離散數(shù)學(xué)I(2)-代數(shù)-2015

1、1第十五章第十五章 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)2二元運算及其性質(zhì)二元運算及其性質(zhì)定義定義(P222 (P222 定義定義15.1)15.1)設(shè)設(shè)A A為集合，函數(shù)為集合，函數(shù) f：AAA 稱為稱為A上的二元運算上的二元運算。例例 f:N:NNNNN，f(f()x + + yf:N:NNNNN，f(f()xy定義定義( (定義定義15.2) 15.2) 設(shè)設(shè)A A為集合，函數(shù)為集合，函數(shù) f：An nA 稱為稱為A上的上的n n元運算元運算。3 二元運算的運算表二元運算的運算表anan ana2 ana1 ana2an a2a2 a2a1 a2a1an a1a2 a1a1 a1an a2a1 二元運算的表

2、示二元運算的表示4例例 設(shè)設(shè)S=1,2，給出給出P(S)上的運算上的運算 和和的運算表的運算表 ，其中全集為其中全集為S。 的的運算表運算表121,21,211,22221,2111,221 1,221的運算表的運算表1,212211,2 ai ai例例5例例 設(shè)設(shè)S=1,2,3,4，定義定義S上的二元運算上的二元運算 如下：如下：x y(xy) mod 5， x, ,ySS 求運算求運算 的運算表。的運算表。例例1234112342241333142443216定義定義 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，如果對于任意的上的二元運算，如果對于任意的x,yS都有都有x y=y x，則稱運算則稱運算 在在

3、S上滿足上滿足交換律交換律。定義定義 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，如果對于任意的上的二元運算，如果對于任意的x,y,zS都有都有 (x y) z=x (y z)，則稱運算則稱運算 在在S上滿足上滿足結(jié)合律結(jié)合律。(P223 定義定義15.3)二元運算的性質(zhì)二元運算的性質(zhì)7定義定義 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，如果對于任意的上的二元運算，如果對于任意的xS有有x x=x，則稱運算則稱運算 在在S上滿足上滿足冪等律冪等律。如果如果S中的某些中的某些x滿足滿足x x=x，則稱，則稱x為運算為運算 的的冪等元冪等元。(P223定義定義15.3)二元運算的性質(zhì)二元運算的性質(zhì)8例題例題集合集合運算運算交換律交

4、換律結(jié)合律結(jié)合律冪等律冪等律Z,Q,R普通加法普通加法+ +普通乘法普通乘法 Mn(R)矩陣加法矩陣加法+ +矩陣乘法矩陣乘法 P(B)并并交交相對補相對補 對稱差對稱差 AA函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合 9例題例題集合集合運算運算交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律冪等律冪等律Z,Q,R普通加法普通加法+ +普通乘法普通乘法 有有有有有有有有無無無無Mn(R)矩陣加法矩陣加法+ +矩陣乘法矩陣乘法 有有無無有有有有無無無無P(B)并并交交對稱差對稱差 有有有有有有有有有有有有有有有有無無AA函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合 無無有有無無10定義定義 設(shè)設(shè) 和和 為為S上兩個二元運算，如果對于任意上兩個二元運算，如果對于任意的的x,

5、y,zS，有有 x (y z) (x y) (x z)（左分配律左分配律）(y z) x (y x) (z x)（右分配律右分配律） 則稱運算則稱運算 對運算對運算 滿足滿足分配律分配律。 P224 P224 定義定義15.515.5定義定義 設(shè)設(shè) 和和 為為S上兩個可交換的二元運算，如果上兩個可交換的二元運算，如果對于任意的對于任意的x,yS，都有都有x (x y)x x (x y)x 則稱運算則稱運算 和和 滿足滿足吸收律吸收律。二元運算的性質(zhì)二元運算的性質(zhì)11 集合集合運算運算分配律分配律吸收律吸收律Z,Q,R普通加法普通加法+與乘法與乘法 對對+可分配可分配+對對 不分配不分配無無Mn

6、(R)矩陣加法矩陣加法+與乘法與乘法 對對+可分配可分配+對對 不分配不分配無無P(B)并并與交與交 對對可分配可分配對對可分配可分配有有交交與對稱差與對稱差 對對 可分配可分配無無例題例題12定義定義 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，上的二元運算，n如果存在元素如果存在元素el（或或er） S，使得對任意使得對任意xS都有都有el x = x (或或x er = x)則稱則稱el (或或er)是是S中關(guān)于中關(guān)于 運算的一個運算的一個左單位元左單位元(或或右單位元右單位元)。(P224-225 定義定義15.6)n若若eS關(guān)于關(guān)于 運算既是左單位元又是右單位元，運算既是左單位元又是右單位元，則稱則稱

7、e為為S上關(guān)于上關(guān)于 運算的運算的單位元單位元。單位元也叫。單位元也叫做做幺元幺元。 二元運算中的特異元素二元運算中的特異元素單位元單位元13二元運算中的特異元素二元運算中的特異元素零元零元定義定義 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，上的二元運算，n如果存在元素如果存在元素l（或或r）S，使得對任意使得對任意xS都有都有 l x = l (或或x r = r)， 則稱則稱l (或或r)是是S上關(guān)于上關(guān)于 運算的運算的左零元左零元(或或右零元右零元)。n若若S關(guān)于關(guān)于 運算既是左零元又是右零元，則稱運算既是左零元又是右零元，則稱為為S上關(guān)于運算上關(guān)于運算 的的零元零元。 P225 P225 定義定義15

8、.615.614二元運算中的特異元素二元運算中的特異元素逆元逆元定義定義 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，上的二元運算，e S為為 運算的單運算的單位元，對于位元，對于xS，n如果存在如果存在yl（或或yr）S使得使得yl xe（或或x yre） 則稱則稱yl（或或yr）是是x的的左逆元左逆元（或（或右逆元右逆元）。）。n若若yS既是既是x的左逆元又是的左逆元又是x的右逆元，則稱的右逆元，則稱y為為x的的逆元逆元。n如果如果x的逆元存在，則稱的逆元存在，則稱x是是可逆的可逆的。P225 定義定義15.715特異元素的實例特異元素的實例集合集合運算運算單位元單位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通

