第1章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型ppt課件

1、第第1 1章章 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型本課程的義務(wù)是系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計。而不論是系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)本課程的義務(wù)是系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計。而不論是系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)設(shè)計，本課程所研討的內(nèi)容是基于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來進(jìn)展的。因此，設(shè)計，本課程所研討的內(nèi)容是基于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來進(jìn)展的。因此，本章首先引見控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本章首先引見控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本章內(nèi)容為：本章內(nèi)容為：1 1、形狀空間表達(dá)式、形狀空間表達(dá)式2、由微分方程求出系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式、由微分方程求出系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式3、傳送函數(shù)矩陣、傳送函數(shù)矩陣4、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5、線性變換、線性變換6、組合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描畫、組

2、合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描畫7、利用、利用MATLAB進(jìn)展模型之間的變換進(jìn)展模型之間的變換1.1 1.1 形狀空間表達(dá)式形狀空間表達(dá)式1.1.1 形狀、形狀變量和形狀空間形狀、形狀變量和形狀空間形狀形狀動態(tài)系統(tǒng)的形狀是一個可以確定該系統(tǒng)行為的信息集合。動態(tài)系統(tǒng)的形狀是一個可以確定該系統(tǒng)行為的信息集合。這些信息對于確定系統(tǒng)未來的行為是充分且必要的。這些信息對于確定系統(tǒng)未來的行為是充分且必要的。形狀變量形狀變量確定系統(tǒng)形狀的最小一組變量，假設(shè)知道這些變量確定系統(tǒng)形狀的最小一組變量，假設(shè)知道這些變量在恣意初始時辰在恣意初始時辰 的值以及的值以及 的系統(tǒng)輸入，便可以完好地的系統(tǒng)輸入，便可以完好地確定系統(tǒng)在恣意時辰

3、確定系統(tǒng)在恣意時辰 的形狀。形狀變量的選擇可以不同的形狀。形狀變量的選擇可以不同0tt0tt形狀空間形狀空間以所選擇的一組形狀變量為坐標(biāo)軸而構(gòu)成的正交線以所選擇的一組形狀變量為坐標(biāo)軸而構(gòu)成的正交線性空間，稱為形狀空間。性空間，稱為形狀空間。例：如以下圖所示電路，例：如以下圖所示電路， 為輸入量，為輸入量， 為輸出量。為輸出量。)(tu)(tuC)()()()(tututRidttdiLC建立方程：建立方程：dttduCiC)(初始條件：初始條件：)()(00tititt)()(00tutuCttC)(tuC 和和 可以表征該電路系統(tǒng)的行為，就是該系統(tǒng)的一組形狀可以表征該電路系統(tǒng)的行為，就是該系

4、統(tǒng)的一組形狀變量變量)(ti1.1.2 形狀空間表達(dá)式形狀空間表達(dá)式前面電路的微分方程組可以改寫如下，并且寫成矩陣方式：前面電路的微分方程組可以改寫如下，并且寫成矩陣方式：LtuLtutiLRdttdiC)()()()()(1)(tiCdttduC)(01)()(011)()(tuLtutiCLLRdttdudttdiCC)()(10)(tutituCC該方程描畫了電路的形狀變量和輸入量之間的關(guān)系，稱為該電路的形狀方程，這是一個矩陣微分方程。假設(shè)將電容上的電壓作為電路的輸出量，那么該方程是聯(lián)絡(luò)輸出量和形狀變量關(guān)系的方程，稱為該電路的輸出方程或觀測方程。這是一個矩陣代數(shù)方程。系統(tǒng)的形狀方程和輸出

5、方程一同，稱為系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式，或稱系統(tǒng)的形狀方程和輸出方程一同，稱為系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式，或稱為系統(tǒng)動態(tài)方程，或稱系統(tǒng)方程。為系統(tǒng)動態(tài)方程，或稱系統(tǒng)方程。21xxx設(shè)：設(shè)：)(1tix )(2tuxC01Lb10C011CL-LR-ACxbAxxyu那么可以寫成形狀空間表達(dá)式：那么可以寫成形狀空間表達(dá)式：推行到普通方式：推行到普通方式：DuCxyBuAxx nxxx21xruuu21umyyy21ynnnnnnaaaa1111Arnnrnrabbb1111Bnmmnmncccc1111Crmmrmrdddd1111D假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣A, B, C, D中的一切元素都是實常數(shù)時，那么稱這中的一

6、切元素都是實常數(shù)時，那么稱這樣的系統(tǒng)為線性定常樣的系統(tǒng)為線性定常LTI，即：，即：Linear Time-Invariant系統(tǒng)。系統(tǒng)。假設(shè)這些元素中有些是時間假設(shè)這些元素中有些是時間 t 的函數(shù)，那么稱系統(tǒng)為線性時的函數(shù)，那么稱系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。變系統(tǒng)。嚴(yán)厲地說，一切物理系統(tǒng)都是非線性的?？梢杂孟旅娴男螤罘匠虈?yán)厲地說，一切物理系統(tǒng)都是非線性的?？梢杂孟旅娴男螤罘匠毯洼敵龇匠瘫硎?。假設(shè)不顯含和輸出方程表示。假設(shè)不顯含 t，那么稱為非線性定常系統(tǒng)。，那么稱為非線性定常系統(tǒng)。),(),(ttux,gyux,fx )()(ux,gyux,fx 1.1.3 形狀變量的選取形狀變量的選取1 形狀變量的

