單元十二 靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析

1、項(xiàng)目一 軸力和軸力圖一、內(nèi)力定義一、內(nèi)力定義 指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成（附加內(nèi)指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成（附加內(nèi)力）。力）。 二、軸力二、軸力 軸力圖軸力圖 內(nèi)力的計(jì)算是分析構(gòu)件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等問(wèn)題的基礎(chǔ)。求內(nèi)力的一般方法是截面法。1. 截面法的基本步驟：截面法的基本步驟： 截開(kāi)截開(kāi)：在所求內(nèi)力的截面處，假想地用截面將桿件一分為二。代替代替：任取一部分，其棄去部分對(duì)留下部分的作用，用作用 在截開(kāi)面上相應(yīng)的內(nèi)力（力或力偶）代替。平衡平衡：對(duì)留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的已知外力來(lái) 計(jì)算桿在截開(kāi)面上的未知內(nèi)力（此時(shí)截開(kāi)面上的內(nèi)力

2、 對(duì)所留部分而言是外力）。2. 軸力軸力軸向拉壓桿的內(nèi)力，用軸向拉壓桿的內(nèi)力，用N 表示。表示。例如： 截面法求N。 0 X0 NPNP APP簡(jiǎn)圖APPPAN截開(kāi)：截開(kāi)：代替：代替：平衡：平衡：反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀；確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。4.軸力圖軸力圖 N (x) 的圖象表示。的圖象表示。3. 軸力的正負(fù)規(guī)定軸力的正負(fù)規(guī)定: : N 與外法線同向,為正軸力(拉力)N與外法線反向,為負(fù)軸力(壓力)N 0NNN 0NNN(KN)xP+意意義義例例1 圖示桿的A、B、C、D點(diǎn)分別作用著大小為5P、8P、4P、 P 的力，

3、方向如圖，試畫(huà)出桿的軸力圖。解： 求OA段內(nèi)力N1：設(shè)置截面如圖ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN10 X01DCBAPPPPN 04851PPPPNPN21同理，求得AB、BC、CD段內(nèi)力分別為： N2= 3PN3= 5PN4= P軸力圖如右圖BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP+軸力(圖)的簡(jiǎn)便求法： 自左向右:軸力圖的特點(diǎn)：突變值 = 集中載荷 遇到向左的P， 軸力N 增量為正；遇到向右的P ， 軸力N 增量為負(fù)。5kN8kN3kN+3kN5kN8kN解：x 坐標(biāo)向右為正，坐標(biāo)原點(diǎn)在 自由端。取左側(cè)x 段為對(duì)象，內(nèi)力N(x)為：qq LxO

4、2021d)(kxxkxxNx2max21)(kLxN例例2 圖示桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，受分布力 q = kx 作用，方向如圖，試畫(huà)出 桿的軸力圖。Lq(x)Nxxq(x)NxO22kL項(xiàng)目二 剪力和彎矩 1）剪力Q：截面上的剪力Q使所取脫離體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)（或者左上右下）為正，反之為負(fù)。 2）彎矩M：截面上的彎矩M使所取脫離體產(chǎn)生下邊凸出的變形時(shí)（或者左順右逆）為正，反之為負(fù)。 為避免符號(hào)出錯(cuò),要求： 未知內(nèi)力均按符號(hào)規(guī)定的正向假設(shè)。 一、剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定二、確定指定截面上的剪力和彎矩 應(yīng)用截面法確定某一個(gè)指定截面上的剪力和彎矩，首先需要用假想橫截面從指定橫截面處將梁截為兩部分，然后，考慮其

5、中任一部分的受力，用平衡方程求解，即可得到該截面上的剪力和彎矩。例：例：懸臂梁如圖所示。求1-1截面和2-2截 面上的剪力和彎矩。解：解：1）求1-1截面上的內(nèi)力 0YqlPQ21100M218121qlPlM0211QqlP04)21(21MlqllP 求得的 Q1 、M1 均為負(fù)值,說(shuō)明內(nèi)力實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。矩心 O 是1-1截面的形心。2）求2-2截面上的內(nèi)力0YqlPQ200M2221qlPlM02QqlP02)(2MlqllP 求得的 Q2 、M2 均為負(fù)值,說(shuō)明內(nèi)力實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。矩心 O1是2-2截面的形心。返回 下一張 上一張 小結(jié)返回 下一張 上一張 小結(jié)三、用

