上海昂立智立方數(shù)學(xué)高中高一(秋季班)高一新課-11-不等式章節(jié)小結(jié)-學(xué)生版-蔣奎

1、、國立立B專業(yè)引領(lǐng)共成長教師日期學(xué)生課程編號(hào)課型復(fù)習(xí)課課題不等式章節(jié)小結(jié)教學(xué)目標(biāo)1、不等式的性質(zhì)2、不等式的證明3、不等式的解法4、不等式的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)1、注重不等式的解法，解不等式的核心問題是不等式的向解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的 理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善丁把它們有機(jī)地聯(lián)系起 來，互相轉(zhuǎn)化.2、不等式的應(yīng)用，不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性.這類問題大致可以分為兩類：一類是建立 不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值.教學(xué)安排版塊時(shí)長1例題解析802鞏固訓(xùn)練303師生總結(jié)104課后練習(xí)30比較法 綜合法 分析法 放縮法 反證法

2、換元法 函數(shù)法元一次不等式（組） 元二次不等式（組）有理不等式基本不等式不等式的證明不等式的性質(zhì)不等式的解法無理不等式超等式整式高次不等式（組）分式高次不等式（組）指數(shù)不等式（組）*對數(shù)不等式（組） 三角不等式（組）線性規(guī)劃不等式的應(yīng)用函數(shù)的定義域、 值域與單調(diào)性、 取值范圍問題、 最值問題、方程 根的分布、數(shù)列 不等式、函數(shù)不 等式的證明、實(shí) 際應(yīng)用問題例題解析一、不等式的性質(zhì)（一）、知識(shí)精講1 .不等式的性質(zhì)（1）對稱T1E： ab? （2）傳遞性：ab, bc?(3)加法性質(zhì)：ab? ;推論：ab, cd? ;(4)乘法性質(zhì)：ab, c0? ;推論：ab0 , cd0? (5)乘方性質(zhì)：

3、 ab0? ;(6)開方性質(zhì)：ab0? ;(7)倒數(shù)性質(zhì)：ab, ab0? .2 .兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較(1)作差法：設(shè)a, bCR,則ab? a-b0, ab? ab0, b0,貝U ab? , ab? g1.(3)函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性作出判斷.(4)特殊值法：若是選擇題可以用特殊值法比較大小，若是填空題或解答題，也可以用特殊值法 探路.3 .不等式的一些常用性質(zhì) a0b? 1b, ab0? -b0,0 cd.0axb 或 axbb0, m0,則 b0) b。； b0)-(二)典型例題1【例1(教材改編)右0ab? a” ? acbd?a2其中錯(cuò)誤之處的個(gè)數(shù)是 ()cd? bcb

4、dd cA. 0B. 1C. 2D. 3a b -【例 4】右 a0b-a, cdbc;十1b d;a(dc)b(d c)中成立的個(gè)數(shù)是()A. 1B. 2C. 3D. 4例5已知一1x+y4且2xya+ 12a+ b aD.a+2bb1.若ab0,則下列不等式中一定成立的是.1.1A . a+ hb + o baC. a-1b-1 ba0 智的專業(yè)引領(lǐng)共成長口上2 . 設(shè) abc0, x = a2+ b+ c 2, y=心2+ c+ a 2, z= c2+ a+ b 2,則 x, y, z 的大小關(guān)系是3 .已知a, b, cC R,那么下列命題中正確的是 ()A.若 ab,貝U ac2bc

5、2B.若ab,貝U abc cC.若 a3b3且 ab1D.若 a2b2且 ab0,貝嗎0, bc-ad0,貝Ucd0；若 ab0, f-d0,貝U bcad0；a ba b若 bc- ad0, c-d0,則 ab0. a b其中正確的命題是 .5 .比較aabb與abba(a, b為不相等的正數(shù))的大小.x yx+ a y+ b6 .(1)設(shè) xy-, xy,求證: a b7 .某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往.甲車隊(duì)說：“如果領(lǐng)隊(duì)買一張全票，其余人可享受7.5折優(yōu)惠. ”乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的 8折優(yōu)惠. ”這兩個(gè)車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)比較兩車隊(duì)的

6、收費(fèi)哪家更優(yōu)惠.高一數(shù)學(xué)新課不等式章節(jié)小結(jié)7 / 22專業(yè)引領(lǐng)共成長二、不等式的證明（一）、知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)1利用比較法證明不等式1 .定義：對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù) a,b,有ab a b 0;a b a b 0; a ba b 0。因此要證明a b,只要證明a b 0；同樣，要證明 a b,只要證明a b 0,這種證明不等式的方法叫做比較法。2 .比較法證明不等式又分為以下兩種方法：（1）做差比較（2）作商比較3 .用比較法證明不等式的步驟：先對要證明的不等式的兩邊做差（或商），然后通過因式分解或配方法對差（或商）進(jìn)行變形，從而確定差是正還是負(fù)，從而證明不等式成立。 知識(shí)點(diǎn)2用分析法證明不等式從要求