7、選取可以視問題的性質(zhì)和輸入特性而定形狀變量的選取可以視問題的性質(zhì)和輸入特性而定2形狀變量選取的非獨一性形狀變量選取的非獨一性3系統(tǒng)形狀變量的數(shù)目是獨一的系統(tǒng)形狀變量的數(shù)目是獨一的在前面的例子中，假設(shè)重新選擇形狀變量在前面的例子中，假設(shè)重新選擇形狀變量那么其形狀方程為那么其形狀方程為Cux 1Cuxx 12uLCxxLRLCxx101102121輸出方程為：輸出方程為：2101xxy1.1.4 形狀空間表達(dá)式建立的舉例形狀空間表達(dá)式建立的舉例例例1-1 1-1 建立右圖所示機械系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式建立右圖所示機械系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式注：質(zhì)量塊注：質(zhì)量塊 m m 的分量曾經(jīng)和彈簧的分量曾經(jīng)和彈簧

8、k k 的初始拉伸相的初始拉伸相抵消抵消根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律22dtydmdtdyfkyFF即：即：Fkydtdyfdtydm22選擇形狀變量選擇形狀變量yx 112xyx 21xx 那么：那么：FmxmfxmkFmdtdymfymkx11212機械系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為機械系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為Fmxxmfmkxx101021212101xxy該系統(tǒng)的形狀圖如下該系統(tǒng)的形狀圖如下例例1-2 1-2 建立電樞控制直流他勵電動機的形狀空間表達(dá)式建立電樞控制直流他勵電動機的形狀空間表達(dá)式電樞回路的電壓方程為電樞回路的電壓方程為DeDDDDuKiRdtdiL系統(tǒng)運動方程式為系統(tǒng)運動方程式為dtdJf

9、iKDDm式中，式中， 為電動勢常數(shù)；為電動勢常數(shù)； 為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；為轉(zhuǎn)矩常數(shù)； 為折合到電動為折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量；機軸上的轉(zhuǎn)動慣量； 為折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)。為折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)。eKmKDJf可選擇電樞電流可選擇電樞電流 和角速度和角速度 為形狀變量，電動機的電為形狀變量，電動機的電樞電壓樞電壓 為輸入量，角速度為輸入量，角速度 為輸出量。為輸出量。DiDuDiy10DDDDDmDeDDDuLiJfJKLKLRdtddtdi01形狀空間表達(dá)式形狀空間表達(dá)式形狀圖如下：形狀圖如下：例例1-3 1-3 建立單極倒立擺系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式。建立單極倒立擺系統(tǒng)的形狀空間

10、表達(dá)式。 單級倒立擺系統(tǒng)是控制實際運用的一個典型的對象模型。單級倒立擺系統(tǒng)是控制實際運用的一個典型的對象模型。設(shè)小球的重心坐標(biāo)為：設(shè)小球的重心坐標(biāo)為：(,)GGyz那那么么sinGyylcosGzl在程度方向，運用牛頓第二定律：在程度方向，運用牛頓第二定律：ulytmtyM)sin(dddd22222222dd(sin )cos( cos )sinsinddmyllmllmg ltt 轉(zhuǎn)動方向的力矩平衡方程式：轉(zhuǎn)動方向的力矩平衡方程式：2222dd( cos )( sin )( sin )ddGGyzmlmlmgltt 而有：而有：)(cos)(sinddt cos)sin()(sindd22

11、2t)sin()(cosddt )sin()cos()(cosdd222t1cos線性化：當(dāng)線性化：當(dāng) 和和 較小時較小時 ，有，有sin02化簡后，得化簡后，得umlymM )(mgmlym 求解得：求解得：uMMmgy1 uMlMlgmM1)( 選擇形狀變量選擇形狀變量 ， ， ， 為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)輸入， 為系統(tǒng)輸出為系統(tǒng)輸出yx 1yxx 123x 34xxuy;0100010000000010114321)(4321uxxxxxxxxMlMMlgmMMmg43210001xxxxy形狀圖為形狀圖為1.2 1.2 由微分方程求形狀空間表達(dá)式由微分方程求形狀空間表達(dá)式一個系統(tǒng)，用線性定常

12、微分方程描畫其輸入和輸出的關(guān)系。經(jīng)過選一個系統(tǒng)，用線性定常微分方程描畫其輸入和輸出的關(guān)系。經(jīng)過選擇適宜的形狀變量，就可以得到形狀空間表達(dá)式。擇適宜的形狀變量，就可以得到形狀空間表達(dá)式。這里分兩種情況：這里分兩種情況：1、微分方程中不含輸入信號導(dǎo)數(shù)項，即、微分方程中不含輸入信號導(dǎo)數(shù)項，即1.2.1 中的內(nèi)容中的內(nèi)容2、微分方程中含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項，即、微分方程中含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項，即1.2.2 中的內(nèi)容中的內(nèi)容1.2.1 微分方程中不含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項微分方程中不含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項首先調(diào)查三階系統(tǒng)，其微分方程為首先調(diào)查三階系統(tǒng)，其微分方程為ubyayayay0012 選取形狀變量選取形狀變量yx

