函數(shù)的性質(zhì)（一）

1、函數(shù)的性質(zhì)（一）函數(shù)的性質(zhì)（一）石港中學石港中學 趙建兵趙建兵一、函數(shù)的奇偶性一、函數(shù)的奇偶性 （1）若）若f(x)是偶函數(shù)，那么是偶函數(shù)，那么f(x) = f(x)；若若f(x)是奇函數(shù)，那么是奇函數(shù)，那么 f(x)= f(x)；（2）定義域含零的奇函數(shù)必過原點定義域含零的奇函數(shù)必過原點（可用（可用于求函數(shù)表達式中的參數(shù)）；于求函數(shù)表達式中的參數(shù)）；（3）判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：）判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：f(x)f(x)=0； （4）若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應(yīng)）若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應(yīng)先先化簡，再判斷化簡，再判斷其奇偶性；其奇偶性；（5）奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)

2、有）奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的相同的單調(diào)性單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相相反的單調(diào)性反的單調(diào)性；（6） 具有奇偶性的函數(shù)的定義域的具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征特征：定定義域必須關(guān)于原點對稱義域必須關(guān)于原點對稱！為此確定函數(shù)的奇！為此確定函數(shù)的奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。點對稱。 例例1：若函數(shù)：若函數(shù)f(x)=2sin(3x+)，x25，3為奇函數(shù)，其中為奇函數(shù)，其中 (0，2) ，則，則的值的值是是 。 0注：注：=，=例例2、判斷下列函數(shù)的奇偶性：、判斷下列函數(shù)的奇偶性： （1） 2|4|

3、49xyx奇函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) 11( )()212xf xx（2）1( )(1)1xf xxx（3）（4）21( )|2| 2xf xx例例3、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(2a3x1)是是偶函數(shù)，則偶函數(shù)，則a_，b_，c_10R例例4.設(shè)設(shè)f(x)(xR)是以是以3為周期的奇函數(shù)，且為周期的奇函數(shù)，且f(1)1，f(2)=a，則，則( ) (A) a2 (B) a2 (C) a1 (D) a1 DB例例5、已知奇函數(shù)、已知奇函數(shù)f(x)在在x0時的表達式為時的表達式為f(x)=2x ，則當，則當x 時，有時，有( ) (A)

4、f(x)0 (B) f(x)0 (C) f(x)+f(x)0 (D) f(x)+f(x)0 1214例例6.已知已知y=f(x1)是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，則y=f(x)的圖的圖象關(guān)于象關(guān)于( ) A.直線直線x+1=0對稱對稱 B. 直線直線x1=0對稱對稱 C.直線直線x1/2=0對稱對稱 D. y軸對稱軸對稱 A2、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 （1）一般地，設(shè)函數(shù)）一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為的定義域為 M ：如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域M內(nèi)某個區(qū)間上的任意內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1 , x2，當，當x1x2時，都有時，都有f(x1)f(x2)，那么就說，那

5、么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù).如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域M內(nèi)某個區(qū)間上的任意內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1 , x2，當，當x1x2時，都有時，都有f(x1)f(x2)，那么就說，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù).（2）函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)）函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).是對定義域是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的內(nèi)某個區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上可能是減函是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上可能是減函數(shù)，數(shù)， 例如函數(shù)例如函數(shù)y=x2，當，當x0，+）時是增）時是增函數(shù)，當函數(shù)，當x(

6、，0)時是減函數(shù)時是減函數(shù). （3）單調(diào)區(qū)間）單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上在這一區(qū)間上具有具有(嚴格的嚴格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的上升的，減函數(shù)的圖象是下降的. （4）用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟）用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟證明函數(shù)證明函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間M上具有單調(diào)性的步驟：上具有單調(diào)性的步驟：(1) 取值：對任意取值：對任意x1,x2M，且且x

7、1x2；(2) 作差：作差：f(x1)f(x2)；(3) 判定差的正負；判定差的正負；(4) 根據(jù)判定的結(jié)果作出相應(yīng)的結(jié)論根據(jù)判定的結(jié)果作出相應(yīng)的結(jié)論. （5）用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的步驟）用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的步驟(1) 求導：對函數(shù)求導：對函數(shù)f(x)求導數(shù)得到求導數(shù)得到f (x)；(2) 解不等式解不等式f (x)0或或f (x)0)(C) h(x)=2/(x+1) (D) s(x)=log2(x)B例例2.定義在區(qū)間定義在區(qū)間(，+)的奇函數(shù)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，為增函數(shù)，偶函數(shù)偶函數(shù)g(x)在區(qū)間在區(qū)間0,+)的圖象與的圖象與f(x)的圖象重的圖象重合，設(shè)合，設(shè)ab0，給出下列不等式：