7、證的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，分析出使這個(gè)結(jié)論成立的條件，把證明結(jié)論轉(zhuǎn)化為判 定這些條件是否成立的問題。如果能夠判定這些條件都成立，那么就可以判定原結(jié)論成立，這種證 明方法叫分析法，一般來說，分析法的證明過程就是尋找欲證不等式成立的充分條件的過程，所以 要特別注意表述的邏輯性。 知識(shí)點(diǎn)3用綜合法證明不等式把某些證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式，這種方法通 常叫做綜合法。用綜合法證明不等式，就是用因果關(guān)系書寫“從已知出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證不等式得證”的全過程，其特點(diǎn)可描述為“由因?qū)Ч?，即從“已知”看“可知”，逐步推向?/p>

8、未知”。綜合法屬于邏輯方法的范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在步步注明推理依 據(jù)?！咀⒁狻坷霉椒?、綜合法證明不等式時(shí)，其一要牢記公式，并熟悉它們的變形；其二使用 時(shí)要注意公式成立的條件。 知識(shí)點(diǎn)4用反證法、放縮法、變量代換法、構(gòu)造法證明不等式（拓展內(nèi)容）1 .放縮法高一數(shù)學(xué)新課不等式章節(jié)小結(jié)9 / 22m A心 71r立方Ll_,若證是 “ A B”，我們先證明“ A C”，然后在證明“ C B”，則“ A B ”。2 .反證法反證法是通過否定結(jié)論導(dǎo)致矛盾，從而肯定原結(jié)論的一種方法。3 .變量代換法變量代換是數(shù)學(xué)中的一種常用的解題方法，對于一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變化較多而關(guān)系不太清楚 的不等式，可適當(dāng)?shù)囊M(jìn)

9、一些新的的變量進(jìn)行代換，以簡化其結(jié)構(gòu)，其代換技巧有局部代換、整體 代換、三角代換、增量代換等。4 .構(gòu)造法不等式證明中的構(gòu)造方法，主要是指通過引進(jìn)合適的恒等式、數(shù)列、函數(shù)、圖形及變量等輔助 手段，促使命題轉(zhuǎn)化，從而使不等式得證，此法技巧要求較高，高考題中很少見。（二）典型例題【例7】求證、3 ,7 2, 5111例8已知a、B c為互不相等的正數(shù)，且 a b c 1,求證：- - 9. a b c【例9】已知a 0,b 0 ,且a b 1 ,求證：J2a 1 J2b 1 2& .【例10】求證：(1)(2)a b 0,求證：aabb abba.【例11】已知a 0,b(2)求證：0,求證:b3

10、b2a2b2專業(yè)引領(lǐng)共成長昔立方hj.劃上工 r數(shù)學(xué)新課不等式章節(jié)小結(jié)11 / 22.n.同I1【例12（同濟(jì)）求證：對于任何頭數(shù) a, b ,二個(gè)數(shù)| a b|,|a b|,|1 a|中至少有一個(gè)不小于 一。2【例13】設(shè)a、R,求證:b ,并指出等號(hào)成立的條件【鞏固訓(xùn)練】1 .已知0 a2,b 2, 0求證:a 2 b ,b 2 c,c2 a不可能都大于1.2 .實(shí)數(shù)x, y,z滿足xyyz zx1,求證:_ 2- 25y 8z 4.百立普立方專業(yè)引領(lǐng)共成長CJ口-,11253.設(shè)x,y是正數(shù)，且x y 1,求證：(x )(y ) x y 44.已知xi0,i 1,2,L ,n ,用綜合法

11、證明:22xix2X2x322x1% x x L xxix2xn .xnX三、不等式的解法(一)、知識(shí)精講1 . 一元二次不等式的解法(1)對不等式變形，使不等號(hào)一端二次項(xiàng)系數(shù)大于0,另一端為0,即化為ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0)的形式；(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式；(3)當(dāng)A0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；(4)根據(jù)對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集.2 .分式不等式的解法解分式不等式的關(guān)鍵是先將給定不等式移項(xiàng)，通分，整理成一邊為商式，另一邊為0的形式，再通過等價(jià)轉(zhuǎn)化化成整式不等式(組)的形式進(jìn)行求解.即：(1) f4- 0( 0(o(,(2) 0( 7|x+1網(wǎng)不等式a