13、 1yx2yx 3那么有那么有21xx 32xx ubxaxaxax03221103寫成矩陣方式寫成矩陣方式ubxxxaaaxxx032121032100100010321001xxxy形狀圖如下：形狀圖如下：普通情況下，普通情況下，n 階微分方程為：階微分方程為：ubyayayaynnn001)1(1)(選擇形狀變量如下：選擇形狀變量如下：yxxyxxyx 32211ubxaxaxayxyxxnnnnnnn012110)()1(1寫成矩陣方式：寫成矩陣方式：ubxxxaaaaaxxxnnn0211321021000100000010000010nxxy1001系統(tǒng)的形狀圖如下：系統(tǒng)的形狀圖如

14、下：1.2.2 微分方程中含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項微分方程中含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項首先調(diào)查三階系統(tǒng)，其微分方程為首先調(diào)查三階系統(tǒng)，其微分方程為ububububyayayay0123012 一待定系數(shù)法一待定系數(shù)法選擇形狀變量：選擇形狀變量：uxuuuyxuxuuyxuyx2221031110201 其中，待定系數(shù)為：其中，待定系數(shù)為：22110002120112022130aaabaababb于是于是uxaxaxaxuxxuxx33221103232121寫成矩陣方式寫成矩陣方式uuxxxaaaxxxbAxx321321210321100010duuxxxuxyCx032101001系統(tǒng)的形狀圖系統(tǒng)的形

15、狀圖普通情況下，普通情況下，n 階微分方程為：階微分方程為：ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(選擇選擇 n 個形狀變量為個形狀變量為uxxuxxuxxuyxnnn1122311201uxxxaaaaaxxxnnnnn121211321021100000010000010系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為uxxyn01001系統(tǒng)形狀圖如下系統(tǒng)形狀圖如下二輔助變量法二輔助變量法設(shè)設(shè) n 階微分方程為：階微分方程為：ubububyayayaynnnnn01)1(101)1(1)(Laplace變換，求傳送函數(shù)變換，求傳送函數(shù)1212101110( )( )nnnnnnnb

16、sbsbsbY sU ssasa sa引入輔助變量引入輔助變量 zuzazazaznnn01)1(1)(yzbzbzbnn01)1(1前往到微分方程方式：前往到微分方程方式：以及以及選擇形狀變量如下：選擇形狀變量如下：zxxzxxzx 32211ubxaxaxazxzxxnnnnnnn012110)()1(1nnnnxbxbxbzbzbzby1211001)1(1寫成矩陣方式寫成矩陣方式uxxxaaaaaxxxnnn1000100000010000010211321021nnxxbbby1110注：假設(shè)輸入項的導(dǎo)數(shù)階次和輸出項導(dǎo)數(shù)階次一樣，那么有注：假設(shè)輸入項的導(dǎo)數(shù)階次和輸出項導(dǎo)數(shù)階次一樣，那

17、么有d。0101110101)()(asasabsbsbdasasabsbsbsRsYnnnnnnnn例例1-4 1-4 知描畫系統(tǒng)的微分方程為知描畫系統(tǒng)的微分方程為uuyyyy64016064019218 試求系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式。試求系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式。解解 1待定系數(shù)法待定系數(shù)法選擇形狀變量如下選擇形狀變量如下uxxuxxuyx22311201其中其中224016018640160064001921600022110003100112022130aaabaababb于是系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為于是系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為uxxxxxx2240160018192640100010321321

18、321001xxxy2輔助變量法輔助變量法引入輔助變量引入輔助變量zuzzzz64019218 zzy640160選擇形狀變量選擇形狀變量zx 112xzx 23xzx 于是系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為于是系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為uxxxxxx100181926401000103213213210160640 xxxy1.3 1.3 傳送函數(shù)矩陣傳送函數(shù)矩陣傳送函數(shù)傳送函數(shù)系統(tǒng)初始松弛即：初始條件為零時，輸出量系統(tǒng)初始松弛即：初始條件為零時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。1.3.1 傳送函數(shù)傳送函數(shù)單入單入-單出線性定常系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為單出線性

19、定常系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為uyudCxbAxx在初始松弛時，求在初始松弛時，求Laplace變換，并且化簡變換，并且化簡形狀變量對輸入量形狀變量對輸入量(輸入到形狀輸入到形狀)的傳送函數(shù)的傳送函數(shù)bAIAIbAIGssssxudetadj)(1輸出量對輸入量輸出量對輸入量(輸入到輸出輸入到輸出)的傳送函數(shù)即：傳送函數(shù)的傳送函數(shù)即：傳送函數(shù)dbAIAICdbAICssssgyudetadj)(1例例1-5 1-5 系統(tǒng)形狀方程式為系統(tǒng)形狀方程式為u105610 xx x11y求系統(tǒng)傳送函數(shù)。求系統(tǒng)傳送函數(shù)。解：解：1056111)(11ssssgbAIC22151adj0065611 11 11

