第七章 時間序列分析

1、第七章第七章 時間序列分析時間序列分析 時間序列分析方法是伯克斯詹金斯（時間序列分析方法是伯克斯詹金斯（BoxJenkins）1970年提出的。建立時間序列模型主要年提出的。建立時間序列模型主要包括三個步驟：包括三個步驟：第一，時間序列的識別及模型形式的選擇；第一，時間序列的識別及模型形式的選擇；第二，模型參數(shù)的估計；第二，模型參數(shù)的估計；第三，模型的診斷檢驗。第三，模型的診斷檢驗。 上述三個步驟中最重要的是第一步。通過對相上述三個步驟中最重要的是第一步。通過對相關(guān)圖及偏相關(guān)圖的分析，確定模型的形式。對于關(guān)圖及偏相關(guān)圖的分析，確定模型的形式。對于給定的時間序列，模型形式的選擇確定并不是唯給定的

2、時間序列，模型形式的選擇確定并不是唯一的。在實際建模過程中經(jīng)驗越豐富，模型形式一的。在實際建模過程中經(jīng)驗越豐富，模型形式的選擇就越準確合理。的選擇就越準確合理。注意：1.通常說的時間序列模型就是BJ模型；通常說的時間序列分析方法就是指BJ模型的分析方法。2. BJ模型不考慮以經(jīng)濟理論為依據(jù)的解釋變量的作用，只是根據(jù)變量本身的變化規(guī)律來建立BJ模型。它通過反復搜索迭代，力求建立方差最小的時序模型，并利用外推機制進行預測。3. BJ模型是一組精度較高的短期預測模型。4.對同一個樣本， BJ模型不是唯一的，但有一個最好的，關(guān)鍵在于模型的識別和經(jīng)驗。5. BJ模型只適用于平穩(wěn)序列，對非平穩(wěn)序列建模前必

3、須平穩(wěn)化處理。6. BJ方法不能建立多變量之間的時序模型。第一節(jié)第一節(jié) 時間序列分析的基本概念時間序列分析的基本概念 經(jīng)濟分析通常假定所研究的經(jīng)濟理論中涉及經(jīng)濟分析通常假定所研究的經(jīng)濟理論中涉及的變量之間存在著長期均衡關(guān)系。按照這一假定，的變量之間存在著長期均衡關(guān)系。按照這一假定，在估計這些長期關(guān)系時，計量經(jīng)濟分析假定所涉在估計這些長期關(guān)系時，計量經(jīng)濟分析假定所涉及的變量的均值和方差是常數(shù)，不隨時間而變。及的變量的均值和方差是常數(shù)，不隨時間而變。然而，經(jīng)驗研究表明，在大多數(shù)情況下，時間序然而，經(jīng)驗研究表明，在大多數(shù)情況下，時間序列變量并不滿足這一假設(shè)。因此，以這種假定為列變量并不滿足這一假設(shè)。

4、因此，以這種假定為基礎(chǔ)的估計方法所給出的經(jīng)典基礎(chǔ)的估計方法所給出的經(jīng)典t檢驗和檢驗和F檢驗，會檢驗，會給出產(chǎn)生誤導作用的結(jié)果。這就是所謂的給出產(chǎn)生誤導作用的結(jié)果。這就是所謂的“偽回偽回歸歸”問題。為解決這類問題，研究人員提出了不問題。為解決這類問題，研究人員提出了不少對傳統(tǒng)估計方法的改進建議，其中最重要的兩少對傳統(tǒng)估計方法的改進建議，其中最重要的兩項是對變量的非平穩(wěn)性的系統(tǒng)性檢驗和協(xié)整。項是對變量的非平穩(wěn)性的系統(tǒng)性檢驗和協(xié)整。 在介紹上述方法之前，下面先介紹所涉及的一在介紹上述方法之前，下面先介紹所涉及的一些術(shù)語和定義。些術(shù)語和定義。 一、一、 隨機過程與隨機過程與平穩(wěn)時間序列（平穩(wěn)時間序列（

5、平穩(wěn)隨機時間序列平穩(wěn)隨機時間序列） （一）隨機過程（一）隨機過程（Stochastic Process，簡稱S.P） 由隨機變量組成的一個有序序列稱為由隨機變量組成的一個有序序列稱為隨機過程隨機過程，簡稱為，簡稱為過程。記為過程。記為x(s,t),s S,t N（簡記（簡記x(t)或或xt）。）。S為樣本空間，為樣本空間，N為樣本容量。對于每一個為樣本容量。對于每一個t，t N，x（ ，t）是樣本空間）是樣本空間S S中的一個隨機變量；對于每一個中的一個隨機變量；對于每一個s，s S，x（s， ）是隨機）是隨機過程在有序數(shù)集過程在有序數(shù)集N中的一次實現(xiàn)。中的一次實現(xiàn)。隨機變量與隨機過程的區(qū)別：

6、隨機變量與隨機過程的區(qū)別：1.隨機變量是定義在樣本空間的單值實函數(shù)；隨機過程是隨機變量是定義在樣本空間的單值實函數(shù)；隨機過程是一組時間一組時間t的函數(shù)。的函數(shù)。2.對應一定的試驗和樣本空間對應一定的試驗和樣本空間S，隨機變量與，隨機變量與t無關(guān)；隨機無關(guān)；隨機過程與過程與t有關(guān)。有關(guān)。3.隨機變量描述的是某一特定時點的靜態(tài)值，隨機過程描隨機變量描述的是某一特定時點的靜態(tài)值，隨機過程描述的是事物發(fā)展過程。述的是事物發(fā)展過程。聯(lián)系：聯(lián)系：1.隨機過程具有隨機變量的特性，而且有普通函數(shù)的特性。隨機過程具有隨機變量的特性，而且有普通函數(shù)的特性。2.隨機變量是隨機過程的特例或子集。隨機變量是隨機過程的特

7、例或子集。3.當隨機過程固定于某一時間當隨機過程固定于某一時間t時，就得到了相應時點的隨時，就得到了相應時點的隨機變量。機變量。（二）平穩(wěn)隨機過程（二）平穩(wěn)隨機過程S.P平穩(wěn)S.P非平穩(wěn)S.P強平穩(wěn)S.P（狹義平穩(wěn)）寬平穩(wěn)S.P（廣義平穩(wěn)）白噪聲S.P正態(tài)過程強非平穩(wěn)S.P寬非平穩(wěn)S.P S.P的統(tǒng)計特性是否隨時間t而變化；如果是，則為非平穩(wěn)S.P；如果否，則為平穩(wěn)S.P。1.強平穩(wěn)強平穩(wěn)S.P 對時間對時間t的任何子集（的任何子集（t1，t2，tn）以及實數(shù)）以及實數(shù)k，（，（ti+k） N（i=1，2，n），若某隨機過程），若某隨機過程x(t)的概率分布滿足的概率分布滿足F（t1，t2，t