9、加法普通乘法普通乘法Mn(R)矩陣加法矩陣加法矩陣乘法矩陣乘法P(B)并并交交16特異元素的實例特異元素的實例集合集合運算運算單位元單位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通加法普通乘法普通乘法01無無0 x的逆元的逆元 xx的逆元的逆元x 1Mn(R)矩陣加法矩陣加法矩陣乘法矩陣乘法n階全階全0矩陣矩陣n階單位矩陣階單位矩陣無無n階全階全0矩陣矩陣x逆元逆元 xx的逆元的逆元x 1（x可逆可逆）P(B)并并交交BB的逆元為的逆元為B的逆元為的逆元為B17定理定理定理定理 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，上的二元運算，el、er分別為分別為 運運算的左單位元和右單位元，則有算的左單位元和右單位元，

10、則有 el = er = e 且且e 為為S上關(guān)于上關(guān)于 運算的唯一的單位元。運算的唯一的單位元。P225 定理定理15.218定理定理定理定理 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，上的二元運算， l和和 r分別為分別為 運運算的左零元和右零元，則有算的左零元和右零元，則有 l = r = 且且 為為S上關(guān)于上關(guān)于 運算的唯一的零元。運算的唯一的零元。P225 定理定理15.319定理定理定理定理 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，上的二元運算，e 和和 分別為分別為 運運算的單位元和零元，如果算的單位元和零元，如果S至少有兩個元素，至少有兩個元素，則則e 。P225 定理定理15.420定理定理定理定理 設(shè)設(shè)

11、 為為S上上可結(jié)合的可結(jié)合的二元運算，二元運算，e為該運為該運算的單位元，對于算的單位元，對于xS，如果存在左逆元如果存在左逆元yl和右逆元和右逆元yr，則有則有yl = yr= y 且且y是是x的唯一的逆元。的唯一的逆元。P226 定理定理15.521消去律消去律定義定義 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，如果對于任意的上的二元運算，如果對于任意的x,y,zS，滿足以下條件：滿足以下條件：（1）若若x y x z且且x ，則，則y z （左消去律）（左消去律）（2）若）若y x z x且且x ，則，則yz （右消去律）（右消去律）則稱則稱 運算滿足運算滿足消去律消去律。(P226 定義定義15.8)

12、例如：例如：整數(shù)集合上的加法和乘法都滿足消去律。整數(shù)集合上的加法和乘法都滿足消去律。冪集冪集P(S)上的并和交運算一般不滿足消去律。上的并和交運算一般不滿足消去律。 22例例例例 設(shè)設(shè)A=a,b,c，A上的二元運算上的二元運算 、 、 如表所示。如表所示。(1)說明說明 、 、 運算是否滿足交換律、結(jié)合律、消運算是否滿足交換律、結(jié)合律、消去律和冪等律。去律和冪等律。(2)求出關(guān)于求出關(guān)于 、 、 運算的單位元、零元和所有可運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元。逆元素的逆元。abcaabcbbcaccababcaabcbbbbccbcabcaabcbabccabc23代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng) 定義定義

13、 非空集合非空集合S和和S上上k個一元或二元運算個一元或二元運算f1,f2, fk組成的系統(tǒng)稱為一個組成的系統(tǒng)稱為一個代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)，簡稱，簡稱代數(shù)代數(shù)，記，記做做。(P227 定義定義15.9上一行上一行)例：例：n、都是代數(shù)系統(tǒng)，都是代數(shù)系統(tǒng)，其中其中+和和 分別表示普通加法和乘法。分別表示普通加法和乘法。Zn0,1,2, ,n-1n是代數(shù)系統(tǒng)，其中是代數(shù)系統(tǒng)，其中 和和 分別表示模分別表示模n n的加法和乘法。的加法和乘法。 24定義定義設(shè)設(shè)V是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)，B S，如果如果B對對f1, f2, , fk 都是都是封閉封閉的，則稱的，則稱是是V的的子代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)系統(tǒng)，簡稱，簡

14、稱子代數(shù)子代數(shù)。(P228 定義定義15.11)例如：例如：nN是是的子代數(shù)。的子代數(shù)。子代數(shù)子代數(shù) 25第十六章第十六章 半群半群26半群與獨異點半群與獨異點 定義定義 (1)(1)設(shè)設(shè)V VS, 是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)， 為為二元運算二元運算，如，如果運算是果運算是可結(jié)合的可結(jié)合的，則稱，則稱V V為為半群半群（semigroup）。(2)(2)設(shè)設(shè)V VS, 是是半群半群, ,若若eSeS是關(guān)于是關(guān)于 運算的運算的單位元單位元, ,則稱則稱V V是是含幺半群含幺半群，也叫做，也叫做獨異點獨異點（monoid）。 (P240 (P240 定義定義16.1)16.1)27半群與獨異點的實例半

15、群與獨異點的實例nZ,+，都是半都是半群群,+,+是普通加法。這些半群中除是普通加法。這些半群中除Z,+外都是外都是獨異點。獨異點。nZn, 為半群為半群, ,也是獨異點也是獨異點, ,其中其中ZnZn0,1,0,1,n-1,n-1, 為模為模n n加法加法。nA 為半群為半群, ,也是獨異點也是獨異點, ,其中其中 為函數(shù)的復(fù)合為函數(shù)的復(fù)合運算。運算。28第十七章第十七章 群群29群的定義群的定義 定義定義 設(shè)設(shè)G, 是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)， 為為二元運算二元運算。如果。如果 運算是運算是可結(jié)合可結(jié)合的，的，存在單位元存在單位元eGeG，并且對，并且對G G中中的任何元素的任何元素x x都都

16、有有x x-1-1G,G,則稱則稱G G為為群群（group）。(P249(P249定義定義17.1)17.1)例例,Z,+,是不是群？是不是群？Z 是群是群? ?30KleinKlein四元群四元群設(shè)設(shè)G Ga,b,c,ea,b,c,e， 為為G G上的二元運算，見下表。上的二元運算，見下表。eabceeabcaaecbbbceaccbaeG G是一個群：是一個群：(P249)(P249)e e為為G G中的單位元；中的單位元；運算是可結(jié)合的；運算是可結(jié)合的；運算是可交換的；運算是可交換的；G G中任何元素的逆元就是它自己；中任何元素的逆元就是它自己；在在a,b,ca,b,c三個元素中三個元

17、素中, ,任何兩個元素任何兩個元素運算的結(jié)果都等于另一個元素。運算的結(jié)果都等于另一個元素。稱這個群為稱這個群為KleinKlein四元群四元群, ,簡稱簡稱四元群四元群。31群的定義群的定義 例例 某二進制碼的碼字某二進制碼的碼字x=xx=x1 1x x2 2.x.x7 7，其中，其中 前前4 4位位為數(shù)據(jù)位，后為數(shù)據(jù)位，后3 3位是校驗位，滿足：位是校驗位，滿足：x x5 5=x=x1 1 x x2 2 x x3 3, x, x6 6=x=x1 1 x x2 2 x x4 4, x, x7 7=x=x1 1 x x3 3 x x4 4G G是所有碼字的集合，定義是所有碼字的集合，定義G G上

18、的運算上的運算* *：x x* *y=zy=z1 1z z2 2.z.z7 7， z zi i=x=xi i y yi i則則G, 是群。是群。 另外，所有長度為另外，所有長度為7 7位的二進制數(shù)全體關(guān)于位的二進制數(shù)全體關(guān)于 構(gòu)成構(gòu)成群，也稱為群，也稱為0,10,1上的上的n n維線性空間。維線性空間。32群論中常用的概念或術(shù)語群論中常用的概念或術(shù)語定義定義(P250 (P250 定義定義17.2 17.3)17.2 17.3)(1)(1)若群若群G G是是有窮集有窮集, ,則稱則稱G G是是有限群有限群，否則稱為，否則稱為無無限群限群。群群G G的基數(shù)的基數(shù)稱為群稱為群G G的的階階，有限群

19、，有限群G G的階記作的階記作|G|G|。(2)(2)只含單位元只含單位元的群稱為的群稱為平凡群平凡群。(3)(3)若群若群G G中的二元運算是中的二元運算是可交換可交換的，則稱的，則稱G G為為交交換群換群或或阿貝爾阿貝爾(Abel)(Abel)群群。33群中元素的群中元素的n n次冪次冪定義定義 設(shè)設(shè)G G是群，是群，aGaG，nZnZ，則，則a a的的n n次冪次冪P250 P250 定義定義17.417.40)(0011nanaaneannn34群中元素的階群中元素的階定義定義 設(shè)設(shè)G G是群，是群，aGaG，使得等式，使得等式a ak ke e成立的成立的最最小正整數(shù)小正整數(shù)k k稱

20、為稱為a a的階的階，記作，記作|a|a|k k，這時也，這時也稱稱a a為為k k階元階元。若不存在這樣的正整數(shù)若不存在這樣的正整數(shù)k,k,則稱則稱a a為無限階元為無限階元。例例n在在Z 中中n在在中中(P250 (P250 定義定義17.5)17.5)35群的性質(zhì)群的性質(zhì)群的冪運算規(guī)則群的冪運算規(guī)則 定理定理(P250 (P250 定理定理17.2)17.2) 設(shè)設(shè)G G為群為群, ,則則G G中的冪運中的冪運算滿足：算滿足：(1) aG,(a(1) aG,(a-1-1) )-1-1a a。(2) a,bG(2) a,bG，(ab)(ab)-1-1b b-1-1a a-1-1。(3) a

21、G(3) aG，a an na am ma an+mn+m，n,mZn,mZ。(4) aG(4) aG，(a(an n) )m ma anmnm，n,mZn,mZ。(5) (5) 若若G G為交換群，則為交換群，則(ab)(ab)n na an nb bn n。36消去律消去律 定理定理 (P251 (P251 定理定理17.5)17.5)G G為群為群, ,則則G G中適合消去中適合消去律，即對任意律，即對任意a,b,cG a,b,cG 有有(1)(1)若若ababacac，則，則b bc c。(2)(2)若若babacaca，則，則b bc c。37群中元素的階的性質(zhì)群中元素的階的性質(zhì)定理

22、定理 G G為群，為群，aGaG且且|a|a|r r。設(shè)。設(shè)k k是整數(shù)是整數(shù), ,則則(1) a(1) ak ke e當且僅當當且僅當 r|kr|k(2) |a|(2) |a|a|a-1-1| |(P251 (P251 定理定理 17.8)17.8)例例 設(shè)設(shè)G G是群，若是群，若 xG(xxG(x2 2=e),=e),則則G G是交換群。是交換群。38子群的定義子群的定義定義定義(P253 (P253 定義定義17.6)17.6) 設(shè)設(shè)G G是群，是群，H H是是G G的的非空子非空子集集，如果，如果H H關(guān)于關(guān)于G G中的運算構(gòu)成群中的運算構(gòu)成群，則稱，則稱H H是是G G的的子群子群，

23、記作記作 HGHG。若若H H是是G G的子群，且的子群，且H H G G，則稱，則稱H H是是G G的的真子群真子群，記作記作 H HG G。G G和和ee都是都是G G的子群，稱為的子群，稱為G G的的平凡子群平凡子群 。 例：例：nZnZ（n n是自然數(shù)）是整數(shù)加群是自然數(shù)）是整數(shù)加群Z,+Z,+的子群。的子群。當當n1n1時時,nZ,nZ是是Z Z的真子群。的真子群。39子群的判定定理一子群的判定定理一定理（判定定理一）定理（判定定理一）設(shè)設(shè)G G為群，為群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。H H是是G G的子群當且僅當下面的條件成立：的子群當且僅當下面的條件成立：(1) (1

