數(shù)學(xué)物理方程舉例和基本概念學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)物理數(shù)學(xué)物理(wl)方程舉例和基本概念方程舉例和基本概念第一頁(yè)，共47頁(yè)。 熱熱量量 質(zhì)質(zhì)量量 守守恒恒定定律律： 費(fèi)費(fèi)克克 FickFick 定定律律： 擴(kuò)擴(kuò)散散定定律律 高高斯斯 GuassGuass 定定律律： 11, , ,Dtu x y z t物物體體 內(nèi)內(nèi)部部各各點(diǎn)點(diǎn)溫溫度度由由任任一一時(shí)時(shí)刻刻 的的溫溫度度 221, , ,tu x y z tQ變變化化為為 的的溫溫度度所所吸吸收收 或或放放出出 的的熱熱量量， 濃濃度度變變化化所所需需增增加加 或或減減少少 的的質(zhì)質(zhì)量量 12tt等等于于從從 到到 這這段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)進(jìn)進(jìn)入入 或或流流出出 物物體體內(nèi)內(nèi)部部的的凈

2、凈23QQ流流熱熱量量與與物物體體內(nèi)內(nèi)部部的的源源所所產(chǎn)產(chǎn)生生的的熱熱量量之之和和，即即123.QQQ 一般說(shuō)來(lái)，由于(yuy)濃度的不均勻，物質(zhì)從濃度高的地方向濃度低的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象叫擴(kuò)散。例如：氣體、液體、固體中都有擴(kuò)散現(xiàn)象。S通通過(guò)過(guò)任任一一閉閉曲曲面面 的的電電通通量量，等等于于這這個(gè)個(gè)閉閉曲曲面面所所包包圍圍的的1 自自由由電電荷荷的的電電量量的的倍倍，即即其其中中， 為為介介電電常常數(shù)數(shù)， 為為電電荷荷體體密密度度。1dd,SVESV nnqqk u 粒粒子子流流強(qiáng)強(qiáng)度度 與與濃濃度度的的下下降降率率成成正正比比，即即k其其中中， 為為擴(kuò)擴(kuò)散散系系數(shù)數(shù)，負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)表表示示濃濃度度

3、減減少少的的方方向向。第2頁(yè)/共47頁(yè)第二頁(yè)，共47頁(yè)。參考書(shū)目參考書(shū)目:數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)(zhdo)與習(xí)題解答與習(xí)題解答 陳才生陳才生 科學(xué)出版社科學(xué)出版社 2010年年數(shù)學(xué)物理數(shù)學(xué)物理(wl)方程與特殊函數(shù)學(xué)習(xí)指南方程與特殊函數(shù)學(xué)習(xí)指南 王元明王元明 高等教育出版社高等教育出版社 2004年年數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)(zhdo)與習(xí)題全解與習(xí)題全解 趙振海趙振海 大連理工大連理工大學(xué)出版社大學(xué)出版社 2003年年數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo) 姚端正姚端正 科學(xué)出版社科學(xué)出版社 2001年年數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理

4、方程與特殊函數(shù) 導(dǎo)教導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考導(dǎo)考 張慧清張慧清 西北工業(yè)大學(xué)出版社西北工業(yè)大學(xué)出版社 2005年年超星數(shù)字圖書(shū)館超星數(shù)字圖書(shū)館（注（注: 網(wǎng)絡(luò)圖書(shū)館）網(wǎng)絡(luò)圖書(shū)館）第3頁(yè)/共47頁(yè)第三頁(yè)，共47頁(yè)。 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)物理方程：物理方程： 方程(fngchng)的幾個(gè)基本概念 定義定義(dngy)：主要指從物理學(xué)以及其他自然科學(xué)、工程技術(shù)中所產(chǎn)生的偏微分方程，有時(shí)也包括主要指從物理學(xué)以及其他自然科學(xué)、工程技術(shù)中所產(chǎn)生的偏微分方程，有時(shí)也包括與此有關(guān)的一些常微分方程、積分方程、微分積分方程等。與此有關(guān)的一些常微分方程、積分方程、微分積分方程等。例如：例如： 1 描描繪繪振振動(dòng)動(dòng)和和波波

5、振振動(dòng)動(dòng)波波，電電磁磁波波 動(dòng)動(dòng)特特征征的的波波動(dòng)動(dòng)方方程程: :2.ttxxua uf 2:熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo) 反反映映輸輸或或擴(kuò)擴(kuò)運(yùn)運(yùn)程程的的散散 方方程程過(guò)過(guò)2, Laplace.tuauf 其其中中 是是算算子子 ;3 描描述述穩(wěn)穩(wěn)定定過(guò)過(guò)程程或或狀狀態(tài)態(tài)，如如：引引力力勢(shì)勢(shì)和和PoissoPoisso靜靜電電勢(shì)勢(shì)滿滿足足n n方方程程的的20, Laplace.auh 其其中中 是是算算子子0, 0.hu 若若則則退退化化為為L(zhǎng)aplaceLaplace方方程程: :雙曲型雙曲型拋物型拋物型橢圓型橢圓型典型方程典型方程 數(shù)學(xué)物理方程的發(fā)展歷史簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)物理方程的發(fā)展歷史簡(jiǎn)述偏微分方程理論的起

6、源可追溯到十八世紀(jì)（微積分產(chǎn)生之后），偏微分方程理論的起源可追溯到十八世紀(jì)（微積分產(chǎn)生之后），人們將力人們將力學(xué)中的一些問(wèn)題，歸結(jié)為偏微分方程進(jìn)行研究。學(xué)中的一些問(wèn)題，歸結(jié)為偏微分方程進(jìn)行研究。例如：例如：1715年，泰勒年，泰勒（1746年，達(dá)朗貝爾）年，達(dá)朗貝爾）研究了弦線振動(dòng)規(guī)律，歸結(jié)為一維弦振動(dòng)方程。研究了弦線振動(dòng)規(guī)律，歸結(jié)為一維弦振動(dòng)方程。這一這一第4頁(yè)/共47頁(yè)第四頁(yè)，共47頁(yè)。討論討論(toln)吸引了眾多數(shù)學(xué)家的吸引了眾多數(shù)學(xué)家的注意。注意。例如例如(lr)：歐拉（：歐拉（1759年）和丹年）和丹貝努利（貝努利（1762年年）在聲波的研究）在聲波的研究(ynji)中將該方程推廣

7、到二、中將該方程推廣到二、三維。三維。這樣就由對(duì)弦振動(dòng)的研究這樣就由對(duì)弦振動(dòng)的研究開(kāi)創(chuàng)開(kāi)創(chuàng)了了數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程這門學(xué)科這門學(xué)科。隨后，人們陸續(xù)地了解了流體的運(yùn)動(dòng)、彈性體的平衡與振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、電磁相互隨后，人們陸續(xù)地了解了流體的運(yùn)動(dòng)、彈性體的平衡與振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、電磁相互作用、原子核和電子的相互作用、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程等等自然現(xiàn)象的基本規(guī)律，把它作用、原子核和電子的相互作用、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程等等自然現(xiàn)象的基本規(guī)律，把它們寫(xiě)成偏微分方程的形式，并且求出了典型問(wèn)題的解。們寫(xiě)成偏微分方程的形式，并且求出了典型問(wèn)題的解。例如：例如：1780年，年，Laplace在研究引力勢(shì)的工作中提出了在研究引力勢(shì)的工作中

