創(chuàng)知路解析幾何滿分攻略

1、面積問題(弦長)特征：題目中出現(xiàn)面積/弦長1萬法：S底局，底弦長公式，高點到直線的距離公式。2公式：AB(1k2)xX2|：/(rk2)(Xi)2-4x2-2例：已知橢圓y21,斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點，若原點O到直線l的距離3為火，求AOB面積的最大值。2£!TxA（xityi）iB（12?產(chǎn)工）謖直號A目的方程為丫=H+ni.J由坐標(biāo)原直0到直線1的距離為近可遇m二近，2八*2化為混=衿十1).把、-=近一01代入特圖方"程，消去¥得至l我上十1十61cmL3inJ3=。，一6k描3儲一3-X1-V2；-，K1K2=-I"2=(l+fc2)

2、(xi+x2)2-4xU2TH*2）_12（加CMS）?35十112（/+1）（痙+1-混）（38112.3i/4i）（gW+i）12產(chǎn)期12F1111當(dāng)40時，|03廣=37丁15計、1=4,當(dāng)且便當(dāng)妙=；時取等號，litBlAB=2.9/c+62/3+03k2皿7.A0AB的面程最大值為x2心B二也.2222例：已知橢圓:y23由當(dāng)AB_Lk軸時，,坐標(biāo)原直。到直線1的曲離為超，1AOB面積的最大值。解析：應(yīng)該首先考慮斜率不存在的時候。3,、1,直線l交橢圓于A,B兩點，若原點O到直線l的距離為,求2二可取A(g;1卜代入桶圓得(岸力=3解得門=七旦2720當(dāng)AB與k軸不垂直時設(shè)直線AB的

3、方程為丁文m+m，由坐標(biāo)原Eo到直線1的距離為W可得化為那一把y=kLm代久低圓方程，消去得到門k2+1)f-6kBi工+3nr3=0i-6kmE1F=，3片7:他2二(1+F)3F)4xU2.(1/)36MM-1)(3十if3+1“01)(3在1*(3JT+1)2一x二+1)(9/+1)7十12戶城-小映-I12當(dāng)k題時，AB|2=3+;1<3+-9/t-+-r+62K3+6當(dāng)k-Q時,=-JT-琮上可知：&£巾.產(chǎn)口，=4,當(dāng)且僅當(dāng)k2二：時取等號，此時aF=2的面積最大值為十好二事垂直(夾角)問題特征：OAOB/RT方法：(1)OAOBOAOB0(2)夾角為銳角/

4、鈍角數(shù)量積為正/負(fù)。(3)以AB為直徑的圓經(jīng)過點OOAOB0注意：排除共線情況22例：已知橢圓上1,直線l過點(1,0)且與橢圓交于A,B兩點，問是否存在這樣43的直線1,使得以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的左頂點D?例：直線y1)與y4x2交于A,B兩點，C是拋物線準(zhǔn)線上的動點,(1)ABC能否為正三角形？(2)若ABC為鈍角三角形，求點C的縱坐標(biāo)的取值范圍。<2）設(shè)C，貝1-（4*2JT-m），E5*Ei-c5-（m.孚）工不可以為負(fù)，所以jACB不為鈍角一（9分）若kAB為鈍甬，胤話前<。，羽=亭孚），靂當(dāng)坐（1<Q，得m°舊（II分）3313若角2ABe為誣角，則

5、就+嬴式0且CE、A不共線.可得01<.至且-f”分）（14«）綜上知，C點以坐標(biāo)的取值范圉是mA喈嵬血<_羋且加上力打弦中點問題（點差法）特征：OAOB/RT方法：點差法優(yōu)勢：設(shè)而不求缺點：假設(shè)有交點，,默認(rèn)了0,必須聯(lián)立，驗證22例：已知橢圓x與i（ab0）與直線l交于A,B兩點，弦AB的中點為Cx0,y0,求ab直線l的方程。答案：yy。brX0-（xX0）av。22例：已知橢圓L143（1）求斜率為2的平行弦中點的軌跡方程；（2）過點A（2,1）的直線l與橢圓相交，求被l截得的弦中點的軌跡方程;,11、，、一，、一（3）過點P1,1且被P點平分的弦所在的直線方程。