8、n）=F(t1+k,t2+k,tn+k),則稱則稱x(t)為強平穩(wěn)為強平穩(wěn)隨機過程（概率分別與時間無關(guān)），也稱狹義的隨機過程（概率分別與時間無關(guān)），也稱狹義的S.P。 由于在實踐中上述聯(lián)合概率分布很難確定，我們用由于在實踐中上述聯(lián)合概率分布很難確定，我們用隨機變量隨機變量Xt（t=1,2,）的均值、方差和協(xié)方差代替之。）的均值、方差和協(xié)方差代替之。一個時間序列是一個時間序列是“弱平穩(wěn)的弱平穩(wěn)的”，如果：，如果： (1) 均值均值 E(Xt) =，t=1,2, （7.1）(2)(2)方差方差 Var(XVar(Xt t) = E(X) = E(Xt t)2 2 =2 2，t =1,2,t =1,

9、2, （7.27.2） (3(3）協(xié)方差）協(xié)方差 Cov（Xt, Xt+k）= EXt（Xt+k）rk，t=1,2,，k0 （7.3） 協(xié)方差與協(xié)方差與t，t+k的位置無關(guān)，只與的位置無關(guān)，只與k有關(guān)。有關(guān)。 rk為自協(xié)為自協(xié)方差函數(shù)。方差函數(shù)。2. 弱平穩(wěn)性（寬平穩(wěn)弱平穩(wěn)性（寬平穩(wěn) S.P）強、寬平穩(wěn)之間的聯(lián)系：1.強平穩(wěn) 寬平穩(wěn) 2. 寬平穩(wěn) 強平穩(wěn) 3.強平穩(wěn)+二階矩存在 寬平穩(wěn) 4.對于正態(tài)過程，強平穩(wěn)寬平穩(wěn)，正態(tài)過程是平穩(wěn)的。3.白噪聲白噪聲S.P（二階寬平穩(wěn)）（二階寬平穩(wěn)） 對于某隨機過程x(t), 若滿足：Ex(t) = 0 , Var x(t) = 2 = 常數(shù)， Cov(xt

10、,xt+k)=0, tN,t+k N(k0),則稱此過程為白噪聲過程。Cov(xt,xt+k)=2,k=00, k0例如例如，在圖，在圖7.1中，某國的私人消費（中，某國的私人消費（CP）和個人可支）和個人可支配收入（配收入（PDI）這兩個時間序列都有一種向上的趨勢，）這兩個時間序列都有一種向上的趨勢，幾乎可以斷定它們不滿足平穩(wěn)性條件（幾乎可以斷定它們不滿足平穩(wěn)性條件（7.1），因而是），因而是非平穩(wěn)的。非平穩(wěn)的。圖7.1 某國私人消費和個人可支配收入，19601995年度數(shù)據(jù)單位：百萬美元（1970年不變價）100000200000300000400000500000600000196019

11、65197019751980198519901995CPPDI4.隨機漫步隨機漫步(隨機游走過程）（隨機游走過程）（Random walk） 隨機漫步是一個簡單隨機過程，隨機漫步是一個簡單隨機過程，Xt由下式確定：由下式確定： Xt = Xt1+t （7.5） 其中其中t為白噪聲。則稱該過程為隨機游走過程。為白噪聲。則稱該過程為隨機游走過程。Xt的均值：的均值： E(Xt）= E(Xt-1+t）= E(Xt1）+E(t）= E(Xt1）這表明這表明Xt的均值不隨時間而變。的均值不隨時間而變。 為求為求Xt的方差，對（的方差，對（7.5）式進行一系列置換：）式進行一系列置換： Xt = Xt1+

12、t = Xt2+t-1+t = Xt3+t-2+t-1+t = = X0+1+2+t = X0+t其中其中X0是是Xt的初始值，可假定為任何常數(shù)或取初值為的初始值，可假定為任何常數(shù)或取初值為0，則則Var(Xt）= VarX0+ = (t)= t2這表明這表明Xt的方差隨時間而增大，平穩(wěn)性的第二個條件不的方差隨時間而增大，平穩(wěn)性的第二個條件不滿足，因此，隨機漫步時間序列是非平穩(wěn)時間序列?？蓾M足，因此，隨機漫步時間序列是非平穩(wěn)時間序列?？墒?，若將（是，若將（7.5）式寫成一階差分形式：）式寫成一階差分形式： Xt=t （7.6）這個一階差分新變量這個一階差分新變量Xt是平穩(wěn)的，因為它就等于白燥是

13、平穩(wěn)的，因為它就等于白燥聲聲t，而后者是平穩(wěn)時間序列。，而后者是平穩(wěn)時間序列。 ttt1ttVar15. 帶漂移項的隨機漫步帶漂移項的隨機漫步(Random walk with drift) Xt=+Xt1+t （7.7）其中其中是一非是一非0常數(shù)，常數(shù)，t為白燥聲。為白燥聲。之所以被稱為之所以被稱為“漂移項漂移項”，是因為（，是因為（7.7）式的一）式的一階差分階差分 Xt = XtXt-1 =+t這表明時間序列這表明時間序列Xt向上或向下漂移，取決于向上或向下漂移，取決于的符的符號是正還是負。顯然，帶漂移項的隨機漫步時間序號是正還是負。顯然，帶漂移項的隨機漫步時間序列也是非平穩(wěn)時間序列。列

14、也是非平穩(wěn)時間序列。 6.隨機時間序列隨機時間序列 隨機過程的一次觀測結(jié)果稱為隨機時間序列，簡稱隨機時序或時序。記為xt或x(t).7.平穩(wěn)隨機時間序列平穩(wěn)隨機時間序列 對隨機時間序列xt ，若滿足：Ext=u(常數(shù))， Cov(Xt, Xt+k)= EXt- (Xt+k-)rk，t=1,2,，k=0,1, 2,則稱為平穩(wěn)時間序列，簡稱平穩(wěn)時序。二、非平穩(wěn)時序的平穩(wěn)化二、非平穩(wěn)時序的平穩(wěn)化 實際生活中，多數(shù)經(jīng)濟中的時間序列都是非平穩(wěn)的。但建隨機模型的前提是時序平穩(wěn)，因此可以利用差分的方法使非平穩(wěn)時序轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時序。設(shè)時序yt，其一階差分為：11)1 (ttttttlyyylyyy式中，為一階差

