數(shù)控編程中的數(shù)學(xué)處理

1、3 數(shù)控編程中的數(shù)學(xué)處理數(shù)控編程中的數(shù)學(xué)處理學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)l了解數(shù)控編程前數(shù)學(xué)處理的主要內(nèi)容和基本的方了解數(shù)控編程前數(shù)學(xué)處理的主要內(nèi)容和基本的方法法l掌握利用三角函數(shù)計算基點坐標(biāo)的方法掌握利用三角函數(shù)計算基點坐標(biāo)的方法l了解非圓曲線節(jié)點坐標(biāo)的概念了解非圓曲線節(jié)點坐標(biāo)的概念l掌握輔助坐標(biāo)點的計算方法掌握輔助坐標(biāo)點的計算方法3.1編程中數(shù)學(xué)處理的主要內(nèi)容編程中數(shù)學(xué)處理的主要內(nèi)容l 在加工零件圖形之前，我們必須要先編程先編程，但是在編程的過程中我們通常會遇到某些坐標(biāo)點的值在圖形中是沒有計算出來的，這時候我們就要涉及到數(shù)值處理。數(shù)學(xué)處理的主要任務(wù)數(shù)學(xué)處理的主要任務(wù)就是根據(jù)圖紙數(shù)據(jù)求出編程所需就是根據(jù)

2、圖紙數(shù)據(jù)求出編程所需的數(shù)據(jù)。另外，一般數(shù)控系統(tǒng)只能加工直線和圓弧，的數(shù)據(jù)。另外，一般數(shù)控系統(tǒng)只能加工直線和圓弧，當(dāng)工件表面是由其它復(fù)雜曲線或曲面構(gòu)成時，首先要當(dāng)工件表面是由其它復(fù)雜曲線或曲面構(gòu)成時，首先要用直線和圓弧去擬合工件輪廓，這也是數(shù)學(xué)處理的任用直線和圓弧去擬合工件輪廓，這也是數(shù)學(xué)處理的任務(wù)之一。務(wù)之一。l數(shù)值處理主要包括以下內(nèi)容：數(shù)值處理主要包括以下內(nèi)容：l1. 基點和節(jié)點的坐標(biāo)計算基點和節(jié)點的坐標(biāo)計算l2. 刀位點軌跡的計算刀位點軌跡的計算l3. 輔助計算輔助計算基點和節(jié)點的坐標(biāo)計算l 零件的輪廓是由許多不同的幾何元素組成。如直線、圓弧、二次曲線及列表點曲線直線、圓弧、二次曲線及列表

3、點曲線等。各幾何元素間的聯(lián)結(jié)點稱為基點基點，如兩直線的交點，直線和圓弧或圓弧和圓弧之間的交點與切點，顯然，相鄰基點間只能是一個幾何元素?；c基點例：圖所示零件中，例：圖所示零件中，A A、B B、C C、D D、E E為基點。為基點。A A、B B、D D、E E的坐標(biāo)值從圖中的坐標(biāo)值從圖中很容易找出很容易找出,C,C點是直線與圓弧切點，要聯(lián)立方程求解。以點是直線與圓弧切點，要聯(lián)立方程求解。以B B點為計算坐標(biāo)點為計算坐標(biāo)系原點，聯(lián)立下列方程：系原點，聯(lián)立下列方程： 3014)-(Y80)-(XX)(Y22圓方程：直線方程：tg可求得（可求得（64.278664.2786，39.550739.

4、5507），換算到以），換算到以A A點為原點的編程坐點為原點的編程坐標(biāo)系中，標(biāo)系中，C C點坐標(biāo)為（點坐標(biāo)為（64.278664.2786，51.550751.5507）。）。l 對于由直線與直線或直線與圓弧構(gòu)成的平面輪廓零件，由于目前一般機(jī)床都有直線、圓弧插補的功能，數(shù)值計算較為簡單。l 當(dāng)零件的形狀是由直線段或圓弧之外的其他曲線構(gòu)成，而數(shù)控裝置又不具備該曲線的插補功能時，其數(shù)值計算就比較復(fù)雜。將組成零件輪廓曲線，按數(shù)控系統(tǒng)插補功能的要求，在滿足允在滿足允許的編程誤差的條件下，用若干直線段或圓弧許的編程誤差的條件下，用若干直線段或圓弧來逼近給定的曲線，來逼近給定的曲線，逼近線段的交點或切點