20、115656det65sssssssssss 1.3.2 傳送函數(shù)矩陣傳送函數(shù)矩陣DuCxyBuAxx 形狀空間表達(dá)式為形狀空間表達(dá)式為進(jìn)展拉普拉斯變換進(jìn)展拉普拉斯變換)()()0()(ssssBuAxxx)0()()(xBuxA-Isss1 AI s假設(shè)假設(shè) 存在，那么存在，那么)0()()(11xAIBuAIxssss假設(shè)假設(shè) ，那，那么么0)0(x)()()()(1sssssuGBuAIxxuBAIAIBAIGxussssdetadj)(1形狀變量對輸入向量形狀變量對輸入向量(輸入到形狀輸入到形狀)的傳送函數(shù)矩陣：的傳送函數(shù)矩陣：而而)()()(sssDuCxy)()(1sss-DuBu

21、AIC)()()(1ssss-uGDuBAICyu輸出對輸入向量輸出對輸入向量(輸入到輸出輸入到輸出)的傳送函數(shù)矩陣：的傳送函數(shù)矩陣：DBAIAICDBAICGyussssdetadj)(1)()()()()()()()()()(212222111211sgsgsgsgsgsgsgsgsgsmrmmrryuG其構(gòu)造為其構(gòu)造為式中，式中， 表示只需第表示只需第 j 個輸入作用時，第個輸入作用時，第 i 個輸出量個輸出量 對第對第 j 個輸入量個輸入量 的傳送函數(shù)。的傳送函數(shù)。)(sgij)(syi)(suj例例1-7 1-7 線性定常系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式為線性定常系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式為uxx1001

22、00211340010 xy100001求系統(tǒng)的傳送函數(shù)矩陣。求系統(tǒng)的傳送函數(shù)矩陣。解解10010021134001100001)(11sssssBAICGyu)4() 1(323116123sssssss1.3.3 正那么嚴(yán)厲正那么有理傳送函數(shù)矩陣正那么嚴(yán)厲正那么有理傳送函數(shù)矩陣假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) 時，時， 是有限常量，那么稱有理函數(shù)是有限常量，那么稱有理函數(shù) 是是正那么的。假設(shè)正那么的。假設(shè) ，那么稱，那么稱 是嚴(yán)厲正那么的。是嚴(yán)厲正那么的。s)(ijg)(sgij0)(ijg)(sgij非正那么傳送函數(shù)描畫的系統(tǒng)在實踐的控制工程中是不能運用的，非正那么傳送函數(shù)描畫的系統(tǒng)在實踐的控制工程中是不能

23、運用的，由于這時系統(tǒng)對高頻噪聲將會大幅度放大。例如微分器由于這時系統(tǒng)對高頻噪聲將會大幅度放大。例如微分器為非正那么系統(tǒng)，假設(shè)輸入信號帶有高頻污染為非正那么系統(tǒng)，假設(shè)輸入信號帶有高頻污染經(jīng)過微分器輸出經(jīng)過微分器輸出ssg)(tttu1000cos01. 0cos)(tttudtdty1000sin10sin)()(可見，在微分器輸入端，噪聲的幅值只是有效信號幅值的百分可見，在微分器輸入端，噪聲的幅值只是有效信號幅值的百分之一，輸出端噪聲的幅值卻是有效信號幅值的之一，輸出端噪聲的幅值卻是有效信號幅值的10倍，信噪比變倍，信噪比變得很小。得很小。1.3.4 閉環(huán)系統(tǒng)傳送函數(shù)矩陣閉環(huán)系統(tǒng)傳送函數(shù)矩陣)

24、()()(sssBuE)()()()()()(ssssssEGHyHB)()()()()(1sssssuGHGIy于是閉環(huán)系統(tǒng)的傳送矩陣為于是閉環(huán)系統(tǒng)的傳送矩陣為)()()()(1ssssGHGIGH或或1)()()()(ssssGHIGGH1.3.5 傳送函數(shù)矩陣描畫和形狀空間描畫的比較傳送函數(shù)矩陣描畫和形狀空間描畫的比較1傳送函數(shù)是系統(tǒng)在初始松弛的假定下輸入傳送函數(shù)是系統(tǒng)在初始松弛的假定下輸入-輸出間的關(guān)系描畫，輸出間的關(guān)系描畫，非初始松弛系統(tǒng)，不能運用這種描畫；形狀空間表達(dá)式即可以描畫非初始松弛系統(tǒng)，不能運用這種描畫；形狀空間表達(dá)式即可以描畫初始松弛系統(tǒng)，也可以描畫非初始松弛系統(tǒng)。初始松

25、弛系統(tǒng)，也可以描畫非初始松弛系統(tǒng)。2傳送函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；而形狀空間表達(dá)式可以在定傳送函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；而形狀空間表達(dá)式可以在定常系統(tǒng)中運用，也可以在時變系統(tǒng)中運用。常系統(tǒng)中運用，也可以在時變系統(tǒng)中運用。3對于數(shù)學(xué)模型不明的線性定常系統(tǒng)，難以建立形狀空間表達(dá)式；對于數(shù)學(xué)模型不明的線性定常系統(tǒng)，難以建立形狀空間表達(dá)式；用實驗法獲得頻率特性，進(jìn)而可以獲得傳送函數(shù)。用實驗法獲得頻率特性，進(jìn)而可以獲得傳送函數(shù)。4傳送函數(shù)僅適用于單入單出系統(tǒng)；形狀空間表達(dá)式可用于多入傳送函數(shù)僅適用于單入單出系統(tǒng)；形狀空間表達(dá)式可用于多入多出系統(tǒng)的描畫。多出系統(tǒng)的描畫。5傳送函數(shù)只能給出系統(tǒng)的輸出信息；而

