數(shù)學(xué)模型介紹

1、引引 言言 數(shù)學(xué)建模競賽，就是一項數(shù)學(xué)應(yīng)用題比數(shù)學(xué)建模競賽，就是一項數(shù)學(xué)應(yīng)用題比賽。大家都做過數(shù)學(xué)應(yīng)用題吧，比如說賽。大家都做過數(shù)學(xué)應(yīng)用題吧，比如說“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只只”，這樣的問題就是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，這樣的問題就是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題( (應(yīng)應(yīng)該是小學(xué)生的吧該是小學(xué)生的吧) )，正確答案應(yīng)該是，正確答案應(yīng)該是9 9只，只，是吧？這樣的題照樣是數(shù)學(xué)建模題，不過是吧？這樣的題照樣是數(shù)學(xué)建模題，不過答案就不重要了，重要的是過程。真正的答案就不重要了，重要的是過程。真正的數(shù)學(xué)建模高手應(yīng)該這樣回答這道題：數(shù)學(xué)建模高手應(yīng)該這樣回答這道題： “樹上有十只鳥，

2、開槍打死一只，還剩幾只？樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？”“是無聲手槍或別的無聲的槍嗎？”“不是?！?“槍聲有多大？”“80100分貝?！薄澳蔷褪钦f會震的耳朵疼？”“是。”“在這個城市里打鳥犯不犯法？”“不犯?！薄澳_定那只鳥真的被打死啦？”“確定?！薄癘K，樹上的鳥里有沒有聾子？”“沒有?！薄坝袥]有關(guān)在籠子里的？”“沒有。”“邊上還有沒有其他的樹，樹上還有沒有其他鳥？”“沒有?！薄坝袥]有殘疾的或餓的飛不動的鳥？”“沒有?！薄八悴凰銘言卸亲永锏男▲B？”“不算。”“打鳥的人眼有沒有花？保證是十只？”“沒有花，就十只?！薄坝袥]有傻的不怕死的？”“都怕死?！薄皶粫粯尨蛩纼芍?？”“不會。”“

3、所有的鳥都可以自由活動嗎？”“完全可以?！薄叭绻幕卮饹]有騙人，打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來，那么就剩一只，如果掉下來，就一只不剩。” 不是開玩笑，這就是數(shù)學(xué)建模。從不不是開玩笑，這就是數(shù)學(xué)建模。從不同的角度思考一個問題，想盡所有的可能，同的角度思考一個問題，想盡所有的可能，正所謂的智者千慮，絕無一失，這，才是正所謂的智者千慮，絕無一失，這，才是數(shù)學(xué)建模的高手。數(shù)學(xué)建模的高手。 第第一一講講 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5

4、 數(shù)學(xué)模型的特點和分類數(shù)學(xué)模型的特點和分類1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機、火箭模型玩具、照片、飛機、火箭模型 實物模型實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的進行簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型我們常見的模型

5、你碰到過的數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題航行問題”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小時答：船速每小時20千米千米/ /小時小時. .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行枨?，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，小時，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少小時，問船的速度是多少? x =20y =5求解求解航行問題航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和

6、水速）； 用物理定律用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）； 回答原問題回答原問題（船速每小時20千米/小時）。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 和和 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型(Mathematical Model) 對于現(xiàn)實中的原型(現(xiàn)實對象現(xiàn)實對象)，為了某個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的簡化和假設(shè)簡化和假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。也可以說，數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)語言（符號、式子與圖象）模擬現(xiàn)實的模型。把現(xiàn)實模型抽象、簡化為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)

7、學(xué)模型的基本特征。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實狀態(tài)，或者能預(yù)測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制。 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 和和 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題，我們把數(shù)學(xué)知識的這一應(yīng)用過程稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)模型的全過程數(shù)學(xué)模型的全過程包括包括表述、求解、解釋、檢驗等表述、求解、解釋、檢驗等。 數(shù)學(xué)競賽給人的印象是高深莫測的數(shù)學(xué)難題，和一個人、一支筆、一張紙，關(guān)在屋子里的冥思苦想，它訓(xùn)練嚴(yán)密的邏輯推理和準(zhǔn)確的計算能力

8、，而數(shù)學(xué)建模競賽從內(nèi)容到形式與此都有明顯的不同。 數(shù)學(xué)建模競賽的題目由日常生活、工程技術(shù)和管理科學(xué)中的實際問題簡化加工而成，大家可以從網(wǎng)上找到歷年的賽題，它們對數(shù)學(xué)知識要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。 數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽什么是數(shù)學(xué)建模競賽什么是數(shù)學(xué)建模競賽 大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽是全球范圍內(nèi)數(shù)學(xué)界最重要的競賽之一， 1994年以來全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽已為少數(shù)幾項大學(xué)生課外活動和競賽活動之一。 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽培養(yǎng)學(xué)生什么樣的能力?經(jīng)過10多年來廣大參賽同學(xué),和指導(dǎo)教師的總結(jié)，至少有以下幾方面是值得提出的：一、應(yīng)用數(shù)學(xué)進行分析、推理、計

