李雅普諾夫穩(wěn)定性(2)

1、李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎第二章第二章 LyapunovLyapunov理論基礎理論基礎 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關(guān)心的首要問題。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關(guān)心的首要問題。穩(wěn)定性的定性描述：如果一個系統(tǒng)在靠近其期望工作點的某處開始運動，且該系統(tǒng)以后將永遠保持在此點附近運動，那么就把該系統(tǒng)描述為穩(wěn)定的。 例如：單擺，飛行器 李雅普諾夫的著作動態(tài)穩(wěn)定性的一般問題，并于1892年首次發(fā)表。1. 線性化方法：從非線性系統(tǒng)的線性逼近的穩(wěn)定性質(zhì)得出非線性系統(tǒng)在一個平衡點附近的局部穩(wěn)定性的結(jié)論。2.直接法：不限于局部運動，它通過為系統(tǒng)構(gòu)造一個“類能量”標量函數(shù)并檢查該標量函數(shù)的時變性來確定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性質(zhì)。 李

2、雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎2.1 穩(wěn)定性概念穩(wěn)定性概念幾個簡化記法：令 表示狀態(tài)空間中由 定義的球形區(qū)域， 表示由 定義的球面本身。1、穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性 定義：如果對于任何 ，存在 ，使得對于所有的 ，如果 ，就有 ，則稱平衡點 是穩(wěn)定的，否則，就稱平衡點是不穩(wěn)定的。 或者： 對于線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定等于發(fā)散；對于非線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定不等于發(fā)散。 RBRxRSRxRttrrR)(, 0)0(, 0, 0 xxRrBttBrR)(, 0)0(, 0, 0 xx0R0r0tr)0(xRt)(x0 x李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎圖2-1 穩(wěn)定性概念例2.1 范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性對于范德堡

3、方程0) 1(2xxxx 2211221)1 (xxxxxx轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程描述很容易證明該系統(tǒng)在原點處有一個平衡點。 并且是不穩(wěn)定的。李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎從任何一個非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個極限環(huán)。這意味著如果選擇穩(wěn)定性定義中的 為足夠小，使得半徑為 的圓完全落入極限環(huán)的封閉曲線內(nèi)，那么在靠近原點處開始的系統(tǒng)軌線最終將越出這個圓,因此原點是不穩(wěn)定的。RR李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎2、漸近穩(wěn)定性與指數(shù)穩(wěn)定性 在許多工程應用中，僅有穩(wěn)定性是不夠的。定義：如果某個平衡點0是穩(wěn)定的，而且存在某一 ，使得 ，當 時， ，那么稱平衡點是漸近穩(wěn)定的。 平衡點的吸引范

4、圍是指：凡是起始于某些點的軌線最終都收斂于原點，這些點組成的最大集合所對應的區(qū)域。注意：收斂并不意味著穩(wěn)定。（見圖） 0rr)0(xt0)(tx李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎定義：如果存在兩個嚴格正數(shù) 和 ，使得圍繞原點的某個球內(nèi) ， 那么稱平衡點0是指數(shù)穩(wěn)定的。 也就是說，一個指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)的狀態(tài)向量以快于指數(shù)函數(shù)的速度收斂于原點，通常稱正數(shù) 為指數(shù)收斂速度。 指數(shù)收斂性的定義在任何時候都為狀態(tài)提供明顯的邊界。 把正常數(shù) 寫成后 ，不難看到，經(jīng)過時間 后，狀態(tài)向量的幅值減小到原值的 ，與線性系統(tǒng)中的時間常數(shù)相似。 rBtett)0()(,xx0e)/1 (0)%(351 e李雅普諾夫理

