三年級(jí)上奧數(shù)教材教學(xué)資料

1、第一講、圖形中的變化規(guī)律在這一講內(nèi)容中，我們主要向同學(xué)們介紹如何觀察圖形的變化規(guī)律。觀察圖形的變化，可以從圖形的形狀、位置、方向、顏色、數(shù)量、大小等方面入手，從中找出規(guī)律。例 1 順序觀察給出圖形的變化，按照這種變化規(guī)律，在空格中填上應(yīng)有的圖形。分析與解 本題目所給出的八個(gè)圖，其形狀都是箭。所以可以肯定空格處的圖形也是箭；在方向上，每一行圖從左至右都順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90為下一個(gè)圖形的方向。依照這樣的規(guī)律，第三行第三個(gè)圖中的箭頭應(yīng)朝上；圖形的數(shù)量變化反映在箭尾處，在同一行中，每旋轉(zhuǎn) 90箭尾上的“羽毛”將減少一對(duì)，依照這個(gè)規(guī)律，空格中的箭，其尾部的“羽毛”沒(méi)有了，成了光禿禿的一支箭。如圖 2。例 2

2、 依照下面圖 3 中所給圖形的變化規(guī)律，在空格中填圖。分析與解 我們按花盆、花莖、花葉、花朵四部分逐步觀察。（1）花盆花盆的形狀每一行都是由三種形狀組成，所以第三行中所缺的形狀便是應(yīng)填的圖案中的花盆的形狀；花盆的顏色在同一行中都是由黑、白、畫(huà)有斜線的三類(lèi)組成，圖中已有白、畫(huà)有斜線的二色，所以應(yīng)填的花盆為黑色。見(jiàn)圖 4 中的（1）。（2）花莖花莖的形狀為魚(yú)鉤狀。每一行中花莖的方向都是由兩個(gè)向右的和一個(gè)向左的組成，第三行中已有一個(gè)向右的和一個(gè)向左的，所以應(yīng)填的花莖的方向?yàn)橄蛴业?。?jiàn)圖 4 中的（2）。（3）花葉先觀察花葉的數(shù)量，每一行中都是有兩個(gè)有花葉、一個(gè)沒(méi)有花葉，第三行中已有一個(gè)沒(méi)有花葉、一個(gè)

3、有花葉，所以所填圖案的花葉應(yīng)有兩個(gè)。再觀察花葉的方向，每一行中花葉的方向有兩種，即向上和右平展，所以所填圖案的花葉的方向?yàn)橄蛴移秸?。?jiàn)圖 4 中的（3）。2（4）花朵前面兩行中每一行的花朵分別為圓、正方形和心形三種形狀，所以第三行中所填圖案的花朵應(yīng)為圓形。見(jiàn)圖 4 中的（4）。經(jīng)過(guò)對(duì)圖形四部分的分析，空格中應(yīng)填的圖形應(yīng)為圖 4 中的（4）。例 3 按規(guī)律填圖。分析與解 先找出第一行中圖形的變化規(guī)律，然后再依照此規(guī)律，在空白處填畫(huà)所缺的圖形。從圖 5 的第一行可以看到：當(dāng)左邊的圖形變化成右邊的圖形時(shí)，圖形外部的圓變?yōu)閳D形的下半部，且圓變成半圓，白色變成畫(huà)有斜線的。也就是說(shuō)，在變化過(guò)程中，原來(lái)圖形

4、的外部有形狀、位置、顏色這三個(gè)方面的變化，所以，第二行左邊圖形的外部的正方形應(yīng)變?yōu)榭瞻滋幩顖D形的下半部，為半個(gè)正方形，且畫(huà)有斜線。3再看第一行中原圖形的內(nèi)部，正方形的大小沒(méi)有變化，位置發(fā)生了變化，變成斜放著的正方形；顏色也發(fā)生了變化，原來(lái)的正方形是畫(huà)有斜線的，現(xiàn)在變成了白色。根據(jù)這些變化規(guī)律，第二行左邊圖形內(nèi)部的正方形應(yīng)變?yōu)榭瞻滋幩顖D形的上半部，為白色正著放的正方形。根據(jù)上面的分析，空白處所填圖形如圖 6。例 4 按照下列圖形的變化規(guī)律，空白處應(yīng)是什么樣的圖形？分析與解 先看圖中不變的部分。在整個(gè)變化過(guò)程中，圖形中大小兩個(gè)正方形沒(méi)有變化，因此可以肯定空白處的圖形一定是大小兩個(gè)正方形，位置是

5、一里一外。變化的部分可以分為兩部分：（1）圖形中的直線段部分，其變化規(guī)律是每次順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90u65292X因此空白處圖中的直線段應(yīng)是圖 8 的形狀。4（2）圖中的陰影部分，是在小正方形的對(duì)角線的左右兩邊交替出現(xiàn)的，因此空白處圖中的陰影部分應(yīng)在小正方形對(duì)角線的右邊。根據(jù)上面的分析，可畫(huà)出空白處的圖形，如圖 9 所示。例 5 在下面圖形中找出一個(gè)與眾不同的。分析與解 很容易從圖中看出，（1）、（3）、（4）的形狀相同，只是位置和顏色不同。（1）（3）而且三角形與圓的顏色互換了一下。1（4）5顏色沒(méi)有發(fā)生變化。（2）和（5）是一組圖形，圖形的形狀相同，位置和顏色發(fā)生了變化。2（5）而且大小兩個(gè)長(zhǎng)方