24、) a,bHa,bH，有，有 abHabH。(2) (2) aHaH，有，有 a a-1-1HH。P253 P253 定理定理17.917.9定理（判定定理二）定理（判定定理二） 設(shè)設(shè)G G為群，為群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。H H是是G G的子群當且僅當?shù)淖尤寒斍覂H當a,bHa,bH有有abab-1-1HH。定理定理 17.1017.1040子群的判定定理三子群的判定定理三定理定理( (判定定理三判定定理三) ) 設(shè)設(shè)G G為群，為群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。如果如果H H是有窮集，則是有窮集，則H H是是G G的子群當且僅當?shù)淖尤寒斍覂H當 a,bHa,bH有

25、有abHabH。P254 P254 定理定理17.1117.11例例 設(shè)設(shè)G G為群，為群，aGaG，令，令H Haak k|kZ|kZ，即，即a a的的所有的冪構(gòu)成的集合，則所有的冪構(gòu)成的集合，則H H是是G G的子群，稱為的子群，稱為由由a a生成的子群生成的子群，記作，記作。41子群實例子群實例中心中心例例 設(shè)設(shè)G G為群，令為群，令C C是與是與G G中所有的元素都可交換的中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成的集合，即元素構(gòu)成的集合，即C Ca|aGxG(axa|aGxG(axxa)xa)則則C C是是G G的子群，稱為的子群，稱為G G的中心的中心。 n對于阿貝爾群對于阿貝爾群G G，因為

26、，因為G G中所有的元素互相都中所有的元素互相都可交換，可交換，G G的中心的中心n但是對某些非交換群但是對某些非交換群G G，它的中心是，它的中心是ee。42例例例例( (作業(yè)作業(yè)) ) 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群的子群,xG,xG,證明：證明：xHxxHx-1-1=xhx=xhx-1-1|hH|hH是是G G的子群的子群, ,稱為稱為H H的共軛的共軛子群。子群。例例( (作業(yè)作業(yè)) ) 設(shè)設(shè)G G是群，是群，H,KH,K是是G G的子群。證明的子群。證明(1) HK(1) HK也是也是G G的子群。的子群。(2) HK(2) HK是是G G的子群當且僅當?shù)淖尤寒斍覂H當 H H K K

27、 或或 K K H H。43循環(huán)群的定義循環(huán)群的定義定義定義 設(shè)設(shè)G G是群，若存在是群，若存在aGaG使得使得G Gaak k|kZ|kZ則稱則稱G G是是循環(huán)群循環(huán)群，記作，記作G G，稱，稱a a為為G G的的生生成元成元。(P255 (P255 定義定義17.8)17.8)例：例：對于任何群對于任何群G G，由，由G G中元素中元素a a生成的子群生成的子群是循環(huán)群。是循環(huán)群。例：例： 任何素數(shù)階的群都是循環(huán)群。任何素數(shù)階的群都是循環(huán)群。44循環(huán)群的分類循環(huán)群的分類循環(huán)群循環(huán)群G G，根據(jù)生成元，根據(jù)生成元a a的階分成兩類：的階分成兩類：（1 1）若若a a是是n n階元，則階元，則

28、G Gaa0 0e,ae,a1 1,a,a2 2, ,a,an-1n-1 那么那么|G|G|n n，稱，稱G G為為n n階階( (有限有限) )循環(huán)群循環(huán)群。（2 2）若若a a是無限階元是無限階元, ,則則G Gaa0 0e,ae,a1 1,a,a2 2, , 這時稱這時稱G G為為無限循環(huán)群無限循環(huán)群。 (P255)(P255)45循環(huán)群的生成元求法循環(huán)群的生成元求法定理定理(P255 (P255 定理定理17.12) 17.12) 設(shè)設(shè)G G是循環(huán)群。是循環(huán)群。(1)(1)若若G G是無限循環(huán)群，則是無限循環(huán)群，則G G只有兩個生成元，即只有兩個生成元，即a a和和a a-1-1。(2

29、)(2)若若G G是是n n階循環(huán)群，則階循環(huán)群，則G G含有含有 (n)(n)個生成元。個生成元。 對于任何小于等于對于任何小于等于n n且與且與n n互質(zhì)的正整數(shù)互質(zhì)的正整數(shù)r r，a ar r是是G G的生成元。的生成元。 (n)(n)：歐拉函數(shù)。對于任何正整數(shù)歐拉函數(shù)。對于任何正整數(shù)n n， (n)(n)是小是小于等于于等于n n且與且與n n互質(zhì)的正整數(shù)個數(shù)?；ベ|(zhì)的正整數(shù)個數(shù)。例如：例如：n n1212，小于或等于，小于或等于1212且與且與1212互質(zhì)的數(shù)有互質(zhì)的數(shù)有4 4個：個：1,5,7,111,5,7,11，所以，所以 (12)(12)4 4。46循環(huán)群的子群求法循環(huán)群的子群

30、求法定理定理(P256 (P256 定理定理17.13)17.13)(1) (1) 設(shè)設(shè)G G是循環(huán)群，則是循環(huán)群，則G G的子群仍是循的子群仍是循環(huán)群。環(huán)群。(2) (2) 若若G G是無限循環(huán)群，則是無限循環(huán)群，則G G的子群除的子群除ee以外都是無限循環(huán)群。以外都是無限循環(huán)群。(3) (3) 若若G G是是n n階循環(huán)群，則對階循環(huán)群，則對n n的每個正的每個正因子因子d d，G G恰好含有一個恰好含有一個d d階子群。階子群。47定理說明定理說明n求循環(huán)群的所有子群的方法求循環(huán)群的所有子群的方法: :n如果如果G G是無限循環(huán)群，那么是無限循環(huán)群，那么a 是是G G的子的子群，其中群，

