地圖的數(shù)學基礎

1、 1 為了了解地球的形狀，讓我們由遠及近地觀察一下地球的自然表面。浩瀚宇宙之中 : 地球是一個表面光滑、藍色美麗的正球體。地表是一個有些微起伏、極其復雜的表面。 珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。事實是： 地球不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。當海洋靜止時，自由水面與該面上各點的重力方向（鉛垂線）成正交，這個面叫水準面。 在眾多的水準面中，有一個與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過大陸、島嶼形成一個閉合曲面，這就是大地水準面。它實際是一個起伏不平的重力等位面地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。1. 地球形體的一級

2、逼近：對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當。2. 起伏波動在制圖學中可忽略： 對大地測量和地球物理學有研究價值，但在制圖業(yè)務中，均把地球當作正球體。3. 重力等位面： 可使用儀器測得海拔高程（某點到大地水準面的高度）。 在測量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來代替大地球體，這個旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為 地球橢球體，簡稱 橢球體。 它是一個規(guī)則的數(shù)學表面，所以人們視其為 地球體的數(shù)學表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計算的基準面。橢球體 三要素: 長軸 a（赤道半徑）、短軸 b（極半徑）和橢球的扁率 fequatorial axispolar axisnorth polesouth polee

3、quatorabwgs world geodetic system 84 ellipsoid:a = 6 378 137mb = 6 356 752.3mequatorial diameter = 12 756.3kmpolar diameter = 12 713.5kmequatorial circumference = 40 075.1kmsurface area = 510 064 500km2 a - b 6378137 - 6356752.3f = = a 6378137 1 = 298.257 f對 a，b，f 的具體測定就是近代大地測量的一項重要工作。 對地球形狀 a，b，f 測

4、定后，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準面符合最好的一個地球橢球體 參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。 通過數(shù)學方法將地球 橢球體擺到與大地水準面 最貼近的位置上，并求出 兩者各點間的偏差，從數(shù) 學上給出對地球形狀的三 級逼近。 由于國際上在推求年代、方法及測定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。 中國1952年前采用海福特（hayford）橢球體 ； 19531980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標原點是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺） ； 自1980年開始采用 grs 1975（國際大地測量與地球物理學聯(lián)合會 iugg 1975 推薦）新參考橢球體系，并確定

5、陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標系”大地坐標的起算點。陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為 “1980西安坐標系西安坐標系” 大地坐標的起算點大地原點。 地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動、科學研究及軍事國防等密切相關(guān)的重大問題。具體而言，就是球面坐標系統(tǒng)的建立。2 用經(jīng)緯度表示地面點位的球面坐標。 天文經(jīng)緯度 大地經(jīng)緯度 地心經(jīng)緯度 天文經(jīng)緯度：表示地面點在上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。天文經(jīng)度：觀測點天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。 在地球上定義為本初子午面與觀測點之間的兩面角。天文緯度： 在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。 大地經(jīng)緯度：表示地面點在上的位置

6、，用大地經(jīng)度l 、大地緯度 和大地高 h 表示。大地經(jīng)度l l ：指參考橢球面上某點的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負。大地緯度 ：指參考橢球面上某點的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負。 地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點，地心經(jīng)度同大地經(jīng)度l ，地心緯度是指上某點和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y 。 在大地測量學中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標。 在地圖學中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標。 在地理學研究及地圖學的小比例尺制圖中，通常將橢球體當成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。 1.中國的大地坐標系 1980年以前：參見電子教案本章第十三頁； 1980年選用1

7、975年國際大地測量協(xié)會推薦的參考 橢球：ica-75橢球參數(shù)a = 6 378 140mb = 6 356 755mf = 1/298.2572.中國的大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng) : 按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定地理坐標的地面點組成，由三角測量或?qū)Ь€測量完成，依精度不同，分為四等。 由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點遍布全國各地。高程控制網(wǎng) : 按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點組成，以水準測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。中國高程起算面是 黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設立了水準原點，其他各控制點的絕對高程均是據(jù)此推算，稱為1956年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用19

8、85國家高程基準取代黃海平均海水面其比黃海平均海水面上升 29毫米。 青島觀象山水準原點 絕對高程相對高程國家水準原點 國家測繪局平面控制網(wǎng)國家測繪局高程控制網(wǎng)國家測繪局水準面示意圖國家測繪局gps控制網(wǎng)國家測繪局 授時與測距導航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng) (navigation satellite timing and ranging/global positioning system-gps)：是以人造衛(wèi)星為基礎的無線電導航系統(tǒng)，可提供高精度、全天候、實時動態(tài)定位、定時及導航服務。 1. gps系統(tǒng)由三個獨立的部分組成空間部分空間部分：21顆工作衛(wèi)星，3顆備用衛(wèi)星（白色）。它們在高度20 200k