12、x2+bx 20有相同的解集，則（）b=- 10 B. a=- 1, b=9數(shù)學(xué)新課不等式章節(jié)小結(jié)15/22.n.同Ib=9 D.a= 1, b= 2【例14】不等式2x 10的解集為引申探究(2011 北約”)求 f(x) |x1|2x1| L |2011x 1|的最小值?！纠?5】已知關(guān)于x的不等式ax0的解集為M,若3 M且5 M ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【例16解關(guān)于x的不等式：x2(a+1)x+a0.引申探究將原不等式改為 ax2- (a+ 1)x+ 10的解集是 1, -1 ,則不等式x2bxa （ax）2的解集中的整數(shù)恰有 3個(gè)，則（）(B) 0 a 1(C) 1 a 3(D) 3

13、 a 6x 1 a2 3a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為（高一數(shù)學(xué)新課不等式章節(jié)小結(jié)17 / 224x+ m【例21（1）關(guān)于x的不等式2 WQ4x+p3對一切0WpW 4均成立，試求實(shí)數(shù) x的取值范圍.3【例22（1）若一兀一次不等式2kx2+kx4對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為（）A . （3,0B. 3,0）C. 3,0D. （- 3,0）（2）設(shè)a為常數(shù)，任意xCR, ax2+ax+10,則a的取值范圍是（）立立將專業(yè)引領(lǐng)共成長B. 0,4)A . (0,4)C. (0, +8 )D.(巴 4)高一數(shù)學(xué)新課不等式章節(jié)小結(jié)19 / 22【例23設(shè)函數(shù)y= mx2mx1.

14、若對于xC1,3, y m+5恒成立，求 m的取值范圍.【例24】對任意的kC 1,1,函數(shù)y=x2+(k 4)x+ 4 2k的值恒大于零，則x的取值范圍是 【鞏固訓(xùn)練】xa1. 解關(guān)于x的不等式2a2-3a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. -1,4B. ( 8, 2 U 5, +8 )C. (8, 1U4, +8)D. 2,53 .已知函數(shù)f(x)=x2+mx 1,若對于任意xCm, m + 1,都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍 是.4 .在關(guān)于x的不等式x2(a+1)x+a1的解集為p,且一2?p,則a的取值范圍為()x+ aA. (-3, +8) b. (-3,

15、2)C. (8, 2)U(3, +8) D. (8, 3)U2, +8)6.若關(guān)于x的不等式x2-4x-2-a0在區(qū)間(1, 4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. (8, -2) B. (-2, + 8)C . (一 6, 十 ) D . (一, 一 6)7,若關(guān)于x的不等式匕山 0的解集為(2, 1) (2,3),關(guān)于x的不等式 x a x ckx bx 10的解集為ax 1 cx 100普立方專業(yè)引領(lǐng)共成長m Mu.j.t t28 .不等式, x k 0對任意實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍是 .x2 x 14- 1 9 .若不等式x a -x1在實(shí)數(shù)R中恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是2四、

16、基本不等式(一)、知識(shí)精講(1)利用平均值定理求某些函數(shù)或?qū)ο蟮淖畲蠡蜃钚≈祮栴}強(qiáng)化變換的目的性突出步驟的合理性的認(rèn)識(shí)(2)突出函數(shù)，方程與不等式之間的關(guān)系，并利用三者的聯(lián)系解決某些變量取值范圍的問題變量與常量的處理問題即恒成立問題突出函數(shù)思想的理解與應(yīng)用，以不等式為工具，充分展示對函數(shù)的理解，對函數(shù)相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用.(二)典型例題【例25】某商品每件成本價(jià)為 80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成=10%),售出商品數(shù)量就增加8x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià). 5設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 y=f(x),并寫出定義域；(2)若再要求該商品一天

17、營業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍.51【例26(1)已知x ,求函數(shù)y 4x 2 的最大值。44x 5高一數(shù)學(xué)新課不等式章節(jié)小結(jié)# / 22;立督立方專業(yè)引領(lǐng)共成長數(shù)學(xué)新課不等式章節(jié)小結(jié)21 / 22.n.同I求y2x2 7x 10(x 1)的值域?！纠?7】已知a、b、c 1b c 1。求證： 一a111-1-18bc【例28】已知x0,y0且工 x1 ,求使不等式x ym恒成立的實(shí)數(shù) m的取值范圍。專業(yè)引領(lǐng)共成長引申探究a b已知正數(shù)a,b,x,y酒足a+b=10, =1, x+y的最小值為18,求a,b的值. x y【鞏固訓(xùn)練】1 .某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/

18、輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0xx2x的解集為x|1x0的解集為（1, 2）,解關(guān)于x的不等式cx2bx+ a0,有如下解法：由 ax2 bx+ c 0? a b 1 + c 0.令y=1，則 x xxyC 1, 1 ,所以不等式cx2 bx+a0的解集為 11 .類比上述解法，已知關(guān)于x的不等式上 十22x+ab0的解集為（一2, 1）U（2, 3）,則關(guān)于x的不等式+拯二1 b1 是 a+ L + b 的(A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件12. 已知a, b, cCR,給出下列命題：若 ab,則 a