15、分算子；L為一階滯后算子；Lytyt-1K階滯后算子：Lkytyt-k二次一階差分：2122222121111222)21 ()1 (2)()()()(ttttttttttttttttttttttyyyyllyyyllylyyyyyyyyyyyyyy注：注：1.對實際經(jīng)濟序列，為消除序列不平穩(wěn)，在方差之前常對觀測值取對數(shù)（ln），從而消除時序中的異方差。2.對實際經(jīng)濟時序，一般進行一次或兩次差分就可使其變?yōu)槠椒€(wěn)時序。如果一個時序存在受季節(jié)因素的影響，則應消除季節(jié)因素，進行季節(jié)差分。設(shè)季節(jié)周期為s，則一次季節(jié)差分為：stttyyy二次季節(jié)差分：ststtstststtsttsttttyyyyyy

16、yyyyyyy2222)()()()(如：數(shù)據(jù)為季度數(shù)據(jù)，則s4；數(shù)據(jù)為月度數(shù)據(jù)，則s12；若為年度數(shù)據(jù)，則一般不受季節(jié)因素影響。第二節(jié)第二節(jié) 伯克斯詹金斯模型與平穩(wěn)可逆條件伯克斯詹金斯模型與平穩(wěn)可逆條件時間序列模型一般可分為四種類型。一、自回歸模型（一、自回歸模型（Autoregressive Models，AR(p)）若一個過程若一個過程yt可表示為可表示為:12211tptptttuyyyy).p(ARppu, 2 , 1,t階自回歸模型，記為則這個過程稱為為自回歸階數(shù)。是白噪聲過程；是回歸參數(shù)，其中pii), 2 , 1( , 0)cov(piyuyuEittitt即ut與yt的滯后值

17、不相關(guān)。2)()1(2212212211tttppttppttttptptttuylyllluylyllyyuyyyy稱為自回歸算子。其中，ppllll2211)(與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性平穩(wěn)性問題。對于自回歸問題AR（p），如果特征方程：(L)=0的所有根的絕對值都大于1(即全在單位圓之外)，則AR(p)是一個平穩(wěn)的隨機過程。 對于一階自回歸模型yt=1yt-1+ut,保持其平穩(wěn)的條件是特征方程(L)=(1- 1L)=0的根的絕對值必須大于1。即當L1時，滿足1/ 11 或 11一階自回歸模型可改寫為：331221110131211111)()()(1 )1 ()1 (ttttti

18、iitttttuuuuululllulyuyl注：對于模型tptptttuyyyy2211其平穩(wěn)的充要條件是特征方程(L)=0的所有特征根的絕對值都大于1(即全在單位圓之外)；其必要條件是 。11pii二、移動平均模型（二、移動平均模型（Moving Average Models，MA(q)）若一個過程yt可表示為:12211qtqttttuuuuy).q(Mqqu, 2 , 1,tAqii階移動平均模型，記為則這個過程稱為為移動平均階數(shù)。是白噪聲過程；是回歸參數(shù)，其中ttqqtuLullly)(1 221 由定義知任何一個由定義知任何一個q階移動平均模型都是由階移動平均模型都是由q+1個白噪

19、聲變個白噪聲變量的加權(quán)和組成，所以量的加權(quán)和組成，所以任何一個移動平均模型都是平穩(wěn)任何一個移動平均模型都是平穩(wěn)的。的。 與移動平均模型常聯(lián)系在一起的是與移動平均模型常聯(lián)系在一起的是可逆性可逆性問題。對于移動問題。對于移動平均模型平均模型MA（q）具有可逆性的條件是特征方程）具有可逆性的條件是特征方程的所有根的絕對值都大于的所有根的絕對值都大于1(即全在單位圓之外即全在單位圓之外)或或i 1 。01)(221qqlllL以以MA（1）模型為例，模型可轉(zhuǎn)換為：）模型為例，模型可轉(zhuǎn)換為：1111122111221112111111111)(iitittiititititttttttttttttttt

20、ttyuyyyyyyyuyyuyyuyuuyuuuy 當10)同乘平穩(wěn)的p階自回歸過程不相關(guān)。與之前，所以發(fā)生在時，。因為當，有上式中對于得對上式兩側(cè)分別求期望的兩側(cè)，得tktkttktpkpkkktktptktptkttkttkttptpttttuxxuxkuyyyyyyyyyuyyyyyt332211k2211332211u0k0)(E0k)3(0,)2() 1 (會有下面兩種情況：此時的平穩(wěn)性，要求的根，為保證隨機過程是特征方程是常數(shù)，這里其中，式的通解是則進行因式分解：對表達為的滯后算子，則上式可為其中令）（式的兩側(cè)，得分別除用, 1G0)(G, 2 , 1;, 2 , 1)5(AAA

21、)4()1 ()()(0)(L)1 ()(40,)3(112211k133221332211k0iipikiikppkkpiikpppkpkkkLkkpiGAGGGlGLLLkllllLk(1) 當當Gi為實數(shù)時，為實數(shù)時，(5)式中的式中的AiGik將隨著將隨著k的增加而幾何的增加而幾何衰減至零，稱為指數(shù)衰減。衰減至零，稱為指數(shù)衰減。(2) 當當Gi和和Gj表示一對共軛復根時，表示一對共軛復根時， (5)式中的式中的AiGik隨著隨著k的增加而正弦振蕩形式衰減，稱為正弦衰減。的增加而正弦振蕩形式衰減，稱為正弦衰減。(3) 實際中的平穩(wěn)自回歸過程的自相關(guān)函數(shù)常是由指數(shù)衰實際中的平穩(wěn)自回歸過程的

22、自相關(guān)函數(shù)常是由指數(shù)衰減和正弦衰減兩部分混合而成，減和正弦衰減兩部分混合而成， k的這種特性稱為的這種特性稱為 k的托的托尾性。尾性。(4) 當特征方程的根遠離單位圓時，當特征方程的根遠離單位圓時，k（滯后期）不必很（滯后期）不必很大，自相關(guān)函數(shù)很快就能衰減至大，自相關(guān)函數(shù)很快就能衰減至0；當有一個實根接近于；當有一個實根接近于1時，時， k將衰減很慢，盡似于線性衰減；當有兩個實根接將衰減很慢，盡似于線性衰減；當有兩個實根接近于近于1時，時， k將衰減更慢。將衰減更慢。2.平穩(wěn)的平穩(wěn)的AR(1)序列的自相關(guān)函數(shù)序列的自相關(guān)函數(shù))0(1)3()2()1 ()1 (1)1 (1k00121111k