26、形狀空間表達(dá)式不僅給傳送函數(shù)只能給出系統(tǒng)的輸出信息；而形狀空間表達(dá)式不僅給出輸出信息，還可以提供系統(tǒng)內(nèi)部形狀信息。出輸出信息，還可以提供系統(tǒng)內(nèi)部形狀信息。 綜上所示，傳送函數(shù)矩陣和形狀空間表達(dá)式這兩種描畫各綜上所示，傳送函數(shù)矩陣和形狀空間表達(dá)式這兩種描畫各有所長，在系統(tǒng)分析和設(shè)計中都得到廣泛運用。有所長，在系統(tǒng)分析和設(shè)計中都得到廣泛運用。1.4 1.4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描畫離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描畫1.4.1 形狀空間表達(dá)式形狀空間表達(dá)式首先，調(diào)查三階差分方程首先，調(diào)查三階差分方程1. 差分方程中不含有輸入量差分項差分方程中不含有輸入量差分項)()() 1()2()3(0012kubkyakyakyak

27、y選取形狀變量選取形狀變量)()(1kykx) 1() 1()(12kxkykx) 1()2()(23kxkykx)()()()()3() 1(01021323kubkxakxakxakykx寫成矩陣方式寫成矩陣方式)(00)()()(100010) 1() 1() 1(0321210321kubkxkxkxaaakxkxkx可以表示為可以表示為)()() 1(kukkHGxx)()()()(321kxkxkxkx其中其中210100010aaaG000bH輸出方程輸出方程)()()(001)(321kxkxkxky或者或者)()(kkyCx其中其中001C推行到推行到n階線性定常差分方程所描

28、畫的系統(tǒng)階線性定常差分方程所描畫的系統(tǒng))()() 1() 1()(0011kubkyakyankyankyn選取形狀變量選取形狀變量 ， ， ，)(ky) 1( ky) 1(nky系統(tǒng)形狀方程系統(tǒng)形狀方程)(000)()()(100000010000010) 1() 1() 1(0211321021kubkxkxkxaaaaakxkxkxnnn)()()(001)(21kxkxkxkyn輸出方程輸出方程2. 差分方程中含有輸入量差分項差分方程中含有輸入量差分項)() 1()2()3()() 1()2()3(0123012kubkubkubkubkyakyakyaky先調(diào)查先調(diào)查3階線性定常差分

29、方程階線性定常差分方程選擇形狀變量選擇形狀變量)()()(01kukykx)() 1()() 1() 1()(11102kukxkukukykx)() 1()2()2()(2103kukukukykx)() 1(22kukx待定系數(shù)為：待定系數(shù)為：30b0221ab 120112aab22110003aaab)()()()(100010) 1() 1() 1(321321210321kukxkxkxaaakxkxkx系統(tǒng)形狀方程為系統(tǒng)形狀方程為)()() 1(kukkHGxx即：即：輸出方程為輸出方程為)()()()(001)(0321kukxkxkxky即：即：)()()(kdukkyCx多

30、輸入多輸入-多輸出線性時變離散系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式多輸出線性時變離散系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式)()()()() 1(kkkkkuHxGx)()()()()(kkkkkyuDxC)(kG)(kH)(kC)(kD當(dāng)當(dāng) 、 、 和和 的諸元素與時辰的諸元素與時辰 無關(guān)無關(guān)時，即得線性定常離散系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式時，即得線性定常離散系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式 k)()() 1(kkkHuGxx)()()(kkkyDuCx1.4.2 脈沖傳送函數(shù)矩陣脈沖傳送函數(shù)矩陣對線性定常離散系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式進(jìn)展對線性定常離散系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式進(jìn)展 z 變換變換)()()0()(zzzzzHuGxxx)0()()(xHuxGIzzz

31、z假設(shè)假設(shè) 存在，那么存在，那么1GI s)0()()(11xGIHuGIzszszx假設(shè)初始松弛，那么假設(shè)初始松弛，那么)()()()(1zzzszuGHuGIxxuHGIGxu1)( sz其中，其中， 為系統(tǒng)形狀對輸入量的脈沖傳送函數(shù)矩陣為系統(tǒng)形狀對輸入量的脈沖傳送函數(shù)矩陣 )()()()()()(1zzzzzzzuGuDHGICDuCxyyu系統(tǒng)輸出向量對輸入向量的脈沖傳送函數(shù)矩陣系統(tǒng)輸出向量對輸入向量的脈沖傳送函數(shù)矩陣DHGICGyu1)(zz例例1-9 1-9 知線性定常離散系統(tǒng)方程為知線性定常離散系統(tǒng)方程為)(10)(3 . 04 . 010) 1(kukkxx)(1011)(kk

32、xy求其脈沖傳送函數(shù)矩陣求其脈沖傳送函數(shù)矩陣解解103 . 04 . 011011)(11zzzzHGICGyu)5 . 0)(8 . 0()5 . 0)(8 . 0(1zzzzzz對于對于SISO線性定常離散系統(tǒng)線性定常離散系統(tǒng))()() 1(kukkhGxx)()()(kdukkyCx系統(tǒng)脈沖傳送函數(shù)為系統(tǒng)脈沖傳送函數(shù)為dzzgyuhGIC1)(1.5 1.5 線性變換線性變換 我們知道，形狀變量的選取是非獨一的。選擇不同的形狀變量，我們知道，形狀變量的選取是非獨一的。選擇不同的形狀變量，那么得到的形狀空間表達(dá)式也不一樣。那么得到的形狀空間表達(dá)式也不一樣。 由于它們都是同一個系統(tǒng)的形狀空間