31、其中m m是自然數(shù)，并且容易證明對于不同是自然數(shù)，并且容易證明對于不同的自然數(shù)的自然數(shù)m m和和t t，a 和和a 是不同的子群。是不同的子群。n如果如果G G是是n n階循環(huán)群，先求出階循環(huán)群，先求出n n的所有的的所有的正因子。對于每個正因子正因子。對于每個正因子d d，H Ha 是是G G的的唯一的唯一的d d階子群。階子群。nG G是無限循環(huán)群，其生成元為是無限循環(huán)群，其生成元為1 1和和-1-1。nG GZ Z1212是是1212階循環(huán)群。階循環(huán)群。48例例n例例 設(shè)設(shè)G G1 1是整數(shù)加群，是整數(shù)加群，G G1 1是模是模1212加群，分別求加群，分別求出所有子群。出所有子群。49

32、n n元置換及其表示元置換及其表示 定義定義 (P258) (P258)設(shè)設(shè)S S1,2,n1,2,n，S S上的任何雙上的任何雙射函數(shù)射函數(shù)：SSSS稱為稱為S S上的上的n n元置換元置換。定義定義 (257 (257 定義定義17.10)17.10)設(shè)設(shè),是是n n元置換，元置換，則則和和的的( (右右) )復(fù)合復(fù)合 也是也是n n元置換，元置換，稱為稱為與與的的乘積乘積，記作，記作。50n n元置換的分解式元置換的分解式nk階輪換與輪換分解方法階輪換與輪換分解方法定義定義 設(shè)設(shè)是是S=1,2,n上的上的n元置換。元置換。若若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik-1)=ik,(ik)=

33、i1且保持且保持S中的其他元素不變中的其他元素不變,則稱則稱為為S上的上的k階輪換階輪換,記作記作(i1i2ik). 若若k=2,這是也稱這是也稱為為S上的上的對換對換。P258 定義定義11.1151n n元置換的分解式元置換的分解式n兩個輪換作用于不同的元素上，稱他們是兩個輪換作用于不同的元素上，稱他們是不不相交的相交的。(定義定義 17.12)n定理定理：設(shè)設(shè)和和是不交的是不交的n n元置換，則元置換，則=(P259 =(P259 定理定理17.15)17.15)n定理定理：任何任何n元置換都可以表示成不交的輪換元置換都可以表示成不交的輪換之積。之積。 (P259 定理定理17.16)5

34、2n n元置換的分解式元置換的分解式n例例：將它們表示成不交的輪換之積將它們表示成不交的輪換之積7 6 4 1 8 5 3 28 7 6 5 4 3 2 14 1 6 7 8 3 2 58 7 6 5 4 3 2 153對換與對換分解方法對換與對換分解方法n設(shè)設(shè)S=1,2,S=1,2,n,=(i,n,=(i1i i2i ik) )是是S S上的上的k k階輪換階輪換, ,那么那么可以進一步表成對換之積可以進一步表成對換之積, ,即即(i(i1i i2i ik)=(i)=(i1i ik) (i) (i1i i3) ) (i(i1i i2) )n回顧關(guān)于回顧關(guān)于n n元置換的輪換表示元置換的輪換表

35、示, ,任何任何n n元置元置換都可以唯一地表示成不相交的輪換之積換都可以唯一地表示成不相交的輪換之積, ,而任何輪換又可以進一步表示成對換之積而任何輪換又可以進一步表示成對換之積, ,所以任何所以任何n n元置換都可以表成對換之積。元置換都可以表成對換之積。54對換分解式的特征對換分解式的特征n盡管盡管n n元置換的對換表示式是不唯一的元置換的對換表示式是不唯一的, ,但可但可以證明表示式中所含對換個數(shù)的奇偶性是不以證明表示式中所含對換個數(shù)的奇偶性是不變的。例如上面的變的。例如上面的4 4元置換元置換只能表示成偶數(shù)只能表示成偶數(shù)個對換之積個對換之積, ,而而4 4元置換元置換=（1 2 3

36、41 2 3 4）只能）只能表示成奇數(shù)個對換之積。如果表示成奇數(shù)個對換之積。如果n n元置換元置換可以可以表示成奇數(shù)個對換之積表示成奇數(shù)個對換之積, ,則稱則稱為奇置換為奇置換, ,否否則稱為偶置換則稱為偶置換, ,不難證明奇置換和偶置換各有不難證明奇置換和偶置換各有n!/2n!/2個。個。P262 P262 定義定義17.1517.15 55置換群置換群n定理：設(shè)定理：設(shè) 1 1, , 2 2 r r是互不相交的輪換，長度是互不相交的輪換，長度分別為分別為L L1 1,L,L2 2LLr r，如果，如果 = = 1 1 2 2 r r且且L L1 1,L,L2 2LLr r的最小公倍數(shù)為的最

37、小公倍數(shù)為k,k,則則 的階為的階為k k。n定理：任何輪換可以表示為對換的乘積定理：任何輪換可以表示為對換的乘積, ,且對且對換個數(shù)的奇偶性不變。換個數(shù)的奇偶性不變。n偶置換偶置換：如果置換：如果置換f f可以表示為偶數(shù)個對換的可以表示為偶數(shù)個對換的乘積，則稱乘積，則稱f f是偶置換，否則稱是偶置換，否則稱f f是奇置換是奇置換。56n n元置換群及其實例元置換群及其實例n考慮所有的考慮所有的n元置換構(gòu)成的集合元置換構(gòu)成的集合Sn.n任何兩個任何兩個n元置換之積仍舊是元置換之積仍舊是n元置換元置換,Sn關(guān)于置換的關(guān)于置換的乘法是封閉的。乘法是封閉的。n置換的乘法滿足結(jié)合律。置換的乘法滿足結(jié)合

38、律。n恒等置換恒等置換(1)是是Sn中的單位元。中的單位元。n對于任何對于任何n元置換元置換Sn,逆置換逆置換-1是是 的逆元。的逆元。n這就證明了這就證明了Sn關(guān)于置換的乘法構(gòu)成一個群關(guān)于置換的乘法構(gòu)成一個群,稱為稱為n元元對稱群對稱群。P258 例例17.1857例例n設(shè)設(shè)S=1,2,3,S=1,2,3,則則3 3元對稱群元對稱群 S S3 3=(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)=(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)運算表如表運算表如表10.510.5所示。所示。(1) (12) (13) (23) (123)

