數(shù)學(xué)史課件精華版

1、數(shù)學(xué)史概論天狼 數(shù)學(xué)史選講解讀 第一講第一講 早期的算術(shù)與幾何早期的算術(shù)與幾何 第二講第二講 古希臘數(shù)學(xué)古希臘數(shù)學(xué) 第三講第三講 中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶 第四講第四講 平面解析幾何的產(chǎn)生平面解析幾何的產(chǎn)生 第五講第五講 微積分的誕生微積分的誕生 第六講第六講 近代數(shù)學(xué)兩巨星近代數(shù)學(xué)兩巨星 第七講第七講 千古謎題千古謎題 第八講第八講 若干未決猜想的進(jìn)展若干未決猜想的進(jìn)展第一講第一講 早期早期的算術(shù)與幾何的算術(shù)與幾何 埃及和巴比倫的數(shù)學(xué)埃及和巴比倫的數(shù)學(xué)中國(guó)的早期數(shù)學(xué)中國(guó)的早期數(shù)學(xué)紙草書 紙草書是研究古埃及數(shù)學(xué)的主要來(lái)源 萊因德紙草書：最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟，1858年為蘇格蘭收

2、藏家萊因德購(gòu)得，現(xiàn)藏于倫敦大英博物館又稱阿姆士紙草書，阿姆士在公元前1650年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，據(jù)他加的前言知，所抄錄的是一部已經(jīng)流傳了兩個(gè)世紀(jì)的著作含84個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題 莫斯科紙草書：又稱戈列尼雪夫紙草書，1893年由俄國(guó)貴族戈列尼雪夫在埃及購(gòu)得，現(xiàn)存于莫斯科博物館產(chǎn)生于公元前1850年前后，含有25個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題 古埃及的計(jì)算技術(shù)具有迭加的特征，乘除法運(yùn)算，往往用連續(xù)加倍來(lái)完成由于方法較為繁復(fù)，古埃及算術(shù)難以發(fā)展到更高的水平 相對(duì)于算術(shù)，古埃及的幾何具有更高的成就古代埃及人留下了許多氣勢(shì)宏偉的建筑，可以說(shuō)明古埃及幾何學(xué)的發(fā)達(dá) 埃及幾何 埃及幾何產(chǎn)生于土地測(cè)量，是一種實(shí)用幾何 對(duì)面積、體

3、積的計(jì)算，他們給出了一些計(jì)算的法則，有準(zhǔn)確的也有粗略的在莫斯科紙草書中有一個(gè)正四棱臺(tái)體積的計(jì)算所用的公式，用現(xiàn)在的符號(hào)表示是 這是埃及幾何中最出色的成就之一 22()3hVaabb巴比倫的數(shù)學(xué) 六十進(jìn)制位值制記數(shù)法。 長(zhǎng)于計(jì)算，編制了許多數(shù)表：乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表、平方根表、立方根表、甚至有特殊的指數(shù)（對(duì)數(shù)）表。 能解二次方程。中國(guó)的早期數(shù)學(xué)中國(guó)的早期數(shù)學(xué) 中國(guó)古代數(shù)學(xué)的起源可以上溯到公元前數(shù)千年史記中記載，夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”這可以看作是中國(guó)古代幾何學(xué)的起源在殷商甲骨文中已經(jīng)使用了完整的十進(jìn)制記數(shù)法，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代又出現(xiàn)了十進(jìn)位值制籌算記數(shù)法而戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的考工記、墨經(jīng)、莊子等著

4、作中則探討了許多抽象的數(shù)學(xué)概念，并記載了大量實(shí)用幾何知識(shí)周易中的數(shù)學(xué) 周易是中國(guó)古代專講卜筮的書，也可以看作是古人探索自然的樸素的哲學(xué)著作，約成書于殷商時(shí)期。周易由易經(jīng)和易傳兩部分組成，先有易經(jīng)，后有易傳，兩部分成書的時(shí)間相距七八百年。易經(jīng)包括古代占卜的卦辭及爻辭，易傳由系辭、說(shuō)卦等十篇文章組成，是對(duì)易經(jīng)中卦辭及爻辭的解釋。 卜筮是原始人類共有的社會(huì)現(xiàn)象。中國(guó)古代常用龜甲和獸骨作為占卜工具，以決定事情的吉兇。筮，是按一定的規(guī)則得到特定的數(shù)字，并用它來(lái)預(yù)測(cè)事情的吉兇。周禮稱：“凡國(guó)之大事，先筮后卜?！笔酚淉敳吡袀鲃t說(shuō)：“王者決定諸疑，參與卜筮，斷以蓍龜，不易之道也?！?筮的工具起初是竹棍（以后出

5、現(xiàn)的籌算數(shù)碼則形成了中國(guó)古代用竹棍表示數(shù)字的傳統(tǒng)），后來(lái)改用蓍草-一種有鋸齒的草本植物。 在中國(guó)古代眾多的儒、道典籍中，周易是包含數(shù)學(xué)內(nèi)容最豐富的著作，因而對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了極大的影響。比如，劉徽在九章算術(shù)注的序中就寫道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以類萬(wàn)物之情。作九九之?dāng)?shù)，以合六爻之變?！睂?shí)際上就把數(shù)學(xué)方法與周易中的六爻、八卦等內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)了。 八卦 乾 巽 離 - - 艮 - - - - - - - - - - - - - - 坤 - - 震 - - 坎 兌 - - - - 乾乾(000)坤坤(111)震震(011)艮艮(110)離離(010)坎坎(101)兌兌(001)巽巽(1

6、00) 計(jì)算機(jī)的發(fā)明與周易中的八卦有著十分密切的聯(lián)系。眾所周知，現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)最基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是二進(jìn)制數(shù)。二進(jìn)制符號(hào)是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz，16461716）發(fā)明的。萊布尼茨于1679年撰寫了二進(jìn)制算術(shù)，闡述了二進(jìn)制理論。萊布尼茨自稱，他之所以會(huì)想到二進(jìn)制數(shù)，就是因?yàn)槭艿搅税素苑?hào)的啟發(fā)。他還說(shuō)：“可以讓我加入中國(guó)籍了吧”。 太極圖 周易中的另一重要概念是太極。周易中寫道：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”太極即太一，這段話講的是八卦產(chǎn)生的原理，也試圖解釋天地造分，化成萬(wàn)物的原理。后經(jīng)宋代陳摶的發(fā)展，便有了太極圖。 周易中另一個(gè)與數(shù)學(xué)相關(guān)的內(nèi)容是“河圖洛書”。周易中

7、有“河出圖，洛出書，圣人則之”的記載。相傳，上古伏羲氏時(shí)，洛陽(yáng)東北孟津縣境內(nèi)的黃河中浮出龍馬，背負(fù)河圖，獻(xiàn)給伏羲。伏羲依此而演成八卦，后為周易來(lái)源。又相傳，大禹時(shí)，洛陽(yáng)西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱洛書，獻(xiàn)給大禹。大禹依此治水成功，遂劃天下為九州。又依此定九章大法，治理社會(huì)，流傳下來(lái)收入尚書中，名洪范。也就是說(shuō)，在古人看來(lái)，八卦與九數(shù)實(shí)出于河圖洛書河圖洛書。 宋代陳摶所作的“洛書圖”（九宮圖）492357816 數(shù)的概念的產(chǎn)生數(shù)的概念的產(chǎn)生 數(shù)和形是數(shù)學(xué)最早的研究對(duì)象，考古研究發(fā)現(xiàn)，人類在5萬(wàn)年前就已經(jīng)有了一些計(jì)數(shù)的方法?，F(xiàn)代人的研究認(rèn)為，人類數(shù)的概念的發(fā)展過(guò)程是，先有原始的數(shù)感，再形成一一對(duì)應(yīng)

