電路分析第9章正弦穩(wěn)態(tài)功率能量

第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量§9-1基本概念§9-4單口網(wǎng)絡的平均功率功率因數(shù)§9-5單口網(wǎng)絡的無功功率§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理§9-8三相電路§9-6復功率復功率守恒§9-2電阻的平均功率§9-3電感、電容的平均儲能

若在dt

時間內(nèi)，由a點轉(zhuǎn)移到b點的正電荷為dq，且由a到b為電壓降u，則正電荷失去的能量，即ab段電路消耗或吸收的能量為dw=

u?dqp(t)>0時，電路吸收功率p(t)<0時，電路釋放功率1.能量瞬時功率

p(t)=dw/dt=udq/dt=uiiu+–ab在關聯(lián)參考方向下§9-1基本概念2.功率1.瞬時功率+u

-i設：u(t)

=

Umcos

ti(t)

=

Imcos

t

p(t)

=

u

·

i

=

Umcos

t

·

Imcos

t

=

UmImcos2

t

UmIm[1＋cos

2

t

]=12(1)

p

>

0

(2)

p

隨時間變化，變化的角頻率為2

，是電壓或電流角頻率的2倍。

0

tipuu·i·p

π2π§9-2電阻的平均功率2.平均功率(有功功率）

∫P

=T1T012UmIm

[

1＋

cos

2

t

]

dtUmIm12=UmIm

=

UI12P

=P

=

I2RR

U2P

=平均功率的大小與電流的頻率及初相角無關。思考題：平均功率的計算為何與直流電路相同？VCR電壓超前電流90

；U?+1+j0相量圖I?波形圖i

t0uU

?I

?電壓與電流相量式=jXL§9-3電感、電容的平均儲能1.電感元件設:u(t)

=

Umcos

t

則

i(t)=Imcos(t-90°)=

Imsin

t–

+uLi（1）瞬時功率1p(t)

=

Umcos

t

Imsin

t

=2UmImsin2

t

0ωtipuu·i·pπ2π

A.p按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍。

B.p>0吸收功率；P<0放出功率。P

=

0不消耗電能

(2)平均功率（3）無功功率—表示交換能量的規(guī)模，用電感瞬時功率的最大值表示（4）貯能w(t)=12Li

2(t)=12LIm2sin2

t

=14LIm2(1

–

cos2

t

)LIm2

=14LIm2

cos2

t

14平均儲能：LIm2=WL=14LI212（3）無功功率—瞬時功率的最大值UmIm

=

UI12QL

=電感與電源之間能量交換的規(guī)模稱為無功功率。單位為乏(var)

。QL

=

UI

=

LI2=

2WL無功功率與平均儲能的關系電壓與電流的關系電流超前電壓90

；I

?+1+j0相量圖U

?波形圖i

t0uU

?I

?

電壓與電流相量式=–j

XC

§9-3電感、電容的平均儲能2.電容元件u(t)

=

–

Umcos

t設:i(t)

=

Imsin

t–

+uCi以正弦函數(shù)作基準（1）瞬時功率0

tipuu·i·pπ2π

A.p按正弦規(guī)律變化，變化的角頻率為電壓或電流角頻率的兩倍

B.p>0吸收功率；P<0放出功率P

=

0不消耗電能

(2)平均功率21p(t)

=

–

Umcos

t

Imsin

t

=

–UmImsin2

t

UIsin2

t

=–（3）無功功率—表示交換能量的規(guī)模，用電容瞬時功率的最大值表示(3)無功功率—瞬時功率的最大值（4）儲能平均儲能：瞬時能量QC

=–

UI

=–

CU2=–

2WC無功功率與平均儲能的關系(一)純電阻元件交流電路u=iR

電壓與電流相量表達式U=R?I?平均功率P=IU

=RI2didtu

=

LU

?