9、m的近圓形軌道上運行，分布在六個軌道面上，軌道傾角55，兩個軌道面之間在經(jīng)度上相隔60，每個軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點，任意時刻，至少同時可見到四顆衛(wèi)星。 地面支撐系統(tǒng)地面支撐系統(tǒng)：1個主控站，3個注入站，5個監(jiān)測站。它向gps導航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運動及其軌道的參數(shù)；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預定軌道運行；保持各顆衛(wèi)星處于gps時間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設備是否正常工作等。用戶設備部分用戶設備部分：gps接收機接收衛(wèi)星信號，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到接收機所在點位的導航和定位信息。通常會顯示出用戶的位置、速度和時間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù)，如到航路點的距離和航向或提供圖示。 2

10、. gps系統(tǒng)定位原理數(shù)據(jù)，組成3個方程式，就可以解出觀測點的位置（x,y,z）?？紤]到衛(wèi)星的時鐘與接收機時鐘之間的誤差，實際上有4個未知數(shù)，x、y、z和鐘差，因而需要引入第4顆衛(wèi)星，形成4個方程式以求解，從而得到觀測點經(jīng)緯度和高程。 通過測量衛(wèi)星信號到達接收機的時間延遲，即可算出用戶到衛(wèi)星的距離。再根據(jù)三維坐標中的距離公式，利用3顆衛(wèi)星的3.常用gps測量模式 常規(guī)靜態(tài)測量：采用兩臺(或兩臺以上)gps接收機，分別安置在一條或數(shù)條基線的兩端，同步觀測4顆以上衛(wèi)星，每時段根據(jù)基線長度和測量等級觀測45分鐘以上的時間。常用于建立全球性或國家級大地控制網(wǎng)、地殼運動監(jiān)測網(wǎng) ?？焖凫o態(tài)測量：這種模式是

11、在一個已知測站上安置一臺gps接收機作為基準站，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星。移動站接收機依次到各待測測站，每測站觀測數(shù)分鐘。這種模式常用于控制網(wǎng)的建立及其加密、工程測量、地籍測量等。 這種方法要求在觀測時段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測；流動點與基準點相距應不超過20km。靜態(tài)測量模式準動態(tài)測量 在一已知測站上安置一臺gps接收機作為基準站，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星。移動站接收機在進行初始化后依次到各待測測站，每測站觀測幾個歷元數(shù)據(jù)。這種方法不同于快速靜態(tài)，除觀測時間不一樣外，它要求移動站在搬站過程中不能失鎖，并且需要先在已知點或用其它方式進行初始化（采用有otf功能的軟件處理時例外）。這種模式可用于開闊

12、地區(qū)的加密控制測量、工程定位及碎部測量、剖面測量及線路測量等。 要求在觀測時段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測；流動點與基準點相距應不超過20km。動態(tài)測量模式實時動態(tài)測量：dgps和rtk 在一個已知測站上架設gps基準站接收機和數(shù)據(jù)鏈，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星，并通過數(shù)據(jù)鏈向移動站發(fā)送數(shù)據(jù)。移動站接收機通過移動站數(shù)據(jù)鏈接收基準站發(fā)射來的數(shù)據(jù)，并在機進行處理，從而實時得到移動站的高精度位置。 dgps通常叫做實時差分測量，精度為亞米級到米級，這種 方式是基準站將基準站上測量得到的rtcm數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù)鏈傳輸?shù)揭苿诱荆苿诱窘邮盏絩tcm數(shù)據(jù)后，自動進行解算，得到經(jīng)差分改正以后的坐標。 rtk 則是以載

13、波相位觀測量為根據(jù)的實時差分gps測量，它是gps測量技術(shù)發(fā)展中的一個新突破。它的工作思路與dgps相似，只不過是基準站將觀測數(shù)據(jù)發(fā)送到移動站（而不是發(fā)射rtcm數(shù)據(jù)），移動站接收機再采用更先進的在機處理方法進行處理，從而得到精度比dgps高得多的實時測量結(jié)果。這種方法的精度一般為2cm左右。 3 地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經(jīng)過由曲面到平面的轉(zhuǎn)換。 地圖投影： 在地球橢球面和平面之間建立點與點之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學方法，稱為地圖投影。 地圖投影的實質(zhì)： 是將地球橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按照一定的數(shù)學法則轉(zhuǎn)移到平面上。x = f1( , l ) y = f

14、2( , l ) 1. 地圖比例尺的含義地圖比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應直線水平投影長度之比。 可表達為（d為圖上距離，d為實地距離） 根據(jù)地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺 ： 在投影面上沒有變形的點或線上的比例尺。局部比例尺： 在投影面上有變形處的比例尺。1ddm2. 地圖比例尺的表示 數(shù)字式比例尺 如 1:10 000 文字式比例尺 如 百萬分之一 圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復式比例尺 特殊比例尺 變比例尺 無級別比例尺1. 投影變形的概念 把地圖上和地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)進行比較，可以發(fā) 現(xiàn)變形表現(xiàn)在長度、面積和角度三個方面。2.變形橢圓xmx為經(jīng)線長度比；為緯

15、線長度比yny微小圓變形橢圓 該方程證明: 地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓，即： 以o為原點，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標軸的橢圓方程式。代入： x2 + y2 = 1，得得xmxyny22221xymn特別方向：特別方向： 變形橢圓上相互垂直的兩個方向及經(jīng)向和緯向 長軸方向（極大值）a短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向 m ；緯線方向 n統(tǒng)稱統(tǒng)稱 主方向主方向據(jù)，有m2 + n2 = a2 + b2mnsinq = ab3.投影變形的性質(zhì)和大小 和： 投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮小）之比。 m表示長度比長度比，vm表示長度變形

16、長度變形 長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。d dssm1vmm= 0 不變 0 變大 0 變大 0 變小： 投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以表示角度最大變形。 設a點的坐標為（x、y），a 點的坐標為(x 、y )，則tanyxtanyx xax ybytantanbybaxatantantantan(1)tanbbaatantantantan(1)tanbbaasin()tancoscosabasin()sin()abab將上式兩邊各減和加 tan 即：將兩式相除，得：sin()sin()ababsin()abab(1802 )(1802

17、)2()mmsin2ababtan(45)2ba22222sinsin22sinmnmnmnmnqq 顯然當（ + ）= 90時，右端取最大值，則最大方向變形：以表示角度最大變形：若已知 m, n, q ，則：1. 幾何投影法 地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開的曲面上，如平面、圓柱面和圓錐面。2. 數(shù)學解析法 以正軸圓錐投影為例經(jīng)線經(jīng)線 投影為放射直線，經(jīng)差l 與投影面上d成正比：d = cl （c為圓錐系數(shù)，0 c 1）。 緯線緯線 投影為同心圓弧，其半徑 r 是緯度 的函數(shù)， r = f（）。圓錐投影的一般公式為：x = r s - r co

18、s r = f() y = r sin d d = cldda bmabrrdcos da dmadrr d lpmnsin2mnmndddcos dcoscrrrrr dr l2tan (45/2)kkuretan(45/2)tan (45/2)uysinesiny等角投影條件：=0，m=n，構(gòu)成經(jīng)移項、積分、整理得：1. 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 （1）: 將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。 方位投影: 以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。 圓柱投影: 以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，

19、然后將圓柱面展為平面而成。 圓錐投影: 以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。 （2） 根據(jù)某些條件，用數(shù)學解析法確定球面與平面之間點與點的函數(shù)關(guān)系。偽方位投影：在方位投影的基礎上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。偽圓柱投影：在圓柱投影基礎上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。偽圓錐投影：在圓錐投影基礎上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。多圓錐投影：設想有更多的

20、圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。2. 按地圖投影的變形性質(zhì)分類 : 投影面上某點的任意兩方向線夾角與橢球面上相應兩線段夾角相等，即角度變形為零 =0（或 a=b，m=n）。: 投影面與橢球面上相應區(qū)域的面積相等，即面積變形為零 vp=0（或 p=1，a=1/b）。 : 投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。1. 傳統(tǒng)地圖的投影變換 格網(wǎng)轉(zhuǎn)繪法 藍圖嵌貼法2. 數(shù)字地圖的投影變換 投影變換的一般公式 x =

21、 f1(x,y) y = f2(x,y)x = f1(, l ) x = 1(, l )y = f2(, l ) y = 2(, l ) = (x,y) l =l(x,y)x = 1(x,y), l(x,y) y = 2(x,y), l(x,y) 定域內(nèi)單值、連續(xù)a投影 b投影反解代入 b如不知地圖的投影系統(tǒng)，可通過多項式實施變換：x = a00 + a10 x + a20 x2 + a01y + a11xy + a02y2 + a30 x3 + a21x2y + a12xy2 + a03y3 + y = b00 + b10 x + b20 x2 + b01y + b11xy + b02y2

22、+ b30 x3 + b21x2y + b12xy2 + b03y3 + 系數(shù) aij， bij 可用多個已知坐標點求出。 根據(jù)投影方程進行變換的實例 等角圓柱投影 等角圓錐投影 x = rk lnu , y = rkl y u = e n , l= rk x( n = ) rkr = k / u2 x = r s - r cosd = l y = r sin dk 為積分常數(shù)， 為圓錐系數(shù)cos()esankkyxrrsin()eankkyyr 根據(jù)投影方程進行變換的實例 等距圓柱投影 等距圓錐投影 x = s , y = rkl yl= rk yx = r s - (c - s )cos(

23、 ) rk yy = (c - s ) sin( ) rkr = c - s x = r s - r cos dd = l y = r sin dc 為積分常數(shù)，s 為緯度的經(jīng)線弧長4 1.制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置 2.制圖比例尺 3.地圖的內(nèi)容 4.出版方式1.制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置制圖區(qū)域的地理位置決定 投影種類制圖區(qū)域的形狀直接制約 投影選擇制圖區(qū)域的范圍大小影響 投影選擇2.制圖比例尺 不同比例尺地圖對精度要求不同，投影亦不同。 大比例尺地形圖，對精度要求高，宜采用變形小的投影，如分帶投影。 中、小比例尺地圖范圍大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等積、任意投影的多種選

24、擇。3. 地圖的內(nèi)容主題和內(nèi)容不同，對投影的要求也不同。要求方向正確，應選擇等角投影要求面積對比正確，應選擇等積投影教學或一般參考圖，要求各方面變形都不大，則應選擇任意投影4.出版方式單幅圖系列圖地圖集 1. （） 以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。 由德國數(shù)學家、天文學家高斯（c.f. gauss，17771855）及大地測量學家克呂格（j. krger，18571923）共同創(chuàng)建。 此投影無角度變形，中央經(jīng)線無長度變形。為保證精度，采用分帶投影方法： 經(jīng)差 6或 3分帶，長度變形 0.

25、14% 中國國家基本比例尺地形圖采用高斯-克呂格6分帶投影：1 1萬（3分帶）1 2.5萬、1 5萬、1 10萬、1 25萬、1 50萬。ya = 245 863.7 myb = - 168 474.8 mya通 = 20 745 863.7 myb通 = 20 331 525.2 m 以橫軸橢圓柱面割于地球橢球體的兩條等高圈，按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又稱 universal transverse mercator utm 投影。 此投影無角度變形，中央經(jīng)線長度比為0.9996，距中央經(jīng)線約180km處的兩條割線上無變形。亦采用分帶投影

26、方法：經(jīng)差6或3分帶。長度變形 1任意投影適于南北方向延伸地區(qū)地圖普通多圓錐分帶投影圖 將整個地球按一定經(jīng)差分為若干帶，每帶中央經(jīng)線投影為直線，各帶在赤道相接。用于制作地球儀。等差分緯線多圓錐投影 中國地圖出版社1963年設計，其經(jīng)線間隔隨距中央經(jīng)線距離的增大而呈等差遞減，屬任意投影。正切差分緯線多圓錐投影 中國地圖出版社1976年設計，其經(jīng)線間隔按與中央經(jīng)線經(jīng)差的正切函數(shù)遞減。屬任意投影。世界圖 設想以圓柱面為投影面，使圓柱面與地球表面相切或相割，將地球表面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，再把圓柱面沿一條母線剪開展為平面而成。2. 圓柱投影 正軸等角圓柱投影 由荷蘭地圖學家墨卡托（mercator gerardus，15121594）于1569年所創(chuàng)設，故又名墨卡托投影。特點特點: 不僅保持了方向和相對位置的正確，而且使等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有重要的實用價值。墨卡托投影等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經(jīng)線和緯線以外的等角航線，都是以極點為漸近點的螺旋曲線。 等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有很重要的意義。大圓航線：地球面上兩點間最短距離是通過兩點間的大圓弧，