6、形的顏色互換了。根據(jù)上面的分析，（2）與（5）配對(duì)，（1）與（3）配對(duì)，因此與眾不同的圖形是圖 10 中的（4），如圖 11。例 6 下圖中，哪個(gè)圖形與眾不同？分析與解 這五輛汽車(chē)的車(chē)窗一致，車(chē)輪一致，車(chē)底一致，差別在車(chē)頭與車(chē)身上。從車(chē)頭看，（1）與（3）相同，由兩條直線段組成；（4）與（5）相同，由一條曲線段構(gòu)成。只有（2）與眾不同。從車(chē)身看，（1）與（2）相同，由兩條直線段和一條曲線段構(gòu)成；（4）與（5）相同，由三條直線段構(gòu)成。只有（3）由一條直線段和一條曲線段構(gòu)成。6從車(chē)頭、車(chē)身這些特征比較出來(lái)的圖形，理由不足以說(shuō)服人，我們把車(chē)頭、車(chē)身綜合起來(lái)考慮，發(fā)現(xiàn)（1）由四條直線段和一條曲線段組成

7、，而（2）、（3）、（4）、（5）由三條直線段和一條曲線段組成。因此，與眾不同的汽車(chē)是圖 12 中的（1）。練習(xí)一1觀察下圖 13 中所給出圖形的變化規(guī)律，然后在空白處填畫(huà)上所缺的圖形。2觀察圖 14 中所給出圖形的變化規(guī)律，然后在空白處填畫(huà)上所缺的圖形。3在題目后面給出的四個(gè)圖形中，哪一個(gè)圖形填在空白處能符合圖形的變化規(guī)律（圖 15）？74在圖 16 中，按變化規(guī)律填圖。5在下圖中，找出與眾不同的圖形。二、分析數(shù)之間的規(guī)律在上一講的內(nèi)容里，我們向同學(xué)們介紹了如何觀察與分析圖形之間的變化規(guī)律，在這一講中，主要介紹如何分析數(shù)之間的變化規(guī)律。例 1 觀察分析下面各列數(shù)的變化規(guī)律，然后填空。（1）5

8、，9，13，17，（ ）；（2）10，12，16，22，（ ）；（3）1，4，9，16，（ ）；（4）2，4，8，16，（ ）；8（5）4，5，7，11，19，（ ）。分析與解 分析一列數(shù)的變化規(guī)律，一般是順序?qū)@列數(shù)中相鄰的幾個(gè)數(shù)進(jìn)行相同的四則運(yùn)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，從中找到規(guī)律。（1）依次用后一個(gè)數(shù)減去相鄰的前一個(gè)數(shù)，差都是 4，所以應(yīng)填 21；（2）依次用后一個(gè)數(shù)減去相鄰的前一個(gè)數(shù)，它們的差依次為：2，4，6，那么下一個(gè)差便應(yīng)該是 8，所以應(yīng)填 30；（3）由于 111，422，933，1644，所以下一個(gè)數(shù)應(yīng)為 55，填25；（4）因?yàn)?22，422，8222，162222，因此下

9、一個(gè)數(shù)應(yīng)為 5個(gè) 2 相乘，填 32。也可以這樣分析：從第二個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都是相鄰前面數(shù)的 2 倍，所以空白處填 16232。（5）由于 541，752，1174，19118，觀察 1，2，4，8 這列數(shù)，一個(gè)數(shù)的 2 倍便是它后面的數(shù)，所以 8 后面應(yīng)是 16，而 191635，所以應(yīng)填 35。對(duì)于一列數(shù)的變化規(guī)律的分析，經(jīng)常是對(duì)這列數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算，然后依次將運(yùn)算結(jié)果寫(xiě)下來(lái)，組成新的一列數(shù)，轉(zhuǎn)而考察新的這列數(shù)的變化規(guī)律，從而得出原來(lái)那列數(shù)的變化規(guī)律。例 2 觀察下面各數(shù)列的變化規(guī)律，然后進(jìn)行填空：（1）7，14，10，12，14，9，19，5，_，_；9（2）7，8，10，_，22，38；

10、（3）5，14，41，122，_；（4）1，2，3，5，8，13，21，_；（5）1，2，2，4，8，32，_。分析與解 （1）表面上看這列數(shù)規(guī)律不明顯，那是因?yàn)槲覀兊难酃庵痪窒抻凇跋噜彽膬蓚€(gè)數(shù)”之間，僅對(duì)這兩個(gè)數(shù)依次進(jìn)行計(jì)算、比較結(jié)果?，F(xiàn)在我們隔著看，將這列數(shù)分成兩列數(shù)，即7，10，14，19，_；14，12，9，5_。第一列數(shù) 7，10，14，19，它們相鄰兩數(shù)之差依次為 3，4，5，所以下一個(gè)數(shù)應(yīng)為：19625；而第二列數(shù) 14，12，9，5，相鄰兩個(gè)數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）依次為 2，3，4，所以第二列數(shù)中下一個(gè)數(shù)應(yīng)為：550。因此，兩個(gè)空格中的數(shù)依次為 25、0；（2）“空項(xiàng)”出現(xiàn)在一列