5、逼近線段的交點或切點稱稱為為節(jié)點節(jié)點。 l對非圓曲線對非圓曲線 進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，實質(zhì)就進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，實質(zhì)就是計算各節(jié)點坐標(biāo)。是計算各節(jié)點坐標(biāo)。如圖所示的曲線用直線如圖所示的曲線用直線逼近時，其交點逼近時，其交點A A、B B、C C、D D、E E、F F等即為節(jié)等即為節(jié)點。點。 )(xfy l 編寫程序時，應(yīng)按節(jié)點劃分程序段節(jié)點劃分程序段。逼近線段的近似區(qū)間愈大，則節(jié)點數(shù)目愈少，相應(yīng)地程序段數(shù)目也會減少，但逼近線段的誤差但逼近線段的誤差d 應(yīng)小于或等于編程允許誤差應(yīng)小于或等于編程允許誤差d允，即允，即dd允。允?？紤]到工藝系統(tǒng)及計算誤差的影響，考慮到工藝系統(tǒng)及計算誤差的影響，d允一般允一般取零

6、件公差的取零件公差的1/51/10。l（2）刀位點軌跡的計算）刀位點軌跡的計算l 刀位點是指在加工程序編制中，用以表示刀具特征的點，刀位點是指在加工程序編制中，用以表示刀具特征的點，也是對刀和加工的基準(zhǔn)點。對于車刀，各類車刀的刀位點。也是對刀和加工的基準(zhǔn)點。對于車刀，各類車刀的刀位點。 l 刀位點刀位點是標(biāo)志刀具所處不同位置的坐標(biāo)點，不同類型刀具的刀位點不同。對于具有刀具半徑對于具有刀具半徑補償功能的數(shù)控機(jī)床，只要在編寫程序時，在程補償功能的數(shù)控機(jī)床，只要在編寫程序時，在程序的適當(dāng)位置序的適當(dāng)位置寫入建立刀具補償?shù)挠嘘P(guān)指令寫入建立刀具補償?shù)挠嘘P(guān)指令，就，就可以保證在加工過程中，使刀位點按一定的

7、規(guī)則可以保證在加工過程中，使刀位點按一定的規(guī)則自動偏離編程軌跡，達(dá)到正確加工的目的。自動偏離編程軌跡，達(dá)到正確加工的目的。這時可直接按零件輪廓形狀，計算各基點和節(jié)點坐標(biāo)，并作為編程時的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。l 當(dāng)機(jī)床所采用的數(shù)控系統(tǒng)不具備刀具半徑補償功能時，編程時，需對刀具的刀位點軌跡進(jìn)行數(shù)值計算，按零件輪廓的等距線編程。例如簡單的數(shù)控車床，編程時就需要做某些偏置計算。（3）輔助計算）輔助計算l輔助計算包括增量計算增量計算及輔助程序段輔助程序段的數(shù)值計算l 輔助程序段輔助程序段是指刀具從對刀點到切人點或從切出點返回到對刀點而特意安排的程序段。切入點位置的選擇應(yīng)依據(jù)零件加工余量而定，適當(dāng)離開零件一段距離。切

8、出點位置的選擇，應(yīng)避免刀具在快速返回時發(fā)生撞刀。 l 使用刀具補償功能時，建立刀補的程序段應(yīng)在加工零件之前寫入，加工完成后應(yīng)取消刀具補償。某些零件的加工，要求刀具“切向”切入和“切向”切出。以上程序段的安排，在繪制走刀路線時，即應(yīng)明確地表達(dá)出來。數(shù)值計算時，按照走刀路線的安排，計算出各相關(guān)點的坐標(biāo)。2、基點坐標(biāo)的計算、基點坐標(biāo)的計算l 零件輪廓或刀位點軌跡的基點坐標(biāo)計算，零件輪廓或刀位點軌跡的基點坐標(biāo)計算，一般采一般采用代數(shù)法或幾何法用代數(shù)法或幾何法。代數(shù)法是通過列方程組的方法求代數(shù)法是通過列方程組的方法求解基點坐標(biāo)，解基點坐標(biāo)，這種方法雖然已根據(jù)輪廓形狀，將直線這種方法雖然已根據(jù)輪廓形狀，將