23、011k11111kuyyyyyyuyyARkkkkktkttkttktktttt，所以有因為，得兩側(cè)同除得對上式兩側(cè)分別求期望的兩側(cè)，得同乘用，過程如下： 對于平穩(wěn)序列有對于平穩(wěn)序列有 1 1，所以當，所以當0 1 1時，自相關(guān)函數(shù)衰時，自相關(guān)函數(shù)衰減至零；當減至零；當-1 1 0 時，正相關(guān)函數(shù)正負交錯地指數(shù)衰減至時，正相關(guān)函數(shù)正負交錯地指數(shù)衰減至零。因為經(jīng)濟時間序列，零。因為經(jīng)濟時間序列， 1 取值一般為正，所以第一種情形取值一般為正，所以第一種情形常見。指數(shù)衰減至零的表現(xiàn)形式說明隨著時間間隔的加長，常見。指數(shù)衰減至零的表現(xiàn)形式說明隨著時間間隔的加長，變量之間的關(guān)系變得越來越弱。變量之間

24、的關(guān)系變得越來越弱。三、移動平均過程的自相關(guān)函數(shù)（截尾）三、移動平均過程的自相關(guān)函數(shù)（截尾）1.MA（q）過程的自相關(guān)函數(shù)）過程的自相關(guān)函數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010-1-1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010-10 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010-111時，k=0。四、自回歸移動平均過程的自相關(guān)函數(shù)（拖尾）四、自回歸移動平均過程的自相關(guān)函數(shù)（拖尾）1.ARMA（p,q）過程的自相關(guān)函數(shù)）過程的自相關(guān)函數(shù)用yt-k(k0)乘ARMA（p,q）過程33121)()(1)(1)(2211112211k112211), 2 , 1 , 0(

25、i -k)(E)2()() 1 (ktktktktitktktitikyuqkyuqkyukyupkpkkktqtqttpkpkkqtqttptptttuuuyqiuyyuyuuuEuuuyyyy。的協(xié)方差與期的是相隔上式中的兩側(cè)，取期望得)4()3()3()2(, 01)2(,0)(E)(E2211k02211k)(1)(1)(2233121)(pkpkkpkpkkqkyuqkyukyutktkikiktktktitktitkyuqkqkqqkuktyikikuuuuyu式兩側(cè)，得除用式變?yōu)闀r，利用上式結(jié)果，當項全部為零。式右側(cè)的時，當有關(guān)。期以前的只與可知 當當kq時，則可知時，則可知 1

26、, q的值既與移動平均參數(shù)的值既與移動平均參數(shù) i,(i=0,1,q)有關(guān)，也與自回歸參數(shù)有關(guān)，也與自回歸參數(shù) i,(i=0,1,p)有關(guān)。有關(guān)。當當q p0時，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負；若時，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負；若 1 0時，自相關(guān)函數(shù)為正負交替指數(shù)衰減。時，自相關(guān)函數(shù)為正負交替指數(shù)衰減。五、相關(guān)圖五、相關(guān)圖對于一個有限時間序列（y1,y2,yN),用樣本 平均數(shù)NtiyNy11來估計總體均值，用樣本方差NttyNs122)(1估計總體方差y2。 用樣本矩估計隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，稱其為相關(guān)圖相關(guān)圖或估估計的自相關(guān)函數(shù)計的自相關(guān)函數(shù)，記為21010)(1),)(1,NttktkNt

27、tkkkyyNryyyyNrrr式中注：注：1. 實際中，實際中，N不應太?。ú粦。?0N2個分量時，則有可能存在多個協(xié)整個分量時，則有可能存在多個協(xié)整向量。如果存在向量。如果存在r(12時，對變量的單整階數(shù)要求如下：時，對變量的單整階數(shù)要求如下： (1)因變量與自變量的單整解釋相同；因變量與自變量的單整解釋相同； (2)因變量的單整階數(shù)低于解釋變量的單整階數(shù)，因變量的單整階數(shù)低于解釋變量的單整階數(shù)，此時解釋變量的單整階數(shù)必須相等。此時解釋變量的單整階數(shù)必須相等。 滿足滿足(1)或或(2)，才可能存在協(xié)整關(guān)系。，才可能存在協(xié)整關(guān)系。3.當且僅當若干個非平穩(wěn)變量具有協(xié)整關(guān)系時，由當且僅當若干

28、個非平穩(wěn)變量具有協(xié)整關(guān)系時，由這些變量建立的回歸模型才有意義，否則是虛假回這些變量建立的回歸模型才有意義，否則是虛假回歸。協(xié)整關(guān)系的檢驗是鑒別真假回歸的標準。歸。協(xié)整關(guān)系的檢驗是鑒別真假回歸的標準。讓我們考慮下面的關(guān)系：讓我們考慮下面的關(guān)系： Yt = 0+1Xt （6.1） 其中，其中，YtI(1），），XtI(1）。）。當當0= Yt01Xt時，該關(guān)系處于長期均衡狀態(tài)。時，該關(guān)系處于長期均衡狀態(tài)。對長期均衡的偏離，稱為對長期均衡的偏離，稱為“非均衡誤差非均衡誤差”，記為，記為ut： ut = Yt01Xt若長期均衡存在，則非均衡誤差應當圍繞均衡值若長期均衡存在，則非均衡誤差應當圍繞均衡值0

29、波動。波動。也就是說，非均衡誤差也就是說，非均衡誤差u ut應當是一個平應當是一個平穩(wěn)時間序列，穩(wěn)時間序列，即應有即應有utI(0)，E(ut)= 0。 按照協(xié)整的定義，由于按照協(xié)整的定義，由于YtI(1)，XtI(1)，且線，且線性組合性組合t=Yt01XtI(0)，我們可以說，我們可以說Yt 和和Xt是（是（1, 1）階協(xié)整的，即）階協(xié)整的，即Yt，XtCI(1, 1)，協(xié)整向量，協(xié)整向量是是 。可以證明，在兩個變量的情形，?？梢宰C明，在兩個變量的情形，在一個變量的系數(shù)正規(guī)化為在一個變量的系數(shù)正規(guī)化為1的假設(shè)下，則協(xié)整向量，的假設(shè)下，則協(xié)整向量，即兩時間序列的線性組合是唯一的。即兩時間序列

30、的線性組合是唯一的。 綜合以上結(jié)果，我們可以說，兩時間序列之間的綜合以上結(jié)果，我們可以說，兩時間序列之間的協(xié)整是表示它們之間存在長期均衡關(guān)系的另一種方式。協(xié)整是表示它們之間存在長期均衡關(guān)系的另一種方式。因此，若因此，若Y Yt t 和和X Xt t是協(xié)整的是協(xié)整的, , 并且非均衡誤差是平穩(wěn)的并且非均衡誤差是平穩(wěn)的且具有零均值，我們就可以確信，方程且具有零均值，我們就可以確信，方程 Y Yt t= =0 0+ +1 1X Xt t+ +ut t （6.26.2）將不會產(chǎn)生偽回歸結(jié)果。將不會產(chǎn)生偽回歸結(jié)果。 ),1(10 斯托克（斯托克（Stock）證明了對于大樣本，方程（）證明了對于大樣本，方