5、論基礎李雅普諾夫理論基礎例1：系統(tǒng) 它的解是： 以速度 指數(shù)收斂于 。 例2：系統(tǒng) 它的解為 ，是個慢于任何指數(shù)函數(shù) 的函數(shù)。 3、局部與全部穩(wěn)定性 定義：定義：如果漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定對于任何初始狀態(tài)都能保持，那么就說平衡點是大范圍漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定的，也稱為全局漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定的。xxx)sin1 (2)(sin1 exp)0()(02tdxxtxtextx)0()(1)0(,2xxx 10 x)1/(1tx)0(te李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎2.2 2.2 線性化和局部穩(wěn)定性線性化和局部穩(wěn)定性 李雅普諾夫線性化方法與非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性有關(guān)。李雅普諾夫線性化方法與非線性系統(tǒng)的

6、局部穩(wěn)定性有關(guān)。Lyapunou線性化方法說明：在實際中使用線性控制方法基本上是合理的。對于自治非線性系統(tǒng) ，如果 是連續(xù)可微的,那么系統(tǒng)的動態(tài)特性可以寫成( )：用 表示在 處 關(guān)于 的雅可比矩陣：原非線性系統(tǒng)在平衡點0處的線性化結(jié)果為： )(xfx )(xf)(.xfxxfx0 xtohA0 xfx0 xxfAxxA0) 0(f李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎對于一個具有控制輸入 的自治非線性系統(tǒng)： 有：對于閉環(huán)系統(tǒng)，同樣可以得出上述結(jié)論。例2.2 考慮系統(tǒng)在 處線性化。u),(uxfx ),(.)0,()0,(uxfuufxxfxu0 xu0 xtohuxxBA 2111222122

7、1sin) 1(cosxxxxxxxxxx0 xxx1101線性化結(jié)果：李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎定理定理：（李雅普諾夫線性化方法） 1、如果線性化后的系統(tǒng)是嚴格穩(wěn)定的（即如果 的所有特征值都嚴格在左半復平面內(nèi)），那么平衡點是漸近穩(wěn)定的（對實際的非線性系統(tǒng)）； 2、如果線性化后的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（即如果 的所有特征值至少有一個嚴格在右半復平面內(nèi)），那么平衡點是不穩(wěn)定的（對實際的非線性系統(tǒng)）； 3、如果線性化后的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（即如果 的所有特征值都在左半復平面內(nèi)，但至少有一個在 軸上），那么不能從線性近似中得出任何結(jié)論（其平衡點對于非線性系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，漸近穩(wěn)定的，或者是不穩(wěn)定的）

8、。 AAAj李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎例：對于一階系統(tǒng) 原點是這個系統(tǒng)的兩平衡點之一。這個系統(tǒng)在原點附近的線性化是： 應用李雅普諾夫線性化方法，得出該非線性系統(tǒng)的下述穩(wěn)定性性質(zhì)： （1） 漸近穩(wěn)定； （2） 不穩(wěn)定； （3） 不能從線性化說明系統(tǒng)穩(wěn)定性性質(zhì)。在第三種情況下，非線性系統(tǒng)為這時線性化方法不能用來判斷它的穩(wěn)定性。 5bxaxxaxx 0a0a0a5bxx 李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎例：證明下面單擺的平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。式中 為單擺長度， 為單擺質(zhì)量， 為鉸鏈的摩擦系數(shù)， 是重力常數(shù)。(系統(tǒng)的平衡點是什么？) 在 的鄰域內(nèi)設 ，那么系統(tǒng)在平衡點附近的線性化結(jié)果是

9、因此，該線性近似是不穩(wěn)定的；近而該非線性系統(tǒng)在平衡點也是不穩(wěn)定的。. .)(. .)(cossinsintohtoh02RgMRb )0,(0sin2MgRbMR RMbg李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎 李雅普諾夫線性化定理說明李雅普諾夫線性化定理說明 線性控制設計存在一致性問題，人們必須設計控制器使系統(tǒng)保持在它的“線性范圍”里。它也說明了線性設計的主要局限性：線性范圍到底有多大？穩(wěn)定范圍是什么？ 李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎2.3 2.3 李雅普諾夫直接法李雅普諾夫直接法 李雅普諾夫直接法的基本原理是對于下述基本物理現(xiàn)象的數(shù)學上的擴展：如果一個機械（或電氣）系統(tǒng)的全部能量是連續(xù)