?電壓與電流相量式=jXL

I(二)純電感元件交流電路平均功率P=0無功功率Q=UI=XLI2=2WLdudti=C(三)純電容元件交流電路平均功率P=0無功功率Q=

–

UI=–

XC

I2=–

2WC

電壓與電流相量式=XC

U?jI?小結(jié)：單一參數(shù)交流電路的功率uiptuipu對任一無源二端網(wǎng)絡，設電流為參考正弦量則電壓瞬時功率整理可得

9.4.1瞬時功率+﹣iuN0當＞0時，為電感性電路§9-4單口網(wǎng)絡的平均功率功率因數(shù)當u、i同號時，p=ui>0，網(wǎng)絡吸收電功率當u、i異號時，p=ui<0，網(wǎng)絡放出電功率

在一個周期內(nèi)，若p>0的面積大于p<0的面積，表明平均功率不為0。網(wǎng)絡內(nèi)部有電阻（耗能）元件。瞬時功率

uiptuipu

+﹣iuN09.4.1瞬時功率瞬時功率

正弦交流電路的有功功率（平均功率）為

9.4.2平均功率(有功功率)和功率因數(shù)功率因數(shù)

=cos

uiptuipP

有功功率P=UIcos

又稱為功率因數(shù)角U?I?

?

UP?UQ

在一般交流電路中，U與

I

相差一個

角。如果將U

分解成兩個分量，如下圖。其中UP稱為電壓的有功分量；UQ稱為電壓的無功分量。?????有功功率P=UP

I

=UIcos

無功功率Q=UQ

I=UIsin

視在功率S=UI=P2+Q2

單位：瓦（W）乏（var）伏安(VA)??I?U?UR?UL?

Uc?UL?Uc?RLC串聯(lián)電路相量圖§9-5單口網(wǎng)絡的無功功率和視在功率例如：RLC串聯(lián)電路的功率

的大小和正負由電路參數(shù)決定。I?U?UR?UL?

Uc?UL?Uc?–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL阻抗三角形XL--XcR

ZZ=R+jXX=XL-XC復數(shù)阻抗有功功率P=UIcos

=UR

I=I2R無功功率Q=UIsin

=UX

I=I2X視在功率S=UI=P2+Q2

注意:QL為正,QC為負=I2XL

–I2XC=QL+QC

又稱為功率因數(shù)角cos稱為功率因數(shù)功率三角形有功功率

P=UIcos

無功功率

Q=UIsin

視在功率S=UI

S2=P2+Q2S=

P2+Q2SQPU?UR?UX?RXZ

1、阻抗三角形2、電壓三角形3、功率三角形u=Usin(

t+)i=Isin

t+﹣iuN0設二端網(wǎng)絡的復數(shù)阻抗為Z=R+jX電路中總的有功功率等于各支路或各電阻元件有功功率的算術和

電路中總的無功功率Q=QL+QC

注意QL為正,QC為負電路中總的視在功率一般不等于各支路或各元件視在功率的算術和或代數(shù)和。無源u=Ucosti=Icos(t–)iu有功功率

P=UIcos

無功功率

Q=UIsin

視在功率S=UI

伏·安（VA）S=

P2+Q2SQPU?UR?UX?RXZ

阻抗三角形電壓三角形功率三角形有功功率、無功功率和視在功率例3.5.1試求電路中的有功功率P,無功功率Q，視在功率S

及功率因數(shù)cos

，已知：=1000oV。U?I?j43

+–U?I1?I2?–j2解：方法1：由總電壓，電流求Z=(3+j4)(–j2)3+j4–j2–6j+83+j2=10

–36.87o3.6

33.69o==2.78

–

70.56o

I=UZ??=1000o2.78

–

70.56o=36

70.56oAP=UIcos=100×36cos(–

70.56o)=1200WQ=UIsin=100×36sin(–

70.56o)=–3400varS=UI=100×36=3600V·Acos

=cos(–70.56o)=0.33解：方法2：由各元件的功率求I1=U|Z1|=1005=20AI2=U|Z2|1002==50AP=I12R=202×3=1200WQL=I12XL=202×4=1600varQC=–I22XC=–502×2=–5000varQ=QL+QC=1600–5000=–3400var