9、算能力，特別是雙向翻譯的能力大大提高。二、應(yīng)用計算機、數(shù)學(xué)軟件以及因特網(wǎng)的能力大大提高。三、獲得應(yīng)變能力的培養(yǎng)。四、培養(yǎng)和發(fā)展同學(xué)們的創(chuàng)造力、想象力、聯(lián)想力和洞察力。五、培養(yǎng)學(xué)生組織、管理、協(xié)調(diào)合作以及儀式妥協(xié)的能力。六、培養(yǎng)了交流、表達和寫作能力。數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽的意義數(shù)學(xué)建模競賽的意義 數(shù)學(xué)建模競賽以通訊形式進行，三名大學(xué)生組成一隊，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計算機和任何軟件，甚至上網(wǎng)查詢，但不得與隊外任何人討論。在三天時間內(nèi)，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解，計算方法的設(shè)計和計算機實現(xiàn)，結(jié)果的分析和檢驗，模型的改進等方面的論文。競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的

10、創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。 可以看出，這項競賽與學(xué)生畢業(yè)以后工作時的條件非常相近，是對學(xué)生業(yè)務(wù)、能力和素質(zhì)的全面培養(yǎng)，特別是開放性思維和創(chuàng)新意識。 數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽的形式數(shù)學(xué)建模競賽的形式 競賽是由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同主辦的，每年9月下旬舉行，今年是9月9日至11日。競賽面向全國大專院校的學(xué)生，不分專業(yè)。今年我院組成十五隊參加競賽。 數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽怎樣參加數(shù)學(xué)建模競賽怎樣參加數(shù)學(xué)建模競賽2006年全國一等獎獲得者：年全國一等獎獲得者：譚于超：城建學(xué)部05級土木 曾曉波：城建學(xué)部04級土木 胡德麗：信息工程學(xué)部04級信計

11、2007年省三等獎年省三等獎獲得者獲得者：鄧星星：城建學(xué)部06級土木 彭振庭：信息工程學(xué)部05級計科 嚴(yán)新林：信息工程學(xué)部05級信科2008年省三等獎年省三等獎獲得者獲得者：王 銳：信息工程學(xué)部06級信計 余魯鑫：城建學(xué)部08級土木 周崢嶸：城建學(xué)部08級土木2008年省二等獎獲得者：年省二等獎獲得者：邱 豐：經(jīng)管學(xué)部06級國貿(mào) 汪燕霞：信息工程學(xué)部06級信計 羅 強：機電工程學(xué)部07級機電2009年省二等獎年省二等獎獲得者：獲得者：鄧星星：城建學(xué)部06級土木 陶小娟：經(jīng)管學(xué)部08級工管 董麗娜：經(jīng)管學(xué)部08級工管2009年省二等獎獲得者：年省二等獎獲得者：羅 強：機電工程學(xué)部07級機電 江

12、媛：機電工程學(xué)部08級機電 王 冬：機電工程學(xué)部08級機電2010年省三等獎獲得者：年省三等獎獲得者：張杰俊：08建筑工程1班 汪佳亮：08建筑工程2班 袁寬：08建筑工程2班 歷年兩院取得的成績歷年兩院取得的成績1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。越來越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍

13、然大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計分析與設(shè)計 預(yù)報與決策預(yù)報與決策 控制與優(yōu)化控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機技術(shù)知識經(jīng)濟知識經(jīng)濟如虎添翼如虎添翼1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析問題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，

14、四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。只腳同時著地。模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性xBADCOD C B A 用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個距離四個距離(四只

15、腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)正方形正方形對稱性對稱性用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對任意對任意 , f( ), g( )至少一個為至少一個為0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問題問題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在

16、證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地模型求解模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)900，對角線，對角線AC和和BD互換。互換。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)質(zhì), 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即

17、即f( 0) = g( 0) .因為因為f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.評注和思考評注和思考建模的關(guān)鍵建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)質(zhì) 考察四腳呈長方形的椅子考察四腳呈長方形的椅子 和和 f( ), g( )的確定的確定1.3.2 商人們怎樣安全過河商人們怎樣安全過河問題問題( (智力游戲智力游戲) ) 3名商人名商人 3名隨從名隨從隨從們密約隨從們密約, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦隨從的人數(shù)比商一旦隨從的人數(shù)比商人多人多, , 就殺人越貨就殺人越貨. .但是乘船渡河的方案由商人決定但是乘船渡河的方案由商人決定. .商