10、消耗的，那么該系統(tǒng)無論是線性的還是非線性的，最終必定穩(wěn)定至某個平衡點。非線性質(zhì)量阻尼器彈簧系統(tǒng)，動態(tài)方程是 整個機械系統(tǒng)的能量是它的動 能和勢能之和0310 xkxkxxbxm 4120203102412121)(21)(xkxkxmdxxkxkxmVxx李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎建立了能量與穩(wěn)定性的關(guān)系。穩(wěn)定性與機械能的變化有關(guān)李雅普諾夫直接法建立在把上述概念推廣到更復雜系統(tǒng)的基礎上。 一、正定函數(shù)和李雅普諾夫函數(shù) 定義：定義：一個標量連續(xù)函數(shù) ，如果 ，而且在一個球 內(nèi) 那么稱函數(shù) 為局部正定的。)(xV0)(0V0RB0)(x0 xV)(xV3310)()()(xbxxbxxx

11、kxkxxmV x李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎 局部正定函數(shù)的幾何意義：對于具有兩個狀態(tài)變量 和 的正定函數(shù) ，在三維空間中畫出 ，它典型地對應于一只看起來象向上的杯子的曲面，杯子的最低點位于原點。同樣可以定義：負定、半正定、半負定等一些概念。1x2x)(xV)(xV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎定義：定義：如果一個球域內(nèi) ，函數(shù) 為正定的且具有連續(xù)偏導數(shù)，而且如果它沿著系統(tǒng)的任何軌跡線的時間導數(shù)是半負定的，即 那么稱 為系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。0RB)(xV)(xfx )(xV0)()(xfxxxxVVdtdVV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎 幾何解釋：表示 值的點總是指向

12、杯底，或指向越來越小的 值等高線。二、平衡點定理 李雅普諾夫直接法的幾個定理建立起李雅普諾夫函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的精確關(guān)系。 1 1、局部穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理、局部穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理 定理定理（局部穩(wěn)定性）：如果在球域 內(nèi)，存在一個標量函數(shù) ，它具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，使得： （1） 為正定（局部地）； （2） 為半負定（局部地）。 那么平衡點0是穩(wěn)定的。如果實際上導數(shù) 在 域內(nèi)局部負定，那么穩(wěn)定性是漸近的。)(xV)(xV0RB)(xV)(xV)(xV)(xV0RB李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎例：局部穩(wěn)定性具有粘滯阻尼的單擺由下列方程描述判斷系統(tǒng)在原點的局部穩(wěn)定性。考察下列標量函

13、數(shù)：它的時間導數(shù) 可以得出原點是穩(wěn)定的平衡點的結(jié)論。不能得到關(guān)于系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的結(jié)論，因為 僅僅半負定。0sin 02)cos1 ()(2xV0sin2 V)(xV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎例：研究非線性系統(tǒng)在它的以原點為平衡點處附近的穩(wěn)定性。給正定函數(shù) 它沿任何系統(tǒng)軌線的導數(shù) 是 這樣， 在二維球域 里（即在由 定義的區(qū)域里）就是局部負定的。因此，根據(jù)上面的定理，原點是漸近穩(wěn)定的。 )2(44)2(222122212221222111xxxxxxxxxxxx222121),(xxxxV)(xV)2)(2),(2221222121xxxxxxV)(xV2B22221 xx李雅普諾夫理

14、論基礎李雅普諾夫理論基礎2、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理 為了斷定一個系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，必須將 擴展為整個狀態(tài)空間；還有 必須是徑向無界的，即 （換句話說，當從任何方向趨向無窮遠時）， 。定理定理（全局穩(wěn)定性）：假設存在狀態(tài) 的某個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù) ，使得：（1） 是正定的，（2） 為負定的，（3）當 時， 。那么平衡點0是全局漸近穩(wěn)定的。0RB)(xVx)(xVx)(xV)(xV)(xVx)(xV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎 徑向無界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值曲面） 對應于封閉曲線。如果該曲線不是封閉的，即使狀態(tài)保持穿過對應

