圣維南原理學習教案

1、圣維南原理圣維南原理(yunl)第一頁，共46頁。2.圣維南原理圣維南原理(yunl)(Saint-Venant Principle)原理原理(yunl)：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應力但靜力等效的面力，則近處的應力(yngl)分布將有顯分布將有顯著改變，而遠處所受的影響可忽略不計。著改變，而遠處所受的影響可忽略不計。PPPP/2P/2APAPAP第1頁/共46頁第二頁，共46頁。3.圣維南原理圣維南原理(yunl)的的應用應用(1)對復雜的力邊界，用靜力等效對復雜的力邊界，用靜力等效(dn xio)的

2、分布面力代替。的分布面力代替。(2)有些位移邊界有些位移邊界(binji)不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項注意事項：(1)必須滿足必須滿足靜力等效靜力等效條件；條件；(2)只能在只能在次要邊界上次要邊界上用圣維南原理，在用圣維南原理，在主要邊界主要邊界上不能使用上不能使用。如：如：AB主要邊界主要邊界PAP次要邊界次要邊界第2頁/共46頁第三頁，共46頁。例例圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用頂部受集中力作用(zuyng)。試寫出。試寫出水壩的應力邊界條件。水壩的應力邊界條件。左側(cè)

3、左側(cè)(zu c)面：面：0, 1ml0YXYlmXmlsxysysxysx)()()()(代入應力代入應力(yngl)邊界條件公邊界條件公式式0hxxyhxxy右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1ml0,YyX代入應力邊界條件公式，有代入應力邊界條件公式，有00hxxyhxx上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(sinP對對O點的力矩等效：點的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必須按正向假設！必須按正向假設！第3頁/共46頁第四頁，共

4、46頁。yPxyyx上端面上端面(dunmin)：（方法（方法(fngf)2）取圖示微元體，取圖示微元體，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhyy0sinP 0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可見可見(kjin)，與前面結(jié)果相同。，與前面結(jié)果相同。由微元體的平衡求得，由微元體的平衡求得，第4頁/共46頁第五頁，共46頁。2-8 平面問題應力平面問題應力(yngl)解解法法上節(jié)回顧上節(jié)回顧(hug)應力應力(yngl)解解法法應力函數(shù)應力函數(shù)第5頁/共46頁第六頁，共46頁。上節(jié)回顧上節(jié)回顧(hu

5、g)基本方程基本方程平衡方程平衡方程幾何方程幾何方程物理方程物理方程邊界條件邊界條件位移邊界位移邊界混合邊界混合邊界應力邊界應力邊界彈性力學問題的解彈性力學問題的解第6頁/共46頁第七頁，共46頁?；净?jbn)方程方程1、平衡、平衡(pnghng)方程方程00YyxXyxyxyxyx2、幾何、幾何(j h)方程方程yuxvyvxuxyyx3、物理方程、物理方程GEExyxyxyyyxx)(1)(1yxxyxyyx22222第7頁/共46頁第八頁，共46頁。應變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的必要應變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的必要(byo)(byo)和充分條件。和充分條件。第8頁/共46頁第九頁，共46頁。

6、 例例 設設 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,=0,求其位移求其位移(wiy)(wiy)。 解：解：)(232yfxu顯然該應變分量沒有顯然該應變分量沒有(mi yu)(mi yu)對應的位移對應的位移。要使這一方程組不矛盾，則要使這一方程組不矛盾，則3 3個應變分量必須個應變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件。件。 xxux3yyvy2)(2xgyvxyxgyfyuxvxy)( )( 第9頁/共46頁第十頁，共4

7、6頁。)(22222yuxvyxyxxyyxxy2第10頁/共46頁第十一頁，共46頁。變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程(fngchng)(fngchng)的數(shù)學意義的數(shù)學意義使使2 2個位移為未知函數(shù)的個位移為未知函數(shù)的3 3個幾何方程個幾何方程(fngchng)(fngchng)不相矛盾。不相矛盾。變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程(fngchng)(fngchng)的物理意義的物理意義物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關系，變形后的單元如變形不滿足一定的關系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌

8、入現(xiàn)象?？p隙或嵌入現(xiàn)象。為使變形后的物體保持連續(xù)體，應變分量為使變形后的物體保持連續(xù)體，應變分量必須滿足一定的關系。必須滿足一定的關系。 第11頁/共46頁第十二頁，共46頁。彈性力學彈性力學(l xu)求解方求解方法法應力求解：應力求解：位移求解：位移求解：應力應力應變應變位移位移幾何方程幾何方程協(xié)調(diào)條協(xié)調(diào)條件件物理方物理方程程位移位移應變應變應應力力物理方物理方程程幾何方程幾何方程第12頁/共46頁第十三頁，共46頁。未知數(shù)未知數(shù)3個個x、y、xy，須聯(lián)立平衡，須聯(lián)立平衡(pnghng)方程與變形協(xié)調(diào)條件，以平面方程與變形協(xié)調(diào)條件，以平面應力問題為例，應力問題為例，將虎克定律代入應變協(xié)調(diào)條

9、件得到：將虎克定律代入應變協(xié)調(diào)條件得到：yxxyxyxyyx22222)1 ( 2)()(第13頁/共46頁第十四頁，共46頁。yYxXyxyxYyxXxyyxxyyxyxxy222222移項移項(y xin)，展開，化簡后，最，展開，化簡后，最后可得：后可得：利用利用(lyng)平衡方程式消去上式平衡方程式消去上式的的 xyyYxXyxyx)1 ()(2222(1)第14頁/共46頁第十五頁，共46頁。yYxXyxyx11)(2222(2)平面應力平面應力(yngl)情形情形控制方程控制方程平面應變情形平面應變情形控制控制(kngzh)方程方程/1-第15頁/共46頁第十六頁，共46頁。當體

10、力當體力(tl)為常力，則式（為常力，則式（1）和式（）和式（2）可寫成：）可寫成：0)(2222yxyx(3-a)或用拉普拉斯算子或用拉普拉斯算子(sun z)寫成：寫成：0)(2yx（3-b)第16頁/共46頁第十七頁，共46頁。把平衡方程和應力表示的應變協(xié)調(diào)把平衡方程和應力表示的應變協(xié)調(diào)(xitio)方程寫在一起，方程寫在一起，有：有：0)(002222yxyxyxyxyxYyxXyx（4）應力(yngl)邊界條件YmlXmlyxyyxx（5）彈性(tnxng)力學解彈性力學問題解第17頁/共46頁第十八頁，共46頁。充分充分(chngfn)且必要條件且必要條件彈性彈性(tnxng)力學

11、問題解答力學問題解答式（式（4）式（式（5）第18頁/共46頁第十九頁，共46頁。例例 如圖所示薄片，周邊作用有法向均布荷載如圖所示薄片，周邊作用有法向均布荷載(hzi)q,不計體力，試證明下列一組應力分量是本問題的解答。不計體力，試證明下列一組應力分量是本問題的解答。0,xyyxqqoxyqA第19頁/共46頁第二十頁，共46頁。解解分析：欲證明是否分析：欲證明是否(sh fu)彈性力學解答，只需證彈性力學解答，只需證明在彈性體內(nèi)部滿足式明在彈性體內(nèi)部滿足式(4),在應力邊界上能夠滿足在應力邊界上能夠滿足式式(5)將這組應力分量代入式（將這組應力分量代入式（4），式（），式（4)中三式恒滿足

12、中三式恒滿足1）第20頁/共46頁第二十一頁，共46頁。代入應力代入應力(yngl)邊界條件，有邊界條件，有YqmlXqmlyyxyxx)90cos(00cos0證畢證畢XxyxxynAYqy再考察再考察(koch)邊界條件，取邊界上邊界條件，取邊界上A點，有點，有sin,cosqYqX2）)90cos(,cos0ml第21頁/共46頁第二十二頁，共46頁。0)(002222yxyxyxyxyxYyxXyx（4）第22頁/共46頁第二十三頁，共46頁。00yxyxyyxyxx(a)由第一由第一(dy)式式y(tǒng)xyxx)(引入函數(shù)引入函數(shù)(hnsh)A, 使使xAyAyxx,(b)第23頁/共46

