六年級奧數(shù)~.數(shù)論綜合

1、數(shù)論綜合二教學目標:1、掌握質(zhì)數(shù)合數(shù)、完全平方數(shù)、位值原理、進制問題的常見題型；2、重點理解和掌握余數(shù)局部的相關問題,理解“將不熟悉轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學思想例題精講：板塊一質(zhì)數(shù)合數(shù)【例1】有三卡片,它們上面各寫著數(shù)字1,2,3,從中抽出一、二、三,按任意次序排列出來,可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù),請你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來【解析】抽一F片,可寫出一位數(shù)1,2,3;抽兩卡片,可寫出兩位數(shù)12,13,21,23,31,32;抽三卡片,可寫出三位數(shù)123,132,213,231,312,321,其中三位數(shù)的數(shù)字和均為6,都能被3整除,所以都是合數(shù).這些數(shù)中,是質(zhì)數(shù)的有：2,3,13,23,31.【

2、例2】三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍,求這三個質(zhì)數(shù).【解析】設這三個質(zhì)數(shù)分別是a、b、c,滿足abc11abc,那么可知a、b、c中必有一個為11,不妨記為a,那么bc11bc,整理得b1c112,又121122634,對應的b2、c13或b3、c7或b4、c5舍去,所以這三個質(zhì)數(shù)可能是2,11,13或3,7,11.【例3】用1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)字組成質(zhì)數(shù),如果每個數(shù)字都要用到并且只能用一次,那么這9個數(shù)字最多能組成多少個質(zhì)數(shù)？【解析】要使質(zhì)數(shù)個數(shù)最多,我們盡量組成一位的質(zhì)數(shù),有2、3、5、7均為一位質(zhì)數(shù),這樣還剩下1、4、6、8、9這5個不是質(zhì)數(shù)的數(shù)字未用.有1、

3、4、8、9可以組成質(zhì)數(shù)41、89,而6可以與7組合成質(zhì)數(shù)67.所以這9個數(shù)字最多可以組成6個質(zhì)數(shù).【例4】有兩個整數(shù),它們的和恰好是兩個數(shù)字相同的兩位數(shù),它們的乘積恰好是三個數(shù)字相同的三位數(shù).求這兩個整數(shù)分別是多少？【解析】兩位數(shù)中,數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個,它們中的每個數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)相加的形式,例如33132231330LL1617,共有16種形式,如果把每個數(shù)都這樣分解,再相乘,看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三位數(shù),顯然太繁瑣了.可以從乘積入手,由于三個數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666777、88

4、8、999,每個數(shù)都是111的倍數(shù),而111373,因此把這九個數(shù)表示成一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩位數(shù)相乘時,必有一個因數(shù)是37或37的倍數(shù),但只能是37的2倍想想為什么？3倍就不是兩位數(shù)了.把九個三位數(shù)分解：111373、222376743、333379、4443712746、5553715、6663718749、7773721、88837247412、9993727.把兩個因數(shù)相加,只有74377和371855的兩位數(shù)字相同.所以滿足題意的答案是74和3,37和18.板塊二余數(shù)問題【例5】2003年全國小學數(shù)學奧林匹克試題有兩個自然數(shù)相除,商是17,余數(shù)是13,被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之

5、和為2113,那么被除數(shù)是多少？【解析】被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113,所以被除數(shù)除數(shù)=2083,由于被除數(shù)是除數(shù)白117倍還多13,那么由“和倍問題可得：除數(shù)=2083-13+17+1=115,所以被除數(shù)=2083-115=1968.【例6】2021被一些自然數(shù)去除,所得的余數(shù)都是10,那么這樣的自然數(shù)共有多少個？【解析】此題為一道余數(shù)與約數(shù)個數(shù)計算公式的小綜合性題目.由題意所求的自然數(shù)一定是2021-10即1998的約數(shù),同時還要滿足大于10這個條件.這樣題目就轉(zhuǎn)化為1998有多少個大于10的約數(shù),3-一一19982337,共有1+1x3+1x1+1=16個約數(shù),其中1,