6、22解二（1）設(shè)透的兩端點分別為M，尸），N（天二的中點為R（守）7則KI2+22=2x22+2j2=2兩式相藏并整理可緡上工二也二必二-5，VI-riXi+ri2j將匕二=2.代入式，潺所求的軌跡方程為X4V=O（橢圓內(nèi)部分.XI-12C2）可設(shè)直線方程為y-kk（工3）（好0,香則與橢圓相切）設(shè)同交點分別為（工3，要1，（國4，*），則更切/二,££-5"二1,曬式相窿僵22QM產(chǎn)一工4）十6-3-J4）（y3-J4）=0.顯然總不41兩點不重合），工3¥工433+>4)0'534)_。2J3-X4舍中點坐標(biāo)為（XIV）1則葉為'

7、;X3-X4又禽，V）在直線上，斫以上二1二上x-2顯2=1二-J3-J4K-2v*k«i+2v*J一*0卜x2即所求軌跡方程為1-2¥t人7=0f夾在橢圓內(nèi)的部分）（3）讀過點P（Lb的直線與已F2二1交手E（4V3222-<珀，yo)VP小1）是EF的中點,-'-i5-+x&=l*y/y/L)把E(工5*¥5)!F('ye(22，日環(huán)上十為鏟=2內(nèi)，(L<52+2y62=2代入與二12,¥EF）（J15-K?）*口6b¥時興）=0,J(注rg)+2(y5-ys)=0,.,5一班1"一為2,過自P

8、(y.1J-rJ-rBP2i+4y-3=0且放P點平分的弦所在的直線方程：J-：二上定點定值問題思想：題目怎么說，我就怎么做（從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步反演到最初的已知條件）要點：（1）存在性（2）對稱性：橢圓關(guān)于x軸，y軸對稱，所以定點多半落在x軸或者y軸上。3例：已知點A1,2在橢圓2飛1上,EF是橢圓上兩個定點,且kAEkAF證明：kEF為定值。答案：設(shè)直線AE:k(x1）,聯(lián)立方程得：(34k2)x24k(32k)x34(2k)212Xe324(,k)212同理:Xf234k2324(2k)2k(XEkEF1234k2yEyFXeXf例：已知橢圓2y_b1(ayFk(xF1)b0）的

9、離心率為、2,且過定點M(1,)22（1）求橢圓C的方程；1 ,（2）已知直線l：ykx-（kR）與橢圓C交于A,B兩點，試間在y軸上是否存在定點3P,使得以弦AB為直徑的圓恒過P點？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解；（1）由離心率為正，且過定點M（1，正）得史，然得；小日口2 22a2b所以楠國C的方程是£一2=口2（2）臺直線1與區(qū)軸平行時，以AE為直徑的圓方程為9十號）2=專戶當(dāng)直線1與y軸重合時，以昂B為直徑的圖方程為掰以兩國的切點為點（0,1）所求的芝P為點（D，11，證明如下.直線1；y=(kR)與橢圓方程聯(lián)立潺ClSk2+9)i-lIks-16=0)tB(

10、12»ya)貝卜什妝=nk16一，e值工=-；一，18L+9189PA*'PB=(I十上？)xwz-jk(xi+i2),二，1&、412116=m-y*Ji-vk-；-+晨18產(chǎn)+9318Y99所以應(yīng)，礪，即以AE為直性的圓道苴（0，I）所以存在一個定苴P使得以nR為直役的周恒過定點P（口，1）.向量問題1 .向量加減法：坐標(biāo)運(yùn)算列等式2 .向量數(shù)乘：ABBC,BDCD方法：（1）向x/y軸作投影（2）利用向量相等（一般來說更方便）22例：已知F是橢圓與乙i（ab0）的左焦點，A是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離心ab率為1,點B在x軸上，ABAF,A,B,F三點確定的

