第06講 ch3 扭轉(zhuǎn)§1～4

1、1231 31 扭轉(zhuǎn)的概念與實例扭轉(zhuǎn)的概念與實例 32 32 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 33 33 純剪切純剪切 34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力331 扭轉(zhuǎn)的概念與實例扭轉(zhuǎn)的概念與實例 工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、 石油鉆機中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：ABOmmOBA軸：軸：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。end431 扭轉(zhuǎn)的概念于實例扭轉(zhuǎn)的概念于實例 end5相對扭轉(zhuǎn)角（相對扭轉(zhuǎn)角（）：）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。切切 應(yīng)應(yīng) 變（變（）：直角的改變量。MeMeOBA31 扭

2、轉(zhuǎn)的概念于實例扭轉(zhuǎn)的概念于實例 end6工工 程程 實實 例例31 扭轉(zhuǎn)的概念于實例扭轉(zhuǎn)的概念于實例 end733 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 I、傳動軸的外力偶矩、傳動軸的外力偶矩 傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：m)(kN55. 9nPMem)(kN024. 7nPMe其中：P 功率，千瓦(kW)kNm/s n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分(rpm)r/min其中：P 功率，馬力(PS) n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分(rpm)1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PSW = 2p n n/min Me N m , endW = P k w 6083 扭矩的符號規(guī)定：扭矩的

3、符號規(guī)定： “T ”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負。滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負。II、扭矩及扭矩圖、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法截面法求扭矩求扭矩MeMeMeTeexMTMTm 0 0 x32 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 end94 扭矩扭矩圖圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強度計算（危險截面）。xT32 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖扭

4、矩及扭矩圖 end10例例1已知：一傳動軸，已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入，主動輪輸入 PA=36kW，從動輪輸出從動輪輸出 PB=PC=11kW，PD=14kW，試繪制扭矩圖。，試繪制扭矩圖。nB C A DMe2 Me3 Me1 Me4解：計算外力偶矩解：計算外力偶矩m)(N1461 300369550 95501nPMAem)(N 350300110955955032nPMMBeem)(N 44630014955095504nPMDe32 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 end11nB C A DMe2 Me3 Me1 Me4112233求扭

5、矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mN350 0 , 02121eexMTMTMmN700350503 , 0 322322eeeeMMTMMTmkN446 , 0 4343eeMTMTM2 T1M2 M3T2T3 M432 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 end12繪制扭矩圖繪制扭矩圖mN700maxTBA段為危險截面。段為危險截面。nC B A Dm2 m3 m1 m4xT/Nm35070044632 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 end1333 純剪切純剪切 薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101r（r0：為平均半徑）實驗：實驗：1.

6、實驗前：實驗前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶 Me。MeMe roend142.實驗后：實驗后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線?？v向線變成斜直線。3.結(jié)論：結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 、 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。 切應(yīng)變切應(yīng)變 相對轉(zhuǎn)角相對轉(zhuǎn)角33 純剪切純剪切end15 無正應(yīng)力 橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半

7、徑的均勻分布的切切應(yīng)力應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4. 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：lrrloo 微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示： ABCdxDdy CDA1B1C1D1C1D133 純剪切純剪切endeMeM16一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力 pp 2 2 2d )d( 0 200000ATrTTrrArTrAAAA0：平均半徑所作圓的面積:200 rAp d Ar0 T：扭矩0 2AT33 純剪切純剪切end17二、切應(yīng)力互等定理二、切應(yīng)力互等定理0zm上式稱為切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，

8、切應(yīng)在單元體相互垂直的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。線，其方向則共同指向或共同背離該交線。33 純剪切純剪切end0)()( dxdydydx ABCdxDdy CDA1B1C1D1C1D1zxy 單元體的四個側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這單元體的四個側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)。18三、切應(yīng)變?nèi)?、切?yīng)變 剪切虎克定律剪切虎克定律lrlr033 純剪切純剪切endeMeMl0/ rl19 T=Me)( )

