2012綜合題二（四邊形綜合）

1、2012綜合題（四邊形綜合）1、已知拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C直接寫出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的P上時(shí)，求拋物線的解析式；坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)M和中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：對(duì)稱軸是直線：，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0) 2分說明：每寫對(duì)1個(gè)給1分，“直線”兩字沒寫不扣分如圖，連接PC，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b 3分當(dāng)時(shí)， 4分 5分存在6分理由：如圖，連接AC、BC設(shè)

2、點(diǎn)M的坐標(biāo)為當(dāng)以AC或BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方，此時(shí)CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x±4點(diǎn)M的坐標(biāo)為9分說明：少求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)扣1分當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸下方過M作MNAB于N，則MNBAOC90°四邊形AMBC是平行四邊形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312點(diǎn)M的坐標(biāo)為 12分說明：求點(diǎn)M的坐標(biāo)時(shí)，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式，然后求交點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法均可，請(qǐng)參照給分綜上所述，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形其坐標(biāo)為2、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為函數(shù)在第

3、一象限內(nèi)的圖象上的任一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線過且與軸平行，過作軸的平行線分別交軸，于，連結(jié)交軸于，直線交軸于（1）求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；（2）求證：四邊形為平行四邊形；平行四邊形為菱形；（3）除點(diǎn)外，直線與拋物線有無其它公共點(diǎn)？并說明理由答案（1）法一：由題可知，（1分），即為的中點(diǎn)（2分）法二：，（1分）又軸，（2分）（2）由（1）可知，（3分），又，四邊形為平行四邊形（4分）設(shè)，軸，則，則過作軸，垂足為，在中，平行四邊形為菱形（6分）（3）設(shè)直線為，由，得，代入得： 直線為（7分）設(shè)直線與拋物線的公共點(diǎn)為，代入直線關(guān)系式得：，解得得公共點(diǎn)為所以直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)（8分）3.如圖，在平

4、面直角坐標(biāo)系中，拋物線=+經(jīng)過A（0，4）、B（，0）、 C（，0）三點(diǎn)，且-=5（1）求、的值；（4分）（2）在拋物線上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形；（3分）（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說明理由（3分）解： （解析）解：（1）解法一：拋物線=+經(jīng)過點(diǎn)A（0，4）， =4 1分又由題意可知，、是方程+=0的兩個(gè)根，+=， =62分由已知得（-）=25又（-）=（+）4=24 24=25 解得=± 3分當(dāng)=時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，不合題意，舍去

5、= 4分解法二：、是方程+c=0的兩個(gè)根， 即方程23+12=0的兩個(gè)根=，2分=5， 解得 =±3分 （以下與解法一相同） （2）四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線的對(duì)稱軸上， 5分 又=4=（+）+ 6分 拋物線的頂點(diǎn)（，）即為所求的點(diǎn)D7分 （3）四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是直線=-3與拋物線=-4的交點(diǎn)， 8分 當(dāng)=3時(shí)，=×（3）×（3）4=4， 在拋物線上存在一點(diǎn)P（3，4），使得四邊形BPOH為菱形 9分 四邊形BPOH不能成為正方形，因?yàn)槿绻倪呅蜝POH為

6、正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是（3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線上10分4、已知，在RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2。若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)。將RtOAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處。（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若拋物線（0）經(jīng)過C、A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；（3）若拋物線的對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn)，過P作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M。問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。注：拋物線（0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸公式為解: （1）過點(diǎn)C作

7、CH軸，垂足為H在RtOAB中，OAB900，BOA300，ABOB4，OA由折疊知，COB300，OCOACOH600，OH，CH3C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）（2）拋物線（0）經(jīng)過C（，3）、A（，0）兩點(diǎn) 解得： 此拋物線的解析式為： （3）存在。因?yàn)榈捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為（，3）即為點(diǎn)C MP軸，設(shè)垂足為N，PN，因?yàn)锽OA300，所以O(shè)N P（，） 作PQCD，垂足為Q，MECD，垂足為E把代入得： M（，），E（，） 同理：Q（，），D（，1） 要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CEQD 即，解得：，（舍） P點(diǎn)坐標(biāo)為（，） 存在滿足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)的坐為（，）5、如

8、圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、和點(diǎn).（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，求四邊形的面積；（3）有兩動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度沿折線 按的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度沿折線按的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)秒時(shí)，的面積為S .請(qǐng)問、兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；請(qǐng)求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；設(shè)是中函數(shù)S的最大值，那么 = .解：（1）令，則；令則二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為又該函數(shù)圖象過點(diǎn)解之，得，所求二次函數(shù)