11、圓C恰好與直線xJ3y302相切，（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過F且斜率為k（k0）的直線l與橢圓交于M,N兩點,0)ja(0，軻P為MN中點，射線OP交橢圓于Q,且OMONOQ?解：（I）;楠圖的離心率為"J,士二dA8二JZd，J尸（一之比，二'24,口-0 二以F=2二3Q-（-a'） .'ABXAF-*-5=-二二2的方程為二f二一4一乎。令廣0,工=",限A0）iJA，E，F(xiàn)三點確定的圓的圓心坐標(biāo)為（；口,。下半徑為息£p'圓心到1線lF.l3=。的距禽為口=, .A.B，F(xiàn)三點蠲定的圓C怡好與直線工一平丁十3=0相

12、切.7導(dǎo)引 2Q-2-，輔圓的方程為已t=i43（Il5假役存在，設(shè)直線1的方程為：%小鼠+1）代入橢固的方程Ff）=1，消去¥可向43<3+4k2)工=C4kz42)=0yo）*則文1+工2=一設(shè)M(Xityi)，N(sjjy2)sQ(xjj為線段MX的中點，=號=_4M3T/oyrox-OQ，jcO=Ixp3人3+4A7.-j-oq2ooSt2TyQ=lyp=、3十4H射線。P交橢圓于點Q-2”.Mk+4SV=4(l*k4+24k2+9)/.48k2=961L2+3fi,-48k"=3fi此方程無解，不存在.思考：若把OMONOQ改為四邊形NOMQ為平行四邊形，該

13、如何解決？（一樣的）例：已知直線l：xmy21與橢圓421交于A,B兩點，若l交y軸于M點，交x軸3于F,且MA1AF,MB求證：12為定值。解：設(shè)A(xi，yi),B(x2,y2),c1、F(1,0),M(0,一)mMA1AF,MB2BFx11(1x1),x22(1x2)(x1x2)2x1x22"'"1(x1x2)x1x2對稱問題(其實是垂直平分線問題)1 .垂直平分線的求法：(1)斜率乘積為-1(2)中點在垂直平分線上不需要條件就能求l的中垂線2 .對稱問題的變形221例：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓x241(ab0),長軸長為4,離心率為一ab2(1)求

14、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點E(0,1),問是否存在這樣的直線l與橢圓交于M,N,且MENE?如果有，求直線l的斜率k的取值范圍。7J脆圖C；二一1_二1.1612(2)設(shè)直線1：y=ki+ni»M(ii»yi)>Ntxa*yi(y=-Wi信直線1；與桶圓聯(lián)立可得I二E=11612.二三(3+4)5>0*一秋儲T，Jt3+4JT3-4上設(shè)MN中點F取yo)，.-4km一網(wǎng)一一=t->0gQ+加/ME-NE，3Mi二ktFk=-ljm=-(4k:+3)代入可看：16k'+12>UI?-”16k4-Sk2-3K0SSS-i<<7'

15、;%解析的本質(zhì)1.六類問題：面積（弦長）,垂直（夾角），定點定值，中點弦，向量，對稱2.本質(zhì)：函數(shù)（一般來說k為驅(qū)動項，其他的隨著它的變化而變化）思考：若把MENE改為MN在圓E上或者改為EMN是以MN為底邊的等腰三角形,該如何解決？（一樣的）肉夕旦都能蘇比2a平油每超L皿人民3區(qū)雋會上,知卑力於懺白線如y二E價,力于年）2例：已知橢圓y21,斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點，若原點O到直線l的距離3,3,為求AOB面積的最大值。2解：設(shè)A(11B(2?強(qiáng)直線AR的方程為V=ts+ni，由坐標(biāo)原點o到直線1的距寓為亞可簿丁4=3,化為21W24把y-kLin代入特圖方程i消去y得到3k