9、直線和圓弧的關(guān)系歸納成若干種方式，并變成標(biāo)準(zhǔn)的計算和圓弧的關(guān)系歸納成若干種方式，并變成標(biāo)準(zhǔn)的計算形式，方便了計算機(jī)求解，但手工編程時采用代數(shù)法形式，方便了計算機(jī)求解，但手工編程時采用代數(shù)法進(jìn)行數(shù)值計算還是比較繁瑣。進(jìn)行數(shù)值計算還是比較繁瑣。根據(jù)圖形間的幾何關(guān)系根據(jù)圖形間的幾何關(guān)系利用三角函數(shù)法求解基點坐標(biāo)，計算比較簡單、方便，利用三角函數(shù)法求解基點坐標(biāo)，計算比較簡單、方便，與列方程組解法比較，工作量明顯減少。與列方程組解法比較，工作量明顯減少。要求重點掌要求重點掌握三角函數(shù)法求解基點坐標(biāo)。握三角函數(shù)法求解基點坐標(biāo)。l 對于由直線和圓弧組直線和圓弧組成的零件輪廓，采用手工編程時，常利用直角三角形

10、的幾何關(guān)系直角三角形的幾何關(guān)系進(jìn)行基點坐標(biāo)的數(shù)值計算，圖3-1為直角三角形的幾何關(guān)系，三角函數(shù)計算公式列于表3-1。圖圖3-1直角三角形的幾何關(guān)系直角三角形的幾何關(guān)系 表表3-1直角三角形中的幾何關(guān)系直角三角形中的幾何關(guān)系3、非圓曲線節(jié)點坐標(biāo)的計算、非圓曲線節(jié)點坐標(biāo)的計算l（1）非圓曲線節(jié)點坐標(biāo)計算的主要步驟）非圓曲線節(jié)點坐標(biāo)計算的主要步驟 數(shù)控加工中把除直線與圓弧之外可以用數(shù)學(xué)方程式表達(dá)的平面輪廓曲線，稱為非圓曲線稱為非圓曲線。其數(shù)學(xué)表達(dá)式可以直角坐標(biāo)的形式給出，也可以是以極坐標(biāo)形式給出，還可以是以參數(shù)方程的形式給出。通過坐標(biāo)變換，后面兩種形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)表達(dá)式。 l非圓

11、曲線類零件包括平面凸輪類、樣板曲線、圓柱凸輪以及數(shù)控車床上加工的各種以非圓曲線為母線的回轉(zhuǎn)體零件等等。其數(shù)值計算過程，一般可按以下步驟進(jìn)行。l選擇插補方式選擇插補方式。即應(yīng)首先決定是采用直線段逼近非圓曲線，還是采用圓弧段或拋物線等二次曲線逼近非圓曲線。l確定編程允許誤差確定編程允許誤差，即應(yīng)使dd允。l選擇數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)學(xué)模型，確定計算方法。在決定采取什么算法時，主要應(yīng)考慮的因素有兩條，其一是盡可能按等誤差的條件，確定節(jié)點坐標(biāo)位置，以便最大程度地減少程序段的數(shù)目；其二是盡可能尋找一種簡便的算法，簡化計算機(jī)編程，省時快捷。l根據(jù)算法根據(jù)算法，畫出計算機(jī)處理流程圖。l用高級語言編寫程序用高級語言編

12、寫程序，上機(jī)調(diào)試程序，并獲得節(jié)點坐標(biāo)數(shù)據(jù)。（2）常用的算法）常用的算法l 用直線段逼近非圓曲線直線段逼近非圓曲線，目前常用的節(jié)點計算方法有等間距法、等程序段法、等誤差法等間距法、等程序段法、等誤差法和伸縮步長法和伸縮步長法；用圓弧段逼近非圓曲線圓弧段逼近非圓曲線，常用的節(jié)點計算方法有曲率圓法、三點圓法、相切曲率圓法、三點圓法、相切圓法和雙圓弧法。圓法和雙圓弧法。 用直線段逼近非圓曲線時節(jié)點的計算用直線段逼近非圓曲線時節(jié)點的計算 割線逼近割線逼近弦線逼近弦線逼近切線逼近切線逼近第第5 5章章 數(shù)控加工程序編制基礎(chǔ)數(shù)控加工程序編制基礎(chǔ)CNC5.4 5.4 數(shù)控編程中的數(shù)學(xué)處理數(shù)控編程中的數(shù)學(xué)處理l