9、 2( 00rlAT 當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時( p)，切應(yīng)力，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。與切應(yīng)變成正比關(guān)系。33 純剪切純剪切endG剪切虎克定律：剪切虎克定律：0 2A0rl20G 式中：式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為是材料的一個彈性常數(shù)，稱為切變模量切變模量，因，因 無量綱，故無量綱，故G的量綱與的量綱與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通過實驗值可通過實驗確定，鋼材的確定，鋼材的G值約為值約為80GPa。 切變模量切變模量G、彈性模量彈性模量E 、泊松比泊松比m m 是表明材料彈性性是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三

10、個彈性常數(shù)之間存在質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）： 可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。個量就可以推算出來。)1 (2mEG33 純剪切純剪切end2134 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力等直圓桿橫截面應(yīng)力等直圓桿橫截面應(yīng)力變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系 1. 橫截面變形后仍為平面；橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行。等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：等直

11、圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：endm221. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：xxGGdddtg21xdd距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。G1G2= dx= d34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力end1o2o2 2E1 1ETTE1E2= dx=RdxRxEEdddtg21ddx1o2o2 2G1 1GTTd2 2E1 1E232. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力end243. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：OAxGATAAddd d2AIAp

12、d2令xGI Tpdd pGITx dd得：xGdd pIT將上式上式代入物理關(guān)系式(極慣性矩極慣性矩)dAddqqendAxGAddd22/020Dd qpd332 4 Dp25pIT橫截面上距圓心為 處任一點切應(yīng)力計算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力

13、圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力end26單位：單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是 Ip 值不同。值不同。32d2 d42022DAIDAppp對于實心圓截面：DdO34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力end27對于空心圓截面：AIApd2)(DddDOd34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力end2/2/2d2Ddp)(3244dD p)1 (3244pD28 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓

14、軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力end29 確定最大切應(yīng)力：確定最大切應(yīng)力：pIT由知：當(dāng)max , 2DR2 22 maxDIWWTDITIDTpttpp令令tWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：163DRIWptp對于空心圓截面：34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力end)1 (16232)(4344ppDDdDRIWpt30強度計算強度計算強強 度度 條條 件：件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸：maxmaxtWT( 稱為許用切應(yīng)力。)強度計算三方面：強度計算三方面： 校核強度：校核強度： 設(shè)計截面尺寸：設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷：計

15、算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 ppDDWt34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力end31 例例2 2 功率為P P =150=150kW，轉(zhuǎn)速為n n = = 924924 r.p.mr.p.m 的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖，許用切應(yīng)力 =30=30M PaPa, 試校核其強度。nPMTeBC55. 9m)(kN55. 1m)(N9241015055. 93T1.55kNm解：求扭矩及扭矩圖計算并校核切應(yīng)力強度此軸滿足強度要求。xMPa23Pa10231607. 01055. 1161055. 1633313min,maxppDWTtD3 =13

16、5D2=75D1=70ABCMeMe34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力end32 作業(yè)作業(yè)31，5，733例例 木制短柱的四角用四個木制短柱的四角用四個4040 4040 4 4的等邊角鋼加固，角鋼的許用應(yīng)力為的等邊角鋼加固，角鋼的許用應(yīng)力為 G G=160=160M Pa，木材的許用應(yīng)力為，木材的許用應(yīng)力為 w w=12=12MPa，彈性模量分別為彈性模量分別為EG G=200=200GPa 和和 Ew w =10 =10GPa；求許可載荷求許可載荷 F 。04FFFFWGyWGllGGGGGAElFl幾何方程幾何方程物理方程及物理方程及補充方程補充方程：單個角鋼面積表查得單個角鋼面積表查得: : AG=3.086=3.086cm2 F4FGFWF1m250250WWWWWAElFlWWWWGGGGAElFAElF平衡方程平衡方程: :解：解：木材的截面面積木材的截面面積: : AW=0.0625=0.0625m234 解解平衡方程平衡方程和和補充方程補充方程，得，得: :FFFFWG72. 0 ; 07. 0GGGAF求結(jié)構(gòu)的許可載荷：求結(jié)構(gòu)的許可載荷：WWWAF kN104272. 0/10121025072. 0/662 WWWAF kN4 .70507. 0/10160106 .30807. 0/ 6