13、頁第二十四頁，共46頁。由第二由第二(d r)式式引入函數(shù)引入函數(shù)(hnsh)B, 使使 xyxyy)(yBxBxyy,(c),yBxA再引入函數(shù)再引入函數(shù)(hnsh), 使使xByA,(d)第24頁/共46頁第二十五頁，共46頁。（d）代入（）代入（b)、（、（c）式，得到）式，得到(d do)：,22222yxxyyxyx(e)如果考察如果考察(koch)體積力，且體積力為常量時，滿體積力，且體積力為常量時，滿足平衡方程還必須加上一組特解，即足平衡方程還必須加上一組特解，即0,xyyxYyXx(f)第25頁/共46頁第二十六頁，共46頁。最后得到最后得到(d do)構(gòu)成滿足滿足平衡方程的通

14、構(gòu)成滿足滿足平衡方程的通解為：解為：yxYyxXxyyxyx22222(6)式（式（6）等價）等價(dngji)于平于平衡方程，衡方程，稱為應力函數(shù)稱為應力函數(shù)第26頁/共46頁第二十七頁，共46頁。將（將（6）式代入（）式代入（4）的第三）的第三(d sn)式式022222222yxyx022或?qū)懟驅(qū)懗沙?7)應力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方應力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程程雙調(diào)和方程雙調(diào)和方程第27頁/共46頁第二十八頁，共46頁。小結(jié)小結(jié)(xioji)：0)(002222yxyxyxyxyxYyxXyx022yxYyxXxyyxyx22222應力函數(shù)解法應力函數(shù)解法應力解法應力解法應力應力(yngl)邊界邊界

15、條件條件第28頁/共46頁第二十九頁，共46頁。幾點討論幾點討論(toln)：（1） 應力解答應力解答x 、 y 、 xy在體積在體積(tj)力力為常量時與材料性質(zhì)無關。為常量時與材料性質(zhì)無關。光彈性實驗的理論基礎光彈性實驗的理論基礎研究大壩的應力分布常常用石膏材料或光學研究大壩的應力分布常常用石膏材料或光學性能好的環(huán)氧樹脂，而不用混凝土材料性能好的環(huán)氧樹脂，而不用混凝土材料第29頁/共46頁第三十頁，共46頁。分析：量綱為分析：量綱為N，在平面問題，在平面問題(wnt)中，邊界面力中，邊界面力NL-2，集中力，集中力NL-1 ，彎矩，彎矩N，應力函數(shù)是對平面內(nèi)某一點的應力函數(shù)是對平面內(nèi)某一點

16、的矩矩。（2）應力函數(shù)物理(wl)意義第30頁/共46頁第三十一頁，共46頁。(3). 應力函數(shù)應力函數(shù)(hnsh) 求解方求解方法法),(yx逆解法逆解法(ji f)半逆解法半逆解法(ji f)第31頁/共46頁第三十二頁，共46頁。1. 按位移按位移(wiy)求解平面問題的基本方求解平面問題的基本方程程（1）將平衡）將平衡(pnghng)方程方程用位移表示用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由應變表示由應變表示(biosh)的物理的物理方程方程（2-19）2-9 2-9 按位移求解平面問題按位移求解平面問題第32頁/共46頁第三十三頁，共46頁。將幾何將幾何(j

17、h)方程代入，有方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2將式將式(a)代入平衡代入平衡(pnghng)方程，化簡有方程，化簡有021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-20）（a）第33頁/共46頁第三十四頁，共46頁。（2）將邊界條件用位移）將邊界條件用位移(wiy)表示表示位移位移(wiy)邊界條件：邊界條件：vvuuss,應力應力(yngl)邊界條件：邊界條件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(將式（將式（a）代入，得）代入，得YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122

18、（2-21）（2-17）第34頁/共46頁第三十五頁，共46頁。式（式（2-20）、（）、（2-17）、（）、（2-21）構(gòu)成按位移求解問題的基本）構(gòu)成按位移求解問題的基本(jbn)方程方程說明說明(shumng)：（1）對平面應變問題）對平面應變問題(wnt)，只需將式中的，只需將式中的E、作相替換即可。作相替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuEvvuuss,YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122第35頁/共