15、于越來越小的 的等值曲線（面），狀態(tài)軌線仍可能從平衡點漂移。 例如，對于正定函數(shù) 當 時，曲線 是開曲線。 下圖說明狀態(tài)向“能量”越來越低的曲線移動時的發(fā)散現(xiàn)象。aVV)(xaV222121)1/(xxxV1aVaVV)(x李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎例：一階非線性系統(tǒng)式中， 是任何一個與它的標量自變量 有相同符號的連續(xù)函數(shù)，即選李雅普諾夫函數(shù)為當 時 ， 趨向于無窮，它函數(shù)是徑向無界。它的導數(shù)是 是一個全局漸近穩(wěn)定的平衡點。0)(xcx cx0)(xxc0 x對于 2xV xV)(22xxcxxV0 x李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎例： 考慮系統(tǒng)狀態(tài)空間的原點是這個系統(tǒng)的平衡點

16、，設 是正定函數(shù) 沿任何系統(tǒng)軌跡的導數(shù)是)()(22212122221121xxxxxxxxxxV2221)(xxVxV222212211)(222)(xxxxxxVx它是負定的。因此，原點是全局漸近穩(wěn)定平衡點。李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎3、注釋、注釋 對于同一個系統(tǒng)可以存在許多李雅普諾夫函數(shù)。例如，如果 是一個李雅普諾夫函數(shù)，那么下面的 也是李雅普諾夫函數(shù)： 此處 是任意嚴格正常數(shù)， 是任何大于1的標量。 與 的正定，負定和徑向無界的特性是一致的。注意：對于一個給定的系統(tǒng)，特別選擇的李雅普諾夫函數(shù)可能比其它的李雅普諾夫函數(shù)產(chǎn)生更精確的結(jié)果。 對具有粘滯阻尼的單擺，選李雅普諾夫函數(shù))

17、(xV)(1xV)()(1xxVV)(xV)(1xV22)(212)cos1 (2)(xV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎它的導數(shù)為是局部負定的。雖然修正過的 沒有明顯的物理意義，但它卻能夠證明單擺的漸近穩(wěn)定性。注意：李雅普諾夫分析中的定理都是充分性定理。0)sin()(2xVV作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個平衡點，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)定性是否為漸近的以及是否為全局的。 543)5()2(sin) 1 (xxxxx李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎三、不變集定理 定理的中心概念是不變集的概念。 定義：定義：如果每條起始于集合中某點的系統(tǒng)軌線在任何未來時間里都保持在該集合內(nèi)，那么該集合稱為動態(tài)系統(tǒng)

18、的一個不變集。1 1、局部不變集定理、局部不變集定理 不變集定理反映了一種直覺概念，即李雅普諾夫函數(shù) 必須逐漸減小至0（即 必須收斂于0），因為 是有下界的。定理（局部不變集定理）：定理（局部不變集定理）：對自治系統(tǒng) ， 是連續(xù)的，而且令 為具有連續(xù)偏導數(shù)的標量函數(shù)，假設： （1）對于某個 ，由 定義的區(qū)域 是有界的； （2）對所有 中的 ， 。 )(xV)(xV)(xV)(xfx f)(xV0llV)(xllx0)(xV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎 令 為 中的所有 的點的集合，而 為 中最大的不變集；那么，當 時起始于 內(nèi)的每一個解 趨向于 。 例：研究非線性系統(tǒng) 在它的以原點為平

19、衡點處附近的穩(wěn)定性。給正定函數(shù) Rl0)(xVMRtl)(txM)2(44)2(222122212221222111xxxxxxxxxxxx222121),(xxxxV)2)(2),(2221222121xxxxxxV沿任何系統(tǒng)軌跡的導數(shù)是李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎對于 ，由 定義的區(qū)域 是有界的。集合 只是原點0，它是一個不變集（因為它是一個平衡點）。局部不變集定理的所有條件都滿足，因而任何起始于這個圓內(nèi)的軌線都收斂于原點。這樣，根據(jù)不變集定理就明顯地確定了該系統(tǒng)的吸引范圍。1l1),(222121xxxxVlR李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎例：吸引極限環(huán)，考察系統(tǒng) 由 定義

