有限長單位脈沖響應(yīng)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計

1、本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點 用窗函數(shù)法設(shè)計用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器濾波器 用頻率采樣法設(shè)計用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器濾波器第六章第六章 有限長脈沖響應(yīng)有限長脈沖響應(yīng)(FIR)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計方法方法1 1： 設(shè)計滿足幅度指標要求的設(shè)計滿足幅度指標要求的IIR濾波器濾波器，再加，再加線性相位校正網(wǎng)絡(luò)線性相位校正網(wǎng)絡(luò)（如全通網(wǎng)絡(luò)）（如全通網(wǎng)絡(luò)）；設(shè)計復(fù)雜，成本高；設(shè)計復(fù)雜，成本高；方法方法2 2： 用用FIR濾波器濾波器的設(shè)計方法，幅度特性滿足技術(shù)要求，又保證嚴的設(shè)計方法，幅度特性滿足技術(shù)要求，又保證嚴格的格的線性

2、相位線性相位。線性相位數(shù)字濾波器的實現(xiàn)線性相位數(shù)字濾波器的實現(xiàn)h(n)是是FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)，長度為濾波器的單位脈沖響應(yīng)，長度為N，則其系統(tǒng)函數(shù)為：，則其系統(tǒng)函數(shù)為：10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe H(z)=z-no 收斂域包括單位圓；收斂域包括單位圓；o z平面上有平面上有N-1個零點；個零點；o z=0是是N-1階極點階極點;特點：特點：FIR濾波器濾波器永遠穩(wěn)定和容易實現(xiàn)線性相位永遠穩(wěn)定和容易實現(xiàn)線性相位6.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點對于長度為對于長度為N的的h(n)，傳輸函數(shù)為：，傳輸函數(shù)為：注意：注意：

3、 H ()為為的實函數(shù)，可能取負值；的實函數(shù)，可能取負值； |H(ej)|稱為幅度響應(yīng)，總是正值稱為幅度響應(yīng)，總是正值H ()稱為幅度函數(shù)，稱為幅度函數(shù)，()稱為相位函數(shù)稱為相位函數(shù)一、線性相位條件一、線性相位條件10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe 10()()()()()NjjnnjjgHehneHeHe10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe =H ()但上兩種情況都滿足但上兩種情況都滿足群時延群時延是一個常數(shù)是一個常數(shù)第一類線第一類線性相位性相位第二類線第二類線性相位性相位() =, 為常數(shù)；為常數(shù)；()=0，0是起始

4、相位是起始相位線性相位是指線性相位是指()()是是的線性函數(shù)，即：的線性函數(shù)，即：1、什么是線性相位、什么是線性相位()dd ()dd -=h(n)是以是以(N-1)/2偶對稱實序列偶對稱實序列，即：，即： h(n) = h(N n 1)2 2、第一類線性相位條件、第一類線性相位條件N N為奇數(shù)的情況為奇數(shù)的情況n n21N 0 0h(n)N N為偶數(shù)的情況為偶數(shù)的情況n n21N 0 0h(n)h(n)是以是以(N-1)/2奇對稱實序列奇對稱實序列，即：，即： h(n) =h(N n 1)3 3、第二類線性相位條件、第二類線性相位條件N N為偶數(shù)的情況為偶數(shù)的情況N N為奇數(shù)的情況為奇數(shù)的情

5、況n n21N 0 0h(n)n n21N 0 0h(n)4、第一類線性相位特點、第一類線性相位特點1010( )( )( )(1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz1010( )( )( )(1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz11(1)(1)00(1)1( )( )( )( )()NNN mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z令：令：m=N-n-1,則有則有11(1)(1)00(1)1( )( )( )( )()NNN mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z11(1)(1)00(1)1( )( )( )( )()NNN mNmmmNH

6、zh m zzh m zH zzH z1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( ) 2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh nzzzzh nzz 1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh nzzzzh nzz 1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( ) 2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh nzzzzh nzz 將將z=e j代入上式，得到：代入上式，得到：11()20101()( )cos()21()( )cos()

7、21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 11()20101()( )cos()21()( )cos()21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 相位函數(shù)相位函數(shù)幅度函數(shù)幅度函數(shù)11()20101()( )cos()21()( )cos()21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN H第二類線性相位條件證明第二類線性相位條件證明110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z 110011(1

8、)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z 1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh nzzzzh nzz 1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh

9、 nzz 1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 將將z=e z=e jj代入上式，得到：代入上式，得到：1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH z

10、jeh nnNeh nn 相位函數(shù)相位函數(shù)101()( )sin()21()()22NgnNHh nnNQ 11()20101()( )cos()21()( )cos()21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 幅度函數(shù)幅度函數(shù)110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z 110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )()()( )()NNnnnnNNNmNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH

11、 zzH z m=011()20101()( )cos()21()( )cos()21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 第一類相位函數(shù)條件第一類相位函數(shù)條件:h(n)偶對稱偶對稱)(02)1N( -第二類相位函數(shù)條件第二類相位函數(shù)條件:h(n)奇對稱奇對稱101( )( )sin ()21( )()22NgnNHh nnNQ 11()20101()( )cos() 21( )( )cos() 21( )(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN )()23(N0221、h(n)=h(N-n-1)，N=奇數(shù)奇數(shù) 由前面推導(dǎo)的幅度函數(shù)由前面推導(dǎo)的幅度函數(shù)H

12、 ()為：為：二、線性相位二、線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)的特點濾波器幅度函數(shù)的特點特點：特點：l h(n)對對(N-1)/2偶對稱，余弦項也對偶對稱，余弦項也對(N-1)/2偶對稱；偶對稱；l 以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項進行合并，因為中心，把兩兩相等的項進行合并，因N為奇數(shù)，余下中間項為奇數(shù)，余下中間項n=(N-1)/2101( )( )cos() 2NgnNHh nnH ()(3)/20(1)/20(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nn(3)/20(1)/

13、20(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nnm=1令令m=(N-1)/2-n(3)/20(1)/20(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nnH ()1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhnn1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhnn其中其中，幅度函數(shù)特點：幅度函數(shù)特點：(1) 式中式中 cos n

14、項對項對 =0, , 皆為偶對稱，則幅度特性對皆為偶對稱，則幅度特性對 =0, , 是偶對稱是偶對稱的。的。(2) 可實現(xiàn)所有濾波特性（低通、高通、帶通、帶阻）。可實現(xiàn)所有濾波特性（低通、高通、帶通、帶阻）。 (3) / 20(1) / 20(1) / 2011()()2 ( )cos()2211()()2 ()cos22()( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nnH ()=2、h(n)=h(N-n-1)，N=偶數(shù)偶數(shù) 推導(dǎo)情況和前面推導(dǎo)情況和前面N為奇數(shù)相似，不同點是由于為奇數(shù)相似，不同點是由于N為偶數(shù)，為偶數(shù)，Hg()中沒有單獨項，相等的項合并成中沒有單獨項，

15、相等的項合并成N/2項。項。/21/211( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn n/21/211( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn n/ 21/ 211()2 ()cos()221()( )cos()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhnn其中：其中：令令m=N/2-n101201( )( )cos() 212 ( )cos ()2NgnNnNHh nnNh

16、nn101201( )( )cos() 212 ( )cos ()2NgnNnNHh nnNh nnH ()幅度特點：幅度特點：(1) 當(dāng)當(dāng)= 時，時，故故H ( )=0，即，即H(z)在在z= 1處，有一零點處，有一零點；(2) 由于由于cos(n )對對w= 奇對稱，所以奇對稱，所以H()在在 = 呈奇對稱呈奇對稱；(3) 用這種濾波器設(shè)計方法用這種濾波器設(shè)計方法不能實現(xiàn)高通、帶阻濾波器不能實現(xiàn)高通、帶阻濾波器；/21/211( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn nH ()3、h(n)=-h(

17、N-n-1)，N=奇數(shù)奇數(shù)由前面推導(dǎo)的幅度函數(shù)可得：由前面推導(dǎo)的幅度函數(shù)可得：(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(1)/21()( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhnn)-(-=-=-21Nh)121NN(h)21N(h由于由于h(n)=-h(N-n-1)，當(dāng)，當(dāng)n=(N-1)/2時：時：h(n)和和正弦項都對正弦項都對(N-1)/2奇對稱，相同項合并，共合并奇對稱，相同項合并，共合并(N-1)/2項。項。h(N-1)/2=0(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc

18、 nnNNc nhn n(1 ) / 21()() s in11()2() ,1, 2 ,22NgnHcnnNNcnhnn n0(N-3)/22h(n)Sin( - n)(1) / 21()( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhnn 令令m=(N-1)/2-n101( )( )sin ()2NgnNHh nnH ()幅度特點：幅度特點：(1) 幅度函數(shù)幅度函數(shù)H()在在 =0, , 呈呈奇對稱。奇對稱。(2) H()在在 =0、 、2 處值為處值為0，即，即H(z)零點在零點在z= 1處處，只能，只能實現(xiàn)實現(xiàn)帶通濾波器帶通濾波器;(1)/21( )( )sin

19、11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn nH ()4 h(n)=h(N-n-1)，N=偶數(shù)偶數(shù)令：令：m=N/2-n，則有：，則有：/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n/21/211()2 ()sin()221()( )sin()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhnn1120011( )( )sin ()2 ( )sin)22NNgnnNNHh nnh nnH ()/21/211( )2 ()sin ()221