31、程（6.2）的的OLS估計量是估計量是“超一致超一致”估計量，即它是一致估計估計量，即它是一致估計量，并且非常有效，因為它向回歸系數(shù)真值的收斂速量，并且非常有效，因為它向回歸系數(shù)真值的收斂速度比涉及平穩(wěn)變量的度比涉及平穩(wěn)變量的OLS估計量要快。估計量要快。但對于小樣本，但對于小樣本，OLS估計量是有偏的，偏倚的水平依賴于估計量是有偏的，偏倚的水平依賴于R2的值，的值，R2越高，偏倚的水平越低。越高，偏倚的水平越低。 由上可知，如果我們想避免偽回歸問題，就應該由上可知，如果我們想避免偽回歸問題，就應該在進行回歸之前檢驗一下所涉及的變量是否協(xié)整。在進行回歸之前檢驗一下所涉及的變量是否協(xié)整。(二二)

32、格蘭杰定理格蘭杰定理表表達達式式。的的向向量量一一定定存存在在表表達達式式。的的向向量量一一定定存存在在則則，個個線線性性獨獨立立的的協(xié)協(xié)整整關(guān)關(guān)系系具具有有并并且且但但不不要要求求同同方方差差。指指要要求求序序列列的的方方差差存存在在條條件件是是是是方方差差協(xié)協(xié)方方差差矩矩陣陣。弱弱滿滿足足白白噪噪聲聲弱弱條條件件階階白白噪噪聲聲向向量量，為為矩矩陣陣，階階多多項項式式是是其其中中平平均均形形式式，動動可可表表示示為為如如下下多多變變量量移移階階向向量量若若CMxARMAxCIxrxuVaruEuLCLCLCILCuLCxLIxNtttttttkktttE)2()1(),1 , 1()()(

33、, 0)(1NNN)()()1()1(1221 三、協(xié)整的檢驗三、協(xié)整的檢驗 1. Engle-Granger法法(EG(EG法法) ) 步驟步驟1 用上一節(jié)介紹的單位根方法求出兩變量的單整用上一節(jié)介紹的單位根方法求出兩變量的單整階數(shù)，然后分情況處理：階數(shù)，然后分情況處理：（1） 若兩變量的單整的階相同，進入下一步；若兩變量的單整的階相同，進入下一步；（2）若兩變量的單整的階不同，則兩變量不是）若兩變量的單整的階不同，則兩變量不是協(xié)整的；協(xié)整的； 若兩變量是平穩(wěn)的，則整個檢驗過程停止，若兩變量是平穩(wěn)的，則整個檢驗過程停止，因為你可以采用標準回歸技術(shù)處理。因為你可以采用標準回歸技術(shù)處理。 當協(xié)整

34、向量為已知時，非均衡誤差是準確可知的，當協(xié)整向量為已知時，非均衡誤差是準確可知的，在這種條件下與檢驗單位根的方法完全相同，比如在這種條件下與檢驗單位根的方法完全相同，比如有兩個有兩個I(1)變量變量yt與與xt已知協(xié)整向量是已知協(xié)整向量是(1 - )T,則非則非均衡誤差表示為均衡誤差表示為tkiitttttttttuuuuuADFxyu 111DF檢檢驗驗可可按按下下式式進進行行或或則則 當通常協(xié)整向量是未知的，當通常協(xié)整向量是未知的，ut是不可觀測的，這是不可觀測的，這時就需要對時就需要對ut進行估計。最常用的是進行估計。最常用的是EG兩步法的第兩步法的第一步，即用一步，即用OLS法進行協(xié)整

35、回歸。法進行協(xié)整回歸。步驟步驟2 若兩變量是同階單整的，如若兩變量是同階單整的，如I(1），則用），則用OLS法法估計長期均衡方程（稱為協(xié)整回歸）：估計長期均衡方程（稱為協(xié)整回歸）： Yt=0+1Xt+ut (6.2)并保存殘差并保存殘差et，作為非均衡誤差，作為非均衡誤差ut的估計值。應注的估計值。應注意的是，雖然估計出的協(xié)整向量是真實協(xié)整變量意的是，雖然估計出的協(xié)整向量是真實協(xié)整變量的一致估計值，這些系數(shù)的標準誤差估計值則的一致估計值，這些系數(shù)的標準誤差估計值則不是不是一致估計值。由于這一原因，標準誤差估計一致估計值。由于這一原因，標準誤差估計值通常不在協(xié)整回歸的結(jié)果中提供。值通常不在協(xié)整

36、回歸的結(jié)果中提供。 步驟步驟3 對于兩個協(xié)整變量來說，非均衡誤差必須是平對于兩個協(xié)整變量來說，非均衡誤差必須是平穩(wěn)的。為檢驗其平穩(wěn)性，對上一步保存的非均衡穩(wěn)的。為檢驗其平穩(wěn)性，對上一步保存的非均衡誤差估計值（即協(xié)整回歸的殘差誤差估計值（即協(xié)整回歸的殘差et）應用單位根）應用單位根方法。方法。e et t = = e et-1t-1 + + t t （6.46.4）e et t = = e et-1t-1 + + + + t t （6.56.5） 注意：注意：（1 1）(6.4)、（、（6.56.5）式不包含常數(shù)項，這是因為）式不包含常數(shù)項，這是因為OLSOLS殘差殘差etet應以應以0 0為中

37、心波動。為中心波動。itkiie 1 步驟步驟4 得出有關(guān)兩變量是否協(xié)整的結(jié)論，用到的原假得出有關(guān)兩變量是否協(xié)整的結(jié)論，用到的原假設(shè)和備擇假設(shè)是：設(shè)和備擇假設(shè)是： H0： =0（不存在協(xié)整關(guān)系，（不存在協(xié)整關(guān)系，et非平穩(wěn)）非平穩(wěn)） H1： 0若若t ，接受原假設(shè)，即，接受原假設(shè)，即et是非平穩(wěn)序列，兩是非平穩(wěn)序列，兩變量是非協(xié)整的。變量是非協(xié)整的。若若t ，拒絕原假設(shè)，即，拒絕原假設(shè)，即et是平穩(wěn)序列，兩變是平穩(wěn)序列，兩變量是協(xié)整的。量是協(xié)整的。 由于這種檢驗方法是恩格爾由于這種檢驗方法是恩格爾-格蘭杰提出的，所格蘭杰提出的，所以以(6.4)和和(6.5)式分別稱為式分別稱為EG檢驗和檢驗和