16、9;+l十Glcout弓血”.3三0,旅加3m2-33rLiU2+l_125三1)CF+lf3V-1(如+I)：_31+l)(9爐+1)_2k-界|0S產(chǎn)=(1十F)01+X2Z-4XU2112當(dāng)k士。時，|且5產(chǎn)=3。/1工1尸J=*當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時ABW.y/C2X5+0J當(dāng)kR時，AB一門.綜上可知：A0AB的面相最大值為2內(nèi)二更二JT胃222例：設(shè)橢圓'+冬=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為穿，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為拶.3(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點,若ACDB

17、+ADCB=8,求k的值.【解】(1)設(shè)F(c,0),由'=乎，知a=V3c.a3_j,、,-Cy246b過點F且與x軸垂直的直線為x=C,代入橢圓方程有3=1,解得y=坐6b,于是刊6b=43,得b=，2.又a2c2=b2,從而a=73,c=1,所以橢圓的方程為+=33321.(2)設(shè)點C(x1,y1)，D(x2,y2),由F(1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1),由方程組y=kx+1,x2y2.0+9=132由根與系數(shù)的關(guān)系可得,6k2x1+x2=2+3k23k2-6x1x2=；2+3k2消去V,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k26=0.因為A(«3,0),

18、B(3,0),所以ACDB+ADCB=(x+V3,y1)(V3-x2,-y2)+(x2+V3,y2)(V3x1，一y1)=62x1x22y1y2=62x1x22k2(x1+1)(x2+1)2k2+122+3k2=8,解得k=地.=6-(2+2k2)xx22k2(x1+x2)2k22k2+12=6+7由已知得6+2+3k2韋達(dá)定理的理解（搭建橋梁的工具）V2X2kyiN1V2Xi好臂右士XiX2bacXiX2a如少約.J葉絲）x(+z>2例i:已知橢圓41,直線l過右焦點F,與橢圓交于A,B兩點，若l交y軸于M點,若MA1AF,MB2BF,求i2的值。i解：設(shè)A(xi，yi),B(X2,y

19、2),F(1,0),M(0,一)mMA1AF,MB2BFxi(i)，x22dX2)-(韋達(dá)定理)3(x1x2)2x1x212；''1(x1x2)x1x2例2：仍為上題直線，若CACB0,點C(-2,0),求直線方程。解析綜合1.方程與未知數(shù)匹配求值方程求1個未知數(shù)的值需要1個方程求2個未知數(shù)的值需要2個方程取值范圍不等式求1個未知數(shù)的取值范圍需要1個不等式有兩個未知數(shù)，要求1個未知數(shù)的取值范圍需要1個不等式+一個方程(消元)例：設(shè)橢圓目+J1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為亞,過點F且與x軸垂直的直線被橢ab3圓截得的線段長為4了.3(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)

20、A,B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點,若ACDB+ADCB=8,求k的值.【解】(1)設(shè)F(c,0),由*=溟知a=V3c.一c2y2.J6b-；2_+b=1,解得y=美一,ab3a31過點F且與x軸垂直的直線為x=-c,代入橢圓方程有,得b=m.又a2c2=b2,從而a=J3,22c=1,所以橢圓的方程為x+彳321.(2)設(shè)點C(xi,y>D(x2,y2),由F(1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1),由方程組y=kx+1,x2y.+9=132消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k26=0.由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=一6k22+

21、3k2'x1x2=3k262+3k2因為A(由，0),B(V3,0),所以ACDB+ADCB=(xi+5,y1)(濟(jì)一x2,-y2)+(x2+Vs,y2)(73-xi,y1)=62xix22yiy2=62x1x22k2(xi+1)(x2+1)=6(2+2k2)xix22k2(xi+x2)2k22k2+122k2+i2=6+.由已知得6+r=8,解得k=域.2+3k22+3k2例：求上題中SCOD的最大值.例：已知橢圓真+£=1(a>b>0)的離心率為,且過點(2,J2),直線l:ykxm(k0)與橢圓交于不同的兩點A,B。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在實數(shù)k,使得AB的垂直平分線經(jīng)過點Q(0,3),若存在，求出k的取值范圍。22解答：(i)士Li84(2)胃設(shè)存