統(tǒng) 的級(jí)聯(lián)。 基于二階統(tǒng)計(jì)量來(lái)進(jìn)行估計(jì)， 然后用作相位校正。 與 的功率譜相同。11azaz zH zH 22zHzSuxx 2121zSzHxxu zH zH zHMP zHAP zHAP zHAP zHzHzHAPMP zHMP 6.6 利用高階譜確定模型的階 由于累量含有相位信息，且具有抗有色高斯噪聲的能力，所以基于高階譜來(lái)確定模型的階，比基于功率譜要可信。但信息論中的一些準(zhǔn)則，如AIC等是以二階統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，而且應(yīng)用了高斯

36、過(guò)程的似然函數(shù)，所以這些準(zhǔn)則對(duì)于有色高斯測(cè)量噪聲的干擾便不適用。下面討論基于高階譜來(lái)確定 模型的階的方法。至于 模型和 模型的階的確定問(wèn)題，只不過(guò)是 模型的特例。 高階Yule-Walker方程式6.32)描述了ARMA模型。為了書(shū)寫(xiě)方便，以三階累量為例，并注意到 ，變量 ，將方程寫(xiě)成以下矩陣qpARMA, qMA pARqpARMA,10apqqq, 21， 方式： 記為 （6.42） 假設(shè) 矩陣 的秩為 ，則式6.42可唯一確定AR系數(shù) 。因此，選擇適當(dāng)?shù)?，可使得 為滿秩。但是，可以找到某些ARMA模型，對(duì)所有的 都不是滿秩的。因此，取累量的 個(gè)切面： 得出個(gè)聯(lián)立方程:0, 30, 30

37、, 310, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 3, 2, 11, 1, 1, 1,3,2,2,1kpqCkqCkqCaaakpqCkqCkppqCkqCkpqCkpqCkppqCkpqCkpqCxxxppxxxxxxxxx 0, 30, 3kCakCxxpp 0, 3kCxpia0k 0, 3kCx 0, 30,kCkx1pqpqpqk, 1,0 為： 上式左端的 的矩陣記為 。可以證明，矩陣 有滿秩 。將 更加一般化地表示為 ， qpqCpqpqCqqCpqqCqqCpqqCpqqCaaaaqpqCqqCpqpqCpqqCqqCqpqCpqqCpqpqCqqC

38、qpqCpqqCpqpqCpqqCpqpqCxxxxxxxppxxxxxxxxxxxxxx, 2, 2, 11, 1, 1, 1, 1, 1,2, 1,2,11,1,1,1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3121, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3ppp1eCeCpeCeM 上述結(jié)論仍然成立，這里 （6.43） 即是說(shuō)， 的秩為 ，或者說(shuō)， 的非零奇異值有 個(gè)關(guān)于奇異值分解，見(jiàn)附錄6.3）。 根據(jù)上述原理，ARMA 模型的階 的確定，可按以下步驟進(jìn)行。 第一步：由先驗(yàn)知識(shí)給出 和 的上限和。例如， , 22, 1, 22, 1, 1, 1,221,221,121,121,221,21,121,11,NMMCNMMCNMMCNMMCNMMCNMCNMMCNMCMxkxkxkxkxkxkxkxkeqNpqNpMpqM21211qp,ppqeMpeMp 在語(yǔ)音分析中，可以證明，聲道的AR模型的階 的上限 ； 第二步：寫(xiě)出矩陣 ，取 。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù) 估計(jì)累量 ； 第三步：對(duì) 作奇異值分解，非零奇異值的個(gè)數(shù)即為階數(shù) 。實(shí)際上，由于用估計(jì)值 代替真值 ，所以所有的奇異值 從大