38、AEG檢驗，而所檢驗，而所用統(tǒng)計量分別稱為用統(tǒng)計量分別稱為EG統(tǒng)計量和統(tǒng)計量和AEG統(tǒng)計量。統(tǒng)計量。2.協(xié)整檢驗臨界值協(xié)整檢驗臨界值(1)EG、AEG協(xié)整檢驗臨界值協(xié)整檢驗臨界值 EG、AEG檢驗統(tǒng)計量臨界值表與檢驗統(tǒng)計量臨界值表與DF、ADF臨界臨界值表不同，見附表值表不同，見附表8，它與協(xié)整回歸式中變量個數(shù)，它與協(xié)整回歸式中變量個數(shù)有關(guān)。有關(guān)。(2)麥金農(nóng)麥金農(nóng)(Mackinnon,1991)臨界值臨界值 麥金農(nóng)利用模擬方法得到臨界值的響應面函數(shù)，麥金農(nóng)利用模擬方法得到臨界值的響應面函數(shù)，從而能提供更多的協(xié)整檢驗臨界值。麥金農(nóng)的協(xié)整從而能提供更多的協(xié)整檢驗臨界值。麥金農(nóng)的協(xié)整檢驗臨界值見附

39、表檢驗臨界值見附表9。任何樣本容量下的協(xié)整檢驗臨。任何樣本容量下的協(xié)整檢驗臨界值，都可以通過附表界值，都可以通過附表9中提供的以樣本容量為變量中提供的以樣本容量為變量的響應面函數(shù)計算得到。的響應面函數(shù)計算得到。)9 . 6()8 . 6()5 . 6()7 . 6(1N. 1)9 . 6()7 . 6(T)6 . 6(111011011332211)(2211)(tkiititttkiititttkiitittttNtNtttteeteeeeeeeeexxxxyCTTC 做做如如下下回回歸歸：對對時時當當。式式中中，但但不不必必重重復復加加入入式式中中，也也可可以以放放在在勢勢項項放放在在必必

40、要要可可以以把把常常數(shù)數(shù)項項，趨趨在在麥麥金金農(nóng)農(nóng)檢檢驗驗中中，如如有有容容量量。為為樣樣本本表表示示檢檢驗驗水水平平，表表示示協(xié)協(xié)整整檢檢驗驗臨臨界界值值，其其中中協(xié)協(xié)整整檢檢驗驗響響應應面面函函數(shù)數(shù)結(jié)合在一起。結(jié)合在一起。檢驗檢驗檢驗和檢驗和實際上是把實際上是把金農(nóng)協(xié)整檢驗臨界值表金農(nóng)協(xié)整檢驗臨界值表檢驗。由此可見麥檢驗。由此可見麥上是進行上是進行為單整檢驗，這是實際為單整檢驗，這是實際一個，則協(xié)整檢驗退化一個，則協(xié)整檢驗退化時，所涉及的變量只有時，所涉及的變量只有當當用響應面函數(shù)得：用響應面函數(shù)得：利利則從附表中可查則從附表中可查有常數(shù)項，無趨勢項。有常數(shù)項，無趨勢項。例已知例已知式。式

41、。趨勢項然后應用趨勢項然后應用式中加入常數(shù)項和式中加入常數(shù)項和式等同于在式等同于在式；應用式；應用用用式中加入常數(shù)項然后應式中加入常數(shù)項然后應式等同于在式等同于在例如應用例如應用ADFADFNCTNAEG0. 246. 350/98. 850/967. 53377. 3,98. 8,967. 5,3377. 3,05. 0,50, 2)9 . 6()7 . 6()9 . 6()8 . 6()7 . 6()8 . 6(2)(21 (3) 薩甘薩甘-巴嘎瓦巴嘎瓦(Sargan-Bhargava,1983)檢驗檢驗步驟步驟1 計算統(tǒng)計量計算統(tǒng)計量CRDW= TttTttteee12221)( 檢驗檢

42、驗N個變量協(xié)整性的另一種方法是應用協(xié)整回歸個變量協(xié)整性的另一種方法是應用協(xié)整回歸式中的式中的DW統(tǒng)計量，稱作協(xié)整統(tǒng)計量，稱作協(xié)整DW統(tǒng)計量，用統(tǒng)計量，用CRDW表示。適用于檢驗表示。適用于檢驗ut的一階自相關(guān)。的一階自相關(guān)。假假設(shè)設(shè)。我我們們設(shè)設(shè)定定原原假假設(shè)設(shè)和和備備擇擇對對于于,1tttuu 步驟步驟2 根據(jù)下述原假設(shè)和備擇假設(shè)得出有關(guān)兩變量協(xié)整的根據(jù)下述原假設(shè)和備擇假設(shè)得出有關(guān)兩變量協(xié)整的結(jié)論：結(jié)論： H0： 1（et非平穩(wěn)，即非協(xié)整）非平穩(wěn)，即非協(xié)整） H1： R2時，時，協(xié)整關(guān)系存在。因此若協(xié)整關(guān)系存在。因此若CRDW統(tǒng)計量的值接近統(tǒng)計量的值接近2，則可以肯定該則可以肯定該N個變量存

43、在協(xié)整關(guān)系。個變量存在協(xié)整關(guān)系。案例案例1 中國進出口貿(mào)易的協(xié)整分析中國進出口貿(mào)易的協(xié)整分析四、誤差修正模型（四、誤差修正模型（error correction model ECM） 誤差修正模型誤差修正模型ECM是由薩甘是由薩甘( (Sargan 1964)第第一次一次提出的。他用誤差修正模型計算被解釋變量提出的。他用誤差修正模型計算被解釋變量的調(diào)整值，其依據(jù)的不是解釋變量的觀測值，而的調(diào)整值，其依據(jù)的不是解釋變量的觀測值，而是解釋變量離開均衡狀態(tài)的偏差值。之后這種模是解釋變量離開均衡狀態(tài)的偏差值。之后這種模型又經(jīng)過亨德里型又經(jīng)過亨德里- -安德森安德森(Hendry-Anderson 19

44、77)(Hendry-Anderson 1977)和戴維森和戴維森(Davidson 1978)(Davidson 1978)等得到進一步完善。誤等得到進一步完善。誤差修正模型由下式給出：差修正模型由下式給出： Yt = 滯后的（滯后的（Yt，Xt）+t-1 + vt 10 （7.28） 其中其中 YtI(1)，XtI(1)，Yt ，XtCI (1, 1)， t= Yt01XtI (0)，vt=白噪聲，白噪聲，為短期調(diào)整系為短期調(diào)整系數(shù)。數(shù)。不難看出，在（不難看出，在（7.28）中，所有變量都是平穩(wěn)的，因為）中，所有變量都是平穩(wěn)的，因為 YtI (1)，XtI (1)YtI (0)，XtI (