8、提出了Laplace方程。方程。Euler與與 Lagrange在流體力學(xué)的工作中，在流體力學(xué)的工作中，Legendre和和Laplace在天體力學(xué)的工作中都研究了調(diào)在天體力學(xué)的工作中都研究了調(diào)和方程。和方程。所有這些都所有這些都豐富了豐富了這門學(xué)科的內(nèi)容。這門學(xué)科的內(nèi)容。數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的研究數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的研究繁榮起來(lái)繁榮起來(lái)是在十九世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解決做是在十九世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解決做出了貢獻(xiàn)。如：出了貢獻(xiàn)。如：Fourier（ 1811年）年） ，在研究熱的傳播中，提出了三維空間的熱傳導(dǎo)方程，在研究熱的傳播中，提出了三維空間的熱傳導(dǎo)方程。他的研究對(duì)偏微分方程

9、的發(fā)展產(chǎn)生了重大影響。他的研究對(duì)偏微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了重大影響。Cauchy給出了第一個(gè)關(guān)于解的存在定理，給出了第一個(gè)關(guān)于解的存在定理，開(kāi)創(chuàng)了開(kāi)創(chuàng)了PDE的現(xiàn)代理論的現(xiàn)代理論。到。到19世紀(jì)末，二階線性世紀(jì)末，二階線性PDE的一般理論已基本建立，的一般理論已基本建立，PDE這門這門學(xué)學(xué)科開(kāi)始形成科開(kāi)始形成。從二十世紀(jì)開(kāi)始，隨著現(xiàn)代科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)物理也從二十世紀(jì)開(kāi)始，隨著現(xiàn)代科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)物理也有了新的面貌有了新的面貌。不斷涌現(xiàn)。不斷涌現(xiàn)新的數(shù)學(xué)物理方程、理論（廣義函數(shù)論和索伯列夫空間）、方法。新的數(shù)學(xué)物理方程、理論（廣義函數(shù)論和索伯列夫空間）、方法。例如：例如：愛(ài)因斯坦方程（引

10、力場(chǎng)），愛(ài)因斯坦方程（引力場(chǎng)），Yang-Mills方程（規(guī)范場(chǎng)）方程（規(guī)范場(chǎng)）第5頁(yè)/共47頁(yè)第五頁(yè)，共47頁(yè)。 偏微分方程偏微分方程(wi fn fn chn)方程中除了含有幾個(gè)自變量和未知函數(shù)方程中除了含有幾個(gè)自變量和未知函數(shù)(hnsh)(hnsh)外，還含有未知函數(shù)外，還含有未知函數(shù)(hnsh)(hnsh)的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)( (也可僅含偏導(dǎo)數(shù)也可僅含偏導(dǎo)數(shù)) )的方程稱為偏微分方程。的方程稱為偏微分方程。 定義定義(dngy)一般形式：一般形式：1212, ,0.nnuuuFx xx uFxxx ，其其中中 為為已已知知函函數(shù)數(shù) 方程的階方程的階方程中涉及到的未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱

11、為方程中涉及到的未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為偏微分方程的階偏微分方程的階。 方程的分類方程的分類線性偏微分方程線性偏微分方程如果一個(gè)偏微分方程對(duì)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的（一次的），如果一個(gè)偏微分方程對(duì)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的（一次的），且其系數(shù)僅依賴于自變量，就稱之為且其系數(shù)僅依賴于自變量，就稱之為線性偏微分方程線性偏微分方程。非線性偏微分方程非線性偏微分方程如果非線性方程對(duì)未知函數(shù)的一切最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的（一次的），如果非線性方程對(duì)未知函數(shù)的一切最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的（一次的），則稱其為則稱其為擬線性偏微分方程擬線性偏微分方程。若非線性方程對(duì)未知函數(shù)的一切最高階偏導(dǎo)數(shù)是線

12、性的（一次的），而其若非線性方程對(duì)未知函數(shù)的一切最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的（一次的），而其系數(shù)不含未知函數(shù)及其低階偏導(dǎo)數(shù)，則稱其為系數(shù)不含未知函數(shù)及其低階偏導(dǎo)數(shù)，則稱其為半線性偏微分方程半線性偏微分方程。第6頁(yè)/共47頁(yè)第六頁(yè)，共47頁(yè)。對(duì)線性偏微分方程而言，將方程中不含未知函數(shù)對(duì)線性偏微分方程而言，將方程中不含未知函數(shù)(hnsh)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱之為自由項(xiàng)。及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱之為自由項(xiàng)。線性偏微分方程線性偏微分方程(wi fn fn chn)可分為可分為當(dāng)自由當(dāng)自由(zyu)項(xiàng)為零時(shí)項(xiàng)為零時(shí)齊次方程齊次方程當(dāng)自由項(xiàng)為非零時(shí)當(dāng)自由項(xiàng)為非零時(shí)非齊次方程非齊次方程判判斷斷下下列列方方程程的的類類型型，并并

13、指指例例如如：出出方方程程的的階階 22222221 , , ,;uuuuafx y z ttxyz 2222222 0;uuuxyy 222223 ;uuatx 242244 ,;uuafx ttx 22222225 1210;uuu uuuuyxxyx yxy 336 0;uuucutxx 07 ;0uvxyuvyx 208 ;0uutxxuucutxx 2階階2階階2階階4階階2階階1階階1階階3階階線性線性線性線性線性線性線性線性非線性非線性非線性非線性線性線性非線性非線性非齊次非齊次齊次齊次齊次齊次非齊次非齊次齊次齊次半線性半線性擬線性擬線性擬線性擬線性第7頁(yè)/共47頁(yè)第七頁(yè)，共47

14、頁(yè)。判判斷斷下下列列方方程程的的類類型型，并并指指例例如如：出出方方程程的的階階 22221 1;puuuuptxy，其其中中是是常常數(shù)數(shù)2階階 22222 , , , ,;uuuuuua x yb ufx y uxyxyxy2階階 2222223 ;uuuxy2階階非線性非線性半線性半線性非線性非線性擬線性擬線性非線性非線性完全完全(wnqun)非非線性線性 偏微分方程具有偏微分方程具有(jyu)3個(gè)特點(diǎn)個(gè)特點(diǎn)特點(diǎn)特點(diǎn)1：解的自由度比常微分方程大。這是因?yàn)椋航獾淖杂啥缺瘸Ｎ⒎址匠檀?。這是因?yàn)閚階常微分方程的解通常依賴于階常微分方程的解通常依賴于n個(gè)任個(gè)任意意(rny)常數(shù)；而對(duì)常數(shù)；而對(duì)n階