33、描畫，它們之間必然存在由于它們都是同一個系統(tǒng)的形狀空間描畫，它們之間必然存在某種關(guān)系。這個關(guān)系就是矩陣中的線性變換關(guān)系。某種關(guān)系。這個關(guān)系就是矩陣中的線性變換關(guān)系。求線性變換的目的：將系統(tǒng)矩陣變成為規(guī)范形，便于求解形狀方程。求線性變換的目的：將系統(tǒng)矩陣變成為規(guī)范形，便于求解形狀方程。1.5.1 等價系統(tǒng)方程等價系統(tǒng)方程1. 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)DuCxyBuAxx 1 為n 維形狀向量； 為r 維輸入向量； 為m維輸出向量； 、 、 、 為相應(yīng)維數(shù)的矩陣。xuyABCD引入非奇特變換矩陣引入非奇特變換矩陣PPxx 或者或者xPx1-代入方程代入方程1uBxAPBuxPAPx1uDxCDux

34、CPy1其中其中1 PAPAPBB 1CPCDD 于是，系統(tǒng)形狀方程變?yōu)橛谑牵到y(tǒng)形狀方程變?yōu)閡DxCyuBxAx2方程方程1與方程與方程2互為等價方程互為等價方程2. 線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)uDxCyuBxAx)()()()(tttt3引入變換矩陣引入變換矩陣)(tPxPx)(t或者或者xPx)(1t-對上式求導(dǎo)并代入對上式求導(dǎo)并代入)()()()()()()(1uBxAPxPPxPxPxttttttt-uBxAuBPxPAPxPP)()()()()()()()()(11ttttttttt-可以得到可以得到)()()()()()()()()()(111tttttttttt-PAPPPAPP

35、PA)()()(tttBPB又由又由uDxCuDxPCuDxC)()()()()()()()(1tttttttty可以得到可以得到)()()(1tttPCC)()(ttDDuDxCyuBxAx)()()()(tttt4方程方程3與方程與方程4互為等價方程互為等價方程1.5.2 線性變換的根本性質(zhì)線性變換的根本性質(zhì)1. 線性變換不改動系統(tǒng)的特征值線性變換不改動系統(tǒng)的特征值DuCxyBuAxx 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為012211det)(aaaannnAI0)(1nii等價系統(tǒng)的特征方程為等價系統(tǒng)的特征方程為)det()det()det()(111-PAPPPPA

36、PIAI0)det(det)det(det1AIPAIP-可見線性變換不改動系統(tǒng)的特征值可見線性變換不改動系統(tǒng)的特征值2. 線性變換不改動系統(tǒng)的傳送函數(shù)矩陣線性變換不改動系統(tǒng)的傳送函數(shù)矩陣BAICGyu1)(ss時的傳送函數(shù)矩陣時的傳送函數(shù)矩陣0D)()()(1111111111sssssss-yuyuGBAICBAIPPCBPPAPIPCPBPAPICPBAICG可見，經(jīng)過線性變換，系統(tǒng)的傳送函數(shù)矩陣不改動可見，經(jīng)過線性變換，系統(tǒng)的傳送函數(shù)矩陣不改動1.5.3 化系數(shù)矩陣化系數(shù)矩陣 A 為規(guī)范形為規(guī)范形所謂規(guī)范形是指：對角形、約當(dāng)形、模態(tài)形所謂規(guī)范形是指：對角形、約當(dāng)形、模態(tài)形i設(shè)設(shè) 是是

37、矩陣矩陣 A 的特征值，假設(shè)存在一個的特征值，假設(shè)存在一個n 維非零向量維非零向量 使使 nniqiiiqAq ), 2 , 1(ni或或0)(iiqAI成立，那么稱成立，那么稱 為為 A 的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值 的特征向量的特征向量 iqi而而1. 化矩陣化矩陣 A 為對角陣為對角陣假設(shè)假設(shè)n 個特征值互異，那么令個特征值互異，那么令nqqqQ211211-n-qqqQPn21001PAP例例1-10 1-10 將矩陣將矩陣 化為對角陣化為對角陣3210A解解0)2)(1(321detdetAI1122解出解出111q212q211121qqQ變換矩陣變換矩陣1112211111QP2

38、0012111321011121PAP假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣 A 具有這樣方式具有這樣方式110101000010naaaA范德蒙特矩陣范德蒙特矩陣112112222121111nnnnnnQ變換矩陣變換矩陣11121122221211111-nnnnnn-QP2. 化矩陣化矩陣 A 為約當(dāng)形為約當(dāng)形假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣 A 有重特征值，并且獨立特征向量的個數(shù)小于有重特征值，并且獨立特征向量的個數(shù)小于n ,這這時不能化為對角陣，只能化為約當(dāng)形。時不能化為對角陣，只能化為約當(dāng)形。11110101PAPJnn nnnnA11121210101qqqqqq確定變換矩陣確定變換矩陣可以得到：可以得到：011qA