45、0)； Yt，XtCI (1, 1）tI (0） 因此，有人或許會說，該式可用因此，有人或許會說，該式可用OLS法估計。但事法估計。但事實上不行，因為均衡誤差實上不行，因為均衡誤差t不是可觀測變量。因而不是可觀測變量。因而在估計該式之前，要先得到這一誤差的值。在估計該式之前，要先得到這一誤差的值。 Engle 和和 Granger建議采用下述兩步方法估計方程建議采用下述兩步方法估計方程（7.28）。）。第一步第一步：估計協(xié)整回歸方程：估計協(xié)整回歸方程 Yt=0+1Xt+t得到協(xié)整向量的一致估計值得到協(xié)整向量的一致估計值 ，用它得出均，用它得出均衡誤差衡誤差t的估計值的估計值 et= Yt Xt

46、 01), 1 (10第二步第二步：用：用OLS法估計下面的方程法估計下面的方程 Yt = 滯后的（滯后的（Yt，Xt）+et-1+vt （7.29） 例例7.4 估計某國私人消費和個人可支配收入之間的誤估計某國私人消費和個人可支配收入之間的誤差修正模型。差修正模型。第一步第一步 ：由例：由例7.2 中中7.26式協(xié)整回歸的結(jié)果：式協(xié)整回歸的結(jié)果： =11907.23+0.779585Yt (7.30) (t:)(3.123) (75.566) R2=0.994 DW=1.021 我們得到殘差我們得到殘差et。第二步：估計誤差修正模型，結(jié)果如下：第二步：估計誤差修正模型，結(jié)果如下： =5951

47、.557+0.28432Yt 0.19996et-1 (7.31)(t:) (7.822) (6.538) (t:) (7.822) (6.538) (2.486)2.486) R R2 2=0.572 DW=1.941 LM=0.572 DW=1.941 LM（1 1）=0.007=0.007p=0.934p=0.934 tCtC （ 7.31）中的結(jié)果表明個人可支配收入）中的結(jié)果表明個人可支配收入Yt的短的短期變動對私人消費存在正向影響。此外，由于短期變動對私人消費存在正向影響。此外，由于短期調(diào)整系數(shù)是顯著的，表明每年實際發(fā)生的私人期調(diào)整系數(shù)是顯著的，表明每年實際發(fā)生的私人消費與其長期均衡

48、值的偏差中的消費與其長期均衡值的偏差中的20%（0.1996）被修正。被修正。 復習思考題復習思考題1請說出平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列的區(qū)別，并請說出平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列的區(qū)別，并解釋為什么在實證分析中確定經(jīng)濟時間序列的性質(zhì)是十解釋為什么在實證分析中確定經(jīng)濟時間序列的性質(zhì)是十分必要的。分必要的。2什么是偽回歸？在回歸中使用非均衡時間序列時是什么是偽回歸？在回歸中使用非均衡時間序列時是否必定會造成偽回歸？否必定會造成偽回歸？3有人說，協(xié)整分析實質(zhì)上是一種缺乏理論基礎(chǔ)的有人說，協(xié)整分析實質(zhì)上是一種缺乏理論基礎(chǔ)的“歸納歸納(inductive)”方法。請對上述說法談談你的看法。方法。請對上

49、述說法談談你的看法。 協(xié)整分析被認為是上世紀八十年代中期以來計協(xié)整分析被認為是上世紀八十年代中期以來計量經(jīng)濟學領(lǐng)域最具革命性的進展。簡單地說，協(xié)量經(jīng)濟學領(lǐng)域最具革命性的進展。簡單地說，協(xié)整分析涉及的是一組變量，它們各自都是不平穩(wěn)整分析涉及的是一組變量，它們各自都是不平穩(wěn)的（含義是隨時間的推移而上行或下行），但它的（含義是隨時間的推移而上行或下行），但它們一起漂移。這種變量的共同漂移使得這些變量們一起漂移。這種變量的共同漂移使得這些變量之間存在長期的線性關(guān)系，因而使人們能夠研究之間存在長期的線性關(guān)系，因而使人們能夠研究經(jīng)濟變量間的長期均衡關(guān)系。如果這些長時間內(nèi)經(jīng)濟變量間的長期均衡關(guān)系。如果這些長

50、時間內(nèi)的線性關(guān)系不成立，則對應的變量被稱為是的線性關(guān)系不成立，則對應的變量被稱為是“非非協(xié)整的協(xié)整的”。 一般說來，協(xié)整分析是用于非平穩(wěn)變量組成的一般說來，協(xié)整分析是用于非平穩(wěn)變量組成的關(guān)系式中長期均衡參數(shù)估計的技術(shù)。它是用于關(guān)系式中長期均衡參數(shù)估計的技術(shù)。它是用于動態(tài)模型的設(shè)定、估計和檢驗的一種新技術(shù)，動態(tài)模型的設(shè)定、估計和檢驗的一種新技術(shù)，因此，它當然可被用于檢驗基礎(chǔ)經(jīng)濟理論是否因此，它當然可被用于檢驗基礎(chǔ)經(jīng)濟理論是否正確。此外，協(xié)整分析亦可用于短期或非均衡正確。此外，協(xié)整分析亦可用于短期或非均衡參數(shù)的估計，這是因為短期參數(shù)的估計可以通參數(shù)的估計，這是因為短期參數(shù)的估計可以通過協(xié)整方法使用

51、長期參數(shù)估計值，采用的模型過協(xié)整方法使用長期參數(shù)估計值，采用的模型是誤差修正模型。是誤差修正模型。第七章第七章 自變量選擇與逐步回歸自變量選擇與逐步回歸 在建立一個經(jīng)濟問題的回歸模型時，我們首先碰在建立一個經(jīng)濟問題的回歸模型時，我們首先碰到的問題便是如何確定回歸自變量，一般情況下，到的問題便是如何確定回歸自變量，一般情況下，我們大都是根據(jù)所研究問題的目的，結(jié)合經(jīng)濟理論我們大都是根據(jù)所研究問題的目的，結(jié)合經(jīng)濟理論羅列出對因變量可能有影響的一些因素作為自變量。羅列出對因變量可能有影響的一些因素作為自變量。 如果我們?nèi)绻覀冞z漏了某些重要的變量遺漏了某些重要的變量，回歸方程的效，回歸方程的效果肯定不