11、數(shù)的中間比出現(xiàn)在這列數(shù)的最后分析規(guī)律要困難一些，因?yàn)檫@列數(shù)在“空項(xiàng)”處斷開(kāi)，則我們分析這列數(shù)的變化規(guī)律時(shí)，往往也在此斷開(kāi)，不易往下進(jìn)行。解這類(lèi)題的步驟一般是將“空項(xiàng)”兩邊的幾個(gè)數(shù)的規(guī)律先各自找出來(lái)，然后再在“空項(xiàng)”處試驗(yàn)填數(shù)，看看此數(shù)填進(jìn)去后，能否使前后兩邊數(shù)的規(guī)律統(tǒng)一起來(lái)。10在這列數(shù)中，前面三個(gè)數(shù)中相鄰的兩數(shù)之差為 1，2，后面的兩數(shù)之差為 16，如果插進(jìn)去一個(gè)數(shù)，將會(huì)又產(chǎn)生兩個(gè)差，即 1，2，_，_，16，不難看出這兩個(gè)空分別填 4，8，就使差所構(gòu)成的這列數(shù) 1，2，4，8，16 規(guī)律統(tǒng)一，而 10414，14822，所以應(yīng)填 14；（3）觀察相鄰兩數(shù)，發(fā)現(xiàn) 53114，143141，4

12、131122，也就是說(shuō)前一個(gè)數(shù)的 3 倍比后一個(gè)數(shù)多 1。所以應(yīng)填 365；（4）前面兩個(gè)數(shù)之和等于相鄰后面的數(shù)，如 123，235，358，5813，81321，所以應(yīng)填 34；（5）前面兩個(gè)數(shù)之積等于相鄰后面的數(shù)，如 122，224，248，4832，所以應(yīng)填 256。例 3 觀察下面各題中數(shù)的變化規(guī)律，然后填出各題中所缺的數(shù)：（1） 2 671144 4 （ ） 143 556411（2） 26133 10254 （ ） 31111 46分析與解 （1）填這種題中所缺的數(shù)，要注意聯(lián)系行與行、列與列之間數(shù)的規(guī)律。觀察這三行數(shù)，發(fā)現(xiàn)第三行的 2 倍正好等于第一行與第二行的和。因此，空格處填

13、5273；（2）觀察這四列數(shù)之間數(shù)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第一列，第三列，第四列數(shù)的和等于第二列。因此，空格處應(yīng)填 4318。例 4 在下列各圖中填出所缺的數(shù)：（1）如圖 1：（2）如圖 2：（3）如圖 3：12（4）如圖 4：分析與解 （1）作這種題一般先看一個(gè)圖形中各數(shù)之間的關(guān)系，然后再看其他圖形中的數(shù)是否也有這個(gè)關(guān)系，最后使幾個(gè)圖形中的關(guān)系統(tǒng)一，便找到了規(guī)律。注意到圓中上面兩個(gè)數(shù)的和等于下面兩個(gè)數(shù)的積，因此第一個(gè)空白處應(yīng)填（138）37，第二個(gè)空白處應(yīng)填 7259；（2）用外邊三個(gè)三角形內(nèi)的數(shù)去湊中心三角形內(nèi)的數(shù)，實(shí)際上，外邊三個(gè)三角形內(nèi)的數(shù)的積等于中心三角形內(nèi)的數(shù)的 2 倍，因此，空白處應(yīng)填 43

14、6236；（3）注意圖中“拖拉機(jī)”的后輪（圓）與“拖拉機(jī)”之間有空隙，所以用其他三個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，設(shè)法使結(jié)果等于“后輪”中的數(shù)。規(guī)律是：兩個(gè)三角形中的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）與正方形中的數(shù)相乘，結(jié)果應(yīng)等于圓內(nèi)的數(shù)。所以空白處應(yīng)填（54）33；（4）設(shè)法用三個(gè)小圓內(nèi)的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，使結(jié)果等于大圓的數(shù)。規(guī)律是：三個(gè)小圓內(nèi)數(shù)的和等于大圓內(nèi)數(shù)的一半。所以空白處應(yīng)填（569）240。13通過(guò)對(duì)上面四個(gè)例題的分析，可以總結(jié)出下面幾點(diǎn)：1對(duì)一列數(shù)變化規(guī)律的分析，一般的思考步驟是：順序?qū)@列數(shù)中相鄰的幾個(gè)數(shù)進(jìn)行同樣的某種四則運(yùn)算，將它們的運(yùn)算結(jié)果依次寫(xiě)下來(lái)組成新的一列數(shù)（通常這列數(shù)的變化規(guī)律是比較明顯的），通過(guò)對(duì)這列

15、數(shù)變化規(guī)律的分析，從而了解原來(lái)那列數(shù)的變化規(guī)律。2有時(shí)要將一列數(shù)分成兩列數(shù)，分別考察它們各自的變化規(guī)律。3對(duì)于幾列數(shù)組成一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要同學(xué)們靈活地思考，規(guī)律沒(méi)有一成不變的，有時(shí)需要綜合運(yùn)用其他知識(shí)，一種方法不行，就換另一種方法接著分析。4對(duì)于找到的規(guī)律，那么它應(yīng)該適合這列數(shù)中的所有數(shù)，不能只適用于前面幾個(gè)數(shù)，而不適合于這列數(shù)中的其他數(shù)。5對(duì)于那些分布于某些圖形中的數(shù)，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數(shù)在圖形中的特殊位置有關(guān)，這是我們解這類(lèi)題的入手點(diǎn)。練習(xí)二1觀察下面各列數(shù)的變化規(guī)律，然后進(jìn)行填空：（1）64，48，40，36，34，_；（2）4，7，9，11，14，15，19，_；（3