39、I121qqAI231qqAI11nnqqAI變換矩陣為變換矩陣為1211nqqqQP例例1-12 1-12 化矩陣化矩陣 為規(guī)范為規(guī)范形矩陣形矩陣452100010A解解0)2() 1(4521001detdet2AI得出得出121 23求二重特征根對應(yīng)的特征向量求二重特征根對應(yīng)的特征向量011qAI035211001145210001010001000111qq得到得到1111q而由而由121qqAI1113521100112q得到得到2102q求特征值求特征值 對應(yīng)的特征向量對應(yīng)的特征向量3033qAI02521100113q得到得到4213q因此因此421211101321qqqQ12

40、113212042121110111QP2000100114212111014521000101211321201PAPJ設(shè)特征值為設(shè)特征值為j1j2當(dāng)特征值為共軛復(fù)數(shù)時，可以將矩陣化為模態(tài)陣當(dāng)特征值為共軛復(fù)數(shù)時，可以將矩陣化為模態(tài)陣3. 化矩陣化矩陣 A 為模態(tài)陣為模態(tài)陣在此情況下，在此情況下， A 的模態(tài)形為的模態(tài)形為M設(shè)設(shè) 為對應(yīng)于為對應(yīng)于 的特征向量，那么的特征向量，那么1qj111jAqq 令令111jq那那么么11Q 1111-QP變換矩陣變換矩陣?yán)?-13 1-13 將將 化為化為模態(tài)形模態(tài)形41712A解解025641712det)(2特征值為特征值為431j432j2211

41、2211jj41712jj)43(解得解得40j1112111qqq因此因此4101Q4141011-QP34431PAP1.6 1.6 組合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描畫組合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描畫 工程中較為復(fù)雜的系統(tǒng)，通常是由假設(shè)干個子系統(tǒng)按某種方工程中較為復(fù)雜的系統(tǒng)，通常是由假設(shè)干個子系統(tǒng)按某種方式銜接而成的。這樣的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。式銜接而成的。這樣的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。 組合系統(tǒng)方式很多，在大多數(shù)情況下，它們由并聯(lián)、串聯(lián)和組合系統(tǒng)方式很多，在大多數(shù)情況下，它們由并聯(lián)、串聯(lián)和反響等反響等3種銜接方式構(gòu)成的。種銜接方式構(gòu)成的。 下面以兩個子系統(tǒng)下面以兩個子系統(tǒng) 和和 構(gòu)成的組合系統(tǒng)進(jìn)展引見。構(gòu)成的組合系統(tǒng)進(jìn)展引見

42、。1S2S的系統(tǒng)方程為的系統(tǒng)方程為1S11111uBxAx11111uDxCy傳送函數(shù)矩陣為傳送函數(shù)矩陣為111111)(DBAICGss的系統(tǒng)方程為的系統(tǒng)方程為2S22222uBxAx22222uDxCy傳送函數(shù)矩陣為傳送函數(shù)矩陣為221222)(DBAICGss1.6.1 并聯(lián)銜接并聯(lián)銜接21uuu21yyy系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程uAA2121212100BBxxxxuDDxxCC212121y)()(00)(212212211111212112121sssssssyuGGDBAICDBAICDDBBAIAICCG傳送函數(shù)矩陣傳送函數(shù)矩陣1.6.2 串聯(lián)銜接串聯(lián)銜接uBxAuBxAx111111

43、11uDxCuDxCy11111111uDBxCBxAuDxCBxAyBxAuBxAx1211222111222122222222uDDxCDxCuDxCDxCyDxCuDxCy1211222111222122222222串連組合后系統(tǒng)方程串連組合后系統(tǒng)方程uAA121212121210DBBxxCBxxuDDxxCCDy1221212傳送函數(shù)矩陣傳送函數(shù)矩陣)()()()()()()()(1212ssssssssyyuuGuGGyG所以所以)()()(12sssyuGGG1.6.3 反響銜接反響銜接組合后系統(tǒng)方程為組合后系統(tǒng)方程為uAA012121221121BxxCBCB-xx2110 x

44、xCy傳送函數(shù)矩陣為傳送函數(shù)矩陣為)()()()(1121sssIs-yuGGGG或或)()()()(1112sssIs-yuGGGG1-1251-126121)()(sGsGI 該當(dāng)指出，在反響銜接的組合系統(tǒng)中，該當(dāng)指出，在反響銜接的組合系統(tǒng)中，或或 存在的條件是至關(guān)重要的。否那么反響系統(tǒng)對存在的條件是至關(guān)重要的。否那么反響系統(tǒng)對于于某些輸入就沒有一個滿足式某些輸入就沒有一個滿足式1-125或式或式1-126的輸出。就這的輸出。就這個意義來說，反響銜接就變得無意義了。個意義來說，反響銜接就變得無意義了。112)()(sGsGI1.7 1.7 利用利用MATLABMATLAB進(jìn)展模型轉(zhuǎn)換進(jìn)展模