6、簡(jiǎn)便方法求剪力和彎矩 （1）梁任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力沿截面方向投影的代數(shù)和；iQPQ 符號(hào)規(guī)定：外力使截面產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)（或左上右下）該截面剪力為正，否則為負(fù)； （2）梁任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和；)(iQoPMM 符號(hào)規(guī)定：外力使梁段產(chǎn)生上凹下凸變形時(shí)（或左順右逆）該截面彎矩為正，否則為負(fù)； 計(jì)算時(shí)可按二看一定的順序進(jìn)行：一看截面一側(cè)有幾個(gè)力，二看各力使梁段產(chǎn)生的變形，最后確定該截面內(nèi)力的數(shù)值。例例3-3：簡(jiǎn)支梁如圖所示。試計(jì)算1-1、2-2、 3-3、4-4 截面上的剪力和彎矩。 解解：

7、1）求支座反力 0AM0322LVLPpLB0MB 06P7P6PVPVYBA )(6032PVLVLPPLAA2）計(jì)算截面內(nèi)力 1-1截面：)(67PVB反力無(wú)誤。校核2-2截面：62PVQA9423632PLPLLpmLVMA3-3截面：63PVQA1872326)33(3PLPLLPmLLVMA4-4截面:674PVQB18736734PLLPLVMB16APQV 1318ALpLMV 項(xiàng)目三 剪力圖和彎矩圖 梁各截面的內(nèi)力隨截面位置而變化，其函數(shù)關(guān)系式 Qx=Q(x), Mx=M(x) 稱(chēng)作剪力方程和彎矩方程。 列內(nèi)力方程即求任意截面的內(nèi)力。qxPxQ)(221)(qxPxxM 反映剪

8、力（彎矩）隨截面位置變化規(guī)律的曲線，稱(chēng)作剪力（彎矩）圖。)0(lx )0(lx 返回 下一張 上一張 小結(jié) 一、剪力圖和彎矩圖的概念返回 下一張 上一張 小結(jié)二、剪力圖和彎矩圖的作法： 取平行梁軸的軸線表示截面位置，規(guī)定正值的剪力畫(huà)軸上側(cè)，正值的彎矩畫(huà)軸下側(cè)；可先列內(nèi)力方程再作其函數(shù)曲線圖。 如懸臂梁：當(dāng)x=o, Q(x)=-P, M(x)=0; x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2.221qlPl 其剪力圖和彎矩圖如圖示。 例 作圖示懸臂梁的內(nèi)力圖。 解：1.列內(nèi)力方程：（先確定x坐標(biāo)，再由直接法求x截面的內(nèi)力。）)0( ,)(lxPxQ)0( ,)(lxPxxM

9、2.作內(nèi)力圖：（先取坐標(biāo)系確定端點(diǎn)坐標(biāo)，再按內(nèi)力方程特征繪圖。）Q(x)等于常數(shù)，為水平線圖形；由;)(,)0(, 0PlQlxPQx作剪力圖 M(x)等于x的一次函數(shù)，為斜直線圖形；由;)(,; 0)0(, 0PllMlxMx作彎矩圖 結(jié)論：當(dāng)梁段上沒(méi)有荷載q作用時(shí)，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。FPFN+d FNFNFQ+dFQFQMM+dMdxdxqSNSddd ( ) ( )dddFFMF ,q x ,p xxxx三三.彎矩彎矩,剪力剪力,荷載集度之間的微分關(guān)系荷載集度之間的微分關(guān)系拋物拋物線線( (下凸下凸) ) 彎矩圖彎矩圖梁上梁上情況情況集中力集中力偶偶M作作用處用處鉸處鉸處S

10、NSddd ( ) ( )dddFFMF ,q x ,p xxxx FPlabABABlqFP aql2 2BAFlabBAqlFab lql2 8 M、Q、q三者間關(guān)系在內(nèi)力圖繪制中的應(yīng)用（內(nèi)力圖特征） q=0梁段 q=c梁段 P作用截面 m 作用梁段 梁上外力剪力圖彎矩圖 例例3-8：用簡(jiǎn)捷法繪出圖示簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力圖。解解：1）計(jì)算支座反力 )(KN6VA )(18KNVB0461864qVVYBAKNqVQKNQABC184664,6KNVQQAcA6, 0AM0)(qxVxQBmqVxB3618mKNqVMB2723330mKNVMAC122在Q=0處，彎矩有極值,數(shù)值為：由BC 段：A

