133函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(一)

1、1.3.3函數(shù)的最大函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（小）值與導(dǎo)數(shù)aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):一、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系一、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ,則則 為常數(shù)為常數(shù).0)( xf)(xf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x) 在在 某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，f(x)為為增函數(shù)增函數(shù)f(x)為為減函數(shù)減函數(shù)二、函數(shù)的極值定義二、函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0附近有定義，附近有定義，如果對(duì)如果對(duì)X0附近的所有點(diǎn)，都有附近的所有點(diǎn)，都有f(x)f(x0), 則則f(x0) 是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記

2、作的一個(gè)極小值，記作y極小值極小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函數(shù)的函數(shù)的極大值極大值與與極小值極小值統(tǒng)稱統(tǒng)稱 為為極值極值. 使函數(shù)取得極值的使函數(shù)取得極值的點(diǎn)點(diǎn)x0稱為稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn)xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的極值嗎？135( ), ( ), ( )f xf xf x觀察圖象，我們發(fā)現(xiàn)， 是函數(shù)y=f(x)的極小值， 是函數(shù)y=f(x)的 極大值。246( ), ( ), ( )f xf xf x 求解函數(shù)極值的一般步驟：求解函數(shù)極值的一般步驟： （1）確定函數(shù)的定義域）確定函數(shù)的定義域 （2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)

3、 （3）求方程）求方程f(x)=0的根的根 （4）用方程）用方程f(x)=0的根，順次將函數(shù)的定的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，并列成表格義域分成若干個(gè)開區(qū)間，并列成表格 （5）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符號(hào)，的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況在這個(gè)根處取極值的情況 在社會(huì)生活實(shí)踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，在社會(huì)生活實(shí)踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高，效益最常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高，效益最大等問(wèn)題，這些問(wèn)題的解決常常可轉(zhuǎn)化為求一個(gè)大等問(wèn)題，這些問(wèn)題的解決常?？赊D(zhuǎn)化為求一個(gè)函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題

4、函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題 函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？他們函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？他們與函數(shù)極值關(guān)系如何？與函數(shù)極值關(guān)系如何？新新 課課 引引 入入 極值是一個(gè)極值是一個(gè)局部局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它數(shù)值與它附近點(diǎn)附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小的函數(shù)值比較是最大或最小, ,并并不意味不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。知識(shí)回顧知識(shí)回顧 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：滿足： 1最大值最大值: : （1）對(duì)于任意的）對(duì)于任意的xD，

5、都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0D，使得，使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值: 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，如果存在實(shí)，如果存在實(shí)數(shù)數(shù)M滿足：滿足： 那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最小值最小值 （1）對(duì)于任意的）對(duì)于任意的xD，都有，都有f(x) M; （2）存在）存在x0D，使得，使得f(x0) = M觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的最值嗎？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在開區(qū)間內(nèi)在開區(qū)

6、間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)不一定有最不一定有最大值與最小大值與最小值值. 在閉區(qū)間在閉區(qū)間上的連續(xù)函上的連續(xù)函數(shù)必有最大數(shù)必有最大值與最小值值與最小值因此：該函數(shù)沒(méi)因此：該函數(shù)沒(méi)有最值。有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3) (2) 將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)(端點(diǎn)處端點(diǎn)處) 比較比較,其中最大的一個(gè)為最大值，最小的其中最大的一個(gè)為最大值，最小的 一個(gè)最小值一個(gè)最小值. 求求f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的最值的步驟：上的最值的步驟：(1) 求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值內(nèi)極值(極大值或極小值極大值或極小值)； 新授課新授課注意注意

7、:1.在定義域內(nèi)在定義域內(nèi), 最值唯一最值唯一;極值不唯一極值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.求函數(shù)的最值時(shí)求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問(wèn)題函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問(wèn)題,是一個(gè)局部概念是一個(gè)局部概念,而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論是在整體范圍內(nèi)討論問(wèn)題問(wèn)題,是一個(gè)整體性的概念是一個(gè)整體性的概念.(2)閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間開區(qū)間(a,b)內(nèi)的內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值但若有唯一的極值,則