16、）11，12，15，_，27，36；14（4）15，20，12，25，9，30，_，35，3，_；（5）3，8，15，24，35，_。2下面各列數(shù)中都有一個(gè)與眾不同的數(shù)，請(qǐng)找出來(lái)：（1）3，5，7，11，15，19，23；（2）6，12，3，27，21，10，15，30；（3）2，5，10，16，22，28，32，38，24；（4）2，3，5，8，12，16，23，30；（5）2，4，8，12，16，32。3觀察下面各題中數(shù)的變化規(guī)律，然后填出各題中所缺的數(shù)：（1） 643 111 421 （2） 7 4 6269 （ ） 491 8 4 86 5 _154填出下面各題中所缺的數(shù)：（1）如圖

17、5：（2）如圖 6：（3）如圖 7：（4）如圖 8：16（5）如圖 9：三、填空格（一）這星期的數(shù)學(xué)園地輪到小華出題了，她剛把算式（見(jiàn)下式，其中的空格表示需要填的數(shù)字）寫(xiě)出來(lái)，愛(ài)動(dòng)腦筋的小明就跑了過(guò)來(lái)，想了想笑著說(shuō)：“我能猜出空格中的數(shù)字表示什么！”這時(shí)，教數(shù)學(xué)的李老師走了過(guò)來(lái)，同學(xué)們都向李老師圍攏過(guò)來(lái)，請(qǐng)李老師給他們講一講這種有空格的題應(yīng)該怎樣填。李老師說(shuō)：“同學(xué)們先坐下，這種題叫做填空格，填空格是有一定方法的：第一步：審題和解其他數(shù)學(xué)題一樣，填空格也要審題，即通過(guò)對(duì)題目的分析，找出算式中數(shù)量之間的關(guān)系與特征，它們是確定各個(gè)空格應(yīng)填什么數(shù)字的主要依據(jù)。第二步：選擇突破口在審題的基礎(chǔ)上，認(rèn)真思

18、考找出算式中容易填出的或關(guān)鍵性的空格，作為解題的突破口。這一步驟是填空格的關(guān)鍵。第三步：確定各空格所填數(shù)字從突破口開(kāi)始，依據(jù)算式的已知條件，逐個(gè)填出各個(gè)空格中的數(shù)字。17有了以上三個(gè)步驟，我們才能正確迅速地填出算式?！蓖瑢W(xué)們，你們知道空格中的數(shù)字是什么嗎？現(xiàn)在我們一起來(lái)分析，把空格中的數(shù)字填出來(lái)。例 1 在右面算式的空格中，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解 （1）審題這是一個(gè)加法算式，兩個(gè)加數(shù)均是三位數(shù)，兩個(gè)加數(shù)與和的十位數(shù)字均已給出。（2）選擇解題突破口由算式中十位上的三個(gè)數(shù)字 8、5、4 可以分析出，個(gè)位向十位進(jìn)了 1，十位向百位進(jìn)了 1。根據(jù)這個(gè)關(guān)系，我們可以先從第二個(gè)加數(shù)的個(gè)

19、位空格開(kāi)始填。（3）確定各個(gè)空格中應(yīng)填的數(shù)字填個(gè)位因?yàn)閭€(gè)位上數(shù)字相加的和必須向十位上進(jìn) 1，而 1 與 9 相加才能向十位進(jìn) 1，所以第二個(gè)加數(shù)的個(gè)位只能填 9，而和的個(gè)位應(yīng)填 0。此時(shí)的算式為：填千位因?yàn)楹褪且粋€(gè)四位數(shù)，所以百位上的數(shù)字相加之后必須向千位進(jìn) 1，因此這個(gè)算式中和的千位數(shù)字應(yīng)為 1。18填百位百位上的兩個(gè)數(shù)字之和，加上由十位進(jìn)上的 1，和應(yīng)該是 19。所以百位上的兩個(gè)空格只能都填 9。這樣，所有的空格就都填出來(lái)了。此題的答案是：例 2 在右面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解 我們?nèi)园辞懊嫠f(shuō)的三個(gè)步驟進(jìn)行分析。（1）審題這是一個(gè)兩位數(shù)加三位數(shù)，和為四位數(shù)

20、的加法算式。在算式中，個(gè)位上已經(jīng)給出了兩個(gè)數(shù)字，并且個(gè)位上的數(shù)字相加后向十位進(jìn)了 1，百位上數(shù)字之和又向千位進(jìn)了 1。（2）選擇解題突破口由上面的分析，顯然選擇個(gè)位上的空格作為突破口。（3）確定各空格中的數(shù)字填個(gè)位因?yàn)?312，所以個(gè)位上的空格應(yīng)填 9。19填千位千位數(shù)字只能是百位上數(shù)字之和向前進(jìn)的數(shù)，因此只能是 1。填百位第二個(gè)加數(shù)的百位上的數(shù)字最大是 9，而和是四位數(shù)，因此算式中十位上數(shù)字之和必須向百位進(jìn) 1，所以第二個(gè)加數(shù)的百位上填 9，和的百位上填 0。填十位由于算式中個(gè)位上數(shù)字之和向十位進(jìn)了 1，十位上的數(shù)字相加后又向百位進(jìn) 1，所以第二個(gè)加數(shù)的十位上的空格，可以填 8 或 9。此題