9、的關(guān)系式為 （2）=頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為 過點(diǎn)M作MF軸于F=四邊形AOCM的面積為10 （3）不存在DEOC 若DEOC，則點(diǎn)D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，此時(shí)，在中，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為， ， >2，不滿足不存在根據(jù)題意得D，E兩點(diǎn)相遇的時(shí)間為（秒）現(xiàn)分情況討論如下：）當(dāng)時(shí)，；）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為， ）當(dāng)2 <<時(shí)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，類似可得設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，= 6、.如圖，已知拋物線ya(x1)2(a0)經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，拋物線的頂點(diǎn)為D，過O作射線OMAD過頂點(diǎn)D平行于軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在軸正半軸上，連結(jié)BC（1）求該拋物線的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1

10、個(gè)長度單位的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）問：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長度單位和2個(gè)長度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最??？并求出最小值及此時(shí)PQ的長解：（1）把A(2，0)代入ya(x1)2，得0a(21)2a1分該拋物線的解析式為y(x1)2即yx 2x3分（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xD，yD)，由于D為拋物線的頂點(diǎn)xD1，yD×1 2

11、15;1點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，)如圖，過點(diǎn)D作DNx軸于N，則DN，AN3，AD6DAO60°4分OMAD當(dāng)ADOP時(shí)，四邊形DAOP為平行四邊形OP6t6（s）5分當(dāng)DPOM時(shí)，四邊形DAOP為直角梯形過點(diǎn)O作OEAD軸于E在RtAOE中，AO2，EAO60°，AE1（注：也可通過RtAOERtAND求出AE1）四邊形DEOP為矩形，OPDE615t5（s）6分當(dāng)PDOA時(shí)，四邊形DAOP為等腰梯形，此時(shí)OPAD2AE624t4（s）綜上所述，當(dāng)t6s、5s、4s時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形、直角梯形、等腰梯形7分（3）DAO60°，OMAD，COB60

12、76;又OCOB，COB是等邊三角形，OBOCAD6BQ2t，OQ62t（0t3）過點(diǎn)P作PFx軸于F，則PFt8分S四邊形BCPQ SCOB SPOQ×6××(62t)×t(t)29分當(dāng)t（s）時(shí)，S四邊形BCPQ的最小值為10分此時(shí)OQ62t62×3，OP，OF，QF3，PFPQ11分7、已知：拋物線yx 22xa（a 0）與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M直線yxa分別與x軸，y軸相交于B，C兩點(diǎn)，并且與直線AM相交于點(diǎn)N（1）填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則M（ ， ），N（ ， ）；（2）如圖，將NAC沿軸翻折，若點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

13、N 恰好落在拋物線上，AN 與軸交于點(diǎn)D，連結(jié)CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；（3）在拋物線yx 22xa（a 0）上是否存在一點(diǎn)P，使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由解：（1）M(1，a1)，N(a，a)4分（2）點(diǎn)N 是NAC沿軸翻折后點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)N 與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，N (a，a)將N (a，a)代入yx 22xa，得a(a)22×(a)a整理得4a 29a0，解得a10（不合題意，舍去），a26分N (3，)，點(diǎn)N到軸的距離為3a，拋物線yx 22xa與y軸相交于點(diǎn)A，A(0，)直線AN 的解析式為yx ，將

14、y0代入，得x D(，0)，點(diǎn)D到軸的距離為S四邊形ADCN SACN SACN ××3××8分（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，若四邊形ACPN是平行四邊形，則PN平行且等于AC將點(diǎn)N向上平移2a個(gè)單位可得到點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(a，a)，代入拋物線的解析式，得：a(a)22×aa，整理得8a 23a0解得a10（不合題意，舍去），a2P(，)10分當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，若四邊形APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分OAOC，OPON，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱P(a，a)，代入yx 22xa，得a(a)22×(a)a，整理得8a 215

15、a0解得a10（不合題意，舍去），a2P(，)12分存在這樣的點(diǎn)P，使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)8、.如圖，拋物線yx 22x3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；（2）連結(jié)BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFDE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為mxyDCAOB用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？設(shè)BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式解：（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）

16、2分拋物線的對(duì)稱軸是：x13分（2）設(shè)直線BC的解析式為：ykxb將B（3，0），C（0，3）分別代入得：xyDCAOBFMPE 解得直線BC的解析式為yx3當(dāng)x1時(shí)，y132，E（1，2）當(dāng)xm時(shí)，ym3，P（m，m3）4分將x1代入yx 22x3，得y4，D（1，4）將xm代入yx 22x3，得ym 22m3F（m，m 22m3）5分線段DE422，線段PFm 22m3(m3)m 23m6分PFDE，當(dāng)PFDE時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形由m 23m2，解得：m12，m21（不合題意，舍去）當(dāng)m2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形7分設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M由B（3，0），O（0，0），可得

