第.講對弧長的曲線積分ppt課件

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程腳本編寫：課件制作：第二章 多元函數(shù)積分學正確理解對弧長的曲線積分的概念和物理背景。正確理解對弧長的曲線積分的概念和物理背景。熟悉二維空間中對弧長的曲線積分的計算方法。熟悉二維空間中對弧長的曲線積分的計算方法。了解三維空間中對弧長的曲線積分。了解三維空間中對弧長的曲線積分。正確理解弧長元素的含義。正確理解弧長元素的含義。本節(jié)教學要求：本節(jié)教學要求：第第 四四 節(jié)節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 弧長元素、弧長弧長元素、弧長 直角坐標系下對弧長的曲線積分的計算直角坐標系下對弧長的曲線積分的計算 空間中對弧長的曲線積分的計算 參數(shù)方程時對弧長的曲線積分的計算參數(shù)方程

2、時對弧長的曲線積分的計算 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第第 四四 節(jié)節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一一. 對弧長的曲線積分的物理背景對弧長的曲線積分的物理背景 二二. 對弧長的曲線積分的定義和性質(zhì)對弧長的曲線積分的定義和性質(zhì)四四. 參數(shù)方程時對弧長的曲線積分的計算參數(shù)方程時對弧長的曲線積分的計算三三. 直角坐標系下對弧長的曲線積分的計算直角坐標系下對弧長的曲線積分的計算五五. 三維空間中對弧長的曲線積分的計算三維空間中對弧長的曲線積分的計算一一. 對弧長的曲線積分的物理背景對弧長的曲線積分的物理背景 , L的光滑的平面曲線構(gòu)件設有一質(zhì)量非均勻分布 . ),( ),( : Lyxyxf

3、L上點的連續(xù)函數(shù)是其密度 . 的質(zhì)量求曲線構(gòu)件 L : 法直線構(gòu)件的質(zhì)量計算方仿照質(zhì)量非均勻分布的分割分割 近似近似 求和求和 取極限取極限 . 將構(gòu)件簡化為數(shù)學中 . 具有質(zhì)量的平面曲線 O x y ABab O x y ABab 1A1iAiA1nA1iAiA) ,(iiiM isiiiisfm) ,( ) ,(1iniiisfm ) ,(lim10niiiisfm ) ,( 的位置點iiiM 的到可以由點MA . 弧長來確定 ) ,()(iiifMf 可以看成是弧長的 . 函數(shù) ) , ( ABLxyyxf曲線平面上的一條可求長的是定義在設函數(shù) , 1110BAAAAAAAnnii ,

4、) , , 2 , 1 ( 每個小弧段的長度個小弧段成分將niSnLiAB ) ,(lim10 niiiisf , ) ,( 記為上對弧長的積分在曲線則稱該極限值為函數(shù)ABLyxf . ) ,(limd),( 1 0niiiiLsfsyxfAB : 1 . 個點上任取在上的有界函數(shù)nLAB . max , 1iniiss并記記為 , ) ,( 極限若iiiS , ) ,( ,的取法無關(guān)的分法和點且該極限值與對曲線存在iiABL二二. 對弧長的曲線積分的定義和性質(zhì)對弧長的曲線積分的定義和性質(zhì) . ) ,(limd),(10 niiiiLsfsyxfAB ；對弧長的曲線積分號ABL d),(；被積

5、表達式syxf ),(被積函數(shù)；yxf ) ( d；弧微分弧長元素s . 積分曲線ABL 號對弧長的曲線積分的記 上定義在曲線ABL , 則積分記為閉曲線如果積分曲線為一條封L . ) ,(limd),( 10 niiiiLsfsyxf 質(zhì)對弧長的曲線積分的性 : . 1無關(guān)曲線的起點、終點位置對弧長的曲線積分值與 . d),(d),( BAABLLsyxfsyxf , , . 22121則是光滑曲線和如果LLLLL . d),(d),(d),(21 LLLsyxfsyxfsyxf , 1),( . 3時當yxf . ) ( d d),( 的弧長為曲線 LssssyxfLL . )( 參照定積