11、B 段：BC 段：AB 段：3）畫(huà)內(nèi)力圖：（先求控制截面內(nèi)力值，再按內(nèi)力圖特征畫(huà)圖。） 剪力圖 校核無(wú)誤。2) 梁分段：為AC,CB兩段。彎矩圖4）確定內(nèi)力最大值：,18|maxkNQ在B支座處。,.27|maxmkNM在距B支座3m處。0BMm,24KN122AVCM四.區(qū)段疊加法作彎矩圖1、疊加原理、疊加原理 由幾個(gè)荷載所引起的反力，內(nèi)力或其它參數(shù)（應(yīng)力、位移）等于各個(gè)荷載單獨(dú)引起的該參數(shù)值相疊加。 疊加原理適用條件：參數(shù)與荷載成線性關(guān)系。即各種荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的效應(yīng)（即各參數(shù)）彼此獨(dú)立。 對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，小變形假設(shè)可保證這一點(diǎn)。簡(jiǎn)支梁的彎矩圖簡(jiǎn)支梁的彎矩圖M2M1FP l/4FP l/4(M1

12、+M2)/2M1l/2l/2FPM2M1M2FP疊加法是數(shù)值的疊加，不是圖形的拼湊。疊加法是數(shù)值的疊加，不是圖形的拼湊。(MJK+MKJ)/2ql2/8FPqlJKMKJMJKMKJMJK疊加法作彎矩圖步驟：疊加法作彎矩圖步驟：（1）求得區(qū)段兩端的彎矩值，）求得區(qū)段兩端的彎矩值，將彎矩縱坐標(biāo)連成直線。將彎矩縱坐標(biāo)連成直線。（2）將區(qū)段中的荷載作用在簡(jiǎn)）將區(qū)段中的荷載作用在簡(jiǎn)支梁上的彎矩圖疊加。支梁上的彎矩圖疊加。上述疊加法適合于任何區(qū)段上述疊加法適合于任何區(qū)段 二、 疊加法作剪力圖和彎矩圖 步驟： 1）先把作用在梁上的復(fù)雜荷載分解為幾組簡(jiǎn)單荷載單獨(dú)作用情況； 2）分別作出各簡(jiǎn)單荷載單獨(dú)作用下梁

13、的剪力圖和彎矩圖。 3）疊加各內(nèi)力圖上對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)代數(shù)值，得原梁的內(nèi)力圖。 注意：疊加不是圖形的拼合，而是將同一截面上的內(nèi)力值代數(shù)相加；是各簡(jiǎn)單荷載下的內(nèi)力圖在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相加。例 用疊加法作圖所示外伸梁的 M 圖。解解：1）先分解荷載為P1、P2單獨(dú)作用情況； 2）分別作出各荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖； 如圖 a 3）疊加各控制截面各彎矩圖上的縱坐標(biāo)得梁的彎矩圖。如圖d 三、區(qū)段疊加法作梁彎矩圖(適用于復(fù)雜荷載作用下結(jié)構(gòu)的彎矩圖。) 梁中取出的任意梁段都可看作是簡(jiǎn)支梁，用疊加法作簡(jiǎn)支梁的彎矩圖即梁段的彎矩圖。 梁段中的極值的求法： 1.列剪力方程； 2.令剪力方程為零，確定X坐標(biāo)； 3.將X

14、截面各M圖的縱坐標(biāo)疊加。 ;2BDCDBCBCLLPLMM 因?yàn)镸極值未必是最大值，且一般極值與跨中截面的彎矩值較接近，故結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算時(shí)多求梁段中 點(diǎn)彎矩，而不求極值，以簡(jiǎn)化計(jì)算。作圖示梁的彎矩圖和剪力圖作圖示梁的彎矩圖和剪力圖FA=58 kNFB=12 kN164618201826MEqMFFQFFQE10單位單位: kN m.FQ 圖圖( kN )項(xiàng)目四 剛架與桁架的內(nèi)力一、靜定平面剛架1、剛架的特征 由梁和柱組成，節(jié)點(diǎn)全部或部分為剛節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為剛架。 a、剛節(jié)點(diǎn)雖然在荷載作用下會(huì)產(chǎn)生線位移和角位移，但梁和柱間的夾角保持不變。 b、剛架中，主要依靠剛節(jié)點(diǎn)來(lái)保持幾何形狀的不變性。 c、從內(nèi)