13、 等間距直線段逼近法等間距法就是將某一坐標(biāo)軸劃分成相等的間距。如圖3-2所示。圖圖3-2 等間距法直線段逼近等間距法直線段逼近l 等程序段法直線逼近的節(jié)點計算等程序段法直線逼近的節(jié)點計算等程序段法就是使每個程序段的線段長度相等線段長度相等。如圖3-3所示。 圖圖3-3 等程序段法直線段逼近等程序段法直線段逼近l等誤差法直線段逼近得節(jié)點計算等誤差法直線段逼近得節(jié)點計算任意相鄰兩節(jié)點間的逼近誤差為等誤差。各程序段誤差d均相等, 程序段數(shù)目最少。但計算過程比較復(fù)雜，必須由計算機(jī)輔助才能完成計算。在采用直線段逼近非圓曲線的擬采用直線段逼近非圓曲線的擬合方法中，是一種較好的擬合方法。合方法中，是一種較好

14、的擬合方法。圖圖3-4 等誤差法直線段逼近等誤差法直線段逼近l 曲率圓法圓弧逼近的節(jié)點計算曲率圓法圓弧逼近的節(jié)點計算曲率圓曲率圓法是用彼此相交的圓弧逼近非圓曲線法是用彼此相交的圓弧逼近非圓曲線。其基本原理是從曲線的起點開始，作與曲線內(nèi)切的曲率圓，求出曲率圓的中心。如圖3-5所示。圖圖3-5 曲率圓法圓弧段逼近曲率圓法圓弧段逼近l三點圓法圓弧逼近的節(jié)點計算三點圓法圓弧逼近的節(jié)點計算三點圓法是在等誤差直線段逼近求出各節(jié)點的基礎(chǔ)上，通過連續(xù)三點作圓弧，并求出圓心點的坐標(biāo)或圓的半徑，如圖3-6所示。l 相切圓法圓弧逼近的節(jié)點計算相切圓法圓弧逼近的節(jié)點計算如圖3-7所示。采用相切圓法，每次可求得兩個彼此

15、相切的圓弧，由于在前一個圓弧的起點處與后一個終點處均可保證與輪廓曲線相切，因此，整個曲線是由一系列彼此相切的圓弧逼近實現(xiàn)的?？珊喕幊蹋嬎氵^程繁瑣。 4、列表曲線型值點坐標(biāo)的計算、列表曲線型值點坐標(biāo)的計算l 實際零件的輪廓形狀，除了可以用直線、圓弧或其他非圓曲線組成之外，有些零件圖的輪廓形狀是通過實有些零件圖的輪廓形狀是通過實驗或測量的方法得到的。驗或測量的方法得到的。零件的輪廓數(shù)據(jù)在圖樣上是以坐標(biāo)點的表格形式表格形式給出，這種由列表點（又稱為型值點）給出的輪廓曲線稱為列表曲線。給出的輪廓曲線稱為列表曲線。l 在列表曲線的數(shù)學(xué)處理方面，常用的方法有牛頓插牛頓插值法、三次樣條曲線擬合、圓弧樣

16、條擬合與雙圓弧樣條值法、三次樣條曲線擬合、圓弧樣條擬合與雙圓弧樣條擬合等。擬合等。由于以上各種擬合方法在使用時，往往存在著某種局限性，目前處理列表曲線的方法通常是采用二次擬合法。l為了在給定的列表點之間得到一條光滑的曲線，對列表曲線逼近一般有以下要求：l方程式表示的零件輪廓必須通過列表點通過列表點。l方程式給出的零件輪廓與列表點表示的輪廓凹凸性應(yīng)一致，即不應(yīng)在列表點的凹凸性之外再增加新的拐點。l光滑性光滑性。為使數(shù)學(xué)描述不過于復(fù)雜，通常一個列表曲線要用許多參數(shù)不同的同樣方程式來描述，希望在方程式的兩兩連接處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)，若不能保證一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則希望連接處兩邊一階導(dǎo)數(shù)的差值應(yīng)盡量小。5、 數(shù)控車床使用假想刀尖點時偏置計算數(shù)控車床使用假想刀尖點時偏置計算l 在數(shù)控車削加工種，為了對刀的方便，總是以“假想刀尖”點來對刀。所謂假想刀尖點所謂假想刀尖點，是指圖3-8a中M點的位置。由于刀尖圓弧的影響，僅僅使用刀具長度補償，而不對刀尖圓弧半徑進(jìn)行補償，在車削錐面或圓弧面時，會產(chǎn)生欠切的情況，如圖3-9所示。圖圖3-8 假想刀尖點編程時的補償計算假想刀尖點編程時的補償計算 圖圖3-9 欠切與過切現(xiàn)象欠切與過切現(xiàn)象 6、簡單