6、分自己證明三三. 直角坐標系下對弧長的曲線積分的計算直角坐標系下對弧長的曲線積分的計算 : d s的弧微分首先回憶定積分中講過 ddd222syx , 的增加方向一致時變量當弧長的增加方向與自x . d1 d2xys d xydd sy )(xfy . 1的方程為設曲線 L , ) , ()( , , , )(1則且baCxybaxxyy . ) 1 ( d1 )(,(d),( 2 baLxyxyxfsyxf , 關(guān)與起點、終點的位置無由于對弧長的曲線積分 . , 的增加方向一致方向與總可以認為弧長的增加所以x , 積分下限為定積分計算時將對弧長的曲線積分化 . 總小于積分上限 . 2的方程為

7、設曲線L , ) , ()( , , , )(1則且dcCyxdcyyxx . )2( d1 ),(d),( 2 dcLyxyyxfsyxfOxycd)(yxx Oxy例解解 , d 其中計算Lsx . ) 1 , 1 ( )0 , 0( ) 12的一段弧到點上由原點是BOxyL . )0 , 1 ( , ) 2AOABL其中是折線 , 1 , 0 , : )12而xxyL , d41 d1 d22xxxys)0 , 1 (A) 1 , 1 (B , )2ABOAL , dd , 1 : ; dd , 0 : ysxABxsyOA上在上在 . 23d1dd d d 1 0 1 0 yxxsxs

8、xsxABOAL故 . ) 155(121d41 d 1 0 2 xxxsxL故Oxy ) 1 , 0(A ) 1 , 0(B )0 , 1 (C例解解 . , d | 為右半單位圓其中求LsyL . 0 , 1 : ,22xyxL由題意 , 得由隱函數(shù)求導法 , yxy . d|1dd1 d 2222xyxyyxxys故 d |d |d | , BCACLLLsysysy從而 . 2d |1 |d |1 |1 0 1 0 xyyxyy . . 自己完成請同學課后作自變量此題可選 y四四. 參數(shù)方程時對弧長的曲線積分的計算參數(shù)方程時對弧長的曲線積分的計算 , , , )( , )( : tty

9、ytxxL設 , ) ,()( , )( 1則且Ctytx , d)()(d22ttytxs . (3) d)()()(),(d),( 22 ttytxtytxfsyxfL . :的增加方向一致變量取弧長的增加方向與自注意t . , 積分下限小于積分上限化為定積分后例解解 )cos1 ( , )sin( , d 2tayttaxLsyL為擺線其中計算 . )20( )0(ta的第一拱 dsin)cos1 (dd222222ttatatyxs )20( , d2sin2ttta2 0 532 0 23 2d2sin8d2sin)cos1 (2d ttatttasyL于是 dsin)cos1 (1

10、6dsin16 0 223 0 53uuuauua2 tu 令 . 15256d)1 (1631 1 223avva cos uv 令例解解 . 0)( : , d)( 222 22aayxLsyxL其中 .2dd)( , 32 0 2 22ataasyxL從而 . 20 , sin , cos ttaytaxL的參數(shù)方程為 . dd)cos()sin(dd2222tattatatyxs , 故上定義在曲線由于被積函數(shù)Lf ,),(222ayxyxf五五. 三維空間中對弧長的曲線積分的計算三維空間中對弧長的曲線積分的計算 , 3然后程形式中的曲線表示為參數(shù)方通常將空間R . 化為定積分來計算

11、3的參數(shù)方程為中曲線設R , , , )( , )( , )( :ttzztyytxx , ) ,()( , )( , )( 1則且Ctztytx , d)()()(d222ttztytxs . d)()()()(),(),(d),( 222 ttztytxtztytxfszyxf ; ),(的量弧長的增加方向與自變上定義在曲線tzyxf . 增加方向一致例解解 222 , sin , cos , d taytaxzyxs是螺旋線求 . ) 20 ( ttbz的第一圈 , dd)()()(d22222tbattztytxs 0 22222222 ddtbatbazyxs . 2arctan22ababba 例解解 : , d 2其中sx ,2222azyx . 0zyx : , 可以利用對稱性數(shù)的形式由曲線的方程及被積函 d 2sx d 2sy d 2sz d)(31d 222 2szyxsx于是 d3d31 2 2sasa .322332aaa ) . , (的圓