20、( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn nH ()幅度特點：幅度特點：(1)由于由于sin(n-)在在 =0、2 處都為處都為0，因此，因此H ()在在 =0，2 處也處也為為0，H(z)在在z=1處為零點；處為零點；不能實現(xiàn)低通、帶阻濾波器不能實現(xiàn)低通、帶阻濾波器。(2)由于由于sin(n)在在 =0、2 處都呈奇對稱，對處都呈奇對稱，對 = 呈偶對稱，呈偶對稱，故幅度函數(shù)故幅度函數(shù)H()在在 =0, 也呈也呈奇對稱，在奇對稱，在 = 處呈偶對稱處呈偶對稱。/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()

21、2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn nH ()第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)綜合起來用下式表示：第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)綜合起來用下式表示：三、零點位置三、零點位置(1)1( )()NH zzH z 表明：表明：l 如果如果z=zi是是H(z)的零點的零點，則則z=zi-1也是也是H(z)的零點的零點。l 由于由于h(n)為實序列，零點必定共軛成對。則為實序列，零點必定共軛成對。則zi*和和(zi-1)*也是也是 H(z)的零點；即的零點；即H(z)的的零點必定互為倒數(shù)的共軛對。零點必定互為倒數(shù)的共軛對。01Re(z)jIm(z)Zi-1

22、ZiZi*(Zi-1)*(1)分析：分析：(1) 當(dāng)當(dāng)zi不在實軸上，不在不在實軸上，不在|z|=1上，則上，則零點零點是互為倒數(shù)的兩組共軛對；是互為倒數(shù)的兩組共軛對；確定了一個零確定了一個零點，其它三個確定了。點，其它三個確定了。(2) 當(dāng)當(dāng)zi不在實軸上，但在不在實軸上，但在|z|=1上，由于共上，由于共軛對的倒數(shù)是它們本身，故此時軛對的倒數(shù)是它們本身，故此時零點是零點是一組共軛對一組共軛對；Re(z)jIm(z)Zi01ZI*(2)(3) zi在實軸上，不在在實軸上，不在|z|=1上，則零點是上，則零點是互為倒數(shù)兩個實數(shù)零點互為倒數(shù)兩個實數(shù)零點；-1(4)01jIm(z)Re(z)(4)

23、 zi在實軸上，也在在實軸上，也在|z|=1上，則零點只有上，則零點只有一個，或位于一個，或位于z=1，或位于，或位于z = 1。ZI101jIm(z)Zi(3)Re(z)例：如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為例：如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為(1) 判斷該系統(tǒng)是否具有線性相位，說明理由。判斷該系統(tǒng)是否具有線性相位，說明理由。(2) 求出該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，畫出幅度、相位和群時延特性曲線。求出該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，畫出幅度、相位和群時延特性曲線。,()0 ,jacjdceHeh(n)1，0n 50，其他，其他n一、設(shè)計思想一、設(shè)計思想 設(shè)希望設(shè)計的濾波器傳輸函數(shù)為設(shè)希望設(shè)計的濾波器傳輸函數(shù)為H Hd d(e(ejj

24、) )，h hd d(n)(n)是與其對應(yīng)的是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此單位脈沖響應(yīng)，因此 ： 6.2 6.2 用窗函數(shù)法設(shè)計用窗函數(shù)法設(shè)計FIRFIR濾波器濾波器()( )1( )()2jjddnjj nddHeh n eh nHeedn()( )1( )()2jjddnjj nddHeh n eh nHeed問題問題：一般情況下一般情況下H Hd d(e(ejj) )是逐段恒定的，在邊界頻率處有不連續(xù)是逐段恒定的，在邊界頻率處有不連續(xù)點，所以點，所以h hd d(n)(n)是無限時寬，且為非因果，這樣的系統(tǒng)不能實現(xiàn)。是無限時寬，且為非因果，這樣的系統(tǒng)不能實現(xiàn)。例例：一理想低通濾波器的傳輸

25、函數(shù)：一理想低通濾波器的傳輸函數(shù)Hd(ej)為為,()0,jacjdceHe相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h hd d(n) (n) 為為)()(sin)(2121)()(ananwanjedweenhCwwanjwjwnwwjwadCCCC hd(n)nhd(n)是無限時寬，非因果序列是無限時寬，非因果序列0c-c|Hd(ej)|1要求要求: (1) 得到一得到一因果序列因果序列h(n)； (2) 構(gòu)造構(gòu)造一個長度為一個長度為N的線性相位濾波器的線性相位濾波器； 將將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱對稱(線性相位線性相位)。設(shè)截取的一

