第三章第17節(jié)氫原子的方程解

1、氫原子問題是用薛定諤方程唯一可以嚴(yán)格求解的原子結(jié)構(gòu)問題，因而也是最有代表性的。本節(jié)將給出解題的大致步驟，列出結(jié)果，并討論其物理意義。 （1 1）、氫原子的薛定諤方程）、氫原子的薛定諤方程電子在原子核的庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)： reU024定態(tài)薛定諤方程： )()(420222rErre氫原子問題是球?qū)ΨQ問題，通常采用球坐標(biāo)系： cossinrx sinsinry )(1222rrrr)(sinsin12r2222sin1r氫原子在球坐標(biāo)下的定態(tài)薛定諤方程： )(12222rrrr)(sinsin12rsin12222rEre024),(r二、分離變量二、分離變量1 ),()(),(YrRr代入方程，并用

2、 乘以兩邊： ),()(/2YrRr2202222422)(1rrerEdrdRrdrdRsin1)(sinsin11222YYY是一個(gè)與 無(wú)關(guān)的常數(shù)。 , r徑向方程徑向方程：0422)(12202222RrRreREdrdRrdrdr角方程角方程：YYY222sin1)(sinsin12 )()(),(YYYY222sin1)(sinsin1代入方程，并 用乘以兩邊： )()(/sin22221sin)(sinsinddddd是一個(gè)與 無(wú)關(guān)的常數(shù)。 ,0)sin()(sinsin12dddd022d三、 三方程的解R,1 方程的解022d2m0222md方程的解為：imAe)(波函數(shù)單值：

3、 )2()(2)2(imimimimeAeAeAe12sin2cos2mimeim3, 2, 1, 0m波函數(shù)歸一化：12*220220AdAd21Aime21)(3, 2, 1, 0m2 方程的解0)sin()(sinsin122mdddd關(guān)聯(lián)勒讓德方程。求解過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，為了得到符合波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的解，必須對(duì) 和 加以限制：m) 1( ll3 , 2 , 1 , 0lml 3, 2, 1, 0m方程的解為關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式： )(cos)(mllmlmPB3 , 2 , 1 , 0l3, 2, 1, 0m)!(2) 12()!(mllmlBlmlmlmlmlmlxdxdxlxP) 1()1 (

4、!21)(222cosx)(cos)(mllmlmPB)!(2) 12()!(mllmlBlmlmlmlmlmlxdxdxlxP) 1()1 (!21)(2220l2100B0m100P21001l1m2310Bcos01Pcos23101l0m4311Bsin11Psin43112l0m2520B) 1cos3(21202P) 1cos3(852203 方程的解R0) 1()4(2)(1202222RrllreEdrdRrdrdr關(guān)聯(lián)拉蓋爾方程，方程的解為關(guān)聯(lián)拉蓋爾多項(xiàng)式)()(1212lnlnlnlLeCR02nar102112!)!12()!1()!() 1()(lnkkkllnkklk

5、lnlnL330)!(2)!1()2(lnnlnnaCnl3 , 2 , 1n12 , 1 , 0nl22004mea 玻爾半徑只要給出了 、 的一對(duì)具體的數(shù)值，就可以得到一個(gè)満足標(biāo)準(zhǔn)條件的解。 nl四、四、H原子的波函數(shù)原子的波函數(shù))()()(),(,mlnlnmlnrRr3 , 2 , 1n12 , 1 , 0nllm3, 2, 1, 0對(duì)應(yīng)一組量子數(shù) 就能給出 波函數(shù)的一個(gè)具體形式，因此 確定了原子的狀態(tài)。mln ,),(,rmlnmln ,當(dāng) 時(shí)， 取任何值都能使R滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的解。所以正值的能量是連續(xù)的，相當(dāng)于自由電子與H+離子結(jié)合為原子時(shí)釋放的能量。 0EE量子力學(xué)對(duì)氫原子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

6、的描繪量子力學(xué)對(duì)氫原子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描繪mln ,一、量子數(shù) 的物理意義n1主量子數(shù) 與能量量子化0E224202)4(1nmeEn3 , 2 , 1n當(dāng) 時(shí)， 自然得出:能量是量子化的。The abscissa denotes the position coordinate of the electron (the distance between the proton and electron), r , in units of the Bohr radius , where The ground state:The energy is quantised; En is continues w

7、hen n mmea10220010529. 04 2角量子數(shù) 和角動(dòng)量角子化 角動(dòng)量是量子化的，自然得出。 舊量子論： 當(dāng)角動(dòng)量很大時(shí)， ， ，二者一致， 所以玻爾理論給出了近似的結(jié)果。l) 1( llL12 , 1 , 0nlnp nn2 , 11 ll) 1( lL 3磁量子數(shù) m 和空間量子化 個(gè)角動(dòng)量在外場(chǎng)方向的分量也是量子化的，即空間取 向量子化，自然得出。lzmL lml2, 1, 012 l2lm = 00m = -1B(z)m = -22m = 1m = 22 zL6L6 2, 0ZL) 12( 2) 1(llLmLZlm ,2, 1,0由于薛定諤方程是非相對(duì)論的，沒有導(dǎo)出自