45、型轉(zhuǎn)換1.7.1 傳送函數(shù)與形狀空間表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換傳送函數(shù)與形狀空間表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換1. 延續(xù)系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式延續(xù)系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式 MATLAB是當(dāng)今世界上最優(yōu)秀的科技運用軟件之一，它以強大是當(dāng)今世界上最優(yōu)秀的科技運用軟件之一，它以強大的科學(xué)計算才干和可視化功能，簡單易用的編程言語以及開放式的的科學(xué)計算才干和可視化功能，簡單易用的編程言語以及開放式的編程環(huán)境等一些顯著的優(yōu)點，使得它在當(dāng)今許許多多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域編程環(huán)境等一些顯著的優(yōu)點，使得它在當(dāng)今許許多多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中成為計算機輔助分析和設(shè)計、算法研討和運用開發(fā)的根本工具和中成為計算機輔助分析和設(shè)計、算法研討和運用開發(fā)的根本工具和首選平臺。

46、在本書中，用它作為系統(tǒng)分析和設(shè)計的軟件平臺，更顯首選平臺。在本書中，用它作為系統(tǒng)分析和設(shè)計的軟件平臺，更顯示出獨特的優(yōu)勢。示出獨特的優(yōu)勢。 本節(jié)利用本節(jié)利用MATLAB實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換。實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換。 可以用可以用ss命令來建立形狀空間模型。對于延續(xù)系統(tǒng)，其格命令來建立形狀空間模型。對于延續(xù)系統(tǒng)，其格式為式為 sys=ss(A,B,C,D)，其中，其中A，B，C，D為描畫線性延續(xù)系為描畫線性延續(xù)系統(tǒng)的矩陣。統(tǒng)的矩陣。 當(dāng)當(dāng)sys1是一個用傳送函數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)時，可以用是一個用傳送函數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)時，可以用命令命令sys=ss(sys1)，將其轉(zhuǎn)換成為形狀空間方式。也可以用命

47、，將其轉(zhuǎn)換成為形狀空間方式。也可以用命令令sys=ss(sys1,min)計算出系統(tǒng)計算出系統(tǒng)sys的最小實現(xiàn)。的最小實現(xiàn)。例例1-15 1-15 控制系統(tǒng)微分方程為控制系統(tǒng)微分方程為uuuuyyyyy2424724503510)4( 求其形狀空間表達(dá)式。求其形狀空間表達(dá)式。解解可以先將其轉(zhuǎn)換成傳送函數(shù)可以先將其轉(zhuǎn)換成傳送函數(shù) 2450351024247)()()(23423ssssssssusysG輸入以下命令輸入以下命令語句執(zhí)行結(jié)果為語句執(zhí)行結(jié)果為這個結(jié)果表示，該系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為這個結(jié)果表示，該系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為uyu01875. 0375. 04375. 01000102000

48、040000161875. 07813. 0188. 210 xxx 留意，在輸入命令中，留意，在輸入命令中，sys=ss(G)也可以改用也可以改用A,B,C,D=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和，在本例中其作用和sys=ss(G)近近似，也可以計算出矩陣似，也可以計算出矩陣A、B、C、D。2. 離散系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式離散系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式離散系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為離散系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為 )()()()()() 1(kdukCxkykHukGxkx 和延續(xù)系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式的輸入方法相類似，假設(shè)要輸入和延續(xù)系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式的輸入方法相類似，假設(shè)要輸入離散系統(tǒng)的形狀空間表

49、達(dá)式，首先需求輸入矩陣離散系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式，首先需求輸入矩陣G、H、C、d，然后輸入語句然后輸入語句 ，即可將其輸入到，即可將其輸入到MATLAB的的workspace中，并且用變量名來表示這個離散系統(tǒng)，其中中，并且用變量名來表示這個離散系統(tǒng)，其中T為采為采樣時間。假設(shè)樣時間。假設(shè)Gyu表示一個以脈沖傳送函數(shù)描畫的離散系統(tǒng)，也表示一個以脈沖傳送函數(shù)描畫的離散系統(tǒng)，也可以用可以用ss(Gyu )命令，將脈沖傳送函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成形狀空間表達(dá)命令，將脈沖傳送函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成形狀空間表達(dá)式。式。),(TdCHGsssys 例例1-16 1-16 假設(shè)某離散系統(tǒng)的脈沖傳送函數(shù)為假設(shè)某離散系統(tǒng)的脈沖傳送函

50、數(shù)為47. 022. 298. 323. 389. 038. 057. 031. 0)(23423zzzzzzzzGyu采樣周期為采樣周期為 ，將其輸入到，將其輸入到MATLAB的的workspace中，并且中，并且繪制零、極點分布圖。并且將該離散系統(tǒng)脈沖傳送函數(shù)模型轉(zhuǎn)換繪制零、極點分布圖。并且將該離散系統(tǒng)脈沖傳送函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成形狀空間表達(dá)式。成形狀空間表達(dá)式。sT1 . 0 解解 輸入以下語句輸入以下語句語句執(zhí)行的結(jié)果為語句執(zhí)行的結(jié)果為再輸入語句再輸入語句 ，繪制出零、極點分布圖如下，繪制出零、極點分布圖如下在執(zhí)行完上述語句后，在執(zhí)行完上述語句后，Gyu曾經(jīng)存在于曾經(jīng)存在于MATLAB的的workspace中，這時再執(zhí)行語句中，這時再執(zhí)行語句執(zhí)行結(jié)果為執(zhí)行結(jié)果為 結(jié)果表示，離散系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為結(jié)果表示，離散系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為)(0001)(05