15、偏微分方程，其解通常依賴于階偏微分方程，其解通常依賴于n個(gè)任意個(gè)任意(rny)函數(shù)函數(shù).注注：一般地，任意函數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相等一般地，任意函數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相等.特點(diǎn)特點(diǎn)2：偏微分方程解的存在性，較常微分方程相比，有較大的差別。偏微分方程解的存在性，較常微分方程相比，有較大的差別。注注：常微分方程在相當(dāng)一般的條件下，解是局部存在的。但偏微分方程也常微分方程在相當(dāng)一般的條件下，解是局部存在的。但偏微分方程也 有在條件非常好的情況下，解在非常小的局部范圍內(nèi)也不存在的。有在條件非常好的情況下，解在非常小的局部范圍內(nèi)也不存在的。 特點(diǎn)特點(diǎn)2：解具有疊加性解具有疊加性注注：解的疊加原理對(duì)解的疊

16、加原理對(duì)任何階的線性方程任何階的線性方程都適用，而對(duì)都適用，而對(duì)非線性方程非線性方程不成立不成立. 第8頁(yè)/共47頁(yè)第八頁(yè)，共47頁(yè)。 定解條件定解條件(tiojin)與定解問(wèn)題與定解問(wèn)題 定解條件定解條件(tiojin)的的定義定義定解條件是確定數(shù)學(xué)定解條件是確定數(shù)學(xué)(shxu)物理方程解中所含的任意函數(shù)或常數(shù)，使解具有唯物理方程解中所含的任意函數(shù)或常數(shù)，使解具有唯一性的充分必要條件。一性的充分必要條件。 定解條件的種類定解條件的種類定定解解條條件件初初始始條條件件邊邊界界條條件件銜銜接接條條件件定定義義：體體現(xiàn)現(xiàn)物物理理過(guò)過(guò)程程初初始始狀狀況況的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)表表達(dá)達(dá)式式個(gè)數(shù)：個(gè)數(shù)：關(guān)于時(shí)間關(guān)

17、于時(shí)間t的的n階偏微分方程，要給出階偏微分方程，要給出n個(gè)初始條個(gè)初始條件才能確定一個(gè)特解件才能確定一個(gè)特解定義：體現(xiàn)物理過(guò)程邊界狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式定義：體現(xiàn)物理過(guò)程邊界狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式種類種類第一類邊值條件第一類邊值條件第二類邊值條件第二類邊值條件第三類邊值條件第三類邊值條件個(gè)數(shù)：類似于初始條件的情況個(gè)數(shù)：類似于初始條件的情況由于系統(tǒng)由不同介質(zhì)組成，在兩種不同介質(zhì)的交界處需給由于系統(tǒng)由不同介質(zhì)組成，在兩種不同介質(zhì)的交界處需給定兩個(gè)銜接條件定兩個(gè)銜接條件其其他他條條件件：由于物理上的合理性的需要，有時(shí)還需對(duì)未知函數(shù)由于物理上的合理性的需要，有時(shí)還需對(duì)未知函數(shù)附加以單值、有限、周期性等限制，這類附

18、加條件附加以單值、有限、周期性等限制，這類附加條件稱為稱為自然邊界條件自然邊界條件.第9頁(yè)/共47頁(yè)第九頁(yè)，共47頁(yè)。定解問(wèn)題定解問(wèn)題(wnt)初值問(wèn)題：初值問(wèn)題：由泛定方程由泛定方程(fngchng)和初始條件構(gòu)成的定解問(wèn)題，也稱為柯和初始條件構(gòu)成的定解問(wèn)題，也稱為柯西（西（Cauchy）問(wèn)題）問(wèn)題.邊值問(wèn)題：邊值問(wèn)題：由泛定方程和邊值條件由泛定方程和邊值條件(tiojin)構(gòu)成的定解問(wèn)構(gòu)成的定解問(wèn)題題.混合問(wèn)題：混合問(wèn)題：由泛定方程和初、邊值條件構(gòu)成的定解問(wèn)題由泛定方程和初、邊值條件構(gòu)成的定解問(wèn)題.注意：注意：泛定方程只能反映和描述同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律，即共性泛定方程只能反映和描述同一類現(xiàn)

19、象的共同規(guī)律，即共性. 定解條件描述定解條件描述物理問(wèn)題的特性，即個(gè)性。二者構(gòu)成了描述具體物理問(wèn)題的定解問(wèn)題（數(shù)學(xué)模物理問(wèn)題的特性，即個(gè)性。二者構(gòu)成了描述具體物理問(wèn)題的定解問(wèn)題（數(shù)學(xué)模型）型）. 定解問(wèn)題、微分方程的解、定解問(wèn)題的適定性定解問(wèn)題、微分方程的解、定解問(wèn)題的適定性微分方程的解微分方程的解假設(shè)方程的階數(shù)為假設(shè)方程的階數(shù)為n，若函數(shù)，若函數(shù)u在所考慮的區(qū)域內(nèi)具有在所考慮的區(qū)域內(nèi)具有n階的連階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且代入方程后能使方程成為恒等式，續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且代入方程后能使方程成為恒等式，則稱則稱u為為方程的方程的解解（或（或古典解古典解）. 若方程解若方程解u的表達(dá)式中含有的表達(dá)式中含有n個(gè)任意

20、常數(shù)（或函數(shù)），則稱個(gè)任意常數(shù)（或函數(shù)），則稱u是方程的是方程的通解通解（或（或一般解一般解）.通過(guò)定解條件確定了通解中的任一常數(shù)（或函數(shù)）后所得到的解，通過(guò)定解條件確定了通解中的任一常數(shù)（或函數(shù)）后所得到的解，稱之為稱之為定解問(wèn)題的解定解問(wèn)題的解。未經(jīng)過(guò)驗(yàn)證的解，稱之為未經(jīng)過(guò)驗(yàn)證的解，稱之為形式解形式解。注注：除了古典解外，根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需要，還研究各種廣義意義下的解。它們按較：除了古典解外，根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需要，還研究各種廣義意義下的解。它們按較弱的意義滿足方程，這種解稱為弱的意義滿足方程，這種解稱為廣義解廣義解。第10頁(yè)/共47頁(yè)第十頁(yè)，共47頁(yè)。定解問(wèn)題定解問(wèn)題(wnt)的適定性的適定性或者