6、2,3,6,9是比10小的約數(shù),所以符合題目條件的自然數(shù)共有11個.【例7】有一個整數(shù),除39,51,147所得的余數(shù)都是3,求這個數(shù).【解析】法139336,1473144,36,14412,12的約數(shù)是1,2,3,4,6,12,由于余數(shù)為3要小于除數(shù),這個數(shù)是4,6,12;法2由于所得的余數(shù)相同,得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差,也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).513912,14739108,12,10812,所以這個數(shù)是4,6,12.例82005年全國小學數(shù)學奧林匹克試題有一個整數(shù),用它去除70,110,160所得到的3個余數(shù)之和是50,那么這個整數(shù)是.【解析】7011016

7、050290,50316.2,除數(shù)應當是290的大于17小于70的約數(shù),只可能是29和58,110581.52,5250,所以除數(shù)不是58.70292.12,110293.23,160295.15,12231550,所以除數(shù)是29【穩(wěn)固】2002年全國小學數(shù)學奧林匹克試題用自然數(shù)n去除63,91,129得到的三個余數(shù)之和為25,那么n=.【解析】n能整除639112925258.由于2538.1,所以n是258大于8的約數(shù).顯然,n不能大于63.符合條件的只有43.【例9】一個大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除220后所得的余數(shù),那么這個自然數(shù)是多少？【解析

8、】這個自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除90164254后所得的余數(shù),所以254和220除以這個自然數(shù)后所得的余數(shù)相同,因此這個自然數(shù)是25422034的約數(shù),又大于10,這個自然數(shù)只能是17或者是34.如果這個數(shù)是34,那么它去除90、164220后所得的余數(shù)分別是22、28、16,不符合題目條件；如果這個數(shù)是17,那么他去除90、164220后所得的余數(shù)分別是5、11、16,符合題目條件,所以這個自然數(shù)是17.【例10】甲、乙、丙三數(shù)分別為603,939,393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍,A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍.求A等于多少？

9、【解析】根據(jù)題意,這三個數(shù)除以A都有余數(shù),那么可以用帶余除法的形式將它們表示出來：603AK1LLr1939AK2LLr2393AK3LLn由于A2r2,22r3,要消去余數(shù)r1,口,門,我們只能先把余數(shù)處理成相同的,再兩數(shù)相減.這樣我們先把第二個式子乘以2,使得被除數(shù)和余數(shù)都擴大2倍,同理,第三個式子乘以4.于是我們可以得到下面的式子：603AK1LLr19392A2K2LL2r23934A2K3LL4r3這樣余數(shù)就處理成相同的.最后兩兩相減消去余數(shù),意味著能被A整除.93926031275,3934603969,1275,96951317.51的約數(shù)有1、3、17、51,其中1、3顯然不滿

10、足,檢驗17和51可知17滿足,所以A等于17.【例11】2003年市少年數(shù)學智力冬令營試題22003與20032的和除以7的余數(shù)是.【解析】找規(guī)律.用7除2,22,23,24,25,26,的余數(shù)分別是2,4,1,2,4,1,2,4,1,2的個數(shù)是3的倍數(shù)時,用7除的余數(shù)為1;2的個數(shù)是3的倍數(shù)多1時,用7除的余數(shù)為2;2的個數(shù)是3的倍數(shù)多2時,用7除的余數(shù)為4.由于22003236672,所以22003除以7余4,又兩個數(shù)的積除以7的余數(shù),與兩個數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同.而2003除以7余1,所以20032除以7余1.故22003與20032的和除以7的余數(shù)是415.【穩(wěn)固】220212

11、0212除以7的余數(shù)是多少？【解析】238除以7的余數(shù)為1,202136691,所以2202123669+1236692,其除以7的余數(shù)為：166922;2021除以7的余數(shù)為6,那么20212除以7的余數(shù)等于62除以7的余數(shù),為1;所以2202120212除以7的余數(shù)為：213.【例12】2021年走美初賽六年級有一串數(shù)：1,1,2,3,5,8,從第三個數(shù)起,每個數(shù)都是前兩個數(shù)之和,在這串數(shù)的前2021個數(shù)中,有幾個是5的倍數(shù)？【解析】由于兩個數(shù)的和除以5的余數(shù)等于這兩個數(shù)除以5的余數(shù)之和再除以5的余數(shù).所以這串數(shù)除以5的余數(shù)分別為：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0