20、的集合是不變的，因為在該集合中為0。在不變集的運動由下面方程之一等價地描述因此，可以看到不變集實際上代表一個極限環(huán)。)102(3)102(22415231222417121xxxxxxxxxx1022241 xx)102)(124()102(2241221012241xxxxxxdtd31221xxxx李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個侯選李雅普諾夫函數(shù) 它表示到極限環(huán)的距離的量度?？捎貌蛔兗ɡ砼袛嗍諗啃?。22241)102(xxV2224162101)102)(3(8xxxxVV這樣 是嚴格負的。除了在1022241 xx0362101 xx情況下，0V集合

21、就是由它們的并集組成。假如取 ，原點不屬于 ，現(xiàn)在的集合 正是極限環(huán)。用不變集定理證明了極限環(huán)的漸進穩(wěn)定性；同時意味著原點處的平衡點是不穩(wěn)定的。M100llM李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎推論：推論：對 是連續(xù)的自治系統(tǒng) ，令 是一個具有連續(xù)偏導數(shù)的標量函數(shù)，假設在原點的某一鄰域 內(nèi)，有：（1） 是局部正定的；（2） 是半負定的；（3）由 定義的集合 不包含除平凡軌跡 之外的系統(tǒng)軌線。那么，平衡點0是漸近穩(wěn)定的。而且，在 內(nèi)形式為 （由 定義）的最大連通域是這個平衡點的一個吸引范圍。 )(xfx )(xV)(xV)(xV0)(xVR0 xllV)(xf李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎

22、 內(nèi)的最大不變集 就只包含平衡點0。注意下列各點： a、上述推論用 為半負定的條件，以及關(guān)于 內(nèi)軌線的第三個條件代替了李雅普諾夫局部漸近穩(wěn)定性定理的負定條件。 b、在 內(nèi)的最大連通域 是平衡點的一個吸引范圍，但不一定是整個吸引范圍，因為函數(shù) 不是唯一的。 c、集合 本身不一定是一個吸引范圍。實際上，上面的推論不保證 是不變的，某些起始于 內(nèi)但在 之外的軌線，實際上可能終止于 之外。 2 2、全局不變集定理、全局不變集定理 把所涉及的區(qū)域擴大到整個空間并要求標量 具有徑向無界性，可對上述定理進行推廣。（略） RMVRLVL)(xV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎例：對具有下面形式的一個二階系

23、統(tǒng)： 其中， 和 是滿足下面符號條件的連續(xù)函數(shù)： 對于 對于分析其在原點的穩(wěn)定性。取李雅普諾夫函數(shù)為： 可以把它看成系統(tǒng)的動能和勢能之和。 0)()(xcxbx bc0)0(, 0)(, 0bxbxx0)0(, 0)(, 0cxxcxxdyycxV02)(210)()()()()(xbxxxcxcxxbxxxcxxV 李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎0 x 0)(xbx0 x 根據(jù)假設，僅當 時 。 意味著)(xcx 只要 ，它就不等于0。系統(tǒng)不能在 之外的任何平衡值上停住。 0 x 中的最大不變集 只包含一個點，即 。應用局部不變集定理表明原點是一個局部漸近穩(wěn)定點。 如果積分 當 時徑向

24、無界， 是徑向無界的。原點全局漸進穩(wěn)定。 RM)0, 0(xx0 xxdrrc0)(xV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎2.4 基于基于Lyapunov函數(shù)直接法的系統(tǒng)分析函數(shù)直接法的系統(tǒng)分析 如何尋找一個Lyapunov函數(shù)？ 不存在尋找Lyapunov函數(shù)的具體方法，這是Lyapunov穩(wěn)定性理論的根本缺點。對于具體問題人們根據(jù)經(jīng)驗、直覺和對系統(tǒng)的具體理解去尋找一個合適的Lyapunov函數(shù)。 對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，Lyapunov函數(shù)可以用系統(tǒng)的方法找到的； 對于一個給定的非線性系統(tǒng)有很多數(shù)學方法可以幫助尋找Lyapunov函數(shù)。 最強有力、最巧妙的方法是通過對系統(tǒng)的理解來尋找Lyap