8、的計(jì)數(shù)方法，最后通過(guò)集合的等價(jià)關(guān)系建立抽象的數(shù)的概念。 記數(shù)符號(hào)的產(chǎn)生記數(shù)符號(hào)的產(chǎn)生 易系辭中載：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契”。結(jié)繩記數(shù)，是指在繩子上打一個(gè)結(jié)表示一個(gè)數(shù)或一件事，繩結(jié)的多少，根據(jù)事物多少而定。而所謂的“書契”，就是刻劃，“書”是劃痕，“契”是刻痕。古人常常在各種動(dòng)物骨頭、金屬、泥版上刻痕記數(shù)。如中國(guó)殷商時(shí)期常將文字刻劃在牛的肩胛骨或龜甲上，故稱甲骨文。 從刻劃記數(shù)，人類很自然地過(guò)渡到刻出數(shù)的符號(hào)，并進(jìn)而創(chuàng)造出第一批數(shù)字。古代中國(guó)、古埃及、巴比倫等民族，均在公元前5000年前后就有了記數(shù)符號(hào)。由于古人用手指作為計(jì)數(shù)的參照物十分方便，因而許多民族都不約而同地使用了十進(jìn)制計(jì)數(shù)

9、法。當(dāng)然也存在著少量的其它進(jìn)位制，如5進(jìn)制、12進(jìn)制、16進(jìn)制、20進(jìn)制、60進(jìn)制等。 公元前500年左右的戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，中國(guó)人創(chuàng)造了具有十進(jìn)位值制特征的籌算數(shù)碼。 籌算數(shù)字的擺放方法規(guī)定，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，萬(wàn)位又用縱式，如此縱橫相間，以免發(fā)生誤會(huì)。并規(guī)定用空位表示零。 到了13世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家又明確地用“ ”表示零，從而使中國(guó)記數(shù)法完全位值化。 拉普拉斯對(duì)十進(jìn)位值制的評(píng)價(jià) 這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，以致我們忽視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都提供了極大的方便，才使我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當(dāng)我們想到它竟逃過(guò)了古代

10、最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼奧斯的天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大。第二講第二講 古希臘數(shù)學(xué)古希臘數(shù)學(xué) 希臘數(shù)學(xué)一般指從公元前600年至公元600年間，活動(dòng)于希臘半島、愛(ài)琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細(xì)亞以及非洲北部的數(shù)學(xué)家們所創(chuàng)造的數(shù)學(xué)。 希臘早期文明中心在雅典；公元前338年希臘諸幫被馬其頓控制，文明中心轉(zhuǎn)到亞歷山大城（埃及）；公元前30年左右，羅馬帝國(guó)完全控制希臘各國(guó)，文明中心轉(zhuǎn)到羅馬（意大利）。公元640年前后，阿拉伯民族征服東羅馬，希臘文明落下帷幕。古希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)的交織 古希臘早期的自然科學(xué)往往是與哲學(xué)交織在一起的，古希臘的自然哲學(xué)乃是古代自然科學(xué)的一

11、種特殊形態(tài)，雖然有許多錯(cuò)誤的東西，但也有不少合理的知識(shí)和包含著合理成分的猜測(cè)恩格斯說(shuō)：“在希臘哲學(xué)的多種多樣的形式中，差不多可以找到以后各種觀點(diǎn)的胚胎、萌芽因此，如果理論自然科學(xué)想要追溯自己今天的一般原理發(fā)生和發(fā)展的歷史，它就不得不回到希臘人那里去” 古希臘數(shù)學(xué)表現(xiàn)出很強(qiáng)的理性精神，追求哲學(xué)意義上的真理在公元前3、4百年的時(shí)候，他們的數(shù)學(xué)思想中就已經(jīng)涉及到了無(wú)限性、連續(xù)性等深刻的概念 經(jīng)過(guò)古埃及和巴比倫人長(zhǎng)期積累數(shù)學(xué)知識(shí)的萌芽時(shí)期以后，古希臘人把數(shù)學(xué)推進(jìn)到了一個(gè)嶄新的時(shí)代古希臘數(shù)學(xué)不僅有十分輝煌的研究成果，而且提出了數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)理論的方法，給以后的數(shù)學(xué)發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ) 泰勒斯確

12、定了幾條最早的幾何定理 等腰三角形兩底角相等 如果兩個(gè)三角形有一邊及這邊上的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等 直角彼此相等 兩條直線相交時(shí)，對(duì)頂角相等 圓的直徑平分圓周 萬(wàn)物皆數(shù) 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為世界萬(wàn)物都是數(shù)，最重要的數(shù)是1、2、3、4，而10則是理想的數(shù)；相應(yīng)地，自然界由點(diǎn)（一元）、線（二元）、面（三元）和立體（四元）組成。他們認(rèn)為自然界中的一切都服從于一定的比例數(shù)，天體的運(yùn)動(dòng)受數(shù)學(xué)關(guān)系的支配，形成天體的和諧。 理論算術(shù)（數(shù)論的雛形） 完全數(shù)、過(guò)剩數(shù)（盈數(shù)）、不足數(shù)（虧數(shù)）分別表現(xiàn)為其因數(shù)之和等于、大于、小于該數(shù)本身（規(guī)定因數(shù)包括1但不包括該數(shù)自身）。他們發(fā)現(xiàn)的前幾個(gè)完全數(shù)是6=1+

13、2+3，28=1+2+4+7+14，496。 而220和284則是一對(duì)親和數(shù)，因?yàn)榍罢叩囊驍?shù)和等于284，后者的因數(shù)和等于220。 后來(lái)，在數(shù)學(xué)中尋找完全數(shù)就成為一項(xiàng)任務(wù)來(lái)研究.在前八千多正整數(shù)中只有4個(gè)完全數(shù),6、28、496、8128,第五個(gè)完全數(shù)在1538年才找到:33550336,50年后發(fā)現(xiàn)第六個(gè)完全數(shù):8589869056. .2005年發(fā)現(xiàn)第42個(gè)梅審素?cái)?shù)，從而有了第42個(gè)完全數(shù)。幾何成就 使幾何學(xué)從經(jīng)驗(yàn)上升到理論的關(guān)鍵性貢獻(xiàn)應(yīng)歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。他們基本上建立了所有的直線形理論，包括三角形全等定理、平行線理論、三角形的內(nèi)角和定理、相似理論等。 正多邊形和正多面體 畢達(dá)哥拉斯學(xué)

14、派掌握了正多邊形和正多面體的一些性質(zhì)。他們發(fā)現(xiàn)，同名正多邊形覆蓋平面的情況只有三種：正三角形、正方形、正六邊形，而且這些正多邊形個(gè)數(shù)之比為6：4：3，邊數(shù)之比則為3：4：6。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的另一項(xiàng)幾何成就是正多面體作圖，他們稱正多面體為“宇宙形”。三維空間中僅有五種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 正五邊形與五角星 在五種正多面體中，除正十二面體外，每個(gè)正多面體的界面都是三角形或正方形，而正十二面體的界面則是正五邊形。 正五邊形作圖與著名的“黃金分割”有關(guān)。五條對(duì)角線中每一條均以特殊的方式被對(duì)角線的交點(diǎn)分割。據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就是以五角星作為自己學(xué)派的標(biāo)志的。

15、 勾股數(shù) 畢達(dá)哥拉斯數(shù)： 一般形式之一：2221,22 ,221nnnnn222(, , ,xyzx y z兩兩互素）22222 ,( , ) 1, ,xab y ab z ab a b o abab 一 奇 一 偶勾股數(shù) 畢達(dá)哥拉斯數(shù)： 一般形式之一：2221,22 ,221nnnnn222(, , ,xyzx y z兩兩互素）22222 ,( , ) 1, ,xab y ab z ab a b o abab 一 奇 一 偶無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn) 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條是“萬(wàn)物皆數(shù)”，這里的數(shù)實(shí)際上是指正的有理數(shù)。傳說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員希帕蘇斯（Hippasus，公元前470年左右）發(fā)現(xiàn)了“不可公度比