21、有兩個(gè)解：例 3 在右面減法算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解 （1）審題這是道三位數(shù)減三位數(shù)差為三位數(shù)的減法題。在算式中，個(gè)位與十位上分別給出了兩個(gè)數(shù)字，而且個(gè)位要向十位借 1，十位又要向百位借 1。（2）選擇解題突破口根據(jù)前面的分析，選擇被減數(shù)的個(gè)位作為解題的突破口，然后按照從低位向高位的順序依次填寫(xiě)。（3）確定各空格中的數(shù)字20填個(gè)位在算式中可以看到，減數(shù)的個(gè)位數(shù)字是 7，差的個(gè)位數(shù)字是 4，我們知道，在減法中有下面的關(guān)系：差減數(shù)被減數(shù)而 4711，所以被減數(shù)的個(gè)位應(yīng)填 1，并且向被減數(shù)的十位上借了 1，這樣算式就變成了下面的形式：填十位算式中被減數(shù)十位上的數(shù)字被個(gè)

22、位借去 1，因此剩 5，而差的十位數(shù)字為9，所以被減數(shù)的十位不夠減，向百位借了 1，即 159，可以看出空格中應(yīng)填 6。這樣算式變成了下面的形式：填百位由上面的算式可以看到，因差的百位不能為 0，被減數(shù)的百位剩 4，所以減數(shù)的百位必須小于 4，即可以是 1、2、3，這樣差的百位數(shù)字也就確定了。此題有以下三個(gè)解：例 4 在右面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。21分析與解 （1）審題這是一道加減法混合運(yùn)算的填空格題，我們把加法、減法分開(kāi)考慮，這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。（2）選擇解題突破口在加法部分，因?yàn)槭簧嫌袃蓚€(gè)數(shù)字已經(jīng)給出，所以十位數(shù)字就成為我們解題的突破口。（3）確定各空格中的數(shù)

23、字加法部分（如右式）：填十位由右面算式可以看出，第二個(gè)加數(shù)與和的十位上均是 9，所以個(gè)位上的數(shù)字之和一定向十位進(jìn)了 1，十位上的數(shù)字之和也向百位進(jìn)了 1。所以算式中十位上應(yīng)是9119，故第一個(gè)加數(shù)的十位填 9。填個(gè)位由于個(gè)位上 1的和向十位進(jìn) 1，所以中只能填 9，則和的個(gè)位就為0。填百位和千位由于第一個(gè)加數(shù)是兩位數(shù)，第二個(gè)加數(shù)是三位數(shù)，而和是四位數(shù)，所以百位上數(shù)字相加后必須向千位進(jìn) 1，這樣第二個(gè)加數(shù)的百位應(yīng)填 9，和的千位應(yīng)填1，和的百位應(yīng)填 0。這樣加法部分就變成：22減法部分（如下式）：填個(gè)位由于被減數(shù)的個(gè)位是 0，差的個(gè)位是 5，而 10-55，所以減數(shù)的個(gè)位應(yīng)該填 5。這樣減法部分

24、的算式變成：填十位、百位由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位必須填 9，同時(shí)十位相減時(shí)必須向百位借 1，這樣減數(shù)與差的十位也只能是 9。這樣減法部分的算式變?yōu)椋捍祟}的答案是：23練習(xí)三1在下面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立：2在下面減法算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立：3在下列算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立：24四、填空格（二）在上一講中，我們向大家介紹了加法與減法豎式中有若干個(gè)空格，可以根據(jù)算式中幾個(gè)已知數(shù)字之間的關(guān)系與特征，對(duì)算式進(jìn)行有步驟的分析，從而逐步填出空格的方法。這種填空格的方法，對(duì)于有空格的乘法與除法算式，也可

25、以進(jìn)行類(lèi)似的分析與填寫(xiě)。例 1 在右面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解 （1）審題這是一個(gè)乘法算式，被乘數(shù)是三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)字是 9，乘數(shù)是一位數(shù)，積是一個(gè)四位數(shù)，積的千位數(shù)字為 3，積的百位數(shù)字為 0，積的個(gè)位數(shù)字為 1。（2）選擇解題突破口因?yàn)槌藬?shù)是一位數(shù)，當(dāng)乘數(shù)知道以后，根據(jù)乘法法則，豎式中其他的空格就可以依次填出，因此乘數(shù)是關(guān)鍵，把它作為解題的突破口。（3）確定各空格中的數(shù)字由于乘積的個(gè)位數(shù)字為 1，所以可以確定出乘數(shù)為 9。又因?yàn)榉e的前兩位為 30，所以被乘數(shù)的最高位（即百位）為 3，于是被乘數(shù)的十位與乘數(shù) 9 相乘后應(yīng)向百位進(jìn) 3，這樣被乘數(shù)的十位應(yīng)填 3。