21、，定解問(wèn)題的提法或者，定解問(wèn)題的提法(t f)是否適是否適合？合？如果一個(gè)定解問(wèn)題的解存在、唯一、且解連續(xù)依賴于定解條件中的初始數(shù)據(jù)或邊界數(shù)據(jù)，則稱如果一個(gè)定解問(wèn)題的解存在、唯一、且解連續(xù)依賴于定解條件中的初始數(shù)據(jù)或邊界數(shù)據(jù)，則稱該定解問(wèn)題是該定解問(wèn)題是適定的適定的，否則稱它是，否則稱它是不適定的不適定的.注：注：對(duì)不適定問(wèn)題的研究也是非常有意義的！對(duì)不適定問(wèn)題的研究也是非常有意義的！例如：例如：在流體力學(xué)、電磁學(xué)、金屬探礦、氣象預(yù)報(bào)等實(shí)際問(wèn)題中在流體力學(xué)、電磁學(xué)、金屬探礦、氣象預(yù)報(bào)等實(shí)際問(wèn)題中.例如：例如：注：注：對(duì)不適定問(wèn)題的研究已成為偏微分方程的一個(gè)重要研究方向。對(duì)不適定問(wèn)題的研究已成為

22、偏微分方程的一個(gè)重要研究方向。1923年，阿達(dá)馬（年，阿達(dá)馬（J.S. Hadamard，法，法國(guó)）提出國(guó)）提出第11頁(yè)/共47頁(yè)第十一頁(yè)，共47頁(yè)。基本基本(jbn)步驟步驟 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)物理方程的導(dǎo)出物理方程的導(dǎo)出1 1、明確要研究的物理量是什么、明確要研究的物理量是什么(shn me)(shn me)？建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，從所研究的系統(tǒng)？建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，從所研究的系統(tǒng)中中2 2、研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？據(jù)此，以數(shù)學(xué)式子表達(dá)這個(gè)作用；、研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？據(jù)此，以數(shù)學(xué)式子表達(dá)這個(gè)作用；3 3、化簡(jiǎn)、整理即得所研究問(wèn)題的偏微分方程（泛定方程）。、化簡(jiǎn)、整理即得所研究問(wèn)題的

23、偏微分方程（泛定方程）。劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用；劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用； 弦振動(dòng)弦振動(dòng)方程和定解條件方程和定解條件物理模型物理模型（弦的微小橫振動(dòng)問(wèn)題弦的微小橫振動(dòng)問(wèn)題）l 細(xì)細(xì)弦弦設(shè)設(shè)有有一一根根拉拉緊緊的的均均勻勻，其其長(zhǎng)長(zhǎng)為為 ，線線密密軟軟度度為為柔柔，且且在在單單位位長(zhǎng)長(zhǎng)度度上上受受到到F垂垂直直于于弦弦向向上上的的力力 初初始始小小擾擾動(dòng)動(dòng)后后，在在平平衡衡位位置置附附近近作作微微小小橫橫振振動(dòng)動(dòng). .試試確確定定該該弦弦上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)規(guī)規(guī)律律. .分分析析. . 如如圖圖選選擇擇坐坐標(biāo)標(biāo)系系，xPxxQFxuoA ,u x ttx設(shè)設(shè)

24、表表示示弦弦上上各各點(diǎn)點(diǎn)在在時(shí)時(shí)刻刻 沿沿垂垂直直于于 方方向向的的位位移移. .利利用用建建微微元元法法立立方方程程. . ,x xx 任任取取一一弧弧段段它它的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)為為21dxxxxPQux . x 第12頁(yè)/共47頁(yè)第十二頁(yè)，共47頁(yè)。xxxxPQFuPTQT , x xx 這這說(shuō)說(shuō)明明：弧弧段段在在整整個(gè)個(gè)振振動(dòng)動(dòng)過(guò)過(guò)程程中中始始終終沒(méi)沒(méi).發(fā)發(fā)生生伸伸長(zhǎng)長(zhǎng)變變化化HookeTt由由定定律律，張張力力 與與時(shí)時(shí)間間 無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). .另另一一方方面面，注注意意到到 coscosT xT xx cos1,cos1由由于于，所所以以 T xT xx Tx這這說(shuō)說(shuō)明明：張張力力 與與位位置置

25、 無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). .T故故張張力力 是是一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù). . , x xxTu 作作用用于于弧弧段段的的張張力力 沿沿著著 軸軸方方向向的的分分量量為為sinsin,TT 其其中中sintancos1tansec 21tan1tan 21xxuu ,.xux t sin,.xuxx t 類類似似地地， , x xx 作作用用于于弧弧段段的的合合外外力力為為sinsin,TTF xdx根根據(jù)據(jù)NewtonNewton第第二二定定律律，可可得得微微元元的的橫橫振振動(dòng)動(dòng)方方程程為為sinsinttTTF xx u 第13頁(yè)/共47頁(yè)第十三頁(yè)，共47頁(yè)。即即 ,xxttTuxx tTux tF xx u

26、 應(yīng)應(yīng)用用LagrangeLagrange微微分分中中值值定定理理，有有 ,xxttTuxx txF xx u 0,1 . 0 xxxx 令令，有有，上上式式可可寫(xiě)寫(xiě)為為 ,xxttTux tFu 2TFaf 記記，上上式式可可化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)為為 2,.ttxxua ux tf公式被稱為弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程公式被稱為弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程(fngchng)（又稱一維非齊次波動(dòng)（又稱一維非齊次波動(dòng)方程方程(fngchng)）.0FF 若若外外力力 消消失失，即即，則則公公式式弦弦的的自自由由橫橫振振被被稱稱為為動(dòng)動(dòng)方方程程. .討論討論(toln) 若考慮若考慮(kol)弦的重量，則弦的重量，則 , x x

27、x 作作用用于于弧弧段段的的合合外外力力為為sinsinTTF xxg dx根根據(jù)據(jù)NewtonNewton第第二二定定律律，可可得得微微元元的的橫橫振振動(dòng)動(dòng)方方程程為為sinsinttTTF xxgx u 或或者者 ,xxttTux tFgu 2,.ttxxua ux tfg第14頁(yè)/共47頁(yè)第十四頁(yè)，共47頁(yè)。推廣推廣(tugung)（如薄膜振動(dòng)（如薄膜振動(dòng)(zhndng)等）等）22(), ( , , )ttxxyyttxxyyua uuua uuf x y t 或或) )（如彈性體振動(dòng)、電磁波或聲波（如彈性體振動(dòng)、電磁波或聲波(shn b)傳播等）傳播等）22() ( , , )ttx

28、xyyzzttxxyyzzua uuuua uuuf x y t或或) )222222Laplacexyz 稱為算子上述公式雖然為弦振動(dòng)方程，但在力學(xué)上上述公式雖然為弦振動(dòng)方程，但在力學(xué)上彈性桿的縱振動(dòng)彈性桿的縱振動(dòng)，建筑物的剪振動(dòng)建筑物的剪振動(dòng)，潮汐潮汐波波，地震波地震波，管道中氣體小擾動(dòng)的傳播管道中氣體小擾動(dòng)的傳播以及以及電報(bào)方程電報(bào)方程等問(wèn)題，都等問(wèn)題，都說(shuō)明：說(shuō)明：只是其只是其可以用這個(gè)方程描述。可以用這個(gè)方程描述。這些物理現(xiàn)象的這些物理現(xiàn)象的共性共性是振動(dòng)產(chǎn)生波的傳播。是振動(dòng)產(chǎn)生波的傳播。中的未知函數(shù)中的未知函數(shù)表示的物理意義不同表示的物理意義不同。第15頁(yè)/共47頁(yè)第十五頁(yè)，共47