16、”的現(xiàn)象，并在一次航海時(shí)公布了他的想法，結(jié)果被恐慌的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的其他成員拋進(jìn)了大海。 項(xiàng)武義教授的一項(xiàng)研究認(rèn)為，希帕蘇斯首先發(fā)現(xiàn)的是正五邊形邊長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)不可公度。第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 不可公度比的發(fā)現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)許多定理的證明都不能成立。 例：如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積之比等于兩底邊之比。 ABCDE新比例論 100多年后，歐多克斯（Eudoxus,408-355）提出了“新比例論”，才用回避的方法暫時(shí)消除了“第一次危機(jī)”。 新比例定義：設(shè)A、B、C、D是任意四個(gè)量，其中A和B同類（即均為線段、角或面積），C和D同類，若對(duì)任意兩個(gè)（正）整數(shù)m和n，mA與nB的大小關(guān)系，取決于m

17、C與nD的大小，則稱A：B=C：D。 柏拉圖學(xué)園 柏拉圖（Plato，公元前427-347年）是當(dāng)時(shí)最著名的希臘哲學(xué)家之一，雖然他不是數(shù)學(xué)家，但熱心于數(shù)學(xué)科學(xué)，在柏拉圖學(xué)園的門口掛著牌子：“不懂幾何者免進(jìn)”。值得注意的是，公元前四世紀(jì)的重要數(shù)學(xué)工作幾乎都是柏拉圖的朋友和學(xué)生做的。與柏拉圖學(xué)園有聯(lián)系的歐多克斯（Eudoxus，公元前408-355年）是這一時(shí)期最大的數(shù)學(xué)家，他在幾何學(xué)上的研究成果，后來(lái)有些收入了歐幾里得的幾何原本。 亞里士多德 亞里士多德（Aristotle，公元前384-322年）是柏拉圖的學(xué)生和同事，相處達(dá)20年之久，公元前335年成立了自己的學(xué)派，以后曾是馬其頓王亞列山大的

18、老師。他是古典希臘時(shí)期最偉大的思想家，他的一些思想在數(shù)學(xué)史上影響很大。形式邏輯的建立 亞里士多德不象柏拉圖那樣只崇尚思辨，而是重視觀察、分析和實(shí)驗(yàn)性的活動(dòng)（如解剖）。亞里士多德是古希臘學(xué)者中最博學(xué)的人，是古代百科全書式的自然科學(xué)家，也是對(duì)近代自然科學(xué)影響最大的古代學(xué)者。他的著作甚多，在自然科學(xué)方面主要有物理學(xué)、論產(chǎn)生和消滅、天論、氣象學(xué)、動(dòng)物的歷史、論動(dòng)物的結(jié)構(gòu)等。 形式邏輯的建立 亞里士多德創(chuàng)立了以三段論為中心的形式邏輯系統(tǒng)。他認(rèn)為科學(xué)需要?dú)w納，由特殊的事例過(guò)渡到一般命題，更需要用邏輯的推理由前提演繹出它的推論。亞里士多德的邏輯學(xué)著作后來(lái)被匯編為工具論，對(duì)阿基米德、歐幾里得等人的研究有重要影

19、響。 古典希臘時(shí)期的希臘人已經(jīng)掌握了大量初等幾何性質(zhì)，加上亞里士多德建立了形式邏輯，這些都為形成一門獨(dú)立的初等幾何的理論科學(xué)作好了充分的準(zhǔn)備。亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué) 從公元前330年左右到公元前30年左右，希臘數(shù)學(xué)的中心從雅典轉(zhuǎn)移到了埃及的亞歷山大城。亞歷山大帝國(guó)一分為三后，托勒密帝國(guó)統(tǒng)治希臘埃及，其首都亞歷山大城成為希臘文化的中心。 托勒密一世曾經(jīng)是亞里士多德的學(xué)生，他在執(zhí)政后修建了繆斯藝術(shù)宮，這實(shí)際上是一個(gè)大博物館，收藏的圖書和手稿據(jù)說(shuō)有5070萬(wàn)卷。當(dāng)時(shí)的許多著名學(xué)者都被請(qǐng)到亞歷山大里亞，用國(guó)家經(jīng)費(fèi)供養(yǎng)著。 這一時(shí)期思辯猜測(cè)已不盛行，觀察、計(jì)算及定量分析的方法開(kāi)始流行。天文學(xué)家阿利斯塔克（公

20、元前310230），通過(guò)對(duì)日、月、地的體積和相對(duì)距離的觀測(cè)和計(jì)算作出了日心說(shuō)的猜測(cè)。他通過(guò)測(cè)量角度推算出太陽(yáng)直徑比地球大六、七倍，并斷定小天體（地球等）應(yīng)圍繞大天體（太陽(yáng)）旋轉(zhuǎn)。盡管他的計(jì)算很不精確，但思維方式是重要的。著名天文地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家埃拉托色尼（約公元前284192）根據(jù)太陽(yáng)在兩個(gè)地方投影角之差，計(jì)算出地球的周長(zhǎng)是24662英里（現(xiàn)在算出的通過(guò)地球南北極的周長(zhǎng)為24819英里），他繪制了世界地圖，并標(biāo)明了經(jīng)緯線以及寒帶、熱帶和溫帶。 歐幾里得與幾何原本 歐幾里得（約公元前330260），應(yīng)托勒密一世之邀到亞歷山大，成為亞歷山大學(xué)派的奠基人。歐幾里得系統(tǒng)地整理了以往的幾何學(xué)成就，寫出了

21、13卷原本，歐幾里得的工作不僅為幾何學(xué)的研究和教學(xué)提供了藍(lán)本，而且對(duì)整個(gè)自然科學(xué)的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個(gè)偉大的成就為基礎(chǔ)的，那就是：希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及通過(guò)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有可能找到因果關(guān)系（在文藝復(fù)興時(shí)期）?！?公理化方法 公理化方法：從一些基本的概念和公理出發(fā)，利用純邏輯推理的方法，把一門學(xué)科建立成演繹系統(tǒng)的方法。后來(lái)的許多著作都仿照這種格式寫成，如牛頓的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理等。幾何原本的影響 幾何原本對(duì)后來(lái)數(shù)學(xué)思想有重要影響。其一：公理化思想；其二：幾何直觀與嚴(yán)格邏輯推理的結(jié)合使歐幾里得幾何長(zhǎng)期被認(rèn)為是最正宗的數(shù)學(xué)知識(shí)，笛卡兒

22、在發(fā)明了解析幾何后仍堅(jiān)持對(duì)每一個(gè)幾何作圖給出綜合證明，牛頓在第一次公開(kāi)他的微積分發(fā)明時(shí)也要對(duì)這一算法作出幾何解釋；其三：導(dǎo)致非歐幾何的誕生。 阿基米德的數(shù)學(xué)成就 阿基米德（Archimedes，公元前287-212）出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大跟歐幾里得的學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)，離開(kāi)亞歷山大后仍與那里的師友保持聯(lián)系，他的許多成果都是通過(guò)與亞歷山大學(xué)者的通信而保存下來(lái)的。因此，阿基米德通常被看成是亞歷山大學(xué)派的成員。 阿基米德的著作很多，內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)及天文學(xué)等。 “窮竭法”與“平衡法” 窮竭法是安蒂豐首先使用，并被古希臘數(shù)學(xué)家普遍用來(lái)證明面積和體積的方法。窮竭法可以用來(lái)嚴(yán)格證明已經(jīng)猜想出來(lái)的命