15、力角度來(lái)看，剛節(jié)點(diǎn)往往使得桿件的內(nèi)力分布變得均勻，由于剛節(jié)點(diǎn)能承受彎矩，故使得橫梁跨中彎矩的峰值得到消減。1 1、懸臂剛架、懸臂剛架2 2、簡(jiǎn)支剛架、簡(jiǎn)支剛架3 3、三鉸剛架、三鉸剛架4 4、主從剛架、主從剛架二、靜定剛架類(lèi)型二、靜定剛架類(lèi)型 分段分段：根據(jù)荷載不連續(xù)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)分段。：根據(jù)荷載不連續(xù)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)分段。定形定形：根據(jù)每段內(nèi)的荷載情況，定出內(nèi)力圖的形狀。：根據(jù)每段內(nèi)的荷載情況，定出內(nèi)力圖的形狀。求值求值：由截面法或內(nèi)力算式，求出各控制截面的內(nèi)：由截面法或內(nèi)力算式，求出各控制截面的內(nèi)力值。力值。畫(huà)圖畫(huà)圖：畫(huà)：畫(huà)M M圖時(shí)，將兩端彎矩豎標(biāo)畫(huà)在受拉側(cè)，連以圖時(shí)，將兩端彎矩豎標(biāo)畫(huà)在受拉側(cè)，連以直

16、線，再疊加上橫向荷載產(chǎn)生的簡(jiǎn)支梁的彎矩圖。直線，再疊加上橫向荷載產(chǎn)生的簡(jiǎn)支梁的彎矩圖。Q Q，N N 圖要標(biāo)圖要標(biāo) ，號(hào)；豎標(biāo)大致成比例。，號(hào)；豎標(biāo)大致成比例。三、剛架的內(nèi)力分析及內(nèi)力圖的繪制三、剛架的內(nèi)力分析及內(nèi)力圖的繪制例例: 作圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖作圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖l2/lP2/l2/Pl懸臂剛架懸臂剛架ABCD彎矩圖0DCM22()CDMP lPl右側(cè)受拉2()CBCDMMPl上側(cè)受拉2()BCMPl上側(cè)受拉2()BABCMMPl左側(cè)受拉22()ABMP lPl 右側(cè)受拉M圖CD桿：CB桿：BA桿：2Pl2PlNF 圖PPSF圖P剪力圖CD桿：CB桿：BA桿：SCDSDCFFP0SCBSBCF

17、FSABSBAFFP 軸力圖CD桿：CB桿：BA桿：0NCDNDCFFNCBNBCFFP 0NABNBAFFl2/lP2/lABCD校核lllPP練習(xí)練習(xí): 作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖M圖PPPPPNF 圖SF圖PlPlPlPl簡(jiǎn)支剛架熟練、準(zhǔn)確熟練、準(zhǔn)確PPP02002AyBxxByyAMFFFFFFFF，解（1）求支反力）求支反力2aaaFABC例（2）作內(nèi)力圖）作內(nèi)力圖ByF= F 2AyF= F 2AxF= F2aaaFABCByF= F 2AyF= F 2AxF= F彎矩圖0BCM2 2()CBMFaFa下側(cè)受拉CACBMMFa （右側(cè)受拉）0ACMBC桿：AC桿：M圖圖Fa2Fa2aaaFA

18、BCByF= F 2AyF= F 2AxF= F剪力圖2SBCSCBFFF 0SCAFSACFFBC桿：AC桿：軸力圖0NBCNCBFF2NACNACFFFBC桿：AC桿：F /2FN圖圖F /2 圖圖FsF校核11.2440()BAAxMFkN m右側(cè)受拉()BCBAMM下側(cè)受拉彎矩圖剪力圖10SABSBAFFkN28.3SCBFkN 28.3 10 31.7SBCFkN 軸力圖AB桿：BC桿：AB桿：1.67NABNBAFFkN SF圖（kN）NF 圖（kN）校核M圖（kN.m） 圖（kN）SFNF 圖（kN）練習(xí)40401 1、桁架的特點(diǎn)和分類(lèi)、桁架的特點(diǎn)和分類(lèi) 桁架是由鏈桿組成的格構(gòu)體