=arctgQ/P=–

70.56ocos

=cos(–70.56o)=0.33S=

P2+Q2=3600V·AI?j43

+–U?I1?I2?–j2例3.5.1試求電路中的有功功率P,無功功率Q，視在功率S

及功率因數(shù)cos

，已知：=1000oV。U?解:

例2：R、L、C串聯(lián)交流電路如圖所示。已知：R=30

、L=127mH、C=40F，求：(1)電流

i及各部分電壓uR，uL，uC；(2)求功率P和Q。V)20314cos(2220o+=tu–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+A)73°314cos(24.4+=ti(1)得V)73°314cos(2132+=tuRV)163°314cos(2176+=tuLV)17°314cos

(2352-=tuC注意：（2）電路為電容性–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+

并聯(lián)交流電路設

u=Umcos

t相量圖I?Ic?U?UR?UL?IRL?uiiRLicuRuLCL+++R－－－U?j

LIRL?Ic?I?RUR?UL?－－－+++﹣j

C1功率因數(shù)低引起的問題有功功率P=UNIN

cos

功率因數(shù)(1)電源設備的容量不能充分利用(2)增加輸電線路和變壓器繞組的功率損耗在P、U一定的情況下，cos

越低，I越大，損耗越大。情況下，cos

越低，P越小，設備得不到充分利用。P=UIcos

電壓與電流的相位差、阻抗角、功率因數(shù)角在電源設備UN、IN一定的1.提高功率因數(shù)的意義提高功率因數(shù)的方法I?IC?IRL?U?

1

電路功率因數(shù)低的原因

并聯(lián)電容后，電感性負載的工作狀態(tài)沒變，但電源電壓與電路中總電流的相位差角減小，即提高了整個電路的功率因數(shù)。通常是由于存在電感性負載。將適當?shù)碾娙菖c電感性負載并聯(lián)。因

<

1

故cos

>

cos

12.提高功率因數(shù)cos

的方法+–uiiRLLRCiC功率因數(shù)從

cos

1提高到cos

，則應并聯(lián)電容C為I?IC?IRL?U

?UP(tan

1–tan

)=C=

U2P(tan

1–tan

)IC=

UXC=

U

CUcos

I

=PUcos

1IRL=PP

=

UIRLcos

1=UIcos

IC=IRLsin

1–Isin

Psin

Ucos

1IC=Psin

1Ucos

–功率因數(shù)從cos

1

提高到cos

，則應并聯(lián)電容C為+–uiiRLLRCiC

1

例3

某一220V、50Hz、50kW的電動機,功率因數(shù)為0.5。（1）電源提供的電流是多少，無功功率是多少？（2）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)為0.9，所需電容是多大，此時電源提供的電流是多少？解：（1）PL=UIL

cos

L

QL

=

UIL

sin

Lcos

L=0.5

L=60=220455

0.866=86.7kvar+–uiLPL=50kWiCiC（2）并聯(lián)電容后，電源提供的無功功率解：cos

=0.9

=25.84由QC

=–

CU2P

=

UIcos

例3

某一220V、50Hz、50kW的電動機,功率因數(shù)為0.5。（1）電源提供的電流是多少，無功功率是多少？（2）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)提高到0.9，所需電容是多大,此時電源提供電流是多少？+–uiLPL=50kWiCiC（2）解二cos

=0.9

=25.84例3

某一220V、50Hz、50kW的電動機,功率因數(shù)為0.5。（1）電源提供的電流是多少，無功功率是多少？（2）如果并聯(lián)電容使功率因數(shù)提高到0.9，所需電容是多大,此時電源提供電流是多少？+–uiLPL=50kWiCiCC=

U2P(tan

L–tan

)cos

L=0.5

L=60=4103F復功率

=

UI

(

u+

i)·I·U=

UI

(

u-

i)·I*·U=

UI

cos(

u?

i

)

+

jUI

sin(

u-

i)