23、題，但不能用來(lái)發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果。 阿基米德發(fā)明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結(jié)合是嚴(yán)格證明與創(chuàng)造技巧相結(jié)合的典范。 球的體積 阿基米德用“平衡法”推導(dǎo)了球體積公式?？淘诎⒒椎履贡系膸缀螆D形代表了他所證明的一條數(shù)學(xué)定理：以球的直徑為底和高的圓柱，其體積是球體積的3/2，其表面積是球面積的3/2。 阿基米德的“平衡法”，將需要求積的量分成一些微小單元，再與另一組微小單元進(jìn)行比較，而后一組的總和比較容易計(jì)算。因此，“平衡法”實(shí)際上體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，是阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績(jī)。但是，“平衡法”本身必須以極限論為基礎(chǔ)，阿基

24、米德意識(shí)到了他的方法在嚴(yán)密性上的不足，所以他用平衡法求出一個(gè)面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴(yán)格的證明。 用平衡法求球的體積 球切片體積 錐切片體積 柱切片體積 左力矩= 右力矩= 左力矩=4右力矩P球錐的切片x(2)xRxx2xx2RxN24 R xx2R xx用平衡法求球的體積 將球、圓錐、圓柱均完全分割成厚度為x的薄片，并將所有球與圓錐的薄片都掛到P點(diǎn)，圓柱薄片都留在原處。 左力矩和=（球體積+錐體積）2R 右力矩和=柱體積R （球體積+錐體積）2R=4柱體積R 球體積=2柱體積錐體積 與歐幾里得相比，阿基米德可以說(shuō)是一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家。在論浮體中論述了浮力原理、在論平面圖形的平衡或其重心中論

25、述了杠桿原理。曾設(shè)計(jì)了一組復(fù)雜的滑車裝置，使敘拉古國(guó)王親手移動(dòng)了一只巨大的三桅貨船，他說(shuō)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以移動(dòng)地球”。在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中發(fā)明了許多軍械如石炮、火鏡等。后被羅馬士兵殺害，死時(shí)75歲。傳說(shuō)曾下令不要?dú)⑺腊⒒椎碌牧_馬主將馬塞呂斯事后特意為阿基米德建墓。 阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論 阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262-190）出生于小亞細(xì)亞（今土爾其一帶），年輕時(shí)曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學(xué)生學(xué)習(xí)，后到小亞細(xì)亞西岸的帕加蒙王國(guó)居住與工作，晚年又回到亞歷山大。 阿波羅尼奧斯的主要數(shù)學(xué)成就是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線理論，編著圓錐曲線論。 圓錐曲線論

26、 全書共8卷，含487個(gè)命題。在阿波羅尼奧斯之前，希臘人用三種不同圓錐面導(dǎo)出圓錐曲線，阿波羅尼奧斯則第一次從一個(gè)對(duì)頂圓錐得到所有的圓錐曲線，并給它們以正式的名稱：虧曲線、齊曲線、盈曲線（李善蘭翻譯時(shí)取意譯名橢圓、拋物線、雙曲線）。 圓錐曲線論可以說(shuō)是希臘演繹幾何的最高成就。幾何學(xué)的新發(fā)展要到17世紀(jì)笛卡兒等人的解析方法出現(xiàn)后才得以來(lái)臨。 阿波羅尼奧斯用統(tǒng)一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開(kāi)了對(duì)它們性質(zhì)的廣泛討論，內(nèi)容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進(jìn)線、橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點(diǎn)數(shù)等。圓錐曲線論中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深?yuàn)W的問(wèn)題。第5卷中

27、關(guān)于定點(diǎn)到圓錐曲線的最長(zhǎng)和最短線段的探討，實(shí)質(zhì)上提出了圓錐曲線的法線包絡(luò)即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何微分幾何的課題。第3、4卷中關(guān)于圓錐曲線的極點(diǎn)與極線的調(diào)和性質(zhì)的論述，則包含了射射影幾何學(xué)影幾何學(xué)的萌芽思想。 羅馬時(shí)期的數(shù)學(xué)成就 海倫（Heron，前1世紀(jì)公元1世紀(jì)）推導(dǎo)出求三角形面積的海倫公式。 托勒密（Ptolemy約100170）的地球中心學(xué)說(shuō)。托勒密利用大量的觀察資料，進(jìn)行浩繁的計(jì)算，寫出八卷本的大綜合論，詳細(xì)論述了太陽(yáng)系和宇宙以地球?yàn)橹行牡膶W(xué)說(shuō)。在托勒密的地心說(shuō)中，行星是繞著一種數(shù)學(xué)上的點(diǎn)（本輪中心）運(yùn)動(dòng)的，而這些點(diǎn)又位于均輪上圍繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)。托勒密的地心說(shuō)雖然不反映宇宙的實(shí)際

28、結(jié)構(gòu)，但是依據(jù)上述的數(shù)學(xué)圖解卻比較完滿地解釋了當(dāng)時(shí)所觀測(cè)到的行星運(yùn)動(dòng)情況。 托勒密將圓周分成360度，角的度量采用60進(jìn)制，還應(yīng)用托勒密定理（圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積等于兩對(duì)對(duì)邊長(zhǎng)乘積之和）造出了一張正弦表。 梅涅勞斯（Menelaus，約公元1世紀(jì)）的球面學(xué)是球面三角學(xué)的開(kāi)山之作。 該時(shí)期希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征是突破了以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng)，使算術(shù)和代數(shù)成為獨(dú)立的學(xué)科。丟番圖（Diophantus）的算術(shù)用純分析的途徑處理數(shù)論與代數(shù)問(wèn)題（包括不定方程），可以看作是希臘算術(shù)與代數(shù)的最高成就。 該時(shí)期希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征是突破了以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng)，使算術(shù)和代數(shù)成為獨(dú)立的學(xué)科。丟番圖（

29、Diophantus）的算術(shù)用純分析的途徑處理數(shù)論與代數(shù)問(wèn)題（包括不定方程），可以看作是希臘算術(shù)與代數(shù)的最高成就。 丟番圖的墓志銘 關(guān)于丟番圖的生平?jīng)]有什么記載，大約公元250年前后活動(dòng)于亞歷山大城，他活了84歲則可以從他的墓志銘中算出：丟番圖的童年占一生的1/6，此后過(guò)了一生的1/12開(kāi)始長(zhǎng)胡子，再過(guò)一生的1/7后結(jié)婚，婚后5年生了個(gè)孩子，孩子活到父親一半的年齡，孩子死后4年父親也去世了。 數(shù)學(xué)匯編 該時(shí)期的最后一位重要數(shù)學(xué)家是帕波斯（Pappus，約公元300-350），著作數(shù)學(xué)匯編是一部總結(jié)前人成果的典型著作，在數(shù)學(xué)史上有特殊的意義，有許多古代希臘數(shù)學(xué)的寶貴資料就是因?yàn)橛袛?shù)學(xué)匯編的記載才

30、得以保存下來(lái)。 從公元前后至公元14世紀(jì)，先后經(jīng)歷了3次發(fā)展高潮，即兩漢時(shí)期、魏晉南北朝時(shí)期及宋元時(shí)期，其中宋元時(shí)期達(dá)到了中國(guó)古典數(shù)學(xué)的頂峰。第三講第三講 中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)周髀算經(jīng) 周髀算經(jīng)是我國(guó)最早的數(shù)學(xué)著作，系統(tǒng)地記載了周秦以來(lái)適應(yīng)天文需要而逐步積累的科技成果。該書的主要內(nèi)容是周代傳下來(lái)的有關(guān)測(cè)天量地的理論和方法。 周髀算經(jīng)也是中國(guó)最古的算書，成書確切年代沒(méi)有定論，一般認(rèn)為在公元前2、3世紀(jì)。周髀算經(jīng)中的勾股定理 周公問(wèn)商高關(guān)于計(jì)算的問(wèn)題，商高答曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五?！?榮方與陳子的一段對(duì)話中，則包含