12、,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,可以發(fā)現(xiàn)這串余數(shù)中,每20個數(shù)為一個循環(huán),且一個循環(huán)中,每5個數(shù)中第五個數(shù)是5的倍數(shù).由于20215401L4,所以前2021個數(shù)中,有401個是5的倍數(shù).【穩(wěn)固】著名的裴波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串數(shù)列當中第2021個數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？【解析】斐波那契數(shù)列的構(gòu)成規(guī)那么是從第三個數(shù)起每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和,由此可以根據(jù)余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被3除所得余數(shù)的數(shù)列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九項和第十項連續(xù)兩個是1,與第一項和第二項的值相同且位置連續(xù),所以裴波那契數(shù)列被3除的余數(shù)每8

13、個一個周期循環(huán)出現(xiàn),由于2021除以8的余數(shù)為0,所以第2021項被3除所得的余數(shù)為第8項被3除所得的余數(shù),為0.【例13】1997年全國小學數(shù)學奧林匹克試題將12345678910111213.依次寫到第1997個數(shù)字,組成一個1997位數(shù),那么此數(shù)除以9的余數(shù)是.【解析】此題第一步是要求出第1997個數(shù)字是什么,再對數(shù)字求和.19共有9個數(shù)字,1099共有90個兩位數(shù),共有數(shù)字：902180個,100999共900個三位數(shù),共有數(shù)字：90032700個,所以數(shù)連續(xù)寫,不會寫到999,從100開始是3位數(shù),每三個數(shù)字表示一個數(shù),199791803602.2,即有602個三位數(shù),第603個三位

14、數(shù)只寫了它的百位和十位.從100開始的第602個三位數(shù)是701,第603個三位數(shù)是9,其中2未寫出來.由于連續(xù)9個自然數(shù)之和能被9整除,所以排列起來的9個自然數(shù)也能被9整除,702個數(shù)能分成的組數(shù)是：702978組,依次排列后,它仍然能被9整除,但702中2未寫出來,所以余數(shù)為9-27.【例14】有2個三位數(shù)相乘的積是一個五位數(shù),積的后四位是1031,第一個數(shù)各個位的數(shù)字之和是10,第二個數(shù)的各個位數(shù)字之和是8,求兩個三位數(shù)的和.【解析】此題條件僅給出了兩個乘數(shù)的數(shù)字之和,同時發(fā)現(xiàn)乘積的一局部已經(jīng)給出,即乘積的一局部數(shù)字之和已經(jīng)給出,我們可以采用棄九法原理的倒推來構(gòu)造出原三位數(shù).由于這是一個一

15、定正確的算式,所以一定可以滿足棄九法的條件,兩個三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8,所以等式一邊除以9的余數(shù)為8,那么口1031除以9的余數(shù)也必須為8,口只能是3.將31031分解質(zhì)因數(shù)發(fā)現(xiàn)僅有一種情況可以滿足是兩個三位數(shù)的乘積,即31031311001143217所以兩個三位數(shù)是143和217,那么兩個三位數(shù)的和是360【例15】設20212021的各位數(shù)字之和為A,A的各位數(shù)字之和為B,B的各位數(shù)字之和為C,C的各位數(shù)字之和為D,那么D?【解析】由于一個數(shù)除以9的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同,所以20212021與A、B、C、D除以9者B同余,而2021除以9的余數(shù)為2,那么2021

16、2021除以9的余數(shù)與22021除以9的余數(shù)相同,而2664CCCCeuO334U除以9的余數(shù)為1,所以2222除以9的余數(shù)為2除以9的余數(shù),即為5.另一方面,由于20212021100002021108036,所以20212021的位數(shù)不超過8036位,那么它的各位數(shù)字之和不超過9803672324,即A72324;那么A的各位數(shù)字之和B9545,B的各位數(shù)字之和C9218,C小于18且除以9的余數(shù)為5,那么C為5或14,C的各位數(shù)字之和為5,即D5.板塊三完全平方數(shù)【例16】從1到2021的所有自然數(shù)中,乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？【解析】完全平方數(shù),其所有質(zhì)因數(shù)必定成對出現(xiàn)._