P

=U

Icos(

u?

i)

Q

=U

Isin(

u?

i)

§9-6復功率復功率守恒S

=

P

+

jQ=

=

UI

(

u?

i

)=

S

j·I*·U復功率守恒：復功率的實部P為網(wǎng)絡中各電阻元件消耗功率的總和；虛部Q為網(wǎng)絡中各動態(tài)元件無功功率的代數(shù)和。即無功功率Q

=

QL+

QC

注意QL為正,QC為負。=

I

–

iI*?電流共軛相量

QSPNi(t)電源+u(t)-=

U

u

·U=

I

i·I設例1：電路如圖，已知：U=2300V。求兩負載吸收的總復功率，并求輸入電流的有效值和總功率因數(shù)。15kW=0.6感性10kW=0.8容性＋–iu解：每一負載的復功率同理則總復功率感性負載1.單個元件的功率和能量2.單口網(wǎng)絡的功率L:P

=

0Q

=

UI

WL

=12LI2C:P

=

0Q

=

–UI

WC

=12CU2Um

Imcos

12P

=U

Icos

P

=12Q

=

U

Isin

Q

=Um

Imsin

=

u?

i

S

=UIS

=

P

+

jQ

(無獨立源單口網(wǎng)絡)小結(jié)：正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率R:P

=

UI

=

I2R

=

U2/Rl

=PS=

cos

Ni(t)電源+u(t)-§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理

Z0ZLI·+UOC-·+UL-·(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可變Z0+ZL

UOC(R0

+

RL)

+

j(X0

+

XL)

=I

=

UOC···=

(R0+

RL)2

+

(X0+

XL)2

UOC(

-

arctgR0+RL)X0+XL·求負載獲得最大功率的條件設UOC、Z0不變，ZL可變，·(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC2

RLPL=I2RL

=當X=X0+XL

=

0時,分母最小,PL最大(R0

+

RL)2

–

2RL(R0

+

RL)

=

0R0

+

RL

–

2RL

=

0RL=

R0負載獲得最大功率的條件：共軛匹配：RL=

R0

XL=

–X0*ZL

=

Z0=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(

–

arctgR0+RL)X0+XL·Z0ZLI·+UOC-·+UL-·dPL(R0+RL)2–2RL(R0+RL)=0dRL=UOC(R0+

RL)42(R0

+

RL

)2

UOC

RLPL

=2(R0

+

RL

)2

UOC2

RL

=PLmax

=4R0

UOC2PLmax

=4RO

UOC2

=124RO

UOCm2負載獲得的最大功率Z0ZLI·+UOC-·+UL-·負載獲得最大功率的條件：共軛匹配:RL=

R0

XL=

–X0*ZL

=

Z0(R0+RL)2+X02

UOC2

RLPL=(2)負載為純電阻RLdPL(R0+

RL)2

+

X02–

2RL(R0+

RL)dRL=[(R0+

RL)2

+

X02]2UOC2=

0(R0+

RL)2

+

X02–2RL(R0+RL)

=0R02

+

2R0RL+

RL2

+

X02–

2R0RL–

2RL2

=

0R02

–

RL2

+

X02=

0RL2

=

R02

+

X02RL=R02+X02=

Z0

模匹配PLmax=

I

2RLZ0ZLI·+UOC-·+UL-·12ImRLPLmax

=2(3)負載ZL的阻抗角固定而?？筛淖?/p>

ZL

=R02+X02=

Z0

模匹配阻抗三角形XL

RL

ZLZL

=

RL

+

jXL

=

|ZL|∠j

在這種情況下，可以證明，負載獲得最大功率的條件為：負載阻抗的模應與電源內(nèi)阻抗的模相等，稱為模匹配。

在這種情況下，負載所獲得的最大功率并非為可能獲得的最大值。如果負載阻抗的阻抗角也可調(diào)節(jié)，還能使負載得到更大一些的功率。Z0ZLI·+UOC-·+UL-·例1：電路如圖，求：(1)獲得最大功率時ZL為何值？