8、，給出下列不等式： f(b) f(a)g(a) g(b); f(b) f(a)g(a) g(b);f(a) f(b)g(b) g(a); f(a) f(b)g(b) g(a)其中成立的是其中成立的是( ) (A)與與 (B)與與 (C)與與 (D)與與 D例例3.如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)=x2+2(a1)x+2在區(qū)間在區(qū)間(，4上是減函數(shù)，那么實數(shù)上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是( ) (A) (，3) (B) (，3 (C) (3，+) (D) (，3)B例例4.函數(shù)函數(shù) 的減區(qū)間是的減區(qū)間是 ；函數(shù)函數(shù) 的減區(qū)間是的減區(qū)間是_ 。 xxxf11 xxxf11 (1，1(，1)

9、 ，(1，+)例例5.函數(shù)函數(shù)f(x)=log1/2(x2+3x2)的減區(qū)間的減區(qū)間是是( ) A. (，1) B. (2，+) C. (1，32) D. 32，2 C例例6. 已知函數(shù)已知函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 (2,+) 上為增函數(shù)，則實數(shù)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_1( )2axf xx1( ,)2綜合練習1、定義在、定義在(1, 1)上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f (x)是減函數(shù)，是減函數(shù)，解關(guān)于解關(guān)于a的不等式：的不等式：f (1a)f (1a2)0.解：解： f (1a)f (1a2)0， f (1a)f (1a2)f (a21). 由不等式組由不等式組 , 解得解得 , 不

10、等式不等式f (1a)f (1a2)0的解集是的解集是a| 0a0, f(x)= 是是R上偶函數(shù)。上偶函數(shù)。（1）求）求a的值的值（2）證明函數(shù)）證明函數(shù)f(x)在在(0,+)上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。xxeaae解解:(1)xR , f(x)=f(x) a=1 a0 a=1111()()0 xxxxxxeaaeaeaeaeae10aa （2）設(shè)）設(shè)0 x10, x20, x1x20 x1+x20 ex2x110 1ex2+x10f(x1)f(x2)0 即即f(x1)f(x2)f(x)在在(0，+)上是增函數(shù)上是增函數(shù)反思：在函數(shù)中要注意定義域，本題考查反思：在函數(shù)中要注意定義域，本題考查的是函

11、數(shù)的奇偶性與單調(diào)性。的是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性。2111xxee21211xxxxee3.已知函數(shù)已知函數(shù)f (x) (x1)，試求出，試求出f (x)的反函數(shù)的反函數(shù)yf 1(x)的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。 2)11(xx解：函數(shù)解：函數(shù)f (x) (x1)的值域為的值域為0y1, 它的反函數(shù)它的反函數(shù)f1(x) ， 0 x1, 用函數(shù)增減性的定義證明該函數(shù)在用函數(shù)增減性的定義證明該函數(shù)在0 x1上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。解解2：考慮原函數(shù)的增減性，：考慮原函數(shù)的增減性，f (x) , 當當x1時時, yf (x)為增函數(shù)，為增函數(shù)， 它的反函數(shù)也它的反函數(shù)也是增函數(shù)。是增函數(shù)。 2)11(xxx

12、x112)11(xx4.已知函數(shù)已知函數(shù)f (x)4x2, 求函數(shù)求函數(shù)f (x22x3)的遞增區(qū)間。的遞增區(qū)間。 解：設(shè)解：設(shè)F(x) f (x22x3)f (u), ux22x3, 對于函數(shù)對于函數(shù)ux22x3，當，當x1時時, 函數(shù)函數(shù)u為增函為增函數(shù)，當數(shù)，當x1時時, 函數(shù)函數(shù)u為減函數(shù)，為減函數(shù)， 對于函數(shù)對于函數(shù)f (u)4u2, 當當u0時時, f (u)為減函數(shù)，為減函數(shù)，當當u0,且且a1，f(logax)=（1）求）求f(x)的表達式；的表達式；（2）判定）判定f(x)的奇偶性及單調(diào)性；的奇偶性及單調(diào)性；（3）對）對f(x)，當，當x(1,1)時，有時，有f(1m)+f(1m2)0，求，求m范圍。范圍。21()1axax解：（解：（1）令）令t=logax，則，則x=at f(t)= 即即f(x)=21()1ttaaaa21()1xxaaaa分析：從復合函數(shù)中求出分析：從復合函數(shù)中求出f(x)常用換元常用換元法，用性質(zhì)轉(zhuǎn)化為法，用性質(zhì)轉(zhuǎn)化為m的不等式組求的不等式組求m。 （2）f(x)=f(x) f(x)為奇函