8、旋量子數(shù) 和自旋磁量子數(shù) 。 ssmp 解題得出三個(gè)量子數(shù)n,l,m。p 主量子數(shù)n=1,2,3, 主量子數(shù)n與電子的能量有關(guān)，具有相應(yīng)能量的電子依次稱為K，L，M，N，O，P，主殼層的電子；p 角量子數(shù)l=0,1,2,n-1.角量子數(shù)l與電子的角動(dòng)量有關(guān)，l=0,1,2,3,4,5,的態(tài)依次稱為s,p,d,f,g,h，態(tài)，處于這些態(tài)上的電子依次稱為s,p,d,f,g,h,，電子，也叫次殼層電子； p 磁量子數(shù)m=0,1，2，l. 磁量子數(shù)m與電子的磁矩有關(guān)，對(duì)應(yīng)一個(gè)l，m可表示為ml，ml可取2l+1個(gè)值。 宇稱是描述微觀粒子波函數(shù)空間反演對(duì)稱性的一個(gè)物理量2( , , )( , , )nl

9、mnlmrr 222)()()(mlmnlrR因此，在 附近、 內(nèi)找到電子的幾率為：在球坐標(biāo)中 ，, rdVdVrnlm),(dVrRmlmnl222)()()(ddrdrdVsin2二、電子的幾率分布二、電子的幾率分布2)(m)(2lm)(2rRnl ：代表幾率隨角度的分布； ：代表幾率隨角度的分布； ：代表幾率隨矢徑的分布；dVrnlm),(1sin20*02022dddrrRmmlmnl歸一化：1)(022drrrRnl1sin02dlm120*dmmdddlmlm2)(21)(),(dddsinmlldd ， 之間的圓錐體的立體角 由 的值決定 對(duì)給定的 ， 它有確定的值。對(duì)不同的 、

10、 ， 不同。lmlmmlm1幾率隨幾率隨角的分布角的分布21)()(*mm- 幾率密度的分布幾率密度的分布繞繞Z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱2角向分布幾率角向分布幾率2作為的函數(shù)和對(duì)應(yīng)的軌道 其圖形應(yīng)是繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周的一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，表示概率密度與空間取向的關(guān)系。在這圖中還把用矢量模型畫的空間量子化圖附上，以資比較。可以看到其中有某種對(duì)應(yīng)關(guān)系 dVrnlm),(dVrRmlmnl222)()()(222)()()(mlmnlrRddrdr sin2drrRdddrrRdrrnlmlmnlnl222200222sin)( 對(duì)于不同的 ， 不同，如圖所示。 ln,)(rnl3電子的徑向分布概率電子的徑向分布概

11、率, rdV在附近 、 內(nèi)找到電子的幾率為：drrr-在離核 處的球形殼層內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的幾率 1022drrRrnl 22rRrnl1n0l022302210104)()(arerarrRr0)22(4)(02023010arearradrrd0ar 0ar 在在 處有極大值。處有極大值。 在在 處有極大值。處有極大值。2n1l050422212124)()(arearrrRr0)4(241)(00435021arearradrrd04ar 04ar 用小黑點(diǎn)的密或稀形象地表示空間各處概率密度 的相對(duì)大小，概率大的地方黑點(diǎn)濃密，概率小的地方黑點(diǎn)稀疏，稱它們?yōu)椤半娮釉啤?電子在原子核外很小的空間內(nèi)

12、作高速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律跟一般物體不同，它們沒有確定的軌道。因此，我們不能同時(shí)準(zhǔn)確地測(cè)定電子在某一時(shí)刻所處的位置和運(yùn)動(dòng)的速度，也不能描畫出它的運(yùn)動(dòng)軌跡。因此，人們常用一三、電子云三、電子云種能夠表示電子在一定時(shí)間內(nèi)在核外空間各處出現(xiàn)機(jī)會(huì)的模型來(lái)描述電子在核外的運(yùn)動(dòng)。在這個(gè)模型里，某個(gè)點(diǎn)附近的密度表示電子在該處出現(xiàn)機(jī)會(huì)的大小。密度大的地方，表明電子在核外空間單位體積內(nèi)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多；密度小的地方，表明電子在核外空間單位體積內(nèi)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)少。由于這個(gè)模型很像在原子核外有一層疏密不等的“云”，所以，人們形象地把它叫做“電子云”。Planet model by RutherfordPlum-pudding

13、model by ThomsonElectron cloud modelBohrs model氫原子1s電子云氫原子n=2的各狀態(tài)的電子云圖 (a)2s; (b)l=1,ml=0; (c)l=1,ml=1 n=1,l=0n=2,l=0n=2,l=1n=3,l=0n=3,l=1n=3,l=2m=0m=1m=2n=4,l=0n=4,l=1n=4,l=2n=4,l=3m=0m=1m=2m=3n = 1 l = 0 m = 0 n = 2 l = 0 m = 0 l = 1 m = 0 & m = 1 n = 3 l = 0 m = 0 l = 1 m = 0 & m = 1 l =

14、2 m = 0 & m = 1 & m = 2 n = 6 l = 3 m = 0 n = 11 l = 6 m = 3 The probability density of the electrons of H atomn = 1, l = 0, m = 0, spherically symmetrical distributionsThe colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probabi

15、lity from small (zero) to large values.n = 2, l = 0, m = 0, spherically symmetrical distributionsThe colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 2, l = 1, m = 0, Dumbbell shaped dist

16、ribution along one axisThe colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 2, l = 1, m = 1, Dumbbell shaped distribution along one axisThe colors in the plots of the probability distribu

17、tions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 3, l = 0, m = 0, spherically symmetrical distributionsThe colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability fro

18、m small (zero) to large values.n = 3, l = 1, m = 0, The colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 3, l = 1, m = 1, The colors in the plots of the probability distributions vary fro

19、m blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 3, l = 2, m = 0, The colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 3, l = 2, m = 1, The colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 3, l = 2, m = 2, The colors in the plots