29、頁(yè)。定解條件定解條件(tiojin)(tiojin)的提法的提法初始條件初始條件（初始狀態(tài)）（初始狀態(tài)）注：未知函數(shù)注：未知函數(shù)(hnsh)(hnsh)關(guān)于時(shí)間為二階導(dǎo)數(shù)，需要兩關(guān)于時(shí)間為二階導(dǎo)數(shù)，需要兩個(gè)初始條件！個(gè)初始條件！ 00,0 ,0 tttu xxuxu xxuxt 初初始始位位移移 或或初初始始速速度度 或或邊值條件邊值條件(tiojin)（邊界上的約束）（邊界上的約束）注注：如果研究無(wú)界區(qū)域中的問(wèn)題，當(dāng)然就不再需要邊界條件如果研究無(wú)界區(qū)域中的問(wèn)題，當(dāng)然就不再需要邊界條件，但有時(shí)需對(duì)解在無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸進(jìn)狀況加以限制，這實(shí)，但有時(shí)需對(duì)解在無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸進(jìn)狀況加以限制，這實(shí)際上也是邊值條

30、件際上也是邊值條件 1第第一一類類 固固定定端端邊邊值值條條件件（Dirichlet邊界條件）邊界條件） 120, 0.xx lututt 2第第二二類類 自自由由端端邊邊值值條條件件（Neumann邊界條件）邊界條件）00sintanxxTT0, 0.xuTtx 3第第三三 彈彈類類性性支支承承端端邊邊值值條條件件（Robin邊界條件）邊界條件）00, 0, .xxxx LkuuuuT第16頁(yè)/共47頁(yè)第十六頁(yè)，共47頁(yè)。兩端弦的張力對(duì)外界沿著垂直方向兩端弦的張力對(duì)外界沿著垂直方向(fngxing)的作用力分別的作用力分別是是 兩端受垂直方向兩端受垂直方向(fngxing)的（已知）外力的作

31、用。的（已知）外力的作用。 兩端兩端(lin dun)不受垂直方向的外力的作用（即，可沿著垂直方向自由滑不受垂直方向的外力的作用（即，可沿著垂直方向自由滑動(dòng)）。動(dòng)）。 12tt記記垂垂直直方方向向的的外外力力分分別別為為：，l0 xABTu由于由于0 xx luuTTxx ， 它們的負(fù)值應(yīng)分別等于沿著垂直方向所受外力，即它們的負(fù)值應(yīng)分別等于沿著垂直方向所受外力，即 120.xx luuTtTtxx， 120.xx lttuunTnT， 此時(shí)邊界條件為此時(shí)邊界條件為00.xx luuxx稱為稱為自由邊界條自由邊界條件件 2第第二二類類 自自由由端端邊邊值值條條件件第17頁(yè)/共47頁(yè)第十七頁(yè)，共4

32、7頁(yè)。 3第第三三 彈彈類類性性支支承承端端邊邊值值條條件件若若弦弦的的兩兩端端被被束束縛縛在在可可沿沿垂垂直直方方向向位位移移的的彈彈簧簧上上，其其中中左左、右右兩兩彈彈簧簧平平衡衡位位0101uu置置的的高高度度分分別別為為和和 ，彈彈性性系系數(shù)數(shù)分分別別為為和和。0-u u根根據(jù)據(jù)胡胡可可定定律律，左左邊邊彈彈簧簧產(chǎn)產(chǎn)生生偏偏離離其其平平衡衡位位置置的的位位移移的的作作用用力力為為 000,xuu 它它應(yīng)應(yīng)等等于于弦弦對(duì)對(duì)左左側(cè)側(cè)彈彈簧簧沿沿垂垂直直方方向向的的作作用用力力0,xuTx 即即 0000.xxuuuTx 或或者者0000.xuxTuTu 11,x luu ,x luTx 1

33、1.xxlluxuuT 111.x luuxTuT 0101TT 記記，則則上上面面邊邊界界條條件件可可寫(xiě)寫(xiě)成成0101100, xx luunnuuuu第18頁(yè)/共47頁(yè)第十八頁(yè)，共47頁(yè)。 熱傳導(dǎo)方程（也統(tǒng)稱熱傳導(dǎo)方程（也統(tǒng)稱(tngchng)為輸運(yùn)方程）和定解條件為輸運(yùn)方程）和定解條件物理物理(wl)模型（熱傳導(dǎo)問(wèn)題）模型（熱傳導(dǎo)問(wèn)題）G在在三三維維空空間間中中，考考慮慮一一、的的導(dǎo)導(dǎo)熱熱物物體體 ，假假設(shè)設(shè)它它的的均均勻勻各各向向同同性性內(nèi)內(nèi)部部有有熱熱源源，且且與與周周圍圍介介質(zhì)質(zhì)有有熱熱交交換換，.研研究究它它的的內(nèi)內(nèi)部部各各點(diǎn)點(diǎn)在在任任意意時(shí)時(shí)刻刻的的溫溫度度所所滿滿足足的的方方

34、程程物理物理(wl)定律定律：熱量守恒定律： 1Q物物體體內(nèi)內(nèi)部部的的熱熱量量的的增增加加 或或減減少少=3Q物物體體內(nèi)內(nèi)部部的的熱熱源源所所產(chǎn)產(chǎn)生生的的熱熱量量 2Q通通過(guò)過(guò)物物體體截截面面流流入入 或或流流出出 的的熱熱量量+Fourier實(shí)熱傳導(dǎo)定律驗(yàn)定律 ：.uuqnqknn 熱熱流流強(qiáng)強(qiáng)度度 與與溫溫度度沿沿界界面面外外法法向向 的的變變化化率率成成正正比比，即即 , ,.kk x y z 其其中中為為熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)系系數(shù)數(shù)分分析析. . 3, , ,RGu x y z tt設(shè)設(shè)導(dǎo)導(dǎo)熱熱物物體體在在空空間間內(nèi)內(nèi)占占據(jù)據(jù)的的區(qū)區(qū)域域?yàn)闉?，表表示示它它在在 時(shí)時(shí)刻刻利利用用建建微微元元法

35、法立立方方程程. . , ,x y z 處處的的溫溫度度. . MSDndS1 .DQ內(nèi)內(nèi)溫溫度度改改變變所所需需要要的的熱熱量量1dQ , ,c x y z , ,dx y zV 21, , , , ,u x y z tu x y z t 12, , , , ,Du x y z tu x y z t則則在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)，溫溫度度由由到到所所需需的的熱熱量量為為第19頁(yè)/共47頁(yè)第十九頁(yè)，共47頁(yè)。 MSDndS 121, , , , ,dDQcu x y z tu x y z tV 21, , ,d dttDu x y z tctVt 21ddttDucVtt 2 .SDQ 通通過(guò)過(guò) 進(jìn)進(jìn)