52、會好；如果我們擔心遺漏了重要的變量，果肯定不會好；如果我們擔心遺漏了重要的變量，而而考慮過多的自變量考慮過多的自變量，在這些變量中，某些自變量，在這些變量中，某些自變量對問題的研究可能并不重要，有些自變量數(shù)據(jù)的質(zhì)對問題的研究可能并不重要，有些自變量數(shù)據(jù)的質(zhì)量可能很差，有些變量可能和其他變量有很大程度量可能很差，有些變量可能和其他變量有很大程度的重疊。如果回歸模型把這些變量都包括進來，不的重疊。如果回歸模型把這些變量都包括進來，不僅計算量增大很多，而且得到的回歸方程穩(wěn)定性也僅計算量增大很多，而且得到的回歸方程穩(wěn)定性也很差，直接影響到回歸方程的應用。很差，直接影響到回歸方程的應用。第一節(jié)第一節(jié) 關(guān)

53、于自變量選擇的幾個準則關(guān)于自變量選擇的幾個準則 對于有k個自變量的回歸建模問題，一切可能的回歸子集就有2k-1個，在這些回歸子集中如何選擇一個“最優(yōu)”的回歸子集，衡量最優(yōu)子集的標準是什么，這是我們這一節(jié)要討論的問題。一、從擬合的角度考慮的準則一、從擬合的角度考慮的準則【準則準則1】修正決定系數(shù)達到最大修正決定系數(shù)達到最大 當給模型增加自變量時，決定系數(shù)也隨之逐步增大，然而決定系數(shù)增大的代價是殘差自由度的減少。自由度小意味著估計和預測的可靠性低，這表明一個回歸模型涉及的自變量很多時，回歸模型的擬合在外表上是良好的，而區(qū)間預測和估計的幅度則很大，以致失去實際意義，這給回歸模型的擬合良好摻進了一些虛

54、假成分。因此應該考慮經(jīng)過自由度調(diào)整的修正決定系數(shù)。1)1)(1(122KnRnR22RR 顯然有 ， 隨著自變量的增加并不一定增大。并當所增加的自變量對y不產(chǎn)生影響時， 反而可能減少。2R2R以第五章的民航客運量為例說明。在一個實際問題的回歸建模中， 越大，所對應的回歸方程越好。如果我們僅從擬合的角度追求“最優(yōu)”，則所有回歸子集中 最大者對應的回歸模型就是“最優(yōu)”模型。2R2R【準則準則2】平均殘差平方和達到最小平均殘差平方和達到最小122knkk因子1/（n-k-1)隨著自變量個數(shù)k的增加而增加，它體現(xiàn)了對自變量個數(shù)增加所施加的“懲罰”。k2k由圖可看出，當k增加時， 開始下降，而后穩(wěn)定下來

55、。當k達到一定數(shù)量后， 又開始增加。2k2k二、從極大似然估計方法考慮的準則二、從極大似然估計方法考慮的準則【準則準則3】赤池信息量赤池信息量AIC達到最小達到最小 該準則實際上還是一種衡量回歸方程擬合優(yōu)度的方法，它是日本統(tǒng)計學家赤池（Akaike）1974年根據(jù)極大似然估計原理提出的一種較為一般的模型選擇準則，人們稱它為Akaike信息量準則（Akaike Information Criterion，簡記為AIC）。AIC準則可用于時間序列分析中自回歸模型的定階上，又可用來作回歸模型自變量的選擇?；貧w分析選元的AIC準則是：cnkn2)log(AIC2其中， 是與自變量個數(shù)k無關(guān)的常數(shù)。有些

56、統(tǒng)計軟件中為nAIC。1)2log(c 在回歸分析的建模過程中，對每一個回歸子集計算AIC，其中AIC最小者所對應的模型是“最優(yōu)”回歸模型。AIC準則只能用于比較同一種方法擬合得到的回歸模型。三、從預測的角度考慮的準則三、從預測的角度考慮的準則【準則準則4】Cp統(tǒng)計量達到最小統(tǒng)計量達到最小 1964年，馬勒斯（Mallows）從預測的角度提出一個可以用來選擇自變量的統(tǒng)計量，這就是我們常說的Cp統(tǒng)計量。Cp統(tǒng)計量為：) 1(22pnQCpp其中Qp表示含有p個變量后的殘差平方和。 選擇使Cp盡可能小的變量子集，這個變量子集對應的回歸方程就是“最優(yōu)”回歸模型。 下面用一個實際經(jīng)濟例子，對所有回歸子

57、集計算上述四個統(tǒng)計量，綜合比較一下“最優(yōu)”回歸子集的選擇?！纠坑脃表示某種消費品的銷售額，x1表示居民可支配收入，x2表示該類消費品的價格指數(shù)，x3表示其他消費品平均價格指數(shù)。表中給出了某地區(qū)18年來某種消費品情況資料，試建立該地區(qū)該消費品銷售額預測方程。序號X1（元）X2（）X3（）Y（100萬元）181.285.087.07.8282.992.094.08.4383.291.595.08.7485.992.995.59.0588.093.096.09.6699.996.097.010.37102.095.097.510.68105.395.697.010.99117.798.998.0

58、11.310126.4101.5101.212.311131.2102.0102.513.512148.0105.0104.014.213153.0106.0105.914.914161.0109.0109.515.915170.0112.0111.018.516174.0112.5112.019.517185.0113.0112.319.918189.0114.0113.020.5自變量子集R2修正R2平均殘差平方和AICCp*x1,x2,x30.981110.9770640.41147862.1434x1,x20.9747220.9713520.51395092.323266.73558*

59、x1,x30.9784050.9755260.43906412.1657794.00566x2,x30.957550.951890.86309272.84165619.4638x10.9728360.9711380.522.2841156.1335x20.956620.9539080.82688132.75222218.15334x30.9508180.9477440.93747062.87774622.45364 由5項指標均可看出x1，x2，x3是“最優(yōu)”子集，x1，x3是“次優(yōu)”子集。因為這個實際問題所涉及的自變量本來就較少，所以從幾個準則看到全模型是“最優(yōu)”的。這種情況在自變量只有少數(shù)

60、幾個時是常見的，但當涉及的自變量數(shù)目較多時，很少見到全模型是最優(yōu)的。 再說我們講的最優(yōu)是相對而言，在實際問題的選模中，應綜合考慮，或根據(jù)實際問題的研究目的從不同最優(yōu)角度來考慮。如有時希望模型各項衡量準則較優(yōu)，得到的模型又能給出合理的經(jīng)濟解釋；有時只從擬合角度考慮；有時只從預測角度考慮，并不計較回歸方程能否有個合理解釋；有時要求模型的各個衡量準則較優(yōu)，而模型最好簡單些，涉及變量少些；有時還看回歸模型參數(shù)估計的標準誤差大小等。 從本例來看，x1，x2，x3和x1，x3和x1，x2模型相對較好，但從實際經(jīng)濟角度考慮，x2和x3相關(guān)度很高，所以應選擇x1，x3或x1，x2；或轉(zhuǎn)換變量，采用新變量x4x