(2)最大功率值；(3)若ZL為純電阻，ZL獲得的最大功率。解：Z0

=(2

+

2)

103

j4

103(2

+

2)

103

+

j4

103=j16

1034

+

j4=

2

+

j2

=

2245?k?（1）ZL

=

2

–

j2k?時獲得最大功率=

212245?V=212

j42

+

j2·UOC=2

1032

103

+

(

2

103

+

j4

103)

2120?10-3

j4

103（2）ZL2120?mAj4k2k2k+UOC–·2120?mAj4k2k2k12

103U1

+

(·12

1031j4

103+)UOC

=

0·–2U1

–

UOC

=

414

0?··–

2U1

+

(2

–

j)UOC

=

0··(12

103)U1–12

10312

103+··UOC

=

212

10-30?

UOC

=·414–20

–1–22

–

j=8284

–

j2

–

2=8282

–

j2=

212245?V（2）計算開路電壓的另一種方法—節(jié)點分析法+UOC–·2120?mAj4k2k2k·ZL

=

22103

=

2.83

k?時獲得最大功率I

=·(2

+

j2

+

2.83)

103

UOC·=212245

(4.83

+

j2)

103=57.3422.51

mAPmax

=

I2RL

=

(57.34

10–3)2

2.83

103

=

9.3WI·Z0ZLUOC·UOC

=212245?V(2)Pmax=4

2

103=

UOC2(2122)28

103=

11.24W(R0

+

RL)2

UOC2

RL

=PLmax

=4RO

UOC2獲得的最大功率ZL

=

2–

j2

k?時獲得最大功率(3)若ZL為純電阻，求ZL獲得的最大功率Rj

C1I·+U

=

1000?V–·例2

圖示電路中電壓源在

=

400rad/s

和超前功率因數(shù)0.8之下供電(即電流超前電壓)

，消耗在電阻上的功率為100W，試確定R和C的值。

解：cosj

=

0.8j

=

arccos

0.8

=

–

36.87o

R2

+

(

C1)2UI

=RC1=

0.75

400

=

3001j

C1

CR1=

R2

+

(

C)2Z

=

R

+

arctg(

–)tg

(–36.87o)

=

–

0.75R2

+

(

C1)2U2P

=

I2R

=

R=

2C2RU21

+

2C2R2=

100=

100(2)

2C2RU21

+

2C2R2

=

300(1)RC1300C1300

52.08

10-6

=R

=1

=

64?3001代入(2)C

=

52.08mF

RC

=Rj

C1I·+U

=

1000?V–·

例3:圖示電路中，L=0.159

H，C=15.9PF，RS=5

，RL=2000

，試證明當頻率為108Hz時，在c、d端對RL

的等效內(nèi)阻恰為2000

。問在頻率為107Hz時，仍能如此嗎？若

，試求在頻率為108Hz及107Hz時RL的功率。uS(t)=

2cos

tV解：

f

=

108Hz

=

2pf

=

2p

108radsZL

=

jXL

=

j2p

108

0.159

10-6

≈

j100

ZC=

–j

C1=

–j2p

108

15.9

10-121≈

–

j100

Zcd

=(5

+

j100)

–

j100(5

+

j100)

(–

j100)=

2000

–

j100

≈

2000

CRSRLa+us–Lbcdf=107HzZL

=

j

L

=

j2p

107

0.159

10-6

≈

j10

ZC

=

–j

C1=

–j2p

107

15.9

10-121≈

–

j1000

Zcd

=(5

+

j10)

-

j1000(5

+

j10)

(-

j1000)=

5

+

j10

CRSRLa+uS–Lbcdf=107Hz時：·UOC

=5

+

j10

+

20002000

10?

≈

10?

V·I

=5

+

j10

+

200010?≈12

10-3

APL=

I2RL=

(12

10-3

)2

2000

=

0.5mWf=108Hz時：·f

=

107Hz2000

UOC

=

10?

V5+j10

·f

=

108Hz2000