31、了勾股定理的一般形式。陳子曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股。勾、股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日，” 趙爽注周髀算經(jīng) 周髀算經(jīng)主要以文字形式敘述了勾股算法。中國(guó)數(shù)學(xué)史上最早完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家，是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽。九章算術(shù)九章算術(shù) 九章算術(shù)成書于公元前后，是我國(guó)最重要、影響最深遠(yuǎn)的一本數(shù)學(xué)著作。后世不少人，如劉徽、祖沖之、李淳風(fēng)等人均對(duì)九章算術(shù)作過(guò)注。特別是劉徽的注，加進(jìn)了不少自己的精辟見(jiàn)解，闡述了重要的數(shù)學(xué)理論。九章算術(shù)注是九章算術(shù)得以流芳百世的重要補(bǔ)充和媒介。 對(duì)九章算術(shù)的評(píng)對(duì)九章算術(shù)的評(píng)價(jià)價(jià) 日本數(shù)學(xué)家小蒼金之助把九章算術(shù)說(shuō)成是中國(guó)的幾何原本。吳文俊教授也認(rèn)為，九章算

32、術(shù)和劉徽的九章算術(shù)注，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中具有崇高的地位，足可與希臘的幾何原本東西輝映，各具特色。 1968年德國(guó)沃格爾（Vogel）把九章算術(shù)譯成德文出版時(shí)加的評(píng)論認(rèn)為：“在古代算術(shù)中，包含如此豐富的246個(gè)算題，現(xiàn)存的埃及和巴比倫算題與之相比，真望塵莫及。以希臘而論，所保存的古算題為我們所熟知者，也屬于希臘化時(shí)代?！?第一章“方田”講述有關(guān)平面圖形（土地田畝）面積的計(jì)算方法，包括分?jǐn)?shù)算法，38個(gè)問(wèn)題。提出了各種多邊形、圓、弓形等的面積公式；分?jǐn)?shù)的通分、約分和加減乘除四則運(yùn)算的完整法則。后者比歐洲早1400多年。 一今有田廣十五步，從十六步，問(wèn)為田幾何？答曰：一畝。 二又有田廣十二步，從十四步

33、，問(wèn)為田幾何？答曰：一百六十八步。 方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步，以畝法二百四十步除之，即畝數(shù)，百畝為一傾。 五今有十八分之十二，問(wèn)約之得幾何？答曰：三分之二。 六又有九十一分之四十九，問(wèn)約之得幾何？答曰：十三分之七。 約分術(shù)曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。 第二章“粟米”講述有關(guān)糧食交換中的比例問(wèn)題。書中的“今有術(shù)”給出比例式中已知三數(shù)求第四數(shù)的方法，歐洲遲至15世紀(jì)才出現(xiàn)。 第三章“衰分”講述配分比例和等差、等比等問(wèn)題。 第四章“少?gòu)V”講述由田畝面積求邊長(zhǎng)，由球體積求經(jīng)長(zhǎng)的算法，這是世界上最早的多位數(shù)開(kāi)平方、開(kāi)立方法則的記載。它奠定了中國(guó)

34、在高次方程數(shù)值解法方面長(zhǎng)期領(lǐng)先世界的基礎(chǔ)。 開(kāi)方術(shù) 今有積五萬(wàn)五千二百二十五步，問(wèn)為方幾何？答曰：二百三十五步。 開(kāi)方術(shù)曰：置積為實(shí)，借一算步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除，除已，倍法為定法。其復(fù)除，折法而下。復(fù)置借算步之如初，以復(fù)議一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副從定法。復(fù)除折下如前。 第五章“商功”講述各種土木工程中的體積計(jì)算。我國(guó)自遠(yuǎn)古以來(lái)，對(duì)筑城、挖溝、修渠等土建工程積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造了許多有關(guān)土方體積計(jì)算和估算的方法，本章即為經(jīng)驗(yàn)和方法的理論總結(jié)，諸如長(zhǎng)方體、臺(tái)體、圓柱體、錐體等體積的計(jì)算公式都與現(xiàn)在一致，只是圓周率取3，誤差較大。 第六章“均輸”講述納

35、稅和運(yùn)輸方面的計(jì)算問(wèn)題，實(shí)際上是比較復(fù)雜的比例計(jì)算問(wèn)題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法。 第七章“盈不足”講述算術(shù)中盈虧問(wèn)題的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大。盈不足術(shù)實(shí)際上是一種線性插值法。該方法通過(guò)絲綢之路傳入阿拉伯國(guó)家，受到特別重視，被稱為“契丹算法”。后來(lái)傳入歐洲，13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的算經(jīng)一書中專門有一章講“契丹算法”。 第八章“方程”講述線性方程組的解法，還論及正負(fù)數(shù)概念及運(yùn)算方法。 采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線

36、性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)正負(fù)數(shù)的加減法則。這是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重大的成就。 第八章“方程”講述線性方程組的解法，還論及正負(fù)數(shù)概念及運(yùn)算方法。 采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)正負(fù)數(shù)的加減法則。這是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重大的成就。

37、方程術(shù)例題 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗；問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？ 正負(fù)術(shù) 李文林在數(shù)學(xué)史教程中指出：“對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)是人類數(shù)系擴(kuò)充的重大步驟。如果說(shuō)古希臘無(wú)理量是演繹思維的發(fā)現(xiàn)，那么中算負(fù)數(shù)則是算法思維的產(chǎn)物。中算家們心安理得地接受并使用了這一概念，并沒(méi)有引起震撼和迷惑?！?國(guó)外首先承認(rèn)負(fù)數(shù)的是7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆羅門及多，歐洲16世紀(jì)時(shí)韋達(dá)等數(shù)學(xué)家的著作還回避使用負(fù)數(shù)。 勾股術(shù) 第九章“勾股”在周髀算經(jīng)中勾股定理的基礎(chǔ)上，形成了應(yīng)用問(wèn)題的“勾股術(shù)”，從此它成了中算中重要的傳統(tǒng)內(nèi)容之一。 提出

38、了勾股數(shù)問(wèn)題的通解公式，在西方，畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個(gè)公式的幾種特殊情況，直到3世紀(jì)的丟番圖才取得相近的結(jié)果，這已比九章算術(shù)晚約3個(gè)世紀(jì)了。 劉徽的數(shù)學(xué)成就劉徽的數(shù)學(xué)成就 劉徽的九章算術(shù)注包含了他本人的許多創(chuàng)造，其中最突出的成就是“割圓術(shù)”和求積理論。 若設(shè)圓面積為 ，內(nèi)接正n邊形邊長(zhǎng)為 ，面積為 則OABCD0SnlnS2222211,22nnnllrrl212nnSnl r2022()nnnnSSSSS圓周率 劉徽用“割圓術(shù)”從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，算到圓內(nèi)接正192=625邊形，得到 “徽率”3.14。 推測(cè)祖沖之可能也是沿用了“割圓術(shù)”，計(jì)算到圓內(nèi)接正24576=6212邊形

39、，即可得祖沖之的結(jié)果。劉徽的求積理論 劉徽的面積、體積理論建立在一條簡(jiǎn)單而又基本的原理之上，這就是“出入相補(bǔ)原理”。劉徽用這條原理成功地證明了九章算術(shù)中的許多面積公式。 劉徽在推證九章算術(shù)中的一些體積公式時(shí)，靈活地使用了兩種無(wú)限小方法：極限方法與不可分量方法。比如，“陽(yáng)馬” 體積公式便是用極限方法推導(dǎo)出來(lái)的，而球體積公式的推導(dǎo)則使用了不可分量方法。 為計(jì)算球體積，劉徽提出“牟合方蓋”。祖沖之父子的數(shù)學(xué)成就祖沖之父子的數(shù)學(xué)成就 圓周率的計(jì)算：3.14159263.1415927 球體積的推導(dǎo)：祖氏原理，即兩等高立體圖形，若在所有等高處的水平截面積相等，則這兩個(gè)立體體積相等。 代表性著作：綴術(shù)算經(jīng)