19、系，當(dāng)荷載僅作用在結(jié)點(diǎn)上時(shí)，桿件僅承桁架是由鏈桿組成的格構(gòu)體系，當(dāng)荷載僅作用在結(jié)點(diǎn)上時(shí)，桿件僅承受軸向力，截面上只有均勻分布的正應(yīng)力。受軸向力，截面上只有均勻分布的正應(yīng)力。理想桁架：理想桁架：（1 1）結(jié)點(diǎn)是光滑無(wú)摩擦的鉸結(jié)點(diǎn)；）結(jié)點(diǎn)是光滑無(wú)摩擦的鉸結(jié)點(diǎn)；（2 2）各桿軸線都是直線，通過(guò)鉸中心；）各桿軸線都是直線，通過(guò)鉸中心；（3 3）荷載和支座反力都作用在結(jié)點(diǎn)上）荷載和支座反力都作用在結(jié)點(diǎn)上上弦桿腹桿下弦桿二、靜定平面桁架二、靜定平面桁架二、結(jié)點(diǎn)法 結(jié)點(diǎn)法可以求出簡(jiǎn)單桁架全部桿件的軸力。 為求各桿軸力，需作結(jié)點(diǎn)隔離體。若隔離體只包含一個(gè)結(jié)點(diǎn)，則稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)法。 作用在結(jié)點(diǎn)上的力系為平面匯交力系，

20、有兩個(gè)平衡方程，可以求出兩個(gè)未知力。當(dāng)結(jié)點(diǎn)上的未知力有三個(gè)或三個(gè)以上時(shí)結(jié)點(diǎn)法失效，但有時(shí)能求得其中的一個(gè)未知力。 由于平面匯交力系向平面上任意一點(diǎn)的力矩代數(shù)和等于零，故除了投影方程外，亦可以用力矩方程求解。 不要用聯(lián)立方程求桁架各桿的軸力。一個(gè)方程求出一個(gè)未知軸力。 對(duì)于簡(jiǎn)單桁架，截取結(jié)點(diǎn)隔離體的順序與桁架幾何組成順序相反。平衡方程為： 或00 xyFF00ABMM 幾何組成順序A、B、C、D、E取結(jié)點(diǎn)隔離體順序E、D、C、B、AABDCE應(yīng)熟練運(yùn)用如下比擬關(guān)系： yxNxyNxyxyxxyyyyxxFFFlllllFFFlllFFllFFlFNFNFNFxFylxlyl1N2N1N2N01N

21、02NPN 102N1N2N3N21NN 03N1N12NN2N 結(jié)點(diǎn)單桿內(nèi)力可直接根據(jù)靜力平衡條件求。結(jié)點(diǎn)單桿內(nèi)力可直接根據(jù)靜力平衡條件求。例 用結(jié)點(diǎn)法求各桿軸力。解：1）支座反力2）判斷零桿FyA=FyB=30kN()FxA=0見(jiàn)圖中標(biāo)注。3）求各桿軸力取結(jié)點(diǎn)隔離體順序?yàn)椋篈、E、D、C。結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，荷載對(duì)稱(chēng)，只需計(jì)算半邊結(jié)構(gòu)。A20kNBCDEGFH30kN2m2m2m2m1m1m-67.08-44.72-22.3660602020kN20kN30kN000結(jié)點(diǎn)A30()30(2 1)60()30( 5 1)67.08yADxADyADxyNADyADyFkNFFllkNFFl lkN 0

22、yF （壓）結(jié)點(diǎn)EE60kNFNEF0A30kNFNAEFxADFyADFNAD1250 xF 60()NAExADFFkN 拉0 xF 60()N EFFkN拉結(jié)點(diǎn)D將FNDF延伸到F結(jié)點(diǎn)分解為FxDF及FyDFFxDFA20kNFNDCCFFyDFFNDFFNDF30 5D1250CM220 2020 xDFxDFFFkN (/)20(1/2)10( /)20( 5 /2)10 522.36()yDFxDFyxNDFxDFxFFllkNFFl lkN 壓FxDFA20kNFNDCCFFyDFFNDFFNDF30 5D0yF 302003020 1020( /)20( 5 /1)44.72()yDCyDFyDCNDCyDCyFFFkNFFl lkN 壓(10)yDFFkN 125結(jié)點(diǎn)CFNCFC20kN2052050yF 2040020()NCFNCFFFkN拉一、一、 平面一般力系平面一般力系 0X 0Y 0M截面單桿截面單桿：任意隔離體中，除某一桿件外，任意隔離體中，除某一桿件外，其它所有待求內(nèi)力的桿件均相交于一點(diǎn)時(shí)，則