26、段用設(shè)截取的一段用h(n)表示，即表示，即h(n)=hd(n)RN(n)RN(n)n0N-1hd(n)nh (n)na(N-1)/2矩形窗的長度為矩形窗的長度為N N，且，且a a(N-1)/2(N-1)/2時時，滿足，滿足上述兩個要求。上述兩個要求。10( )( )NnnH zh n z1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna1sin()( )2()ccj aj ncdnahneedna二、加窗處理對二、加窗處理對FIR濾波器幅頻特性的影響濾波器幅頻特性的影響 設(shè)計過程中，加窗后的單位響應(yīng)序列為設(shè)計過程中，加窗后的單位響應(yīng)序列為 h(n)= hh(n)= hd d(n

27、)(n) R RN N(n)(n)。即。即用一個用一個有限長的序列有限長的序列h(n)h(n)去代替一個去代替一個無限長的序列無限長的序列h hd d(n)(n)，會產(chǎn)生會產(chǎn)生誤差，時域中是誤差，時域中是截斷處理截斷處理，在頻域表現(xiàn)出的現(xiàn)象就是，在頻域表現(xiàn)出的現(xiàn)象就是通帶和阻帶中通帶和阻帶中有波動有波動，也稱為吉布斯效應(yīng)，也稱為吉布斯效應(yīng)( (截斷效應(yīng)截斷效應(yīng)) )。 這樣設(shè)計出來的這樣設(shè)計出來的頻響頻響 H(eH(ejwjw) ) 只能是盡量逼近要求的只能是盡量逼近要求的H Hd d(e(ejwjw) )h(n)= hd(n)RN(n)(1()()()2jjjdNH eHeRed (1()(

28、)()2jjjdNH eHeRed (1()()()2jjjdNH eHeRed (1()()()2jjjdNH eHeRed *(1()()()2jjjdNH eHeRed (1()()()2jjjdNH eHeRed 分析：頻域卷積定理111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj nj njaNNNnnNReRn eeeRe111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj nj njaNNNnnNReRn eeeRe)()( )jj addHeHe()()jjaddHeHe()( )jj addHeHe1,()0,cdcH矩形窗的幅度函數(shù)

29、理想低通濾波器的幅度特性理想低通濾波器的幅度特性()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd ()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd ()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRd()()jjaddHeHesin(/21(),sin(/2)2NNNR*()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRd結(jié)論：結(jié)論：設(shè)計出來的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度設(shè)計出來的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性特性H Hd d()()與矩形窗幅度特性與矩形窗幅度特性R Rd d

30、()()的卷積。的卷積。Hd()與與Rd()卷積形成卷積形成H()的過程的過程()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd ()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRdWc+2/NWc2/NH(w)H(w)最大的正峰與最大的正峰與最大的負峰對應(yīng)的最大的負峰對應(yīng)的頻率相差頻率相差4/N4/NH()與原理想低通與原理想低通 Hd()差別有以下差別有以下2點：點： H()在在 =C附近形成過渡帶附近形成過渡帶，過渡帶，過渡帶寬度寬度B=4 /N，近似于矩，近似于矩形序列形序列幅度譜幅度譜RN()的主瓣寬度的主瓣寬度； 通帶內(nèi)增加了通帶內(nèi)增加了

31、波動波動，最大的峰值在，最大的峰值在 =C 2 /N 處，阻帶內(nèi)產(chǎn)生處，阻帶內(nèi)產(chǎn)生了了余振余振，最大的負峰值在，最大的負峰值在 =C+2 /N 處。幅度譜處。幅度譜RN()波動越快波動越快(N加大加大)，通帶、阻帶內(nèi)波動越快，其旁瓣的大小直接影響，通帶、阻帶內(nèi)波動越快，其旁瓣的大小直接影響H()波波動的大小。動的大小。 Hd()在加窗后在頻域中的現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)在加窗后在頻域中的現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)影響影響: : (1)(1)通帶內(nèi)的波動影響濾波器通帶的通帶內(nèi)的波動影響濾波器通帶的平穩(wěn)性平穩(wěn)性；(2)(2)阻帶內(nèi)波動影響阻帶內(nèi)波動影響阻帶的衰減阻帶的衰減，可使最小衰減不滿足技術(shù)要求；，可使最小