40、十書算經(jīng)十書 出于官方數(shù)學(xué)教育的需要，唐高宗親自下令對(duì)以前的數(shù)學(xué)著作進(jìn)行整理。公元656年由李淳風(fēng)負(fù)責(zé)編定了算經(jīng)十書：周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、孫子算經(jīng)、五曹算經(jīng)、張邱建算經(jīng)、夏侯陽(yáng)算經(jīng)、緝古算經(jīng)、海島算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)和綴術(shù)，后因綴術(shù)失傳，而以數(shù)術(shù)記遺替代。 孫子算經(jīng) 雞兔同籠雞兔同籠今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問(wèn)雉、兔各幾何？答曰：雉二十三，兔一十二。 術(shù)曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。 物不知數(shù)物不知數(shù)今有物，不知其數(shù)。三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之，剩二。問(wèn)物幾何？答曰：二十三。 孫子歌 明代數(shù)學(xué)家程大位的算法統(tǒng)宗中所載的“孫子歌”以詩(shī)歌形式介紹了物不

41、知數(shù)問(wèn)題的解法：“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝，七子團(tuán)圓整半月，除百零五便得知?！?這一問(wèn)題的解法后經(jīng)秦九韶推廣到一般情形，被稱為“孫子定理”，又稱為“中國(guó)剩余定理”。 宋元數(shù)學(xué)宋元數(shù)學(xué) 宋元時(shí)期（960-1368）的杰出數(shù)學(xué)家秦九韶、楊輝、李冶、朱世杰被稱為“宋元四大家”。 宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)代表著作有數(shù)書九章（秦九韶）、詳解九章算法（楊輝）、益古演段（李冶）和四元玉鑒（朱世杰）等 秦九韶的數(shù)學(xué)成就 高次方程數(shù)值解法領(lǐng)域的集大成者。 正負(fù)開(kāi)方術(shù) 大衍總數(shù)術(shù)：即一次同余組的一般解法中國(guó)剩余定理中國(guó)剩余定理 秦九韶的算法非常嚴(yán)密，但他并沒(méi)有對(duì)這一算法給出證明。到18、19世紀(jì)歐拉（1743）和高斯

42、（1801）分別對(duì)一次同余式組進(jìn)行了詳細(xì)研究，重新獨(dú)立地獲得了與秦九韶“大衍術(shù)”相同的定理，并對(duì)模數(shù)兩兩互素的情形給出了嚴(yán)格證明。高斯的成果是最完整的，他還解決了模不是兩兩互素時(shí)的情形。1876年德國(guó)人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯的算法是一致的，因此關(guān)于這一算法被稱作“中國(guó)剩余定理”。 第四講 平面解析幾何的產(chǎn)生 16世紀(jì)之前的數(shù)學(xué)基本上是常量數(shù)學(xué)，而近代數(shù)學(xué)的本質(zhì)卻是變量數(shù)學(xué)。16世紀(jì)，對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究已經(jīng)變成自然科學(xué)的中心問(wèn)題，這就需要有一種新的數(shù)學(xué)工具，從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)也就是近代數(shù)學(xué)的誕生。變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑是解析幾何的發(fā)明，然后就是微積分的發(fā)明。笛卡兒的解析幾何 笛卡兒于1

43、637年發(fā)表了著名的哲學(xué)著作更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論，該書有三個(gè)附錄幾何學(xué)、屈光學(xué)、氣象學(xué)，解析幾何的發(fā)明包含在幾何學(xué)這篇附錄中。 笛卡兒在另一部較早的哲學(xué)著作指導(dǎo)思維的法則中了一般某種一般方法，其思路是： 任何問(wèn)題任何問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程問(wèn)題方程問(wèn)題。笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的傳說(shuō) 一個(gè)傳說(shuō)講，笛卡兒終身保持著在耶酥會(huì)學(xué)校讀書時(shí)養(yǎng)成的“晨思”習(xí)慣，在一次晨思時(shí)，看見(jiàn)一只蒼蠅正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了蒼蠅與相鄰兩個(gè)墻壁的距離之間的關(guān)系，就能描述它的路線，這使他頭腦中產(chǎn)生了關(guān)于解析幾何的最初閃念。 另一個(gè)傳說(shuō)是，1619年冬天，笛卡兒隨軍隊(duì)駐扎在多瑙河畔的一

44、個(gè)村莊，在圣馬丁節(jié)的前夕（11月10日），他作了三個(gè)連貫的夢(mèng)，從而揭示解析幾何的發(fā)現(xiàn)。笛卡兒 笛卡兒出生于法國(guó)的貴族家庭，早年受教于耶酥會(huì)學(xué)校，曾于1617年和1619年兩次從軍，離開(kāi)軍營(yíng)后，旅行于歐洲，他的學(xué)術(shù)研究是在軍旅和旅行中作出的。 笛卡兒對(duì)許多學(xué)科領(lǐng)域都有重要貢獻(xiàn)。古今數(shù)學(xué)思想對(duì)笛卡兒有這樣一個(gè)評(píng)價(jià)：“他是第一個(gè)杰出的近代哲學(xué)家，是近代生物學(xué)的奠基人，是第一流的物理學(xué)家，但只偶然是個(gè)數(shù)學(xué)家?！辟M(fèi)馬猜想 費(fèi)馬大定理： 時(shí)，方程 沒(méi)有正整數(shù)解。 費(fèi)馬小定理：p為素?cái)?shù)， ，則2n 222xyz( , )1a p 11(mod)pap第五講 微積分的誕生 17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就是微積分的發(fā)

45、明。微積分是描述運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)，它的產(chǎn)生為力學(xué)、天文學(xué)以及后來(lái)的電磁學(xué)等提供了必不可少的工具。微積分產(chǎn)生的前提有兩個(gè)：幾何坐標(biāo)和函數(shù)概念。而這兩個(gè)方面由于笛卡兒和費(fèi)馬等人的工作，其基礎(chǔ)已基本具備?，F(xiàn)代科技的推動(dòng)力 對(duì)微積分的發(fā)明起了直接推動(dòng)作用的是現(xiàn)代科技的發(fā)展。17世紀(jì)，開(kāi)普勒提出行星運(yùn)行定律，從數(shù)學(xué)上推證這些定律成了當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的中心課題，伽利略的自由落體定律、動(dòng)量定律、拋物體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)等也激起了人們用數(shù)學(xué)方法研究動(dòng)力學(xué)的熱情。凡此一切都?xì)w結(jié)為如下一些基本問(wèn)題：確定非勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度和加速度需要研究瞬時(shí)變化率問(wèn)題；望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)需要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線因而需要研究曲線的切線問(wèn)題；確定炮

46、彈的最大射程等需要研究最大、最小值；確定行星運(yùn)行的路程、向徑掃過(guò)的面積等又需要計(jì)算曲線長(zhǎng)、曲邊圖形的面積等。這一切都需要有一種新的計(jì)算工具的誕生。牛頓、萊布尼茨之前的微積分方法 微積分理論的建立聚集了許許多多數(shù)學(xué)家的努力，如： 開(kāi)普勒的求積術(shù) 卡瓦列里不可分量原理 笛卡兒求切線方程的“圓法” 費(fèi)馬求極大、極小值的方法 巴羅的“微分三角形” 沃利斯的“無(wú)窮算術(shù)” 牛頓對(duì)微積分問(wèn)題的研究始于1664年秋，當(dāng)時(shí)他正在劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)。他因?qū)Φ芽枅A法發(fā)生興趣而開(kāi)始尋找更好的切線求法。1665年11月，牛頓發(fā)明“正流數(shù)術(shù)正流數(shù)術(shù)”（微分法），次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)反流數(shù)術(shù)”（積分法）。1666年10月