17、.32.而7223266,所以滿足條件的數(shù)必為某個完全平方數(shù)的2倍,由于2313119222021232322048,所以212、222、2312都滿足題意,即所求的滿足條件的數(shù)共有31個.【例17一個數(shù)減去100是一個平方數(shù),減去63也是一個平方數(shù),問這個數(shù)是多少？【解析】設這個數(shù)減去63為A2,減去100為B2,那么A2B2ABAB1006337371,可知AB37,且AB1,所以A19,B18,這樣這個數(shù)為182100424.【穩(wěn)固】能否找到這么一個數(shù),它加上24,和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？【解析】假設能找到,設這兩個完全平方數(shù)分別為A2、B2,那么這兩個完全平方數(shù)的差為54

18、ABAB,由于AB和AB的奇偶性質(zhì)相同,所以ABAB不是4的倍數(shù),就是奇數(shù),不可能是像54這樣是偶數(shù)但不是4的倍數(shù).所以54不可能等于兩個平方數(shù)的差,那么題中所說的數(shù)是找不到的.【例18】有5個連續(xù)自然數(shù),它們的和為一個平方數(shù),中間三數(shù)的和為立方數(shù),那么這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為.【解析】考查平方數(shù)和立方數(shù)的知識點,同時涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題,設未知數(shù)的時候有技巧：一般是設中間的數(shù),這樣前后的數(shù)關于中間的數(shù)是對稱的.設中間數(shù)是x,那么它們的和為5x,中間三數(shù)的和為3x.5x是平方數(shù),設5x52a2,那么x5a2,3x15a235a2是立方數(shù),所以a2至少含有3和5的質(zhì)因數(shù)各2個,即a2

19、至少是225,中間的數(shù)至少是1125,那么這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為1123.板塊四位值原理【例19】(美國小學數(shù)學奧林匹克)把一個兩位數(shù)的十位與個位上的數(shù)字加以交換,得到一個新的兩位數(shù).如果原來的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45,試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？【解析】設原來的兩位數(shù)為ab,交換后的新的兩位數(shù)為ba,根據(jù)題意,abba(10ab)(10ba)9(ab)45,ab5,原兩位數(shù)最大時,十位數(shù)字至多為9,即a9,b4,原來的兩位數(shù)中最大的是94.【穩(wěn)固】將一個四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來,得到一個新的四位數(shù)(這個數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù)),新數(shù)比原數(shù)大8802.求原來的四位數(shù).【解析】設

20、原數(shù)為abcd,那么新數(shù)為dcba,dcbaabcd(1000d100c10ba)(1000a100b10cd)999(da)90(cb)根據(jù)題意,有999(da)90(cb)8802,111(da)10(cb)97888890.推知da8,cb9,得到d9,a1,c9,b0,原數(shù)為1099.【例20(第五屆希望杯培訓試題)有3個不同的數(shù)字,用它們組成6個不同的三位數(shù),如果這6個三位數(shù)的和是1554,那么這3個數(shù)字分別是多少？【解析】【穩(wěn)固】【解析】【穩(wěn)固】【解析】板塊五【例21】【解析】【穩(wěn)固】【解析】【例22【解析】設這六個不同的三位數(shù)為abc,acb,bac,bca,cab,cba,由于

21、abc100a10bc,acb100a10cb,它們的和是：222(abc)1554,所以abc15542227,由于這三個數(shù)字互不相同且均不為0,所以這三個數(shù)中較小的兩個數(shù)至少為1,2,而7(12)4,所以最大的數(shù)最大為4;又12367,所以最大的數(shù)大于3,所以最大的數(shù)為4,其他兩數(shù)分別是1,2.(迎春杯決賽)有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù),這6個三位數(shù)的和是2886,求所有這樣的6個三位數(shù)中最小的三位數(shù).設三個數(shù)字分別為a、b、c,那么6個不同的三位數(shù)的和為：abcacbbacbcacabcba2(abc)1002(abc)102(abc)222(abc)所以abc288622213,最