32、衰減不滿足技術(shù)要求；減小吉布斯效應(yīng)措施減小吉布斯效應(yīng)措施1、增加、增加N值值l 可減小過渡帶寬度可減小過渡帶寬度，由于，由于主瓣與旁瓣幅度也增加，且主瓣和旁主瓣與旁瓣幅度也增加，且主瓣和旁瓣的瓣的相對值不變相對值不變， H(w)的波動幅度沒有改變。的波動幅度沒有改變。l 帶內(nèi)最大肩峰比帶內(nèi)最大肩峰比H(0)高高8.95%，阻帶最大負峰比零值超過，阻帶最大負峰比零值超過8.95% 。使阻帶最小的使阻帶最小的衰減只有衰減只有21dB。l 譜間干擾未減小，波動更明顯，因此譜間干擾未減小，波動更明顯，因此加大加大N并不是減少吉布斯并不是減少吉布斯效應(yīng)的有效方法效應(yīng)的有效方法；2、改善窗函數(shù)的形狀、改善

33、窗函數(shù)的形狀 減少帶內(nèi)波動以及加大阻帶的衰減只能從減少帶內(nèi)波動以及加大阻帶的衰減只能從窗函數(shù)的形狀窗函數(shù)的形狀找出解找出解決方法，主要考慮以下決方法，主要考慮以下2點因素：點因素： 盡量盡量減小主瓣寬度減小主瓣寬度，以獲得較窄的過渡帶；，以獲得較窄的過渡帶；(1) 盡量使窗函數(shù)的盡量使窗函數(shù)的最大副瓣最大副瓣相對于主瓣要小，使設(shè)計出來的濾波相對于主瓣要小，使設(shè)計出來的濾波器幅度特性中器幅度特性中肩峰和余振較小肩峰和余振較小，阻帶衰減較大。，阻帶衰減較大。三、幾種常見的窗函數(shù)三、幾種常見的窗函數(shù)1、矩形窗、矩形窗 (Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 其頻率響應(yīng)其頻率響應(yīng)

34、為為1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee05 . 00 . 1)(nw1Nn21N WR(ejw)主瓣寬度為主瓣寬度為4 /N，第一副瓣比主瓣低，第一副瓣比主瓣低13dB。dB0806020400)e(Wlg20jN2w2、三角窗、三角窗 (Bartlett Window)，巴特利特窗，巴特利特窗21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN05 . 00 . 1n)(nw1N21N W WBrBr(e(ejwjw) )主瓣寬度為主瓣寬度為8 8 /N/N； 第一副瓣比主瓣低第一副瓣比主瓣低26dB26dB。dB0204060800N2)e(Wlg2

35、0jw1()22sin()4()2 sin( /2)NjjBrNNWee1()22sin()4()2 sin( /2)NjjBrNNWee1()22sin()4()2 sin( /2)NjjBrNNWee1()22sin()4()2 sin( /2)NjjBrNNW ee2 3. 漢寧漢寧(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗1211222( )0.51cos()( )1()( )()2()( )0.5()0.25()12()()1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN頻響函數(shù)頻響函數(shù)22()0.5()0.25()()HnRRR

36、WWWWNN其幅度函數(shù)其幅度函數(shù)05 . 00 . 1)(nw1Nn21NW WHnHn(e(ejwjw) )主瓣寬度為主瓣寬度為8 8 /N/N，第一副瓣比，第一副瓣比主瓣低主瓣低33dB33dB。0N2dB020406080w w)e(Wlg20j1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.25()12()( )1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.25()12()( )1HnNNjjRN

37、RjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN| |4哈明窗哈明窗 (Hamming Window)改進的余弦窗改進的余弦窗2( )0.540.46 cos()( )1HmNnnRnN22()()11()0.54()0.23()0.23()22()0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN22()()11()0.54()0.23()0.23()22()0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN05 . 00 . 1)(nwn21N

38、1NW WHmHm(e(ejwjw) )主瓣寬度為主瓣寬度為8 8 /N/N，第一副瓣比，第一副瓣比主瓣低主瓣低40dB40dB。dB0806020400N2)e(Wlg20jw5布萊克曼窗布萊克曼窗 (Blackman Window):二階升余弦窗二階升余弦窗24()0.420.5 cos0.08 cos()11BlNnnnRnNN22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe22()0.42()0.25()()11440.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN21N05 . 00 . 1

39、n)(nw1NW WBlBl(e(ejwjw) )主瓣寬度為主瓣寬度為1212 /N/N，第，第一副瓣比主瓣低一副瓣比主瓣低57dB57dB。22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe0N2dB020406080w)e(Wlg20j6、凱塞、凱塞-貝塞爾窗貝塞爾窗 (Kaiser-Basel Window),)112(1;10,)()()(200 NnNnIInWk 其其中中 120)2(!11)(kkxkxI 參數(shù)用以參數(shù)用以控制窗的形狀控制窗的形狀，影響濾波器的性能參數(shù)，影響濾波器的性能參數(shù)，