25、unov函數(shù)。 李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎一、線性定常系統(tǒng)的Lyapunov分析 Lyapunov函數(shù)象“能量”一樣是可以疊加的。1、對稱、斜對稱和正定矩陣 方陣的對稱性： 方陣的斜對稱性： 任何一個方陣表示為一個對稱陣和斜對稱陣的和： 與斜對稱陣相聯(lián)系的二次函數(shù)總是0，根據(jù)定義有： TMM TMM22TTMMMMMxxxxxxxMMMTTTT ,0 ,xxxMT李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎 在后面的線性系統(tǒng)分析中，將經(jīng)常使用 形式的二次函數(shù)作為侯選李雅普諾夫函數(shù)，總是可以假定 是對稱的。 正定矩陣定義：一個 方陣 ，如果 那么該方陣是正定的。每個正定矩陣都與一個正定函數(shù)相聯(lián)

26、系。xx MTnnM0 0 ,xxxxMTM一個方陣為正定的必要條件是：它的對角元素是嚴格正的。一個對稱的方陣是正定的充分必要條件是：它的所有特征值都是嚴格正的。一個正定矩陣總是可逆的。一個正定矩陣總可以被分解為UUMT李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎證明： （1） （2） （3） 同樣可以定義矩陣半正定，負定和半負定的概念。對于一個時變矩陣 ，如果 則稱 是一致正定的。 )(tMaItMa)( 0,t , 0)(tM2max2min)()(xMMxxxMTzzUxUxMxxTTTTIMIM)()(maxmin2xzzT李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎2、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)

27、給定一個線性系統(tǒng)為 ，考察侯選Lyapunov函數(shù)： 其中， 為一給定的對稱正定陣。沿系統(tǒng)軌跡微分得 式中， ，該式稱為Lyapunov方程。有效的解法是： （1）選擇一個正定矩陣 ； （2）從Lyapunov方程求解矩陣 ； （3）檢查 是否正定。xxAxx PVTPxxxxxxQPPVTTTQPAPATQPP李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎定理：定理：線性定常系統(tǒng) 嚴格穩(wěn)定的充要條件是，對于任何對稱正定矩陣 ，李雅普諾夫方程式的唯一解矩陣 是對稱正定的（證明略）。 的一個簡單選擇是單位矩陣。 例：分析一個二階系統(tǒng)QxxAPQ212112840 xxxx局漸進穩(wěn)定。結(jié)論：這個線性系統(tǒng)全其

28、解為：李雅普諾夫方程為：為：記取1,510011284012840,221211222112112221121122211211pppppppppppppppPPIQ李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎二、克拉索夫斯基（二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法方法 克拉索夫斯基（Krasovskii）方法提出了具有 形式的自治非線性系統(tǒng)的侯選Lyapunov函數(shù)的一種簡單形式，即 ，這種方法的基本思想很簡單，就是檢查這個具體選擇的函數(shù)是否確實能成為一個Lyapunov函數(shù)。 )(xfx ffTV )(xfx 定理：定理：對自治系統(tǒng) ，對平衡點原點，令 表示系統(tǒng)的雅可比矩陣，即)(xAxxf

29、A)(李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎 如果矩陣 在原點的一個鄰域 上是負定的，那么原點是一個漸近穩(wěn)定的平衡點。這個系統(tǒng)的一個Lyapunov函數(shù)是 如果 為整個狀態(tài)空間，而且當時 ， ，那么該平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。 例：非線性系統(tǒng) 判斷原點平衡點的穩(wěn)定性。 2226,1113TAAFxfATAAF)()()(xfxfxTVx)(xV322122113xxxxxxx有：矩陣 是負定的。F李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎上述定理的應用受到很多限制，許多系統(tǒng)的雅可比矩陣不滿足負定的條件。定理（廣義定理（廣義KrasovskiiKrasovskii定理）定理）：對自治系統(tǒng) ，對平衡點原點，