26、得到此題的解為：25例 2 在右面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解 （1）審題這是一個(gè)乘法算式，被乘數(shù)是三位數(shù)，百位上數(shù)字是 3，個(gè)位上數(shù)字是 7；乘數(shù)是一位數(shù)，積是一個(gè)四位數(shù)，積的千位數(shù)字為 2，積的十位數(shù)字為 9。（2）選擇解題突破口因?yàn)槌藬?shù)是一位數(shù)，當(dāng)乘數(shù)知道以后，根據(jù)乘法法則，豎式中其他的空格就可以依次填出，因此乘數(shù)是關(guān)鍵，把它作為解題的突破口。（3）確定各空格中的數(shù)字由于乘積的個(gè)位也是空格，所以不能從乘積的個(gè)位與被乘數(shù)的個(gè)位來(lái)分析乘數(shù)是什么數(shù)，從算式中可以看到被乘數(shù)與乘積的最高位都是已知數(shù)，因此我們從乘積的最高位進(jìn)行分析。乘積的最高兩位是 2，被乘數(shù)的最高位是

27、 3，于是：3 2（被乘數(shù)百位）（乘數(shù)）（進(jìn)位）（乘積的最高兩位）這樣我們可以確定出乘數(shù)的取值范圍，即乘數(shù)可能是 6，7，8，9，下面我們進(jìn)行試驗(yàn)，逐個(gè)分析。如果乘數(shù)是 6，根據(jù)乘法法則，得出積的個(gè)位應(yīng)填 2，并向十位進(jìn) 4；這樣乘數(shù)6 與被乘數(shù)的十位相乘的積應(yīng)為 5（加上進(jìn)上的 4 后為 9），這樣被乘數(shù)的十位就無(wú)數(shù)可填，這說(shuō)明乘數(shù)不可能為 6。26如果乘數(shù)是 7，這樣乘積的個(gè)位應(yīng)填 9，并向十位進(jìn) 4，為使乘積的十位為 9，被乘數(shù)的十位數(shù)字與乘數(shù) 7 相乘后積的個(gè)位應(yīng)為 5，這樣被乘數(shù)的十位應(yīng)填 5。接著分析乘積的百位，乘積的百位應(yīng)填 4，這樣得到一個(gè)解，算式變成：如果乘數(shù)填 8，乘積的個(gè)

28、位應(yīng)填 6，并向十位進(jìn) 5。為使乘積的十位為 9，被乘數(shù)的十位能填 3 或 8。當(dāng)被乘數(shù)的十位填 3 時(shí)，積的百位填 6，得到一個(gè)解，算式變成：當(dāng)被乘數(shù)的十位填 8 時(shí)，算式變成下面的形式：因?yàn)榉e的千位數(shù)字為 3，所以上面的算式不是本題的解。如果乘數(shù)是 9，算式變成下面的形式：因?yàn)槌朔e的千位數(shù)字為 3，所以上面的算式不是本題的解。27此題有下面兩個(gè)解：通過(guò)前面的例題可以看出，填乘法算式與填加法算式的分析方法相同。只是在確定各空格中的數(shù)字時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)已知條件分析出關(guān)鍵數(shù)字的范圍，然后采用試驗(yàn)法一一討論。在估計(jì)要填數(shù)字的范圍時(shí)，直接影響試驗(yàn)的次數(shù)。如果范圍過(guò)大，會(huì)增加試驗(yàn)的次數(shù)；如果范圍過(guò)小，

29、有可能漏掉符合題意的解。同學(xué)們?cè)诮忸}過(guò)程中，對(duì)已給出數(shù)字的特征及相互之間的關(guān)系，應(yīng)進(jìn)行細(xì)致的分析。例 3 在下面算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解 （1）審題這是一個(gè)除數(shù)是一位數(shù)并且有余數(shù)的除法算式。（2）選擇解題突破口因?yàn)槌龜?shù)是一位數(shù)，當(dāng)除數(shù)知道后，豎式中其他空格可依次填出，因此，除數(shù)是關(guān)鍵，把它作為解題突破口。（3）確定各空格中的數(shù)字由于余數(shù)為 7，根據(jù)余數(shù)要比除數(shù)小這個(gè)原則，可以確定除數(shù)為 8 或 9，現(xiàn)在逐一試驗(yàn)。如果除數(shù)為 8，見(jiàn)右式：28觀察算式可知：商的個(gè)位與除數(shù) 8 相乘應(yīng)得 3，所以商的個(gè)位應(yīng)填 4。為了使余數(shù)得 7，則算式中第二行的兩空格應(yīng)依次填 3

30、與 9，這樣被除數(shù)的個(gè)位也應(yīng)填 9（見(jiàn)下式）。繼續(xù)觀察算式，被除數(shù)的百位上為 4，被除數(shù)的前兩位減去第一行后又余 3，可以求出商的十位數(shù)字為 5，這樣其他空格也就填出來(lái)了。見(jiàn)下面的算式：29如果除數(shù)填 9，那么商的個(gè)位應(yīng)填 4，算式中第二行空格依次填 4 與 3，被除數(shù)的個(gè)位也填 3。見(jiàn)下面算式：因被除數(shù)的百位為 4，除數(shù)是 9，所以商的十位數(shù)字為 4 或 5。若商的十位填 4，則第一行空格內(nèi)應(yīng)依次填 3 與 6，被除數(shù)十位填 0，符合要求。若商的十位數(shù)字為 5，則第一行空格內(nèi)應(yīng)依次填 4 與 5，被除數(shù)十位填 9，也符合要求。此題有三個(gè)解：從這個(gè)例題中可以看到，當(dāng)除數(shù)和商確定之后，被除數(shù)與算