47、，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以流數(shù)簡(jiǎn)論流數(shù)簡(jiǎn)論著稱，它是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。 流數(shù)簡(jiǎn)論反映了牛頓微積分的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景。在牛頓以前，面積總被看成是無(wú)限小不可分量之和，而牛頓則從確定面積的變化率入手，通過(guò)反微分計(jì)算面積。面積計(jì)算與求切線問(wèn)題的互逆關(guān)系，在牛頓這里被明確地作為一般規(guī)律揭示出來(lái)，并成了建立微積分普遍算法的基礎(chǔ)。牛頓的正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，通過(guò)揭示它們互逆關(guān)系的所謂“微積分基本定理”統(tǒng)一為一個(gè)整體。正是在這樣的意義下，我們說(shuō)牛頓發(fā)明了微積分。 流數(shù)術(shù)解決的基本問(wèn)題 牛頓在流數(shù)簡(jiǎn)論中提出并解決了如下基本問(wèn)題：（1）設(shè)有兩個(gè)或更多個(gè)物體在同一時(shí)間內(nèi)描畫線

48、段x，y，z，已知表示這些線段關(guān)系的方程，求它們的速度p，q，r，。 （2）已知表示線段x和運(yùn)動(dòng)速度之比p/q的關(guān)系方程式，求另一線段y。微積分基本定理 這兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是對(duì)微積分可解決的一些特殊問(wèn)題的一般化，如求瞬時(shí)速度、切線斜率就可歸結(jié)為第一問(wèn)題，而第二問(wèn)題明顯是第一問(wèn)題的逆運(yùn)算。 牛頓把他問(wèn)題（2）看成問(wèn)題（1）的逆運(yùn)算，并給出了標(biāo)準(zhǔn)解法。流數(shù)簡(jiǎn)論討論了如何借助于逆運(yùn)算來(lái)求面積，從而建立了“微積分基本定理”。 流數(shù)簡(jiǎn)論標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。所以，牛頓對(duì)于自己的發(fā)現(xiàn)并未作太多宣揚(yáng)。他在這一年10月當(dāng)選為劍橋大學(xué)三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因?yàn)樗谖⒎e分方面

49、的工作，而是因?yàn)樵谕h(yuǎn)鏡制作方面的貢獻(xiàn)。但從那時(shí)起直到1693大約四分之一世紀(jì)的時(shí)間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說(shuō)，先后寫成了三篇微積分論文：分析學(xué)（1669）、流數(shù)法（1671）、求積術(shù)（1691）。它們真實(shí)再現(xiàn)了牛頓創(chuàng)建微積分學(xué)說(shuō)的思想歷程。 流數(shù)簡(jiǎn)論標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。所以，牛頓對(duì)于自己的發(fā)現(xiàn)并未作太多宣揚(yáng)。他在這一年10月當(dāng)選為劍橋大學(xué)三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因?yàn)樗谖⒎e分方面的工作，而是因?yàn)樵谕h(yuǎn)鏡制作方面的貢獻(xiàn)。但從那時(shí)起直到1693大約四分之一世紀(jì)的時(shí)間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說(shuō)，先后寫成了三篇微積分論文

50、：分析學(xué)（1669）、流數(shù)法（1671）、求積術(shù)（1691）。它們真實(shí)再現(xiàn)了牛頓創(chuàng)建微積分學(xué)說(shuō)的思想歷程。 牛頓對(duì)于發(fā)表自己的科學(xué)著作態(tài)度謹(jǐn)慎。上述三篇論文的發(fā)表都很晚，流數(shù)法甚至在他去世后才正式發(fā)表。牛頓微積分學(xué)說(shuō)最早的公開(kāi)表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理之中。因此該書也成為數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作。 從光學(xué)研究到引力的研究 1670年起，牛頓主要研究光學(xué)，制造反射望遠(yuǎn)鏡，發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)光的合成性質(zhì)，并被選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。正是在光學(xué)領(lǐng)域中發(fā)生了他與胡克（R.Hooke，16351703）的爭(zhēng)吵，既影響了科學(xué)研究的氣氛，也影響了牛頓的健康。經(jīng)過(guò)近十年的中斷，1679年底牛頓的注意力

51、重新集中于引力的研究，并于80年代上半期全力寫成了自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 1687年，哈雷（天文學(xué)家，皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，發(fā)現(xiàn)了著名的哈雷彗星，約76年出現(xiàn)一次，是太陽(yáng)系的一個(gè)成員）用自己的錢資助，出版了牛頓的著作自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。這本書被公認(rèn)為科學(xué)史上最偉大的著作（愛(ài)因斯坦稱贊為“無(wú)比輝煌的演繹成就”）。它成了理論力學(xué)、天文學(xué)、宇宙學(xué)的可以補(bǔ)充但不可超越的理論基石。全書的核心是力學(xué)三定律（慣性定律、加速度定律、作用與反作用定律）和萬(wàn)有引力定律。對(duì)宇宙的認(rèn)識(shí) 波蘭青年哥白尼（14731543）于1496年到意大利波倫亞大學(xué)求學(xué)。在意大利游學(xué)了10年后，哥白尼回到了波蘭，一邊行醫(yī)、一

52、邊擔(dān)負(fù)著教會(huì)的一些工作，同時(shí)開(kāi)始構(gòu)思和撰寫天文學(xué)著作天體運(yùn)行論。這本書從開(kāi)始寫作到修改定稿共用了36年的時(shí)間，直到1543年，作者在彌留之際才將其付印出版，哥白尼在見(jiàn)到自己的著作后不久便與世長(zhǎng)辭了。但這本書卻引起了一場(chǎng)巨大的學(xué)術(shù)革命，使人類開(kāi)始重新認(rèn)識(shí)宇宙、地球以及物體的運(yùn)動(dòng)。哥白尼的天文學(xué)體系 哥白尼的天文學(xué)體系在數(shù)學(xué)形式方面比托勒密體系要簡(jiǎn)單得多，他第一次正確地描述了水星、金星、地球和月亮、火星、土星、木星軌道實(shí)際相對(duì)于太陽(yáng)的順序位置，指出它們的軌道大致在一個(gè)平面上，公轉(zhuǎn)方向也是一致的，月球是地球的衛(wèi)星，和地球一起繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)。布魯諾 意大利哲學(xué)家布魯諾（15481600）大力宣傳哥白尼學(xué)說(shuō)

53、，而且比哥白尼更激進(jìn)，他認(rèn)為太陽(yáng)不是宇宙的中心，無(wú)垠的宇宙沒(méi)有中心。他最先在巴黎大學(xué)、牛津大學(xué)講學(xué)時(shí)宣傳空間無(wú)限大和地動(dòng)說(shuō)，批判亞里士多德和托勒密學(xué)說(shuō)，新教和天主教會(huì)均不能接受他的觀點(diǎn)。1592年他回到意大利，被宗教裁判所監(jiān)禁。如果他放棄自己的觀點(diǎn)就可以被釋放，但他卻選擇了堅(jiān)持自己的觀點(diǎn)。1600年，布魯諾被燒死在羅馬鮮花廣場(chǎng)。第谷布拉赫 在哥白尼去世后三年出生的丹麥人第谷布拉赫（15461601）是一位著名的天文學(xué)家。據(jù)說(shuō)他14歲在哥本哈根大學(xué)讀書時(shí)就預(yù)見(jiàn)了一次日食，這使他名聲大振，后來(lái)成為宮廷天文學(xué)家。第谷并沒(méi)有接受哥白尼的學(xué)說(shuō)，但他在一個(gè)天文臺(tái)細(xì)心觀察天象達(dá)20多年，作了詳細(xì)的記錄，并把