40、加大，主瓣加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為：加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為：44 99；當(dāng)；當(dāng) 5.445.44時，窗函時，窗函數(shù)接近哈明窗，數(shù)接近哈明窗， 7.8657.865時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為：凱塞窗的幅度函數(shù)為：I0(x)取取1525項，可項，可滿足精度要求滿足精度要求,)112(1;10 ,)()()(200 NnNnIInWk 其其中中I I0 0(x) (x) 是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)(1)/21( )(0)2( )cosNkkknWnn凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響

41、六種窗函數(shù)的基本參數(shù)六種窗函數(shù)的基本參數(shù) 四、窗函數(shù)法的設(shè)計步驟四、窗函數(shù)法的設(shè)計步驟1確定希望逼近的濾波器的頻響函數(shù)確定希望逼近的濾波器的頻響函數(shù)Hd(ej)2 2、根據(jù)、根據(jù)Hd(ej)確定其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)確定其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h hd d(n)(n)22101( )()MjkjknMMMdkhnHeeMIDFT( )()MdrhnhnrMRM(n)1( )()2jjddh nHee dn(1) Hd(ej)可封閉求解，則：可封閉求解，則：(2) Hd(ej) 不可封閉求解，對不可封閉求解，對Hd(ej) 從從 =0 2 采樣采樣M點，采樣值點，采樣值為為 Hd(ej2 k/M)，k

42、=0,1,M-1，用，用2 /M 代替上式中代替上式中d ，則：，則：(3) 如果已知通帶如果已知通帶(或阻帶或阻帶)衰減和邊界截止頻率衰減和邊界截止頻率c，選，選理想濾波器理想濾波器作作為逼近函數(shù)，對理想濾波器頻響函數(shù)作為逼近函數(shù)，對理想濾波器頻響函數(shù)作 IFT ，求出，求出 hd(n)。,()0,jacjdceHe)()(sin)(2121)()(ananwanjedweenhCwwanjwjwnwwjwadCCCC )()(sin)(2121)()(ananwanjedweenhCwwanjwjwnwwjwadCCCC 2 2、選擇窗函數(shù)、選擇窗函數(shù) 根據(jù)根據(jù)過渡帶過渡帶與與阻帶衰減阻帶

43、衰減的要求，選擇滿足條件的的要求，選擇滿足條件的窗函數(shù)形式窗函數(shù)形式，并并估計窗口長度估計窗口長度N。原則是保證阻帶衰減的前提下，盡量選主瓣窄。原則是保證阻帶衰減的前提下，盡量選主瓣窄的窗函數(shù)。的窗函數(shù)。3、計算所要設(shè)計的濾波器的單位采樣響應(yīng)、計算所要設(shè)計的濾波器的單位采樣響應(yīng)h(n) 計算濾波器的單位取樣響應(yīng)計算濾波器的單位取樣響應(yīng) h(n)= hd(n) w(n)。其中。其中 w(n)是上面是上面選擇好的窗函數(shù)，選擇好的窗函數(shù)，hd(n)與與w(n)都應(yīng)滿足線性相位要求。都應(yīng)滿足線性相位要求。4 4、驗證技術(shù)指標是否滿足要求、驗證技術(shù)指標是否滿足要求 已設(shè)計出的濾波器的頻率響應(yīng)已設(shè)計出的濾

44、波器的頻率響應(yīng) 。驗算。驗算H(ej)是否滿足設(shè)計要求，若不滿足要求，重復(fù)上面是否滿足設(shè)計要求，若不滿足要求，重復(fù)上面2，3，4過程。過程。10()( )Njj nnH eh n e窗函數(shù)法優(yōu)點：窗函數(shù)法優(yōu)點： 從時域出發(fā)的一種設(shè)計方法，設(shè)計簡單，方便，實用。從時域出發(fā)的一種設(shè)計方法，設(shè)計簡單，方便，實用。缺點是：缺點是： 要求用計算機實現(xiàn)，邊界頻率不易控制。要求用計算機實現(xiàn)，邊界頻率不易控制。Hd(ej)h(n)hd(n)IFT加窗截斷加窗截斷FT比較，滿足設(shè)計要求，則設(shè)計完畢，不合格則修改窗函數(shù)比較，滿足設(shè)計要求，則設(shè)計完畢，不合格則修改窗函數(shù)H (ej)例：例：用矩形窗設(shè)計法設(shè)計一個用矩

45、形窗設(shè)計法設(shè)計一個FIR線性相位低通濾波器，已知線性相位低通濾波器，已知c =0.5，N=21， (N-1)/2，畫出畫出h(n)和和20lg|H()/H(0)|曲線，再計曲線，再計算正、負肩峰的位置和過渡帶寬帶度。算正、負肩峰的位置和過渡帶寬帶度。單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)h hd d(n)(n)為為: :1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna)an( )an( 5 . 0sin-=1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna,()0,j acjdceHe,()0,j acjdceHe,()0,j acjdceHe,()0,j acjdceHe解解