36、入入 內(nèi)內(nèi)的的熱熱量量根根據(jù)據(jù)熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)定定律律， ddtnSn在在時(shí)時(shí)刻刻內(nèi)內(nèi)通通過(guò)過(guò)法法向向 的的曲曲面面微微元元，流流向向 所所指指那那一一側(cè)側(cè)的的熱熱量量為為: :2dddQqtSdduktSn 12ttSD則則從從時(shí)時(shí)刻刻 到到 ，通通過(guò)過(guò) 進(jìn)進(jìn)入入 的的熱熱量量為為212ddttSuQkStn 21ddttSk nuSt T123.,nn n n 其其中中 21123ddttSkukukunnnStxyz21ddttDuuukkkVtxxyyzz第20頁(yè)/共47頁(yè)第二十頁(yè)，共47頁(yè)。3 .Q 熱熱源源提提供供的的熱熱量量ddtV在在時(shí)時(shí)刻刻內(nèi)內(nèi)從從微微體體積積內(nèi)內(nèi)放放出出的的熱熱

37、量量為為 3d, , ,ddQF x y z ttV , , ,.F x y z t其其中中是是熱熱源源強(qiáng)強(qiáng)度度12ttD則則從從時(shí)時(shí)刻刻 到到 ， 內(nèi)內(nèi)熱熱源源提提供供的的熱熱量量為為 213, , , dd .ttDQF x y z tVt 123+QQQ 于于是是，根根據(jù)據(jù)熱熱量量守守恒恒定定律律：，有有21ddttDucVtt 21ddttDuuukkkVtxxxyxz 21+, , ,dd .ttDF x y z tVt12ttD由由時(shí)時(shí)刻刻 ， 和和區(qū)區(qū)域域 的的任任意意性性，可可得得 +, , ,.uuuuckkkF x y z ttxxxyxz .各各向向同同性性體體的的非非均

38、均勻勻熱熱傳傳為為的的方方稱稱導(dǎo)導(dǎo)方方程程程程第21頁(yè)/共47頁(yè)第二十一頁(yè)，共47頁(yè)。k c 如如果果導(dǎo)導(dǎo)熱熱體體是是均均勻勻的的，此此時(shí)時(shí) , , , ,以以及及 均均為為常常數(shù)數(shù). . 2, , ,kafx y z tc 記記， 1, , ,. F x y z tc 則則上上述述方方程程化化為為 2222222+, , ,uuuuafx y z ttxyz 2, , ,.aufx y z t .方方程程稱稱為為三三維維熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)方方程程特例特例(tl) 1 若考慮一根均勻的導(dǎo)熱細(xì)桿，假設(shè)它的側(cè)面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同，,ux t那么溫度 只與有關(guān)，方程變成一一維維熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)方

39、方程程2.txxua u 2 若考慮一塊導(dǎo)熱的薄板，且它的側(cè)面絕熱，則可得二二維維熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)方方程程2.txxyyuauu說(shuō)明說(shuō)明(shumng)方程方程(fngchng)雖通常被稱為熱傳導(dǎo)方程雖通常被稱為熱傳導(dǎo)方程(fngchng)，但絕不只用，但絕不只用于表述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象于表述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象.例如：例如：考察氣體的擴(kuò)散考察氣體的擴(kuò)散, ,液體的滲透液體的滲透, , 半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴(kuò)散等物理過(guò)程，都可用這個(gè)方程半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴(kuò)散等物理過(guò)程，都可用這個(gè)方程來(lái)刻畫(huà)來(lái)刻畫(huà). . 故該方程也被稱為故該方程也被稱為擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程. .第22頁(yè)/共47頁(yè)第二十二頁(yè)，共47頁(yè)。定解條件定解條件(ti

40、ojin)的提法的提法初始條件初始條件（初始狀態(tài)）（初始狀態(tài)）注：未知函數(shù)注：未知函數(shù)(hnsh)關(guān)于時(shí)間為一階導(dǎo)數(shù)，故只需一個(gè)初始條件！關(guān)于時(shí)間為一階導(dǎo)數(shù)，故只需一個(gè)初始條件！ 0, ,tux y z 初初始始溫溫度度 ，其其中中 是是已已知知函函數(shù)數(shù)。邊值條件邊值條件(tiojin) u 在在邊邊界界上上直直接接給給出出未未知知函函數(shù)數(shù)第第一一邊邊值值條條件件的的值值，即即 , , , , ,0.ux y z tx y zt 當(dāng)當(dāng)為為常常數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，表表示示物物體體的的邊邊界界保保持持恒恒溫溫。 un 在在邊邊界界上上給給出出未未知知第第二二函函數(shù)數(shù) 沿沿邊邊界界的的外外法法向向邊邊值值條條

41、件件的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的值值，即即 , , , , ,0.ux y z tx y ztn ， , , ,0 x y z t 特特別別地地，當(dāng)當(dāng)，表表示示邊邊界界面面絕絕熱熱。Fourier在在導(dǎo)導(dǎo)熱熱過(guò)過(guò)程程中中，由由定定律律知知， , , , 0.ukx y z ttn ，故故已已知知通通過(guò)過(guò)物物體體第第二二的的邊邊界界流流入入物物體體類類邊邊界界條條件件表表示示：的的熱熱流流強(qiáng)強(qiáng)度度。第23頁(yè)/共47頁(yè)第二十三頁(yè)，共47頁(yè)。 un 在在邊邊界界上上給給出出未未知知函函第第三三邊邊數(shù)數(shù) 及及其其沿沿邊邊界界的的外外法法向向值值條條件件的的方方向向線線性性組組導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的合合的的值值，即即

42、.uun 1u在在導(dǎo)導(dǎo)熱熱過(guò)過(guò)程程中中，設(shè)設(shè)導(dǎo)導(dǎo)熱熱物物體體外外界界的的溫溫度度為為物物體體內(nèi)內(nèi)部部與與外外，且且界界有有熱熱交交換換，Newton則則由由冷冷卻卻定定律律可可知知，牛頓冷卻牛頓冷卻(lngqu)定律：定律：在單位在單位(dnwi)時(shí)間內(nèi)，從物體表面單位時(shí)間內(nèi)，從物體表面單位(dnwi)面積中流向外界面積中流向外界的熱量的熱量q，與物體外表面的溫度和外界在表面處的溫度差成正比，與物體外表面的溫度和外界在表面處的溫度差成正比.即即10.uhuhunHhk 其其中中， 10H uuH，其其中中是是熱熱交交換換系系數(shù)數(shù)。qukn 故故已已知知通通過(guò)過(guò)物物體體第第三三類類邊邊界界條條件