19、46頁第三十六頁，共46頁。本本 章章 小小 結(jié)結(jié)1.兩類平面兩類平面(pngmin)問題：問題：平面應力平面應力(yngl)問題；平面應變問題；平面應變問題。問題。（兩類平面（兩類平面(pngmin)問題中基本方程的異問題中基本方程的異同）同）2.平面問題的基本方程平面問題的基本方程：平衡方程、幾何方程、物理方程、邊界條件（位移、應力）。平衡方程、幾何方程、物理方程、邊界條件（位移、應力）。（幾何特點、受力特點、應力或應變特點）（幾何特點、受力特點、應力或應變特點）第36頁/共46頁第三十七頁，共46頁。第37頁/共46頁第三十八頁，共46頁。應力函數(shù)表示應力函數(shù)表示(biosh)的應力分量

20、表達的應力分量表達式：式：Yyxy22Xxyx22yxxy2常體力常體力(tl)下的簡化；下的簡化；應力函數(shù)的求解應力函數(shù)的求解(qi ji)方方法：法：（逆解法、半逆解法。）（逆解法、半逆解法。）3.平面問題的求解平面問題的求解（1）按位移求解平面問按位移求解平面問題題（2） 按應力求解平面問題按應力求解平面問題基本方程：基本方程：（1）用位移表示的平衡微分方程；）用位移表示的平衡微分方程；（2）用位移表示的應力邊界條件；）用位移表示的應力邊界條件；（3）邊界條件：應力、位移邊界條件。）邊界條件：應力、位移邊界條件。相容方程相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）：（形變協(xié)調(diào)方程）：（應變表示形式、應力表示

21、形式、應力函數(shù)表示。）（應變表示形式、應力表示形式、應力函數(shù)表示。）第38頁/共46頁第三十九頁，共46頁。（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,然后將然后將 代入式（代入式（2-26）求出應力）求出應力(yngl)分量：分量：),(yx先由方程先由方程(fngchng)（2-27）求出）求出應力函數(shù)：應力函數(shù)：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)（3）再讓再讓 滿足應力邊界條件和位移滿足應力邊界條件和位移(wiy)單值條件（多連體問題）。單值條件（多連體問題）。xyyx,04按應力求解平面問題的基本步驟按應力求解平面問題的基本步驟：4.應力邊界條件應

22、力邊界條件的列寫及圣維南原理的應用的列寫及圣維南原理的應用.5.任意斜面上應力、主應力、主方向；任意斜面上應力、主應力、主方向；第39頁/共46頁第四十頁，共46頁。例例下面給出平面應力問題（單連通域）的應力場和應變場，試分別判斷下面給出平面應力問題（單連通域）的應力場和應變場，試分別判斷(pndun)它們是否為可能的應力場與應變場（不計體力）。它們是否為可能的應力場與應變場（不計體力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx解解（a）（b）（1）將式（將式（a）代入平衡）代入平衡(pnghng)方程：方程：0Yyxyyx0Xyxxyx（

23、2-2）03322xyxy033 yy 滿足滿足(mnz)將式（將式（a）代入相容方程：）代入相容方程：0)(2222yxyx第40頁/共46頁第四十一頁，共46頁。（2）將式（將式（b）代入應變表示）代入應變表示(biosh)的相容方程：的相容方程：yxxyxyyx2222202222222CCyxxyxyyxCyx222022xyCyxxy22式（式（b）滿足相容）滿足相容(xin rn)方程，方程，（b）為可能的應變分量。）為可能的應變分量。)4123(422yyxyx)(2222yyyx0333222yxy式（式（a）不是）不是(b shi)一組可能的應力場。一組可能的應力場。第41頁

24、/共46頁第四十二頁，共46頁。例例圖示矩形截面圖示矩形截面(jimin)懸臂梁，在自由端受集中力懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計體力。試根據(jù)材料力學公式，寫出彎曲應力作用，不計體力。試根據(jù)材料力學公式，寫出彎曲應力 和剪應力和剪應力 的表達式，并取擠壓應力的表達式，并取擠壓應力 =0，然后說明這些表達式是否代表正確解。，然后說明這些表達式是否代表正確解。xyxy解解材料力學材料力學(ci lio l xu)解答：解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式（式（a）滿足平衡）滿足平衡(pnghng)方程和相容方程？方程和相容方程？（a）式（式（a）是否滿足）是否滿足邊界條件？邊界條件？, yI