30、令 表示系統(tǒng)的雅可比矩陣。那么原點是漸近穩(wěn)定的充分條件是，存在兩個對稱正定矩陣 和 ，使得 ，矩陣 在原點的某一鄰域 內(nèi)是半負定的。且函數(shù) 就是這個系統(tǒng)的一個Lyapunov函數(shù)。如果 為整個狀態(tài)空間，而且當 時有 ，那么該平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。 )(xfx )(xAPQ0 x QPAPAFT)(xffxPVT)(x)(xV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎三、變量梯度法三、變量梯度法 變量梯度法是構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一種形式化方法。它假定未知Lyapunov函數(shù)的梯度具有某種形式，然后通過積分這個假定的梯度來求得Lyapunov函數(shù)本身。對于低階系統(tǒng)，這種方法有時會成功地找到Lya

31、punov函數(shù)。 有一個標量函數(shù) ，可以通過積分關(guān)系使的它與其梯度 聯(lián)系起來： 其中 。為了從梯度 找到唯一的標量函數(shù) ，該梯度函數(shù)必須滿足所謂旋轉(zhuǎn)條件： )(xVVxVdxxV0)(nxVxVV/,/1V)(xV), 2 , 1,( njixVxVijji李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎 其中第 個分量 就是方向?qū)?shù) 。 變量梯度法原理就是假定梯度 具有某種特定形式，而不是假定Lyapunov函數(shù)本身。其中一種簡單的假定就是梯度函數(shù)具有某種形式： 式中 為待定系數(shù)。這樣，尋找Lyapunov函數(shù)的過程如下： （1）假定 是由上式給出的形式（或另外的形式）； （2）求解系數(shù) ，以滿足旋轉(zhuǎn)方

32、程； （3）限制上式中的系數(shù)，使的 是半負定的（至少是局 部半負定的） iiVixV /VnjjijixaV1ijaVijaV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎（4）通過積分，由 計算 ； （5）檢查 是否正定。 因為滿足旋轉(zhuǎn)條件意味著上述積分結(jié)果與積分路徑無關(guān)，那么依次沿著平行于每一條軸的路徑進行積分，來求 通常是方便的，即 例：用變量梯度法為下列非線性系統(tǒng)求一個李雅普諾夫函數(shù)。 VVVVnxnnnxxdxxxxVdxxxVdxxVxV021022120111),( )0 ,()0 , 0 ,()(212212211222xxxxxx李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎假定待定的李雅普諾夫

33、函數(shù)的梯度具有下面這種形式旋轉(zhuǎn)方程是：如果選取系數(shù)：則： 那么，可算出 為： 22212122121111xaxaVxaxaV122212112121221221111221xaxxaxaxaxaxaxxVxV0, 121122211aaaa2211,xVxVV)1 (22212221xxxxxVV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎這樣， 在區(qū)域 上是局部負定的，而函數(shù) 則為它確實是正定的，因此，系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性得到了保證。注意：上式并不是通過變量梯度法能夠獲得的唯一的Lyapunov函數(shù)。例如取：得到正定函數(shù)： 它的導數(shù)是：容易證明， 是一個局部負定的函數(shù)，因此，這表示系統(tǒng)的另一個Lyap

34、unov函數(shù)。 V0)1 (21xxV2102221220112xxxxdxxdxxV2221221222113, 3, 1xaxaaa3212221232xxxxV)3(262222121222221xxxxxxxVV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎四、根據(jù)物理意義誘導產(chǎn)生李雅普諾夫函數(shù)四、根據(jù)物理意義誘導產(chǎn)生李雅普諾夫函數(shù) 數(shù)學方法，對簡單的系統(tǒng)有效，對于復雜的系統(tǒng)方程往往作用甚微。如果系統(tǒng)的工程含義和物理性質(zhì)被適當?shù)陌l(fā)掘，那么一種精巧的和強有力的李雅普諾夫分析方法可能適用于非常復雜的系統(tǒng)。 五、性能分析五、性能分析 李雅普諾夫函數(shù)能夠進一步估計穩(wěn)定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。 1、一個簡單的收斂