46、：理想濾波器的頻響為：理想濾波器的頻響為：計算得：計算得：hd(n)，0，1/9，0，1/7，0， 1/5， 0，1/3， 0， 1/， 0.5， 1/， 0， -1/3， 0， 1/5，0， -1/7，0， 1/9，0 ，n=0加矩形窗：加矩形窗：h(n)=hd(n).RN(n) h(n) 0，0.0354，0，-0.0455，0，0.0637，0，-0.1061，0，0.3183， 0.50，0.3183，0， -0.1061，0，0.0637，0，-0.0455，0，0.0345，0 h(n)0，1/9，0，1/7，0， 1/5， 0，1/3， 0， 1/， 0.5， 1/， 0， -1

47、/3， 0， 1/5，0， -1/7，0， 1/9，0 20lg|H()/H(0)|曲線如下：曲線如下：正肩峰正肩峰A點：點：c- 2/N0.5- 2/21 20lg(1.0895) = 0.74dB臨界頻率臨界頻率B點：點：c0.5 20lg(0.5) = -6dB負肩峰負肩峰C點：點：c2/N0.52/21 20lg(0.0895) = -21dB過渡帶過渡帶AC寬度為：寬度為：c2/N (c-2/N) = 4/N = 0.19 一、頻率采樣法基本原理一、頻率采樣法基本原理設(shè)設(shè) Hd(ej) 為所要設(shè)計的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，則為所要設(shè)計的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，則:1、在、在 = 范圍內(nèi)對

48、范圍內(nèi)對 Hd(ej) 進行進行N點等間隔采樣，得到點等間隔采樣，得到Hd(k)6.3 用頻率采樣法設(shè)計用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器濾波器2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNN2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNN2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkH kH ekNh nH k ekNN2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHe

49、kNh nHk ekNN2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNN2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNN2、對、對N點點Hd(K)進行進行IDFT，得所設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)，得所設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)3對求出的對求出的h(n)進行進行z變換，得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)變換，得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)10( )( )NnnH zh n z12011( )( )1NNdjkkNzHkH zNez或利用頻域內(nèi)插公式（或利用頻域內(nèi)

50、插公式（P88P88）Hd(ej)Hd(k)h(n)H(ej)等間隔采樣等間隔采樣IDFT內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)是否滿足指標是否滿足指標二、線性相位的約束二、線性相位的約束(1) 第一類線性相位：第一類線性相位：h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)kNNkNNk1221kkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(221)()()()(NjjjeHeHeH特點：特點：幅度函數(shù)幅度函數(shù)H()關(guān)于關(guān)于=0，2偶對稱，偶對稱， H () = H(2 )采樣值：采樣值： Hk關(guān)于關(guān)于N/2偶對稱，即：偶對稱，即： Hk= HN-k 相位采樣值：相位采樣值：(2) 第一類線性相位：第一類線性相位：h(n

51、)偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)kNNkNNk1221kkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(221)()()()(NjjjeHeHeH特點：特點：幅度函數(shù)幅度函數(shù)H()關(guān)于關(guān)于=奇對稱，奇對稱， H () = -H(2 )采樣值：采樣值： Hk關(guān)于關(guān)于N/2奇對稱，即：奇對稱，即： Hk= -HN-k ，且，且HN/2 =0 相位采樣值：相位采樣值：(3) 第二類線性相位：第二類線性相位：h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)212221kNNkNNkkkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(2)221()()()()(NjjjeHeHeH特點：特點：幅度函數(shù)幅度函數(shù)H()

52、關(guān)于關(guān)于=0，2奇對稱，奇對稱， H () = -H(2 )采樣值：采樣值： Hk奇對稱，即：奇對稱，即： Hk= -HN-k 相位采樣值：相位采樣值：(4) 第二類線性相位：第二類線性相位：h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)212221kNNkNNkkkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(2)221()()()()(NjjjeHeHeH特點：特點：幅度函數(shù)幅度函數(shù)H()關(guān)于關(guān)于=偶對稱，偶對稱， H () = H(2 )采樣值：采樣值： Hk偶對稱，即：偶對稱，即： Hk=HN-k 相位采樣值：相位采樣值：（2）h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)時：為偶數(shù)時：設(shè)計方法：設(shè)計方法：