39、(132) (1)(12)(13)(23)(123)(132)58著色問題（著色問題（PolyaPolya定理）定理）n例：使用黑白兩色對例：使用黑白兩色對2 22 2的的4 4個方格進行著色，問有多個方格進行著色，問有多少種不同的著色方案？（旋轉(zhuǎn)后重合的算一種。）少種不同的著色方案？（旋轉(zhuǎn)后重合的算一種。）124359著色問題（著色問題（PolyaPolya定理）定理）n定理定理（PolyaPolya）設(shè)）設(shè)N=1,2,.nN=1,2,.n是被著色物體的集合，是被著色物體的集合，G=G= 1 1, , 2 2. g g 是是N N上的置換群。用上的置換群。用m m種顏色對種顏色對N N中的元

40、素中的元素進行著色，則在進行著色，則在G G的作用下不同的著色方案數(shù)為（其中的作用下不同的著色方案數(shù)為（其中c(c( k k) )是置換是置換 k k的輪換表達式中包含的輪換表達式中包含1-1-輪換在內(nèi)的輪換個輪換在內(nèi)的輪換個數(shù)）數(shù)）gkckmGM1)(|160著色問題（著色問題（PolyaPolya定理）定理）n例：使用黑白兩色對例：使用黑白兩色對2 22 2的的4 4個方格進行著色，問有多個方格進行著色，問有多少種不同的著色方案？（旋轉(zhuǎn)后重合的算一種。）少種不同的著色方案？（旋轉(zhuǎn)后重合的算一種。）n2 22 2的的4 4個方格所有（旋轉(zhuǎn)）置換有個方格所有（旋轉(zhuǎn)）置換有4 4種：種：(1)(

41、2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)、（、（12341234）、（）、（13)(24)13)(24)、（、（14321432）M=M=（2 24 4+2+21 1+2+22 2+2+21 1）/4/4124361陪集陪集定義定義(P263 (P263 定義定義17.16)17.16) 設(shè)設(shè)H H是是G G的子群，的子群，aGaG。令。令HaHaha|hHha|hH稱稱HaHa是子群是子群H H在在G G中的中的右陪集右陪集( (right coset) )。稱稱a a為為HaHa的的代表元素代表元素。62陪集的基本性質(zhì)陪集的基本性質(zhì)定理定理 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，則的子群，則(1

42、) He(1) HeH H。(2) (2) aGaG有有 aHaaHa。P263 P263 定理定理17.2017.20定理定理 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，則的子群，則aGaG，HaH HaH P263 P263 定理定理17.2117.2163定理定理定理定理 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，則的子群，則 a,bG a,bG 有有aHbaHb Ha HaHb Hb abab-1-1HH(P263 (P263 定理定理17.22) 17.22) 64定理定理定理定理 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，在的子群，在G G上定義二元關(guān)系上定義二元關(guān)系R R： a,bGa,bG，R R ab a

43、b-1-1HH則則R R是是G G上的等價關(guān)系，且上的等價關(guān)系，且aaR RHaHa。(P264 (P264 定理定理17.23)17.23)65推論推論推論推論 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，則的子群，則(1)(1)任取任取a,bGa,bG，HaHaHb Hb 或或 HaHbHaHb(2)Ha|aG(2)Ha|aGG G (P264 (P264 定理定理17.24)17.24)重要結(jié)果：重要結(jié)果：給定群給定群G G的一個子群的一個子群H H，H H的所有右陪的所有右陪集的集合集的集合Ha|aGHa|aG恰好構(gòu)成恰好構(gòu)成G G的一個劃分的一個劃分。66左陪集左陪集 P264 P264 例例1

44、7.2617.26H H的右陪集定義，即的右陪集定義，即HaHaha|hHha|hH，aGaG右陪集的性質(zhì)：右陪集的性質(zhì)：1.He1.HeH H2.2. aGaG，aHa aHa 3.3. a,bGa,bG，aHbaHbabab-1-1HHHaHaHbHb4.4.若在若在G G上定義二元關(guān)系上定義二元關(guān)系R R， a,bG,Ra,bG,Rabab-1-1HH則則R R是是G G上的等價關(guān)系，上的等價關(guān)系，且且aaR RHaHa。5.5. aGaG，HHaHHa。H H的左陪集定義，即的左陪集定義，即aHaHah|hHah|hH，aGaG左陪集的性質(zhì)：左陪集的性質(zhì)：1.eH1.eHH H2.2.

45、 aGaG，aaH aaH 3.3. a,bGa,bG，abH abH b b-1-1aH aH aHaHbHbH4.4.若在若在G G上定義二元關(guān)系上定義二元關(guān)系R R， a,bG,Ra,bG,Rb b-1-1aHaH則則R R是是G G上的等價關(guān)系，上的等價關(guān)系，且且aaR RaHaH。5.5. aGaG，HaHHaH。67關(guān)于陪集的進一步說明關(guān)于陪集的進一步說明n右陪集和左陪集之間一一對應(yīng)。不區(qū)分右陪集和左陪集之間一一對應(yīng)。不區(qū)分H H的右的右陪集數(shù)和左陪集數(shù)，統(tǒng)稱為陪集數(shù)和左陪集數(shù)，統(tǒng)稱為H H在在G G中的陪集數(shù)中的陪集數(shù)，也叫做也叫做H H在在G G中的指數(shù)，中的指數(shù)，記作記作G:

46、HG:H。(P265 (P265 定義定義17.17)17.17)n拉格朗日定理拉格朗日定理: :n定理定理 設(shè)設(shè)G G是有限群，是有限群，H H是是G G的子群，則的子群，則|G|G|G:HG:H|H| (|H| (定理定理17.26)17.26)推論推論 設(shè)設(shè)G G是是n n階群，則階群，則 aGaG，|a|a|是是n n的因子，的因子，且有且有a an ne e。68拉格朗日定理的拉格朗日定理的推論推論2 2推論推論 素數(shù)階群都是循環(huán)群。素數(shù)階群都是循環(huán)群。(P265 (P265 推論推論2)2)命題：命題：如果群如果群G G只含只含1 1階和階和2 2階元，則階元，則G G是是Abel

47、Abel群。群。例例 證明證明6 6階群中必含有階群中必含有3 3階元。階元。 例例 證明階小于證明階小于6 6的群都是阿貝爾群。的群都是阿貝爾群。例例 6 6階群在同構(gòu)意義下只有階群在同構(gòu)意義下只有2 2個。個。69正規(guī)子群的定義及實例正規(guī)子群的定義及實例定義定義 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群。如果的子群。如果 aGaG都有都有HaHaaHaH, ,則稱則稱H H是是G G的的正規(guī)子群正規(guī)子群或或不變子群不變子群。記。記H GH G。(P269 (P269 定義定義17.21)17.21)注意注意 n由由aHaHHaHa可否推出可否推出 hH(ahhH(ahha)ha)？n對對 h hHH

48、，存在，存在h hHH，使，使ahahh ha a。70正規(guī)子群的判定定理正規(guī)子群的判定定理n定理定理 設(shè)設(shè)N NG,G,以下條件等價以下條件等價(P269 (P269 定理定理17.32)17.32)nN GN G。n對任意對任意g g G,gNgG,gNg-1-1=N=N。n對任意對任意g g G,gNgG,gNg-1-1 N N。1.1.對任意對任意g g G,nG,n N,gngN,gng-1-1 N N。71正規(guī)子群的判定定理正規(guī)子群的判定定理n例例 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，的子群，|H|=n|H|=n，若，若H H是是G G的唯一的唯一的的n n階子群，則階子群，則H H是

49、是G G的正規(guī)子群。的正規(guī)子群。(P270)(P270)n例例 設(shè)設(shè)H H是群是群G G的子群，若的子群，若G:NG:N2 2，則，則H H是是G G的的正規(guī)子群。正規(guī)子群。72正規(guī)子群和商群正規(guī)子群和商群n定義定義：G G是群，是群，A A G G，B B G G，稱，稱ABABab|aA,bBab|aA,bB為為A A與與B B的乘積。的乘積。并將并將AbAb簡記為簡記為AbAb。(P270)(P270)n定理定理：上述乘積運算滿足結(jié)合律。：上述乘積運算滿足結(jié)合律。n定理（定理（17.4617.46部分）部分）：G G是群，是群，n 若若N N G G且且K KG G，則，則NKNK K

50、K，NKNKG,NG,N N NK K1.1. 若若N N G G且且K K G G，則，則NKNK G G。73正規(guī)子群和商群正規(guī)子群和商群n定理定理：H H G,G,令令G/H=Ha|aG,G/H=Ha|aG,則則G/HG/H關(guān)于陪關(guān)于陪集的乘法構(gòu)成群，稱之為集的乘法構(gòu)成群，稱之為G G關(guān)于關(guān)于H H的的商群商群。(P270 (P270 定義定義17.22)17.22)n例例 Z Z與與3Z3Z，Z Z3 374群的同態(tài)映射群的同態(tài)映射定義定義 設(shè)設(shè)G G1 1,G,G2 2是群，是群，f：G G1 1GG2 2，若任意，若任意x, ,yGG1 1都有都有f( (xy) )f( (x) )

51、f( (y) )則稱則稱f是群是群G G1 1到到G G2 2的的同態(tài)映射同態(tài)映射，簡稱，簡稱同態(tài)同態(tài)。(P272 (P272 定義定義17.23)17.23)75同態(tài)映射的實例（續(xù)）同態(tài)映射的實例（續(xù)）例例 V1=，V2=,Zn=0,1, , n-1, 是模是模 n 加加. 則則V1與與V2同態(tài)。同態(tài)。令令 f：ZZn，f(x) = (x)mod n則則 x, yZ有有 f(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n (y)mod n = f(x) f(y)76例例 設(shè)設(shè)V1=, V2= ，其中其中R*= R 0，則，則V1與與V2同態(tài)。同態(tài)。 同態(tài)映射的實例（續(xù)）同態(tài)映射的實

52、例（續(xù)）令令 f ：RR*, f(x)=ex 則則 x, y R有有 f(x+y) = ex+y = ex ey = f(x) f(y). f 是同態(tài)是同態(tài). 77同態(tài)的分類同態(tài)的分類定義定義 設(shè)設(shè) ：G G1 1GG2 2是群是群G G1 1到到G G2 2的同態(tài)。的同態(tài)。(1) (1) 若若 ：G G1 1GG2 2是滿射的，則稱是滿射的，則稱 為為滿同態(tài)滿同態(tài)，這時也稱這時也稱G G2 2是是G G1 1的的同態(tài)像同態(tài)像，記作。，記作。(2) (2) 若若 ：G G1 1GG2 2是單射的，則稱是單射的，則稱 為為單同態(tài)單同態(tài)。 (3) (3) 若若 ：G G1 1GG2 2是雙射的，則

53、稱是雙射的，則稱 為為同構(gòu)同構(gòu)，記，記作作G G1 1G G2 2。(P272 (P272 例例17.3917.39上三行上三行) )(4) (4) 若若G G1 1G G2 2，則稱，則稱 是群是群G G的的自同態(tài)自同態(tài)。(P276 (P276 定義定義17.25)17.25)78同態(tài)的分類同態(tài)的分類定理定理 設(shè)設(shè) 是群是群G G1 1到到G G2 2的同態(tài)映射，的同態(tài)映射，e e1 1和和e e2 2分別為分別為G G1 1和和G G2 2的單位元，則的單位元，則 (1) (1) (e(e1 1) )e e2 2(2) (2) (a(a-1-1) ) (a)(a)-1-1， aGaG1 1