31、式中其他空格都可確定，因此，在除法算式中，一般選擇除數(shù)與商作為解題的突破口。30例 4 在下面算式的空格中，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析與解 （1）審題這是一個(gè)四位數(shù)除以一個(gè)一位數(shù)，商是三位數(shù)，而且商的十位數(shù)字為 7。（2）選擇解題突破口由于商的十位數(shù)字已經(jīng)給出，而且商的十位數(shù)字與除數(shù)相乘的積為 2，由此可確定出除數(shù)的取值范圍為 3、4。（3）確定空格中的數(shù)字若除數(shù)為 3：因?yàn)樗闶街杏鄶?shù)為 0，所以除數(shù) 3 與商的個(gè)位相乘的積不可能等于，因此，除數(shù)不可能為 3。若除數(shù)為 4：為了敘述方便，我們先在算式中的一些空格中填入字母，并將可以直接確定的空格填上數(shù)，如下式：31字依次為 3 與

32、0。根據(jù)除數(shù)u21830X=被除數(shù)，可以確定出被除數(shù)為：5754=2300 或 6754=2700于是得到此題的兩個(gè)解為：練習(xí)四算式中第一行兩個(gè)數(shù)可相應(yīng)填出。1.在下面乘法算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立：2.在下面除法算式的空格內(nèi)，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立：32五、數(shù)字謎（一）數(shù)字謎與我們前面學(xué)習(xí)的填豎式一樣，也是一種鍛煉我們思維的體操，它對(duì)于我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、提高分析問(wèn)題的能力是非常有益的。數(shù)字謎的分析思考方法和填豎式的分析思考方法基本相同，即審題、選擇解題突破口、確定各漢字或字母所代表的數(shù)字這三個(gè)步驟。在第三個(gè)步驟中也需要根據(jù)已知數(shù)字的關(guān)系與特征，確定要填數(shù)字的大致范圍

33、，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，確定各漢字或字母所代表的數(shù)字。例 1 下邊加法算式中的每一個(gè)漢字都代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立？33分析與解 在這個(gè)加法算式中，加數(shù)個(gè)位上的數(shù)字均相同，并且它們和的個(gè)位為 0，所以選擇個(gè)位作為解題的突破口。（1）填個(gè)位在算式的個(gè)位上克+克+克+克的個(gè)位為 0，所以克的取值為 0 或 5。如果克=0，那么在算式的十位上匹+匹+匹的個(gè)位也是 0，這樣匹只能取 0，而不同的漢字應(yīng)代表不同的數(shù)字，所以克=5。此時(shí)算式中和的個(gè)位向十位進(jìn) 2（見(jiàn)下式）。（2）填十位在上面算式的十位上，匹+匹+匹的個(gè)位應(yīng)是 8，而只有 666=18，所以匹=

34、6，并且十位上數(shù)字之和向百位進(jìn) 2。（3）填百位在算式的百位上，林+林的個(gè)位應(yīng)為 8，而 44=8，99=18，所以林取 4 或 9。如果林=4，百位相加后向千位進(jìn) 1，這樣奧=1。如果林=9，百位相加后向千位進(jìn) 2，這樣奧=0，但是一個(gè)數(shù)的首位數(shù)字不能為 0，于是林9。因此，得到本題的一個(gè)解為：34例 2 下面算式中的每個(gè)漢字都代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)算式成立？分析與解 這是一個(gè)三位數(shù)減三位數(shù)差為兩位數(shù)的減法豎式。十位數(shù)字不夠減，需向百位借 1，這樣好比學(xué)大 1，這就成為解題的突破口。（1）如果個(gè)位不向十位借 1，那么由十位可求出生的值為 9，而個(gè)位上

35、9-5=4，5與 4 相鄰，且 5 比 4 大 1。得到一個(gè)解為：（2）如果個(gè)位向十位借 1，那么由十位可求出生=8，而 18 不能拆成兩個(gè)相鄰自然數(shù)的和，因此，這種情況不可能。于是，此題只有唯一解：例 3 下面算式中的每一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，其中相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立？35分析與解 在這個(gè)加法算式中，個(gè)位與十位上都有相同的字母，所以我們選擇個(gè)位與十位作為解題的突破口。（1）個(gè)位與十位因?yàn)樵谒闶降膫€(gè)位上 Y+NN 所得的和的個(gè)位是 Y，這說(shuō)明 N 為 0或 5。如果 N=5，則個(gè)位上 YNN 的和必向十位進(jìn) 1，這樣十位上 TEE1

36、 的和的個(gè)位就不可能為 T，因?yàn)?EE+1 的和不可能為 10，也就是 EE 的和不可能為 9。因此 N 為 0。十位上 TEE 的和的個(gè)位為 T，E 為 0 或 5，由于 N 已經(jīng)為 0，所以 E 取 5。此時(shí)，算式變成下面的形式：（2）萬(wàn)位由算式可以看出，千位肯定向萬(wàn)位進(jìn)了 1，所以 F 與 S 是兩個(gè)相鄰的數(shù)，并且 S 比 F 大 1。（3）千位因?yàn)榘傥豢隙ㄏ蚯贿M(jìn)了位，而百位上是三個(gè)數(shù)字相加，所以百位向千位進(jìn) 1 或 2，而千位又要向萬(wàn)位進(jìn) 1，所以千位上的字母 O 可能為 8 或 9。若字母 O 為 8，為了保證千位向萬(wàn)位進(jìn) 1，則百位必須向千位進(jìn) 2，這樣 I=0 與 N=0重復(fù)了