18、人們怎樣才能安全過河商人們怎樣才能安全過河?問題分析問題分析多步?jīng)Q策過程多步?jīng)Q策過程決策決策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人員船上的人員要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (兩岸的隨從數(shù)不比商人多兩岸的隨從數(shù)不比商人多),),經(jīng)有經(jīng)有限步使全體人員過河限步使全體人員過河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型構(gòu)成模型構(gòu)成xk第第k次渡河前此岸的商人數(shù)次渡河前此岸的商人數(shù)yk第第k次渡河前此岸的隨從數(shù)次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,

19、1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合允許狀態(tài)集合uk第第k次渡船上的商人數(shù)次渡船上的商人數(shù)vk第第k次渡船上的隨從數(shù)次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許允許決策決策集合集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并并按按轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由 s1=(3,3)到達到達 sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策多步?jīng)Q策問題問題模型求解模型求解xy3322110 窮舉法窮舉法 編程上機編程上機 圖解法圖解法狀態(tài)狀態(tài)

20、s=(x,y) 16個格點個格點 10個個 點點允許決策允許決策 移動移動1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ，d11給出安全渡河方案給出安全渡河方案評注和思考評注和思考規(guī)格化方法規(guī)格化方法, ,易于推廣易于推廣考慮考慮4名商人各帶一隨從的情況名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口

21、增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長1.3.3 如何預(yù)報人口的增長如何預(yù)報人口的增長指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 ( (1798) )常用的計算公式常用的計算公式kkrxx)1 (0 x(t) 時刻時刻t的人口的人口基本假設(shè)基本假設(shè) : 人口增長率人口增長率 r (單位時間內(nèi)人口的增長量單位時間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時的人口呈正比與當(dāng)時的人

22、口呈正比)是常數(shù)是常數(shù))()()(trxttxttx今年人口今年人口 x0, 年增長率年增長率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測可用于短期人口增長預(yù)測 不符合不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律

23、不能預(yù)測較長期的人口增長過程不能預(yù)測較長期的人口增長過程1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率人口增長率r r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)假設(shè)) 0,()(srsxrxrr固有增長率固有增長率(x很小時很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()

24、(mxxrxrr是是x的減函數(shù)的減函數(shù)mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲線形曲線, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )參數(shù)估計參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)預(yù)報，必須先估計模型參數(shù) r 或或 r, xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）百萬） 1860 18

25、70 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計專家估計阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗用模型計算用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx實際為實際為281.4 (百萬百萬)5 .274)2000(x模型應(yīng)用模型應(yīng)用預(yù)報美國預(yù)報美國2010年的人口年的人口加入加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)年人口數(shù)據(jù)后重

26、新估計模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用( (如耐用消費品的售量如耐用消費品的售量) )阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 數(shù)學(xué)建模的基本方法數(shù)學(xué)建模的基本方法機理分析機理分析測試分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作將對象看作“黑箱黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究機理

27、分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機理分析。來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機理分析。二者結(jié)合二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu)用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)用測試分析確定模型參數(shù)數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備了解實際背景了解實際背景明確建模目的明確建模目的搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對象特征掌握對象特征形成一個形成一個比較清晰

28、比較清晰的的問題問題 了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必要的信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等。盡量弄清對象的主要特征，形成一個比較清晰的“問題”，由此確定用哪一類模型。情況明才能方法對。在模型準(zhǔn)備階段要深入調(diào)查研究，盡量掌握第一手資料。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。 模模型型假假設(shè)設(shè)針對問題特點和建模目的針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中在合理與簡化之間作出折中 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，作出必要的、合理的簡化假設(shè)。對于建模的成敗是非常重要和困難的一步。假設(shè)作的不合理或太簡單，會導(dǎo)

29、致錯誤的或無用的模型；假設(shè)作的過分詳細(xì)，試圖吧復(fù)雜對象的眾多因素都考慮進去，會使你很難或無法繼續(xù)下一步的工作。常常要在合理與簡化之間作出恰當(dāng)?shù)恼壑?。通常，作假設(shè)的依據(jù)，一是處于對問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識，二是來自對現(xiàn)象、數(shù)據(jù)的分析，以及二者的綜合。想像力、洞察力、判斷力，以及經(jīng)驗，在模型假設(shè)中起著重要作用。模模型型構(gòu)構(gòu)成成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力使用類比法使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

30、。有高數(shù)、概率統(tǒng)計、圖論、排隊論、線性規(guī)劃、對策論等等。建模時還應(yīng)遵循一個原則：盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，因為你的模型總是希望更多的人了解和使用，而不是只供少數(shù)專家欣賞。 模型模型求解求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù) 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算（估計）。可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計算機技術(shù)。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統(tǒng)運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數(shù)學(xué)軟件包能力便舉足輕重。 要求：掌握matlab 6.x 如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型模型分析分析 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 對所得的結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析，能否對模型結(jié)果作出細(xì)致精當(dāng)?shù)姆治?，決定了你的模型能否達到更高的檔次。要記住