43、件表表示示：的的邊邊界界與與周周圍圍介介質(zhì)質(zhì)交交換換熱熱量量。第24頁(yè)/共47頁(yè)第二十四頁(yè)，共47頁(yè)。121 0 ( , , , ) 0 ( , , , ) ()0 )( , , , )ssssssuuf x y z tunufx y z tnuhunuuf x y z tn邊界上溫度為零第一類邊界條件邊界上溫度已知表面絕熱第二類邊界條件表面上的熱流量已知與周圍介質(zhì)無(wú)熱交換第三類邊界條件與周圍介質(zhì)有熱交換 （第25頁(yè)/共47頁(yè)第二十五頁(yè)，共47頁(yè)。 薄膜平衡薄膜平衡(pnghng)方程和定解條件方程和定解條件物理模型（薄膜平衡物理模型（薄膜平衡(pnghng)問(wèn)題）問(wèn)題）將將薄薄膜膜張張緊緊于

44、于的的固固定定框框架架上上，除除薄薄膜膜自自均均勻勻微微翹翹身身的的柔柔軟軟的的重重力力外外，無(wú)無(wú)其其.他他外外力力.求求靜靜態(tài)態(tài)薄薄膜膜上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫向向位位移移分分析析. . 如圖選擇坐標(biāo)系，PQRSTuoyyyyxxxTTT1234PSRQ,u x t設(shè)表示薄膜所形成的曲面方程. 利用建微微元元法法立方程.假設(shè)假設(shè)(jish)： 1PQRSu 作作用用在在與與上上的的張張力力沿沿 方方向向的的合合力力為為 均勻薄膜的面密度 為常數(shù)；T 柔軟張力 的方向總在該點(diǎn)處的薄膜的切平面與法平面的交中；T 微翹張力密度 是常數(shù)；其方向與切平面的方向近似垂直；物理原理物理原理：沿位移沿位移u方向

45、的張力和重力的方向的張力和重力的合力等于合力等于0 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)；21sinsinTTx21tantanTTx第26頁(yè)/共47頁(yè)第二十六頁(yè)，共47頁(yè)。 2QRSPu 作作用用在在與與上上的的張張力力沿沿 方方向向的的合合力力為為21tantanTTxPQRSTuoyyyyxxxTTT1234PSRQ,u x yyu x yTxyy22,u x yTx yy 類類似似地地，34sinsinTTx22,u x yTx yx 則則由由微微元元力力的的平平衡衡關(guān)關(guān)系系可可得得2222,u x yu x yTx yTx yxy x y g gfT記，則2222,.u x yu x yfxy這就是這就

46、是(jish)微翹的薄膜平衡方程微翹的薄膜平衡方程.,xxyyuuf x y的方程的方程(fngchng)為二維為二維泊松方程泊松方程(fngchng).一般一般(ybn)地，稱形地，稱形如如若薄膜的重力可忽略，即若薄膜的重力可忽略，即f = 0，則方程被稱為，則方程被稱為二維拉二維拉普拉斯方程普拉斯方程（或（或調(diào)和方程調(diào)和方程）.第27頁(yè)/共47頁(yè)第二十七頁(yè)，共47頁(yè)。Poisson方程和方程和Laplace方程還可描述許多物理現(xiàn)象，如靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布、熱傳導(dǎo)問(wèn)題中方程還可描述許多物理現(xiàn)象，如靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布、熱傳導(dǎo)問(wèn)題中定常溫度分布、引力勢(shì)、流體力學(xué)中的勢(shì)和彈性力學(xué)中的調(diào)和定常溫度分布、引

47、力勢(shì)、流體力學(xué)中的勢(shì)和彈性力學(xué)中的調(diào)和(tio h)勢(shì)，概括地說(shuō)，它所勢(shì)，概括地說(shuō)，它所描寫(xiě)的自然現(xiàn)象是穩(wěn)恒的、定常的，即與時(shí)間無(wú)關(guān)的描寫(xiě)的自然現(xiàn)象是穩(wěn)恒的、定常的，即與時(shí)間無(wú)關(guān)的反映物理量在穩(wěn)恒狀態(tài)下的變化反映物理量在穩(wěn)恒狀態(tài)下的變化規(guī)律規(guī)律.說(shuō)明說(shuō)明(shumng)：例如例如(lr)：穩(wěn)定溫度分布穩(wěn)定溫度分布 導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化. . 故熱傳導(dǎo)方程中對(duì)時(shí)間的偏微分項(xiàng)為零，從而前述熱傳導(dǎo)方程即為下列拉普故熱傳導(dǎo)方程中對(duì)時(shí)間的偏微分項(xiàng)為零，從而前述熱傳導(dǎo)方程即為下列拉普拉斯方程和泊松方程拉斯方程和泊松方程. 21, ,.uf x

48、 y za 有熱源0.u 無(wú)熱源薄膜振動(dòng)方程薄膜振動(dòng)方程22()( , , )ttxxyyttxxyyua uuua uuf x y t)（二維波動(dòng)方程）（二維波動(dòng)方程）201( , )xxyyxxyyuuuuf x ya （薄膜平衡方程）（薄膜平衡方程）第28頁(yè)/共47頁(yè)第二十八頁(yè)，共47頁(yè)。定解條件定解條件(tiojin)的提法的提法初始條件初始條件（初始狀態(tài)）（初始狀態(tài)）注：由于它們都是描述穩(wěn)定狀態(tài)的，與時(shí)間注：由于它們都是描述穩(wěn)定狀態(tài)的，與時(shí)間(shjin)無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，故不提初始條件！故不提初始條件！無(wú)！邊值條件邊值條件(tiojin)u 在邊界上直接給出未知函數(shù)第一邊值條件的值，即

49、, , , ,.ux y zx y zun 在邊界上給出未知第二函數(shù) 沿邊界的外法向邊值條件的方向?qū)?shù)的值，即 , , , ,.ux y zx y zn，un 在邊界上給出未知函第三邊數(shù) 及其沿邊界的外法向值條件的方向線性組導(dǎo)數(shù)的合的值，即.uun注意：注意：邊界條件并不只限于以上三類，還有其他邊界條件（熱傳導(dǎo)邊界條件并不只限于以上三類，還有其他邊界條件（熱傳導(dǎo)中有輻射條件），有時(shí)甚至還有非線性邊界條件。中有輻射條件），有時(shí)甚至還有非線性邊界條件。第29頁(yè)/共47頁(yè)第二十九頁(yè)，共47頁(yè)。 幾個(gè)幾個(gè)(j )重要的基本原理重要的基本原理疊加原理疊加原理(yunl) (yunl) 在物理學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)

50、這樣的現(xiàn)象：一些不同的單個(gè)原因的在物理學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：一些不同的單個(gè)原因的綜合所產(chǎn)生的綜合效果綜合所產(chǎn)生的綜合效果(xiogu)等于這些不同的單個(gè)原因等于這些不同的單個(gè)原因各自產(chǎn)生的單個(gè)效果各自產(chǎn)生的單個(gè)效果(xiogu)的累加，這就是疊加原理的累加，這就是疊加原理.適用條件：適用條件：電場(chǎng)電場(chǎng)泛定方程、定解條件都是線性的泛定方程、定解條件都是線性的線性定解問(wèn)題線性定解問(wèn)題. .數(shù)學(xué)表述：數(shù)學(xué)表述：可將復(fù)雜的定解問(wèn)題看作是若個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單部分的線性疊加而成，那么這可將復(fù)雜的定解問(wèn)題看作是若個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單部分的線性疊加而成，那么這幾個(gè)部分所得出的解的線性疊加給出的形式解，即為原定解問(wèn)題的解幾個(gè)部