54、前人星表中的錯(cuò)誤一個(gè)個(gè)糾正過(guò)來(lái)。晚年收德國(guó)人開(kāi)普勒為（15711630）為弟子。 開(kāi)普勒的研究 開(kāi)普勒是哥白尼學(xué)說(shuō)的信奉者，在與第谷合作后，總算找到了發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)。開(kāi)普勒先從第谷留給他的火星資料開(kāi)始研究，發(fā)現(xiàn)沒(méi)有任何一種圓的復(fù)合軌道能與其相符。經(jīng)過(guò)大量的嘗試和計(jì)算后，終于發(fā)現(xiàn)火星的軌道是一個(gè)橢圓。開(kāi)普勒在欣喜之余把這一發(fā)現(xiàn)推廣到了所有行星。得到這一結(jié)果，開(kāi)普勒花費(fèi)了10年的時(shí)間，在1609年他公布了行星運(yùn)行三大定律的前兩條，1619年公布了最后一條 。行星運(yùn)行三大定律 軌道定律：行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓，太陽(yáng)在一個(gè)焦點(diǎn)上。 面積定律：從太陽(yáng)中心到行星中心的聯(lián)線（向徑）在相等的時(shí)間里，掃過(guò)的面積

55、相等。 周期定律：行星繞太陽(yáng)一周的時(shí)間的平方與他們到太陽(yáng)的平均距離的立方成正比。伽里略的天文望遠(yuǎn)鏡 伽里略最初的科學(xué)生涯主要是對(duì)力學(xué)的研究。1608年，荷蘭的一個(gè)眼鏡制造商漢斯利佩希在偶然發(fā)明并開(kāi)始制造望遠(yuǎn)鏡。10個(gè)月后，伽里略聽(tīng)到了這個(gè)消息，便自己動(dòng)手制造了一架天文望遠(yuǎn)鏡，并把它對(duì)準(zhǔn)星空。伽里略的這一舉動(dòng)標(biāo)志著天文學(xué)研究從肉眼觀測(cè)進(jìn)入了望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)的時(shí)代。他看到了激動(dòng)人心的景象：月球表面的山丘和凹坑、木星的四顆衛(wèi)星、太陽(yáng)的黑子和自轉(zhuǎn)、茫茫銀河中的無(wú)數(shù)行星等。他的發(fā)現(xiàn)公布后，轟動(dòng)了學(xué)術(shù)界，人們說(shuō)：哥倫布發(fā)現(xiàn)了新大陸，伽里略發(fā)現(xiàn)了新宇宙。牛頓的萬(wàn)有引力定律 這實(shí)際上是對(duì)所有地上物體和天上物體運(yùn)動(dòng)的

56、基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，它的歷史意義是偉大的：哥白尼提出了一個(gè)正確的太陽(yáng)系結(jié)構(gòu)假說(shuō)；伽利略發(fā)現(xiàn)了一些地上物體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，并以觀察事實(shí)支持了哥白尼；開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)了天空中行星運(yùn)行的真實(shí)情況；而牛頓則把他們所有的偉大成就統(tǒng)一了起來(lái)，并回答了物體為什么會(huì)這樣運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。他在書中所闡明的基本定律成了所有力學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn)，他用萬(wàn)有引力定律解釋了潮汐現(xiàn)象，并預(yù)言地球是赤道部分略為突出的橢球。萬(wàn)有引力定律 萬(wàn)有引力定律是從開(kāi)普勒行星運(yùn)行三大定律中用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出來(lái)的，其公式是 它是一個(gè)普遍的公式。牛頓的萬(wàn)有引力定律使日心說(shuō)得意被人們所廣泛接受。而推導(dǎo)這一公式的數(shù)學(xué)工具正是微積分方法。 122m mFGR光學(xué) 自原理

57、出版后，牛頓幾乎停止了自然科學(xué)方面的研究工作。到1704年，胡克去世后，他發(fā)表了光學(xué)，把自己三四十年前對(duì)光學(xué)的研究工作加以整理出版，其中包括了對(duì)光的反射、折射、色散的研究。原理和光學(xué)是牛頓的兩部基本著作。牛頓的誕生 伽利略去世的那一年，牛頓誕生了。牛頓（16431727）的時(shí)代，正是科學(xué)在英國(guó)興起的時(shí)代。1662年，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)成立，以其為中心出現(xiàn)了一大批熱心科學(xué)研究和技術(shù)發(fā)明的人，他們的許多新發(fā)現(xiàn)和發(fā)明使英國(guó)成了當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)技術(shù)的中心。牛頓的學(xué)習(xí)生涯 牛頓出生在一個(gè)中等農(nóng)戶家庭，是個(gè)遺腹子，而且早產(chǎn)，出生后勉強(qiáng)活了下來(lái)。中學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)成績(jī)并不突出，但十分喜歡做機(jī)械玩具和模型。17歲時(shí)，他母親把他

58、從當(dāng)時(shí)就讀的中學(xué)召回田莊務(wù)農(nóng)，但牛頓不喜歡干農(nóng)活。在牛頓的舅舅和格蘭瑟姆中學(xué)校長(zhǎng)的竭力勸說(shuō)下，他母親才在九個(gè)月后允許牛頓返校學(xué)習(xí)。當(dāng)時(shí)史托克斯校長(zhǎng)對(duì)牛頓的母親說(shuō)：“在繁雜的農(nóng)活中埋沒(méi)這樣一位天才，對(duì)世界來(lái)說(shuō)將是多么巨大的損失?！焙髞?lái)牛頓在他舅舅的支持下就讀于劍橋大學(xué)三一學(xué)院 。牛頓成為盧卡斯教授 1665-1666年，牛頓為躲避倫敦的瘟疫而回到家鄉(xiāng)愛(ài)爾索普。這期間他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理和流數(shù)法，進(jìn)行了顏色的試驗(yàn)，并開(kāi)始思考萬(wàn)有引力問(wèn)題。1667年回到劍橋被選為三一學(xué)院的研究員，1669年接替巴羅成為數(shù)學(xué)盧卡斯教授。1670年起，在劍橋大學(xué)正式開(kāi)課，但由于過(guò)于艱深，他的講課沒(méi)能受到學(xué)生的歡迎?；始覍W(xué)

59、會(huì)會(huì)長(zhǎng)、造幣局局長(zhǎng)長(zhǎng) 1693年，牛頓精神分裂癥的癥狀日見(jiàn)嚴(yán)重，于是離開(kāi)了劍橋大學(xué)，1695年任造幣局督辦，1699年任造幣局局長(zhǎng)，同年被選為巴黎科學(xué)院的外籍院士。1703年，當(dāng)了30年英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員后任皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，1705年被女皇封為爵士，成為貴族。晚年頗為孤寂，只有一個(gè)外甥女與他做伴，直到1727年去世。蒲柏的詩(shī) 牛頓死后被葬于英國(guó)的皇家墓地西敏寺。為了頌揚(yáng)這位偉人，當(dāng)時(shí)英國(guó)著名的詩(shī)人蒲柏（A.Pope，16881744）曾寫道：Nature and Natures laws lay hid in night,God said“l(fā)et Newton be”and all was lig

60、ht. 這兩句銘文后來(lái)被鑄在鐵板上,鑲嵌在牛頓誕生的屋子的墻上。 萊布尼茨的微積分 1684年萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇微積分學(xué)論文一種求極大與極小值和求切線的新方法，簡(jiǎn)稱新方法，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。文中定義了微分并廣泛采用了微分記號(hào)dx、dy、dny等（用difference的首字母）。1686年，發(fā)表了第一篇積分學(xué)論文深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析，文中初步論述了積分或求積問(wèn)題與微分或切線問(wèn)題的互逆關(guān)系。并引進(jìn)了積分符號(hào) （sum首字母的拉長(zhǎng)）。牛頓的積分號(hào)是字母上加一點(diǎn)或一撇。萊布尼茨的其它貢獻(xiàn) 萊布尼茨的博學(xué)多才在科學(xué)史上是罕見(jiàn)的，他的著作涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)、機(jī)械、地