53、 用理想濾波器作為逼近濾波器，截止頻率為用理想濾波器作為逼近濾波器，截止頻率為c，采樣點數(shù)為，采樣點數(shù)為N，則則Hk和和k的計算公式為：的計算公式為：（1）h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數(shù)時：為奇數(shù)時：Hk = HN-k = 1， k=0，1，kc；Hk = 0， k= kc+1，kc+2，N-kc-1；kNNk1k=0，1，N-1；Hk = 1， k=0，1，kc；Hk = 0， k= kc+1，kc+2，N-kc-1；kNNk1k=0，1，N-1；HN-k = -1， k=0，1，kc；kc取小于等于取小于等于 cN /2 的的最大整數(shù)最大整數(shù)對對 H(k) 進行進行 IDFT變換，求出變

54、換，求出 h(n)；由由 h(n)可求出所設(shè)計濾波器的頻響可求出所設(shè)計濾波器的頻響 H(ejw)由前面計算出的由前面計算出的Hk和和k的值可構(gòu)造出的值可構(gòu)造出H(k)kjkeHkH)(等效于在等效于在0，2 上的上的N個采樣值個采樣值k=0，1，N-1；三、誤差分析與改進措施三、誤差分析與改進措施 設(shè)待設(shè)計的濾波器為設(shè)待設(shè)計的濾波器為Hd(ej)，對應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為，對應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為hd(n)1( )()2jjnddhnHeed( )()( )dNrh nhnrN Rn1、從時域分析誤差、從時域分析誤差 頻域采樣定理：在頻域頻域采樣定理：在頻域02之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點，利用點

55、，利用IDFT得到的得到的h(n)。分析：分析：如果如果Hd(ej)有間斷點，則有間斷點，則hd(n)是無限長的，這樣得到的是無限長的，這樣得到的h(n)產(chǎn)生時域的產(chǎn)生時域的混迭，無法逼近混迭，無法逼近hd(n)。改進措施：改進措施：增大增大N值，使設(shè)計出的濾波器愈逼近待設(shè)計值，使設(shè)計出的濾波器愈逼近待設(shè)計Hd(ej)。 2、從頻域分析誤差、從頻域分析誤差 頻率域等間隔采樣得到頻率域等間隔采樣得到N個采樣值個采樣值H(k)，頻響函數(shù)和，頻響函數(shù)和H(k)的關(guān)系為的關(guān)系為120110121( )( )12()( )()1 sin(/2)()sin(/2)N NjkNNjkNjzH kH zNez

56、H eH kkNNeN120110121( )( )12()( )()1 sin(/2)()sin(/2)N NjkNNjkNjzH kH zNezH eH kkNNeN內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插公式 在采樣點在采樣點 =2 k/N，k=0,1,N-1處，處， ( -2 k/N)=1，因此采樣點，因此采樣點H(ejk)與與H(k)相等，逼近誤差為相等，逼近誤差為0。 在采樣點間，在采樣點間，H(ej)由有限項由有限項H(k)與與 ( -2 k/N)之乘積和形成，其誤差與之乘積和形成，其誤差與Hd(ej )平滑度有關(guān)，越平滑，誤差越小。平滑度有關(guān)，越平滑，誤差越小。 特性曲線特性曲線間斷點處，誤差最大間斷點處

57、，誤差最大，表現(xiàn)形式為間斷點用斜線取代，且間斷點附，表現(xiàn)形式為間斷點用斜線取代，且間斷點附近形成振蕩特性，使阻帶衰減減小，有可能滿足不了技術(shù)要求。近形成振蕩特性，使阻帶衰減減小，有可能滿足不了技術(shù)要求。誤差分析誤差分析：(1)(1)增大增大N N值，值，但間斷點仍無法彌補，帶來體積增大，成本增加。但間斷點仍無法彌補，帶來體積增大，成本增加。(2)(2) 在頻響在頻響間斷點間斷點附近區(qū)間附近區(qū)間內(nèi)插一個或幾個過渡采樣點內(nèi)插一個或幾個過渡采樣點，使不連，使不連續(xù)點變成緩慢過渡，雖然續(xù)點變成緩慢過渡，雖然增加了過渡帶帶寬增加了過渡帶帶寬( (代價）代價），但，但增加了阻增加了阻帶衰減帶衰減( (收獲收獲) )。過渡帶的優(yōu)化要借助于計算機優(yōu)化設(shè)計。過渡帶的優(yōu)化要借助于計算機優(yōu)化設(shè)計。減小誤差措施減小誤差措施總結(jié)：頻率采樣法設(shè)計線性相位總結(jié)：頻率采樣法設(shè)計線性相位FIR濾波器步驟濾波器步驟1、根據(jù)、根據(jù)c 及及N的奇偶性，確定濾波器的奇偶性，確定濾波器 Hk和和 k及及kC值；值；2、由、由H(k) = Hkej k，求出，求出 H (k)；3、對、對 H (k) 進行進行 IDFT變換，求出變換，求出 h(n)；4、由、由 h(n) 求出所設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)求出所設(shè)計的濾波器的頻