51、分所得出的解的線性疊加給出的形式解，即為原定解問(wèn)題的解體現(xiàn)了體現(xiàn)了“化歸化歸”思想思想.第30頁(yè)/共47頁(yè)第三十頁(yè)，共47頁(yè)。疊疊加加原原理理 . .,1,2,kux tkn設(shè)分別滿足齊次方程則函數(shù)1,nkkku x tux t22222 0,0kkuuaxl ttx, 00, 0,kkkkttuuxxxlt00,0, 0,kkxx luutk其中常數(shù)是任意的滿足22222 0,0uuaxl ttx, 00, 0,ttuuxtxlt00,0, 0,xx luut 11 ,.nnkkkkkkxxxx 其中第31頁(yè)/共47頁(yè)第三十一頁(yè)，共47頁(yè)。例例如如：齊次邊界條件的齊次方程 2000,0,0,

52、 00,0, 0ttxxtttxx lua uxl tuxuxxluut利用利用(lyng)疊加原理，可以分解成如下兩個(gè)問(wèn)題疊加原理，可以分解成如下兩個(gè)問(wèn)題定解問(wèn)題定解問(wèn)題(wnt)的分解的分解 2000,0,0,0 00,0, 0ttxxtttxx lua uxl tuxuxluut 2000,0,00, 00,0, 0ttxxtttxx lua uxl tuuxxluut第32頁(yè)/共47頁(yè)第三十二頁(yè)，共47頁(yè)。,1,2,kux tk 設(shè)是齊次方程222,uuax tGtx, 的解, 若函數(shù)級(jí)數(shù)1,kkkux tG在 內(nèi)收斂，且可逐項(xiàng)求一階、二階導(dǎo)數(shù)，則和函數(shù)1,kkku x tux tG在

53、 內(nèi)仍是方程的解.疊加原理疊加原理(yunl) I.(yunl) I.第33頁(yè)/共47頁(yè)第三十三頁(yè)，共47頁(yè)。,1,2,kux tkn設(shè)分別滿足非齊次方程則函數(shù)1,nkkku x tux t22222, 0,0kkkuuafx txl ttx, 00, 0,kkkkttuuxxxlt 0, 0,kkkkxx lututt疊疊加加原原理理. .k其中常數(shù)是任意的滿足22222, 0,0uuaf x txl ttx, 00, 0,ttuuxtxlt 0, 0,xx lututt1,nkkkf x tfx t 11,nnkkkkkkxxxx 11, .nnkkkkkkxtxt 注注.上面列出的兩端邊

54、界條件都是第一類的上面列出的兩端邊界條件都是第一類的. 實(shí)際上，對(duì)于第二類邊界條實(shí)際上，對(duì)于第二類邊界條件以及兩端不同件以及兩端不同(b tn)類型的邊界條件，也成立疊加原理類型的邊界條件，也成立疊加原理.第34頁(yè)/共47頁(yè)第三十四頁(yè)，共47頁(yè)。例例如如：非齊次邊界條件的非齊次方程 200,0,0, 0, 0txxtxx lua uf x txl tuxxlututt利用利用(lyng)疊加原理，可以分解成如下三個(gè)問(wèn)題疊加原理，可以分解成如下三個(gè)問(wèn)題200,0,00, 00,0, 0txxtxx lua uf x txl tuxluut 200, 0,0, 0, 0txxtxx lua uxl

55、 tuxxlututt 200, 0,00, 0, 0txxtxx lua uxl tuxlututt 200, 0,0, 00,0, 0txxtxx lua uxl tuxxluut定解問(wèn)題定解問(wèn)題(wnt)的分解的分解第35頁(yè)/共47頁(yè)第三十五頁(yè)，共47頁(yè)。疊加原理疊加原理(yunl)II.(yunl)II.,1,2,kux tk 設(shè)是非齊次方程 222, ,kuuafx tx tGtx,的解，若函數(shù)級(jí)數(shù)1,kkkux tG在 內(nèi)收斂，且可逐項(xiàng)求一階、二階導(dǎo)數(shù)，則和函數(shù)1,kkku x tux t是非齊次方程 2221, ,kkkuuafx tx tGtx,G在 內(nèi)的解.非齊次方程非齊次方

56、程(fngchng)第36頁(yè)/共47頁(yè)第三十六頁(yè)，共47頁(yè)。（積分形式（積分形式(xngsh)(xngsh)的）疊加原理的）疊加原理III.III., ,uu x t MMD設(shè)是含參數(shù)的非齊次方程 222, , ,uuaf x t Mx tGtx,的解，若函數(shù), ,dDU x tu x t MM,U x tG可逐項(xiàng)求一階、二階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在 上是非齊次方程222, ,dDUUaf x t MMtx的解.非齊次方程非齊次方程(fngchng)第37頁(yè)/共47頁(yè)第三十七頁(yè)，共47頁(yè)。疊加原理疊加原理(yunl)IV.(yunl)IV.,vv x t設(shè)是定解問(wèn)題22200, 0,00, 00,0,

57、0txx luuaf x tlxttxvlxvvt,的解，,u x tv x tw x t則函數(shù)是定解問(wèn)題的解.,ww x t設(shè)是定解問(wèn)題 22200 0,0, 00,0, 0txx lwwalxttxwxlxwwt,的解， 22200, 0,0, 00,0, 0txx luuaf x tlxttxvxlxvvt,帶帶齊次邊界條件齊次邊界條件的初邊值問(wèn)題的初邊值問(wèn)題第38頁(yè)/共47頁(yè)第三十八頁(yè)，共47頁(yè)。例如例如. 考慮考慮(kol)弦振動(dòng)的初值問(wèn)題弦振動(dòng)的初值問(wèn)題2( , ),0,( ,0)( ),( ,0)( )ttxxtua uf x ttu xx u xx利用利用(lyng)疊加原理疊加原理IV，可以分解成如下兩個(gè)問(wèn)題，可以分解成如下兩個(gè)問(wèn)題 20, 0,1( ,0)( ),( ,0)( )ttxxtua utu xxuxx和和說(shuō)明說(shuō)明(shumng)： 2( , ),0,2( ,0)0,( ,0)0ttxxtua uf x ttu xux利用利用Duhamel原理求解原理求解問(wèn)題是由兩部分干擾引起的，一是外界的強(qiáng)迫力，另一是弦所處的初始狀態(tài).由物理意義知，這種振動(dòng)可看成是僅由強(qiáng)迫力引起的振動(dòng)和僅由初始狀態(tài)由物理意義知，