22、小的三位數(shù)的百位數(shù)應為1,十位數(shù)應盡可能地小,由于十位數(shù)與個位數(shù)之和一定,故個位數(shù)應盡可能地大,最大為9,此時十位數(shù)為13193,所以所有這樣的6個三位數(shù)中最小的三位數(shù)為139.a,b,c分別是0:9中不同的數(shù)碼,用a,b,c共可組成六個三位數(shù),如果其中五個三位數(shù)之和是2234,那么另一個三位數(shù)是幾？由a,b,c組成的六個數(shù)的和是222(abc).由于223422210,所以abc10.假設abc11,那么所求數(shù)為222112234208,但2081011,不合題意.假設abc12,那么所求數(shù)為222122234430,但430712,不合題意.假設abc13,那么所求數(shù)為2221322346

23、52,65213,符合題意.假設abc14,那么所求數(shù)為222142234874,但8741914,不合題意.假設abc15,那么所求數(shù)2221522341096,但所求數(shù)為三位數(shù),不合題意.所以,只有abc13時符合題意,所求的三位數(shù)為652.進制問題在幾進制中有413100?利用尾數(shù)分析來解決這個問題：由于(4)10(3)10(1210,由于式中為100,尾數(shù)為0,也就是說已經(jīng)將12全部進到上一位.所以說進位制n為12的約數(shù),也就是12,6,4,3,2中的一個.但是式子中出現(xiàn)了4,所以n要比4大,不可能是4,3,2進制.另外,由于(4)10(13)10(52)10,由于52100,也就是說

24、不到10就已經(jīng)進位,才能是100,于是知道n10,那么n不能是12.所以,n只能是6.算幾進制數(shù)的乘法？注意到尾數(shù),在足夠大的進位制中有乘積的個位數(shù)字為4520,但是現(xiàn)在為4,說明進走20416,所以進位制為16的約數(shù),可能為16、8、4或2.由于原式中有數(shù)字5,所以不可能為4、2進位,而在十進制中有1534253835043214,所以在原式中不到10就有進位,即進位制小于10,于是原式為8進制.在6進制中有三位數(shù)abc,化為9進制為cba,求這個三位數(shù)在十進制中為多少？(abc)6=aX62+bx6+c=36a+6b+c;(cba)9=cx92+bx9+a=81c

25、+9b+a;所以36a+6b+c=81c+9b+a;于是35a=3b+80c；由于35a是5的倍數(shù),80c也是5的倍數(shù).所以3b也必須是5的倍數(shù),又(3,5)=1.所以,b=0或5.當b=0,那么35a=80c；那么7a=16c；(7,16)=1,并且a、cw0,所以a=16,c=7,但是在6,9進制,不可以有一個數(shù)字為16.當b=5,那么35a=3X5+80c；那么7a=3+16c；mod7后,3+2c三0.所以c=2或者2+7k(k為整數(shù)).因為有6進制,所以不可能有9或者9以上的數(shù),于是c=2;35a=15+80X2,a=5.所以(abc)6=(552)6=5X62+5X6+2=212,

26、這個三位數(shù)在十進制中為212.課后練習：練習1.三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍,求這三個質(zhì)數(shù).【解析】設這三個質(zhì)數(shù)分別是a、b、c,滿足abc7(abc),那么可知a、b、c中必有一個為7,不妨記為a,那么bc7bc,整理得(b1)(c1)8,又81824,對應的b2、c9(舍去)或b3、c5,所以這三個質(zhì)數(shù)可能是3,5,7練習2.有一個大于1的整數(shù),除45,59,101所得的余數(shù)相同,求這個數(shù).【解析】這個題沒有告訴我們,這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少,但是由于所得的余數(shù)相同,根據(jù)同余定理,我們可以得到：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差,也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).10

27、14556,594514,(56,14)14,14的約數(shù)有1,2,7,14,所以這個數(shù)可能為2,7,14.練習3.將1至2021這2021個自然數(shù),按從小到大的次序依次寫出,得一個多位數(shù)：L20072021,試求這個多位數(shù)除以9的余數(shù).【解析】以19992000這個八位數(shù)為例,它被9除的余數(shù)等于19992000被9除的余數(shù),但是由于1999與1999被9除的余數(shù)相同,2000與2000被9除的余數(shù)相同,所以19992000就與19992000被9除的余數(shù)相同.由此可得,從1開始的自然數(shù)L20072021被9除的余數(shù)與前2021個自然數(shù)之和除以9的余數(shù)相同.120212021一,_根據(jù)等差數(shù)列求和公式,這個和為：202