54、說明：說明：同態(tài)映射保持元素的對應(yīng)性。同態(tài)映射保持元素的對應(yīng)性。(P272 (P272 定義定義17.23 17.23 下方下方) )79例例 設(shè)設(shè)V=， a Z，令，令 fa：ZZ，fa(x)=ax那么那么 fa是是V的自同態(tài)的自同態(tài). 同態(tài)映射的實例同態(tài)映射的實例因為因為 x,y Z，有，有 fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y) 當當 a = 0 時稱時稱 f0為零同態(tài)；為零同態(tài)；當當a= 1時，稱時，稱 fa為自同構(gòu)；為自同構(gòu)；除此之外其他的除此之外其他的 fa 都是單自同態(tài)都是單自同態(tài). 80例 設(shè)設(shè)G1=, G2= ，其中其中Q*= Q 0，則

55、不存在，則不存在G1到到G2的同構(gòu)。的同構(gòu)。 同態(tài)映射的實例（續(xù)）同態(tài)映射的實例（續(xù)）證明證明 假設(shè)假設(shè) 是是G G1 1到到G G2 2的同構(gòu)，那么有的同構(gòu)，那么有 ：G G1 1GG2 2, , (1)(1)0 0于是有于是有 (-1)(-1) (-1)(-1) (-1)(-1)(-1)(-1) (1)(1) 0 0從而得從而得 (-1)(-1)0 0，這與，這與 的單射性矛盾。的單射性矛盾。 81同態(tài)映射的性質(zhì)同態(tài)映射的性質(zhì)定理定理(Cayley)(Cayley) G G是群，是群，aG,aG,定義定義f fa a:G:GG,G,對對 xG,fxG,fa a(x)=ax(x)=ax。令。

56、令H=fH=fa a|aG|aG，則，則n H H關(guān)于映射的復(fù)合運算構(gòu)成群。關(guān)于映射的復(fù)合運算構(gòu)成群。n G GH H。(P272 (P272 底底) )例例 Z Z3 3中，中，f f0 0=(0)(1)(2),f=(0)(1)(2),f1 1=(012),f=(012),f2 2=(021),=(021),則則f,oZ 82同態(tài)的核同態(tài)的核定義定義17.4117.41 設(shè)設(shè) 是群是群G G1 1到到G G2 2的同態(tài)，令的同態(tài)，令ker ker x|xGx|xG1 1 (x)(x)e e2 2 其中其中e e2 2為為G G2 2的單位元。稱的單位元。稱kerker 為為同態(tài)的核同態(tài)的核。

57、P(273 P(273 定理定理 17.24) 17.24) 例：例： ：ZZZZn n, , (x)(x)x mod nx mod n，kerker ？ ：R, , (x)(x)e ex x，kerker ? ? ：G G1 1GG2 2， (a)(a)e e2 2， aGaG1 1， 是零同態(tài)，是零同態(tài)，kerker ? ?83有關(guān)同態(tài)核的性質(zhì)有關(guān)同態(tài)核的性質(zhì)例例 設(shè)設(shè)G G是群，是群，H H是是G G的正規(guī)子群。令的正規(guī)子群。令g g：GG/H,GG/H, g(a)g(a)HaHa， aGaG 則則g g是是G G到到G/HG/H的同態(tài)。稱的同態(tài)。稱g g為為自然同態(tài)自然同態(tài)。 Ker

58、g =? Ker g =?(P273 (P273 例例17.41(2)17.41(2)定理定理17.3317.33 設(shè)設(shè) 是群是群G G1 1到到G G2 2的同態(tài)，則的同態(tài)，則 是單同態(tài)是單同態(tài)當且僅當當且僅當 kerker ee1 1 ，其中，其中e e1 1為為G G1 1的單位元。的單位元。(P273 (P273 定理定理17.33)17.33)84同態(tài)映射的性質(zhì)同態(tài)映射的性質(zhì)定理定理17.3417.34 設(shè)設(shè) 是群是群G G1 1到到G G2 2的滿同態(tài)，若的滿同態(tài)，若G G1 1是循環(huán)是循環(huán)群，則群，則G G2 2也是循環(huán)群。也是循環(huán)群。(P273 (P273 定理定理17.34)

59、17.34)定理定理17.3517.35 設(shè)設(shè) 是群是群G G1 1到到G G2 2的同態(tài)，的同態(tài)，H H是是G G1 1的子群，的子群，則則(P273 (P273 定理定理17.35)17.35)(1)(1) (H)(H)是是G G2 2的子群。的子群。(2)(2)若若H H是是G G1 1的正規(guī)子群，且的正規(guī)子群，且 是滿同態(tài)，則是滿同態(tài)，則 (H)(H)是是G G2 2的正規(guī)子群。的正規(guī)子群。85有關(guān)同態(tài)核的性質(zhì)有關(guān)同態(tài)核的性質(zhì)定理定理17.3617.36 (P274) (P274)設(shè)設(shè) 是群是群G G1 1到到G G2 2的同態(tài)，則的同態(tài)，則(1) ker(1) ker 是是 G G1

60、 1的正規(guī)子群。的正規(guī)子群。(2) (2) a,bGa,bG1 1, , (a)=(a)= (b)(b)當且僅當當且僅當a a和和b b關(guān)于關(guān)于kerker 的右陪集相等的右陪集相等。86同態(tài)基本定理同態(tài)基本定理定理定理17.37 (P274)17.37 (P274)設(shè)設(shè)G G是群，是群，H H是是G G的正規(guī)子群，的正規(guī)子群，則則G/HG/H是是G G的同態(tài)像。反之，若的同態(tài)像。反之，若GG是是G G在在 下下的同態(tài)像，則的同態(tài)像，則G/kerG/ker GG。定理定理17.43 (P275)17.43 (P275)設(shè)設(shè) 是群是群G G1 1到到G G2 2的同態(tài)，若的同態(tài)，若G G1 1的