37、。所以 O8，O=9。這時(shí)百位上也不能向千位進(jìn) 1，否則千位上 91=10，I 取0 與 N=0 矛盾，所以百位向千位進(jìn) 2。92=11，I 取 1。這時(shí)算式變?yōu)椋?6（4）百位因?yàn)榘傥槐仨毾蚯贿M(jìn) 2，并且百位上 RTT1，其中 R 最大取 8（因?yàn)?O=9），所以 T6，也就是說(shuō) T 可能取 6，7，8。下面進(jìn)行試驗(yàn)：若 T=6，算式變?yōu)椋哼€剩下 2，3，4，7，8 這五個(gè)數(shù)字，而百位上 R661=20X，不論 R 取上面五個(gè)數(shù)字中的哪一個(gè)，所得到的 X 的值都不在另外四個(gè)數(shù)字中，所以 T6。若 T=7，此時(shí)算式為：這時(shí)還剩下 2，3，4，6，8 這五個(gè)數(shù)字，而百位上 R771=20X，R

38、=8，X=3滿足此式，這時(shí)還剩下 2，4，6 這三個(gè)數(shù)字。這樣 S 與 F 就無(wú)法可取（因?yàn)?2，4，6沒(méi)有兩個(gè)相鄰），所以 T7。若 T=8，此時(shí)算式為：37這時(shí)還剩下 2，3，4，6，7 這五個(gè)數(shù)字，百位上 R881=20X，當(dāng) R=6 時(shí)，X=3，當(dāng) R=7 時(shí)，X=4。若 R=6，X=3，這時(shí)還剩下 2，4，7，沒(méi)有相鄰的數(shù)，所以求不出 F 與 S 的值，因此 R6，X3，則 R=7，X=4。這時(shí)還剩下 2，3，6 三個(gè)數(shù)字，由于 F 與 S 相鄰，且 S 比 F 大 1，所以 F=2，S=3，因而 Y=6。此題的解為：例 4 下面算式中的每個(gè)字母都代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)

39、字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立？分析與解 這是一個(gè)五位數(shù)減四位數(shù)差為四位數(shù)的減法豎式，所以被減數(shù)的萬(wàn)位數(shù)字是關(guān)鍵。（1）填萬(wàn)位因被減數(shù)的萬(wàn)位是 C，而減數(shù)與差都沒(méi)有萬(wàn)位數(shù)字，所以 C=1。于是算式變成：38（2）填個(gè)位由算式可以看出，個(gè)位上只有減數(shù)的個(gè)位 D 沒(méi)有確定，其余都是 1，而 1-0=1，所以 D=0。這樣算式變成：（3）填千位從算式中可以看出，百位肯定沒(méi)有向千位借 1，否則 9-A 不可能等于A。這樣 10-A=A，即 10=AA，所以 A=5。這時(shí)算式變?yōu)椋海?）填十位在算式十位上 B-1=5，所以 B=6。于是百位上 E-6=1，所以 E=7。此題的解為：同學(xué)們通過(guò)上面例

40、題的分析不難看出：找到合適的解題突破口是解數(shù)字謎題的關(guān)鍵。在確定各數(shù)位上的數(shù)字時(shí)，我們對(duì)漢字或字母所表示的數(shù)進(jìn)行了估算，如例 3 中對(duì) T 的估算為：T 可能取 6，7，8。通過(guò)估算可以縮小漢字或字母的取值范圍，減少試驗(yàn)的次數(shù)，提高解題的速度。然后對(duì)漢字或字母可能取值的每種情況，逐一枚舉試驗(yàn)，淘汰不是解答的值，最后得到所要的解答。39在解許多數(shù)字謎的過(guò)程中，都需要對(duì)漢字或字母進(jìn)行類(lèi)似的分析，分析的是否合理、全面，這需要同學(xué)們?cè)诓粩嗟慕忸}過(guò)程中逐步積累經(jīng)驗(yàn)，提高分析判斷問(wèn)題的能力。這也正是向同學(xué)們介紹數(shù)字謎題的一個(gè)目的。練習(xí)五1.下面各題中的字母都代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字

41、母代表相同的數(shù)字。問(wèn)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立？2.下面各題中的每一個(gè)漢字都代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。問(wèn)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立？40六、數(shù)字謎（二）在上一講里，我們學(xué)習(xí)了加法和減法算式的數(shù)字謎，這一講我們來(lái)學(xué)習(xí)乘法和除法算式的數(shù)字謎。這些題目的分析思考方法與加減法算式的分析思考方法相同，請(qǐng)同學(xué)們看下面的例子。例 1 下面算式中不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立？分析與解 通過(guò)觀察，我們能很快發(fā)現(xiàn)：乘積與被乘數(shù)同為六位數(shù)，各數(shù)位上數(shù)字的順序也有一定的特征，請(qǐng)同學(xué)們自己觀察。正因?yàn)槌朔e與被乘數(shù)的位數(shù)相同，那么被乘數(shù)的最高位上的數(shù)春與乘數(shù)夏的范圍就被限制了，這正是我們解答此題的突破口。夏的范圍由算式中顯然可以看出：夏1。同時(shí)還可以看出：夏7，8，9。