17、：OBOMMB3則SSBPF SCPF8分PF·BMPF·OMPF·OB(m 23m)×3m 2m（0m3）即S與m的函數(shù)關(guān)系式為：Sm 2m（0m3）9分9、如圖1，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）；矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD2，AB3（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所

18、示）當(dāng)t時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說明理由；設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）因所求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）可設(shè)其對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為ya(x 2)241分又拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），a(02)2402分解得a13分所求函數(shù)關(guān)系式為y(x 2)24，即yx 24x4分（2）點(diǎn)P不在直線ME上，理由如下：5分根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）設(shè)直線ME的解析式為ykxb，將M（2，4），E（4，0）代入，得 解得直線ME的解析式為y2x86分當(dāng)t時(shí)，OAAP，P（，）7分點(diǎn)P的坐標(biāo)不滿

19、足直線ME的解析式y(tǒng)2x8當(dāng)t時(shí)，點(diǎn)P不在直線ME上8分S存在最大值，理由如下：9分點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上，OAAPtP（t，t），N（t，t 24t），ANt 24t（03）PNANAPt 24ttt 23tt(3t)010分（）當(dāng)PN0，即t0或t3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，此三角形的高為ADSDC·AD×3×2311分（）當(dāng)PN0時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形PNCD，ADCDS(CDPN)·AD(3t 23t)×2t 23t3(t)2（0t3）當(dāng)t時(shí)，S最大12分綜上所述，當(dāng)t時(shí)，以點(diǎn)P

20、，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形面積S有最大值，最大值為13分說明：（）中的關(guān)系式，當(dāng)t0和t3時(shí)也適合10、.已知：t1，t2是方程t 22t240，的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且t1t2，拋物線yx 2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（t1，0），B（0，t2）（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求OPAQ的面積S與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當(dāng)OPAQ的面積為24時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使OPAQ為正方形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（1）由t 22t240，解得t16，t

21、241分t1t2，A（6，0），B（0，4）2分拋物線yx 2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B兩點(diǎn) 解得這個(gè)拋物線的解析式為yx 2x44分（2）點(diǎn)P（x，y）在拋物線上，且位于第三象限，y0，即y0又S2SAPO2××| OA|·| y | OA|·| y |6| y |S6y6分6(x 2x4)4(x 27x6)4(x)2257分令y0，則x 2x40，解得x16，x21拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）、（1，0）x的取值范圍為6x18分（3）當(dāng)S24時(shí)，得4(x)22524，解得：x14，x239分代入拋物線的解析式得：y1y24點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）、

22、（4，4）當(dāng)點(diǎn)P為（3，4）時(shí)，滿足POPA，此時(shí)，OPAQ是菱形當(dāng)點(diǎn)P為（4，4）時(shí)，不滿足POPA，此時(shí)，OPAQ不是菱形10分要使OPAQ為正方形，那么，一定有OAPQ，OAPQ，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），而（3，3）不在拋物線yx 2x4上，故不存在這樣的點(diǎn)P，使OPAQ為正方形12分11、.如圖，RtABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，），B（，），C（1，0），ABC90°，BC與y軸的交點(diǎn)為D，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)、y軸為對(duì)稱軸的拋物線過點(diǎn)B（1）求該拋物線的解析式；（2）將ABC沿AC折疊后得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，求證：四邊形AOCB是矩形，并判斷點(diǎn)B是否在（1）

23、的拋物線上；（3）延長BA交拋物線于點(diǎn)E，在線段BE上取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PADF是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由解：（1）拋物線的頂點(diǎn)為D（0，）可設(shè)拋物線的解析式為yax 21分B（，）在拋物線上a()2，a3分拋物線的解析式為yx 25分（2）B（，），C（1，0）BC又BCBC，OA，BCOA6分AC2AB1又ABAB，OC1，ABOC7分四邊形AOCB是矩形8分BC，OC1點(diǎn)B 的坐標(biāo)為（1，）9分將x1代入yx 2得y點(diǎn)B 在拋物線上10分（3）存在11分理由如下：設(shè)直線AB的解析式為ykxb，則 解得直線AB的解析式為y12分P、F分別在直線AB和拋物線上，且PFAD設(shè)P（m，），F(xiàn)（m，m