35、性引理 引理：如果一個實函數(shù) 滿足不等式 式中 為一實數(shù)，那么 )(tW0)()(taWtWaateWtW)0()(李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎上述引理說明，如果 是一個非負函數(shù)，滿足就能保證 指數(shù)收斂到零。應用李雅普諾夫直接法進行穩(wěn)定性分析時，可以把 處理成 的形式，可以推導出 的指數(shù)收斂性和收斂速度。進而狀態(tài)的指數(shù)收斂速率也可以確定。W0)()(taWtWWV0)()(taWtWV李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎2、估計線性系統(tǒng)的收斂速度 線性系統(tǒng) 的李雅普諾夫函數(shù)為： 由矩陣理論表明： 有： 因此有： xx PVTxx QVTQPAPAT)(/ )(maxminPQQIQIP

36、P)( ,)(minmaxVIPPQQTTxxxx)()()(maxmaxminVVxxA李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎根據(jù)引理有 ：這說明，狀態(tài)至少以 的速度收斂于原點。 3、估計非線性系統(tǒng)的收斂速度 對 的表達式進行運算以獲得 的一個明顯估計 。 例：對非線性系統(tǒng) tTeVP)0(xx2min)()(tPPTxxxtePVt)()0()(min2x2VV) 1(44) 1(222122212221222111xxxxxxxxxxxx李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎候選的Lyapunov函數(shù)：求這個方程的解，有：其中： ，如果 ，有 這意味著狀態(tài)向量的范數(shù) 已1的速率按指數(shù)收斂于零

37、。反之 結(jié)果會如何？有限時間趨于無限。221),(xxxV) 1(2) 1)(222212221VVxxxxVVxxdtVVdV2)1 (/ttaeaeV221)(x)0(1)0(VVa1)0()0(2Vx0ataetV2)()(tx1)0()0(2 Vx李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎2.5基于李雅普諾夫直接法的控制設計基于李雅普諾夫直接法的控制設計 0 xuxxx23 第一種方法：假設控制律的一種形式，然后找到一個李雅普諾夫函數(shù)來判斷所選定的控制律能否導致系統(tǒng)穩(wěn)定。第二種方法：假設一個候選的李雅普諾夫函數(shù)，然后找到一個控制律以使得這個候選函數(shù)成為真正的李雅普諾夫函數(shù)。例：控制系統(tǒng)的設計

38、把系統(tǒng)的狀態(tài)控制到原點選擇控制規(guī)律)()(21xuxuu李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎一、模型參考控制系統(tǒng) 假設對象的狀態(tài)方程為： 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖： 0)(, 00)(, 02213xuxxxxuxxx對于對于),(tuxfx xv對象控制器模型參考系統(tǒng)udx0)()(xcxbx 也就是，即使在動態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)某些不確定性的情況下，局部穩(wěn)定的控制器。參照前面的例題：二階動態(tài)系統(tǒng) 的穩(wěn)定性分析。李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎參考模型為：誤差向量為： 誤差向量的微分方程：現(xiàn)在設計一個控制器，使得在穩(wěn)態(tài)時 對誤差微分方程給出的系統(tǒng)構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)： vxxBAddxxedvuxfxexxeBtAAd),(0 ee eeePVT)(),(2)()(vuxfxeeeeBtAPMMPAPAVTTT李雅普諾夫理論基礎李雅普諾夫理論基礎如果：1、 是一個負定矩陣；2、設計控制向量 使得 為非正值。 平衡狀態(tài) 是大范圍漸近穩(wěn)定的 （滿足徑向無界）。 例子：考慮由下式描述的非線性時變系統(tǒng)： 式中， 是時變參數(shù)， 為正常數(shù)。設參考模型的方程為： QQPAPAT,uM0euxxxtabxx10)(1021221)(tabvxxxxnddnndd2212210210李雅普諾夫理論基礎李