8、此極值必是則此極值必是函數(shù)的最值函數(shù)的最值.(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè), 而而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè)函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒(méi)有極值也可能沒(méi)有極值,并且極大值并且極大值(極小值極小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值).例例1:求函數(shù)求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間在區(qū)間-2,2上的最大上的最大值與最小值值與最小值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1或或x=0或或x=1.0y當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), 的變化情況如下表的變化情況如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1

9、) 1 (1,2) 2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13從上表可知從上表可知,最大值是最大值是f(-2)=f(2)=13,最小值是最小值是f(-1)=f(1)=4.題型：求函數(shù)的最大值和最小值題型：求函數(shù)的最大值和最小值題型：求函數(shù)的最大值和最小值題型：求函數(shù)的最大值和最小值 21233,3fxxx 解：1、求出極值點(diǎn)；、求出極值點(diǎn)；2、求出極大值、極小值、求出極大值、極小值和端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；和端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；3、比較確定最值。、比較確定最值。 0,22fxxx 令解得：或(2)22( 2)10(3)15,( 3)3ffff 又，3( )6 123310.f xxx函數(shù)在，上

10、的最大值為22，最小值為練習(xí)練習(xí)1:求函數(shù)求函數(shù)y=6+12x-x3在區(qū)間在區(qū)間-3,3上的最上的最大值與最小值大值與最小值.以上方法在解選擇題或填空題時(shí)使用。以上方法在解選擇題或填空題時(shí)使用。練習(xí)練習(xí)2：函數(shù)函數(shù) y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最大上的最大值為值為 ,最小值為最小值為 .分析分析: (1) 由由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 區(qū)間區(qū)間4 , 4 端點(diǎn)處的函數(shù)值為端點(diǎn)處的函數(shù)值為 f (4) =20 , f (4) =76得得x1=3，x2=1 函數(shù)值為函數(shù)值為f (3)=27, f (1)=576-5當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)，變化時(shí)，y 、 y的變化情況如下表

11、：的變化情況如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比較以上各函數(shù)值，比較以上各函數(shù)值，可知函數(shù)在可知函數(shù)在4 , 4 上的最大上的最大值為值為 f (4) =76，最小值為，最小值為 f (1)=5練習(xí)練習(xí)3：求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：31( )274,4f xxxx 、312( )6 12,33f xxxx 、33( )32,3f xxxx、 axxxf2362. 42, 2x54-5422-102-18aa-40典型例題典型例題 322( )262 2371a2( )2 2f xxxa

12、f x例題 ：已知函數(shù)在， 上有最小值求實(shí)數(shù) 的值；求在， 上的最大值。反思：本題屬于逆向探究題型：反思：本題屬于逆向探究題型： 其基本方法最終轉(zhuǎn)化為比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值其基本方法最終轉(zhuǎn)化為比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小上，在解決含字母問(wèn)題時(shí)，往往伴隨有分類討大小上，在解決含字母問(wèn)題時(shí)，往往伴隨有分類討論。論。 21( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或( 240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)( )2, 2fx由知在的 最 大 值 為 3.(0),fa(2)8fa 拓展提高拓展提高1、我們知道，如果在閉區(qū)間、我們知道，如果在閉區(qū)間a，b上函數(shù)上函數(shù)y=f（x

13、）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值和最小值；那么把和最小值；那么把閉區(qū)間閉區(qū)間a，b換成開區(qū)間（換成開區(qū)間（a,b）是是否一定有最值呢？否一定有最值呢？ 如下圖：如下圖：不一定不一定2、函數(shù)、函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。 3、 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間（在開區(qū)間（a,b）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。那么這個(gè)極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。21x402fxx3討論函數(shù)（ ）=4x在， 的最值情況。動(dòng)手試試動(dòng)手試試2( )1281(21)(61)fxxxxx 1( )( )6f xf最大值沒(méi)有最小值4、函數(shù)、函數(shù)y=x3-3x2，在，在2，4上的最大值為（上的最大值為（ )(A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20C C5 5、。1 1求求f(x)xsinxf(x)xsinx在在區(qū)區(qū)間間00，2 2 上上的的最最值值2 2xxfcos21)(0)( xf34,3221xx )(xf )(xf323423423234322332332解:令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )0