焊接數(shù)值模擬PPT課件

1、材料加工過(guò)程的數(shù)值模擬第二章：溫度場(chǎng)數(shù)值模擬焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算1材料焊接過(guò)程的數(shù)值模擬材料加工過(guò)程的數(shù)值模擬焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算2 概述概述焊接過(guò)程數(shù)值分析的內(nèi)容焊接過(guò)程的特點(diǎn)焊接過(guò)程中溫度應(yīng)力和變形組織轉(zhuǎn)變的關(guān)系焊接過(guò)程數(shù)值分析的主要困難焊接過(guò)程的數(shù)值模擬焊接過(guò)程的數(shù)值模擬 焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算3焊接數(shù)值分析的內(nèi)容焊接熔池中的流體動(dòng)力學(xué)和熱過(guò)程焊接熔池中的流體動(dòng)力學(xué)和熱過(guò)程熱源與金屬的相互作用熱源與金屬的相互作用 焊接電弧物理，焊接電弧的傳熱與傳質(zhì)焊接電弧物理，焊接電弧的傳熱與傳質(zhì)電弧作用于熔池表面的熱能和壓力分布電弧作用于熔池表面的熱能和壓力分布熔池表面的變形熔池表面的變形液

2、態(tài)金屬的蒸發(fā)液態(tài)金屬的蒸發(fā)氫及氮氧等在熔池及環(huán)境之間的分配氫及氮氧等在熔池及環(huán)境之間的分配焊接冶金和焊接接頭組織性能的預(yù)測(cè)，包括相變過(guò)程焊接冶金和焊接接頭組織性能的預(yù)測(cè)，包括相變過(guò)程焊接應(yīng)力與變形焊接應(yīng)力與變形焊接過(guò)程中的氫擴(kuò)散焊接過(guò)程中的氫擴(kuò)散特種焊的數(shù)值模擬特種焊的數(shù)值模擬 電阻點(diǎn)焊電阻點(diǎn)焊 陶瓷金屬的焊接陶瓷金屬的焊接 激光焊的熔化和凝固激光焊的熔化和凝固 瞬態(tài)液相連接（過(guò)渡液相焊）瞬態(tài)液相連接（過(guò)渡液相焊） 攪拌摩擦焊攪拌摩擦焊焊接接頭的力學(xué)行為焊接裂紋焊接接頭的力學(xué)行為焊接裂紋 熱裂紋，冷裂紋，裂紋的熱裂紋，冷裂紋，裂紋的 形成和擴(kuò)展，形成和擴(kuò)展， 焊接接頭的不均勻性焊接接頭的不均勻

3、性 焊接斷裂力學(xué)焊接斷裂力學(xué)焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算4焊接數(shù)值模擬的研究：電弧焊焊接數(shù)值模擬的研究：電弧焊電弧部分電弧部分 流場(chǎng)、溫度場(chǎng)、電場(chǎng)流場(chǎng)、溫度場(chǎng)、電場(chǎng) 研究各種工藝參數(shù)（電流、電壓、弧柱氣氛，電極伸出長(zhǎng)度等等）對(duì)溫度場(chǎng)，電研究各種工藝參數(shù)（電流、電壓、弧柱氣氛，電極伸出長(zhǎng)度等等）對(duì)溫度場(chǎng)，電流密度，壓降分布以及熔滴過(guò)渡過(guò)程的影響規(guī)律流密度，壓降分布以及熔滴過(guò)渡過(guò)程的影響規(guī)律熔池部分熔池部分 熔池形狀熔池形狀 流場(chǎng)、溫度場(chǎng)，主要研究成分和工藝因素對(duì)熔池形狀的影響，針對(duì)焊縫形狀控制流場(chǎng)、溫度場(chǎng)，主要研究成分和工藝因素對(duì)熔池形狀的影響，針對(duì)焊縫形狀控制 冶金過(guò)程冶金過(guò)程熔池中氣體的吸收熔池

4、中氣體的吸收各種氧化物氮化物的形成及其作為非均質(zhì)核心的可能各種氧化物氮化物的形成及其作為非均質(zhì)核心的可能凝固熔質(zhì)元素分布（偏析）凝固組織大小，結(jié)晶路徑，凝固熔質(zhì)元素分布（偏析）凝固組織大小，結(jié)晶路徑，BTRBTR區(qū)間等區(qū)間等結(jié)構(gòu)部分結(jié)構(gòu)部分 熱過(guò)程溫度分布，預(yù)測(cè)熱影響區(qū)大小，冷卻時(shí)間，熱過(guò)程溫度分布，預(yù)測(cè)熱影響區(qū)大小，冷卻時(shí)間，TmaxTmax，thth，t8/5t8/5等等 力過(guò)程應(yīng)力應(yīng)變過(guò)程，殘余應(yīng)力和變形，預(yù)測(cè)裂紋，控制殘余應(yīng)力和變形力過(guò)程應(yīng)力應(yīng)變過(guò)程，殘余應(yīng)力和變形，預(yù)測(cè)裂紋，控制殘余應(yīng)力和變形 冶金過(guò)程晶粒長(zhǎng)大，相變，氫擴(kuò)散，接頭組織性能預(yù)測(cè)，冷裂敏感性預(yù)測(cè)等冶金過(guò)程晶粒長(zhǎng)大，相變，

5、氫擴(kuò)散，接頭組織性能預(yù)測(cè)，冷裂敏感性預(yù)測(cè)等 接頭性能與服役行為不均質(zhì)、存在缺陷、殘余應(yīng)力斷裂行為（韌性，強(qiáng)度，接頭性能與服役行為不均質(zhì)、存在缺陷、殘余應(yīng)力斷裂行為（韌性，強(qiáng)度，疲勞性能等）與可靠性分析等等疲勞性能等）與可靠性分析等等 焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算5焊接數(shù)值模擬：其他焊接方法焊接數(shù)值模擬：其他焊接方法 電阻點(diǎn)焊電阻點(diǎn)焊熔核的形成與控制，性能預(yù)測(cè)與分析 擴(kuò)散焊擴(kuò)散焊過(guò)程模擬，溫度，壓力對(duì)界面接合的影響；TLP過(guò)程的模擬 釬焊釬焊SMT焊點(diǎn)形態(tài)模擬，焊點(diǎn)服役過(guò)程中的熱應(yīng)力應(yīng)變循環(huán)，壽命估計(jì)等等 激光焊接激光焊接焊接溫度場(chǎng)模擬與接頭的形成及預(yù)測(cè)，激光相變硬化時(shí)的三維溫度場(chǎng)模擬與處理 焊接數(shù)

6、值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算6Fluid Flow and Surface Deformation in Weld Pool The following computer simulation shows the flow of metal within a weld pool during welding. The colours represent the temperature in Kelvin. Notice also that the surface of the pool is deformed (i.e., it is not flat. The shape of the surface

7、 trailing the welding arc becomes frozen in and determines the surface topology of the final weld. A surface topology which causes the concentration of stress during service can be detrimental to the fatigue life of the engineering structure containing the weld. The work is due to G. G. Roy and T. D

8、ebRoy of Penssylvania State University, U.S.A.For a review of the subject, see: T. DebRoy, Role of Interfacial Phenomena in Numerical Analysis of Weldability, Mathematical Modelling of Weld Phenomena II, The Institute of Materials, London, (1995) pp. 3-21. 焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算7焊接過(guò)程中劇烈變化的溫度場(chǎng)焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算8焊接溫度

9、場(chǎng)、應(yīng)力和變形場(chǎng)及顯微組織場(chǎng)的相互關(guān)系熱力學(xué)溫度場(chǎng)力 學(xué)應(yīng)力和變形場(chǎng)金 相 學(xué)顯微組織狀態(tài)場(chǎng)熱應(yīng)力熱應(yīng)力變形熱變形熱相變潛熱相變潛熱顯微組織轉(zhuǎn)變顯微組織轉(zhuǎn)變應(yīng)力導(dǎo)致相變應(yīng)力導(dǎo)致相變相變應(yīng)力相變應(yīng)力焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算95種不同熱源模型 焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算10 熱傳導(dǎo)微分方程 移動(dòng)的焊接熱源 非線性的散熱條件tQczTyTxTctTv1222222)(0TTaqrc焊接溫度場(chǎng)的數(shù)值模擬焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算11焊接溫度場(chǎng)的數(shù)值模擬焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算12焊接溫度場(chǎng)的數(shù)值模擬焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算13教學(xué)目的 掌握基本的傳熱知識(shí) 了解熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì) 了解傳熱問(wèn)

10、題的數(shù)值計(jì)算方法 掌握實(shí)際熱加工過(guò)程溫度場(chǎng)數(shù)值模擬的基本步驟焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算14先修課程 傳熱學(xué) 高等數(shù)學(xué) 線性代數(shù) 數(shù)值分析 熱加工基本理論 材料基礎(chǔ)知識(shí)焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算15參考書目 鑄件凝固過(guò)程數(shù)值模擬，陳海清等，重慶大學(xué)出版社，1991（TG21-C4-2） 焊接熱過(guò)程數(shù)值分析，武傳松，哈工大出版社，1990（TG402-N74） 計(jì)算機(jī)在鑄造中的應(yīng)用，程軍，機(jī)械工業(yè)出版社，1993（TG248-C73） 計(jì)算傳熱學(xué)，郭寬良，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1988（TK124-43-G91） 焊接熱效應(yīng)，德D.拉達(dá)伊，機(jī)械工業(yè)出版社，1997焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算162-1

11、熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的意義 材料熱加工鑄造：液態(tài)流動(dòng)充型、凝固結(jié)晶等；鍛壓：固態(tài)流動(dòng)變形、相變、再結(jié)晶等；焊接：熔池金屬熔化、凝固結(jié)晶；熱影響區(qū)金屬經(jīng)歷不同的熱處理過(guò)程；熱處理：相變、再結(jié)晶等；特點(diǎn)：復(fù)雜的物理、化學(xué)、冶金變化 熱加工過(guò)程目的獲得一定的形狀、尺寸、成分和組織成為零件、毛坯、結(jié)構(gòu)焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算172-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的意義 熱加工過(guò)程的結(jié)果成型和改性：使材料的成分、組織、性能最后處于最佳狀態(tài) 熱加工工藝設(shè)計(jì)根據(jù)所要求的組織和性能，制定合理的熱加工工藝，指導(dǎo)材料的熱加工過(guò)程 熱加工工藝設(shè)計(jì)存在的問(wèn)題復(fù)雜的高溫、動(dòng)態(tài)、瞬時(shí)過(guò)程：難

12、以直接觀察，間接測(cè)試也十分困難建立在“經(jīng)驗(yàn)”、“技藝”基礎(chǔ)上焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算182-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的意義 解決方法熱加工工藝模擬技術(shù)：在材料熱加工理論指導(dǎo)下，通過(guò)數(shù)值模擬和物理模擬，在實(shí)驗(yàn)室動(dòng)態(tài)仿真材料的熱加工過(guò)程，預(yù)測(cè)實(shí)際工藝條件下的材料的最后組織、性能和質(zhì)量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)熱加工工藝的優(yōu)化設(shè)計(jì) 熱加工過(guò)程模擬的意義認(rèn)識(shí)過(guò)程或工藝的本質(zhì)，預(yù)測(cè)并優(yōu)化過(guò)程和工藝的結(jié)果（組織和性能）與制造過(guò)程結(jié)合，實(shí)現(xiàn)快速設(shè)計(jì)和制造焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算192-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的發(fā)展歷程 60年代（起源于鑄造） 丹麥的Forsund首次采用有限差分計(jì)算了鑄

13、件凝固過(guò)程的傳熱。 美國(guó)隨后進(jìn)行了大型鑄鋼件溫度場(chǎng)的數(shù)值模擬 70年代（擴(kuò)展） 更多的國(guó)家加入 擴(kuò)展到鍛壓、焊接和熱處理 80年代以后（迅速發(fā)展） 1981年開始，每?jī)赡昱e辦一次鑄造和焊接過(guò)程的數(shù)值模擬國(guó)際會(huì)議 1992年開始，每?jī)赡昱e辦一次焊接過(guò)程數(shù)值模擬國(guó)際大會(huì) 目前（成為研究熱點(diǎn)） 國(guó)家攀登計(jì)劃 973基礎(chǔ)研究計(jì)劃焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算202-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的發(fā)展趨勢(shì) 宏觀中觀微觀宏觀：形狀、尺寸、輪廓中觀：組織和性能微觀：相變、結(jié)晶、再結(jié)晶、偏析、擴(kuò)散、氣體析出 單一、分散耦合集成流場(chǎng)溫度場(chǎng)溫度場(chǎng)應(yīng)力/應(yīng)變場(chǎng)溫度場(chǎng)組織場(chǎng)應(yīng)力/應(yīng)變場(chǎng)組織場(chǎng)焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)

14、值計(jì)算212-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的發(fā)展趨勢(shì) 重視提高數(shù)值模擬的精度和速度 重視精確的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)獲得與積累 與生產(chǎn)技術(shù)其他技術(shù)環(huán)節(jié)集成，成為先進(jìn)制造技術(shù)的重要組成與產(chǎn)品設(shè)計(jì)系統(tǒng)集成與零件加工制造系統(tǒng)集成焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算222-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀部分商業(yè)軟件 鑄造PROCAST, SIMULOR 鍛壓DEFORM, AUTOFORGE, SUPERFORGE 通用MARC, ABAQUS, ADINA, ANSYS焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算232-2溫度場(chǎng)及傳熱的基本概念 溫度場(chǎng)定義在 x、y、z直角坐標(biāo)系中，連續(xù)介質(zhì)各個(gè)地點(diǎn)在同一時(shí)刻的溫度分布，叫做溫度場(chǎng)。

15、T=f(x,y,z,t) 穩(wěn)定溫度場(chǎng)T= f(x,y,z) 不穩(wěn)定溫度場(chǎng)T=f(x,y,z,t) 等溫面 等溫線焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算24熱量傳遞的三種基本形式/熱傳導(dǎo) 定義：物體各個(gè)部分之間不發(fā)生相對(duì)位移時(shí)，依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的熱量傳遞。 表達(dá)式： 傅立葉定律：矢量表示：xTFQxTFQnnTgradqkzjyigradnnTgradTTTxTT T 焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算25熱量傳遞的三種基本形式/熱對(duì)流 定義運(yùn)動(dòng)的流體質(zhì)點(diǎn)發(fā)生相對(duì)位移而引起的熱轉(zhuǎn)移現(xiàn)象 遵循的定律牛頓定律公式：)FT(TQ0ccaac:對(duì)流放熱系數(shù)，單位W/（m2. OC）焊接數(shù)值計(jì)算焊

16、接數(shù)值計(jì)算26熱量傳遞的三種基本形式/熱輻射 定義物質(zhì)受熱后，內(nèi)部原子震動(dòng)而出現(xiàn)的一種電磁波能量傳遞。 遵循定律斯蒂芬-波爾茲曼定律公式： T：熱力學(xué)溫度（k） C：輻射系數(shù)，C=C0, C0=5.67W/m2.K4 黑度系數(shù)兩物體之間熱輻射交換：QR= C0(T14- T24)4cTQ 焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算27導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)模型建立與描述熱傳導(dǎo)微分方程式根據(jù)A傅里葉公式B能量守恒定律建立：dxdydz、體積元1：x、y、z、三個(gè)方向2zyxQQQ：、三個(gè)方向輸入熱量3dzzdyyxQQQ：、三個(gè)方向輸出熱量dx4焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算28zzqdqdzz：dxdydz、體積元1熱傳導(dǎo)微分方

17、程式是根據(jù)傅里葉公式和能量守恒定律建立的：x、y、z、三個(gè)方向2zyxQQQ：、三個(gè)方向輸入熱量3dzzdyyxQQQ：、三個(gè)方向輸出熱量dx4焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)模型建立與描述29Tqn dQcdxdydzdT)(dxdydtdqdxdzdtdqdydzdtdqdQdQdQdQzyxzyxdzzqdqdyyqdqdxxqdqzzyyxxdxdydzzTzyTyxTxdQdtTdT焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算30TzTyTxTcT2222222222222zTyTxTtT2222yTxTtT22xTtT焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算31 WTf t Wqf tWWfqTT f xxf xd

18、fdxx f xf xxdfdxx 1122f xxf xf xf xxf xxf xxdfdxxxx焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算32 22323.02!3!f xxf xxdfx d fd fxxdxdxdx 22323.02!3!f xf xxxdfx d fd fxxdxdxdx 2323.023!f xxf xxxdfd fxxdxdx 2222f xxf xf xf xxf xxf xf xxd fxxdxxx 222220f xxf xf xxd fxdxx2210,0TTtxLxt焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算332210,0PPiiTTtxLxt10PPPiiiTTTttt2211222

19、0PPPPiiiiTTTTxxx1221122200PPPPPPiiiiiiTTTTTTxtxtx121122100PPPPPiiiiiTTTTTtxtx 1112210PPPPPiiiiiTTTTTtx焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算3411122PPPPPiiiiitTTTTTx202ttFxcx1221PPiiTTxt111121122100PPPPPiiiiiTTTTTxttx11111122PPPPPiiiiitTTTTTx焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算35112222211122PPPiiiTTTxxt1122022PPPiiiTTTttt1112211112222111022PPPPPPPii

20、iiiiiiTTTTTTT Ttxtxx 11111111222211122PPPPPPPPiiiiiiiiTTTTTTTTtxx11101001010012 12 1PPPPPPiiiiiiFTF TFTFTF TFT焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算361222211PPPiiiTTTxxt1110100101001121121PPPiiiPPPiiiF TFTF TF TFTF T 22122210,0TTTxLyLxyt122222222,11PPPi ji ji jTTTTTxyxyt焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算371111111,1,1,12211,1,1,1,22222211PPPPPPiji

21、 jiji ji ji jPPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTxyTTTTTTTTtxy11,1,1,1,22221PPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTTTtxy11111111,1,1,1,22221PPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTTTtxy焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算381111111,1,1,12211,1,1,1,22221222112PPPPPPiji jiji ji ji jPPPPPPPPiji jiji ji ji ji ji jTTTTTTxyTTTTTTTTtxy1,

22、1,1,1,11102212PPPPPPiji ji ji ji ji jPPi ji jTTTTTTxxyxyyTTxcyt焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算391,01,1,10,21 4PPPPPi jiji ji ji jTFTTTF T1,1,1,1,11122112PPPPPPiji jiji ji ji jPPi ji jrTTTTTTyyxxxyTTyqxcxt1,01,1,10,221 4PPPPPri jijiji ji jqtTF TTTF TcxcfTTTx焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算401,1,1,1,11211212PPPPiji ji ji jPPi ji jPcfi jPPi

23、 ji jTTTTxyxyTTxyTTyTTxcyt1,0,1,11,0,2221 4PPPPPcci ji ji jiji jttTF TTTFTTcxcx,Pi jWTT焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算411,1,4,1,40,1,11221112PPPPiji jiji jPPi ji jPfi jPPi ji jTTTTyyxxTTxcxTTyTTycxt1,01,1,10,440,21 42PPPPPi jijiji ji jPfi jTF TTTF TctTTcx1,1,1,11122211222PPPPiji ji ji jrPPi ji jPcfi jTTTTyxxqxyTTyxyTT

24、ct焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算421,01,10,221 422PPPPi jiji ji jrPcfi jtTF TTF Tqc xtTTc x焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算43導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述建立基礎(chǔ)：傅立葉定律和能量守恒定律在d 時(shí)間內(nèi)，沿X方向?qū)胛⒃w的熱量：Qx=qx dAd= qx dy dz d 在d 時(shí)間內(nèi)，沿X方向?qū)С鑫⒃w的熱量：Qx+ dX =qx+ dX dAd= qx +dX dy dz d 在d 時(shí)間內(nèi)，沿X方向在微元體內(nèi)積蓄的熱量：dQx = Qx - Qx+ dX =(qx - qx +dX ) dy dz d = d qx dy dz d 同理： dQy = d qy

25、 dx dz d dQz = d qz dx dy d 焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算44導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述微元體中總的積蓄熱量：dQ= dQx + dQy + dQz = (d qx dy dz d +d qy dx dz d + d qz dx dy d )dzzqzdyyqydxxqxzyxdqdqdqzTqyTqxTqzyxdxdydzdzTyTxTdxdydzdzTzyTyxTxdxdydzdzqyqxqzyx)(222222)()()()焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算45 另： dTdxdydzcdTdxdydzcdQdTdTdxdydzdTcdQcTTcTTcdxdydzddTdxdydzczT

26、yTxTzTyTxTzTyTxT,)()()(2222222222222222222導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算46導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述 一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱： 二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱： 三維穩(wěn)定導(dǎo)熱： 一般表達(dá)式：)(22xTT)(2222yTxTT02222222222220)(zTyTxTzTyTxTT.)()()(QzTzyTyxTxTc焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算47導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述初始條件和邊界條件 初始條件：物體開始導(dǎo)熱瞬時(shí)的溫度分布，T=f(x,y,z) （=0） 邊界條件：物體表面與周圍介質(zhì)交換的情況第一類邊界條件：已知物體表面溫度Tw隨時(shí)間變化關(guān)系。 Tw=f()第二類邊界條件：已知物體表

27、面比熱流量qw隨時(shí)間變化關(guān)系。qw=f()第三類邊界條件：已知物體周圍介質(zhì)溫度Tf物體表面溫度（ Tw ）以及物體表面與周圍介質(zhì)間的放熱系數(shù)。 qw= （ Tw - Tf ）焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算482-3傳熱問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法 分析解法定義：以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，求解導(dǎo)熱微分方程的定解問(wèn)題。特點(diǎn)：求得的結(jié)果為精確解不足：只能求解比較簡(jiǎn)單的導(dǎo)熱問(wèn)題，而對(duì)于幾何形狀復(fù)雜、變物性及復(fù)雜的邊界條件的導(dǎo)熱問(wèn)題，難以計(jì)算。 數(shù)值解法定義：是一種以離散數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為工具的求解方法。特點(diǎn)：不能獲得未知量的連續(xù)函數(shù)，而只是某些代表性地點(diǎn)的近似值步驟種類：有限差分法、有限元法、邊界元法、有限容積法等焊接數(shù)

28、值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算49焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算502-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟 分析和簡(jiǎn)化物理模型判斷問(wèn)題屬于穩(wěn)態(tài)問(wèn)題還是非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題有無(wú)內(nèi)熱源適宜的坐標(biāo)判斷邊界條件的類型 數(shù)學(xué)模型的建立一般模型：物性參數(shù)為常數(shù)：非穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源物性參數(shù)為常數(shù)：.)()()(QzTzyTyxTxTcQzTyTxTT)222222(12222221zTyTxTT焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算512-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源：采用圓柱坐標(biāo)時(shí)，若物性參數(shù)為常數(shù)，由于:0222222zTyTxTQzTTrrTrrTTzzryrx)11(1,sin,cos2222222有：焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算52

29、2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟區(qū)域和時(shí)域的離散區(qū)域的離散：將幾何連續(xù)點(diǎn)的區(qū)域用一些列網(wǎng)格線分割開，形成一系列單元。 節(jié)點(diǎn)：每個(gè)單元的中心稱為節(jié)點(diǎn)（內(nèi)節(jié)點(diǎn)、邊界節(jié)點(diǎn)） 步長(zhǎng)：節(jié)點(diǎn)之間的距離（等步長(zhǎng)、變步長(zhǎng)），表示為x, y, z時(shí)域的離散：非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題將時(shí)間分割成時(shí)間段 時(shí)間步長(zhǎng)：每個(gè)計(jì)算時(shí)間間隔的長(zhǎng)短， 焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算532-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)差分方程的建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)一般采用直接法：即由導(dǎo)熱微分方程直接用差商代替微商，導(dǎo)出遞推公式，也可采用熱平衡法；邊界節(jié)點(diǎn)一般采用熱平衡法，視具體邊界建立相應(yīng)的能量方程選擇求解差分方程組矩陣的計(jì)算方法編寫計(jì)算程序計(jì)算計(jì)算

30、結(jié)果的處理和分析討論焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算542-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法一、有限差分的概念 微商和差商的定義若T(x)是連續(xù)函數(shù)，則它的導(dǎo)數(shù)為： 稱為微商， 稱為差商，兩者之差代表以差商代替微商帶來(lái)的誤差。xTxxTxxTdxdTxx00lim)()(limdxdTxT焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算55二、差商的形式1、向前差商 表示第5項(xiàng)以后各項(xiàng)的代數(shù)和，其值與（x）4的值屬同一個(gè)數(shù)量級(jí)。xxTxxTdxdT)()()()(!3)()(!2)()()()(432xOxTxxTxxTxxTxxT )(4xO )()()(.)(! 3)()(! 2)()()(2xodxdTxxTxxTxTxxTx

31、xTxxTxxT 焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算56二、差商的形式2、向后差商3、中心差商以上兩式相加除2，得到中心差商：)()()()()(xOdxdTxxxTxTxxxTxTdxdT)(2)()(2xodxdTxxxTxxT焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算57二、差商的形式4、二階差商xxxxTxTxxTxxTdxTd)()()()(222)()(2)()(xxTxxTxxT焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算58三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程/一維系統(tǒng)1、模型： 0，0 xL2、初始條件：T(x,0)=(x)3、邊界條件：T(0, )=1()， T(L, )=2()4、區(qū)域離散距離步長(zhǎng)：x=xi-xi-1, xi =(i

32、-1) x時(shí)間步長(zhǎng)： = n- n-1, n=n Tin=T(xi, n)TxT122niT焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算59三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程/一維系統(tǒng)5、有限差分方程建立1）顯示差分 點(diǎn)（i,n）的導(dǎo)熱方程為：01)(20)(1)(2)()()()(2)()(1)(121121211122112222nininininininininininininininininininiTTxTTTxoTTxTTToTTTxOxTTTxTTxT焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算60三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程nininininlnininininiTFTFTFTFxFnnTnnTlixiTlinTxTxTxT11122

33、11012212100000)21 ()(.2 , 1 , 0),(.2 , 1 , 0),(1,.3 , 2,) 1(1,.,3 , 2,.,3 , 2 , 1)()(21 ()(稱為傅立葉數(shù)。，令：焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算61三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程/一維系統(tǒng)2)隱式差分格式溫度對(duì)距離的二階偏微商是對(duì)應(yīng)時(shí)刻n+1的，而溫度對(duì)時(shí)間的一階偏微商是對(duì)應(yīng)時(shí)刻n的。差分方程為：截?cái)嗾`差：O +（ x）2，整理后：nininininiTTxTTT12111111)(2niniTxT)(1)(122.210)(.210)(1.32) 1(1.32.210)21 (210001011111，nnTnnTli

34、xiTlinTTFTFTFnlninininini焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算62三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程以l=5為例，推導(dǎo)求解隱式差分方程：n=1時(shí)刻：)3()14()2()13()()12()()1()()1()0(5)21(4)21(3)21(2)0()0(10403020403021511151105131415041213140311121302012211200000011xxTxxTxxTTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi為初始條件，方程為：，為邊界點(diǎn)，方程為：，這里，焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算63三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程n=2時(shí)刻：時(shí)求得。在，為邊界點(diǎn)，方程

35、為：，這里，0)2()2()2()2()()1(5)21(4)21(3)21(2)()1(114131225212521152324251422232413212223121122112200000011nTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算64三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程n+1時(shí)刻：時(shí)刻求得。在，為邊界點(diǎn)，方程為：，這里，nTTTnnTnnTTTnnTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTinTinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn4321511151151314154121314311121321)1()1()1()1()()(5)2

36、1(4)21(3)21(211111220000001焊接數(shù)值計(jì)算焊接數(shù)值計(jì)算6566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程c)顯式和隱士差分格式的比較計(jì)算格式的差別 顯式在n+1時(shí)刻的溫度由n時(shí)刻的3個(gè)已知溫度求出，不要求解方程組。 隱式格式中，由于一個(gè)方程中包含n+1時(shí)刻的3個(gè)未知溫度，只有把n+1時(shí)刻的所有節(jié)點(diǎn)方程列出后

37、接聯(lián)立方程，才能求出n+1時(shí)刻所有節(jié)點(diǎn)的溫度。穩(wěn)定性的差別 顯式差分的格式穩(wěn)定是有條件的，穩(wěn)定條件：F01/2 隱式差分格式的方程式無(wú)條件穩(wěn)定的對(duì)計(jì)算步長(zhǎng)的要求 對(duì)于顯式差分格式，穩(wěn)定性條件制約時(shí)間步長(zhǎng)由距離步長(zhǎng)所決定：（ x）2/2 對(duì)于隱式差分格式，時(shí)間步長(zhǎng)和距離步長(zhǎng)都可以任意取126三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程/二維系統(tǒng)假設(shè)熱物理性能參數(shù)為常數(shù)，且無(wú)內(nèi)熱源。節(jié)點(diǎn)（i,j）處的溫度表示成Ti,j，對(duì)于0 xL1和0yL2的矩形區(qū)域內(nèi)，將二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱方程式應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)（i,j）可以寫成：)()()()(2)()()(2)()(1)(,1,221,1,2222, 1, 1,22,2222oTTTyo

38、yTTTyTxoxTTTxTTyTxTnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji127三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程 若x= y，則：)41()(41 )(,1,1, 1, 1,21,1, 1, 121,00njinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiTFTTTTFTxTTTTxT410F穩(wěn)定條件：128四、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程/熱平衡法 基本思想：將能量守恒原則應(yīng)用到每個(gè)單元體，不再?gòu)奈⒎址匠倘胧?，而是將?dǎo)熱的基本定律直接近似。)(1(,1,njinjiTTyxcQji為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（njinjinjinjinjinjiT

39、FTTTTFT,1,1, 1, 11,)41 (00 xTTyQjinjinjiji, 1, 1)1(,單元體的熱量分別為：）單元體流入（時(shí)間內(nèi)從周圍四個(gè)相鄰在,)1()1()1(,1,1,1,1, 1, 1yxQQyTTxQyTTxQxTTyQnjinjijinjinjijinjinjiji若129四、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程 絕熱 給定熱流密度 對(duì)流邊界 給定溫度 輻射 混合130四、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程1、絕熱邊界相鄰單元體流入（i,j）單元體的熱量：)(12(,1,njinjiTTyxcQji為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（njinjinjinjinjiTFTTTFT,1,1, 11,)4

40、1 (200）單元體流入（時(shí)間內(nèi)從周圍四個(gè)相鄰在ji,0, 1jiQxTTyQnjinjiji, 1, 1)1(yTTxQnjinjiji,1,1,)12(,)12(,1,1,yxQQyTTxQnjinjiji若131四、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程2、給定熱流密度qr的邊界相鄰單元體流入（i,j）單元體的熱量：)(12,1,njinjiTTxycQji為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（xcqTFTTTFTrnjinjinjinjinji2)41 (2,1, 1, 11,00 xTTyQnjinjiji, 1, 1)12(xTTyQnjinjiji, 1, 1)12()1(1,xqQrji,yxQQ

41、若132四、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程3、對(duì)流邊界已知對(duì)流放熱系數(shù)c及周圍介質(zhì)溫度Tf,)12()12()(1()1(,)(12(,1,1,1,1,1,1,1,1,yxQQyTTxQyTTxQTTyQxTTyQjiTTyxcQjinjinjijinjinjijinjijinjinjijinjinjifc若）單元體流入（時(shí)間內(nèi)從周圍四個(gè)相鄰在為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（fccTxcTxcFTTTFTnjinjinjinjinji2)241 (2, 11,1,1,00133四、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程4、給定溫度邊界5、輻射邊界wTTnji,)(12(,1,njinjiTTyxcQji為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)

42、能變化）單元體，對(duì)于（)(2)41 (24,1, 1, 11,4000njinjinjinjinjinjiTTxccTFTTTFTf,)()1()1()12()12(,4,41,1,1, 1, 1, 1, 10yxQQTTxcQyTTxQxTTyQxTTyQjinjifjinjinjijinjinjijinjinjiji若）單元體流入（時(shí)間內(nèi)從周圍四個(gè)相鄰在1347、混合邊界,)12()12()12()12(,)(122(, 11,1,1, 1, 1,1,yxQQTTyQxqQyTTxQxTTyQjiTTyxcQjinjifjijinjinjijinjinjijinjinjicr若）單元體流入

43、（時(shí)間內(nèi)從周圍四個(gè)相鄰在為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（)(22)41 ()(2,1, 11,00njinjinjinjiTTxcxcqFTTFTfcr135 差分法：以差分代替微分，對(duì)基本方程離散，建立以節(jié)點(diǎn)參數(shù)為未知量的線性方程組，而求得近似解。優(yōu)點(diǎn)：線性方程組的計(jì)算格式比較簡(jiǎn)單不足：差分格式大多采用正方形、矩形和正三角形 有限元法：對(duì)連續(xù)體本身進(jìn)行離散，根據(jù)變分原理求解問(wèn)題優(yōu)點(diǎn)：適合于各種復(fù)雜形狀和復(fù)雜邊界條件的數(shù)值計(jì)算不足：計(jì)算過(guò)程復(fù)雜2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1362-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1、變分方法研究泛函的極大值和極小值的方法1）泛函定義給定兩點(diǎn)

44、1和2，連接這兩點(diǎn)曲線的長(zhǎng)度:這樣就建立了一個(gè)函數(shù)關(guān)系：I=Iy(x)，稱I是y(x)的泛函。自變量是個(gè)函數(shù)，因變量是普通變量。dxdxdyxyIxx212)(1)(1372）、泛函和函數(shù)2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)函數(shù)f(x)泛函Iy(x)變量f變量I自變量x函數(shù)y(x)x的增量 xy(x)的變分y函數(shù)的微分dfdf泛函的變分I1382-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3）、泛函和變分研究泛函極值的方法就是變分法。函數(shù)f=f(x）泛函I=Iy(x)如果對(duì)于變量x的某一域中的每一個(gè)x, f 都有一值與之對(duì)應(yīng)，則變量f叫做x的函數(shù)，記為f(x）如果對(duì)于某一類函數(shù)y(x)中的每一個(gè)

45、函數(shù)y(x), I 都有一值與之對(duì)應(yīng)，則變量I叫做依賴于函數(shù)y(x)的泛函，記為Iy(x)如果對(duì)于x的微小改變，有函數(shù)f(x)的微小改變與之對(duì)應(yīng)，則函數(shù)f(x)是連續(xù)的。如果對(duì)于y(x)的微小改變，有泛函的微小改變與之對(duì)應(yīng)，則泛函Iy(x)是連續(xù)的。如果可微函數(shù)f(x)的內(nèi)點(diǎn)x=x0處達(dá)到極大或極小值，則在這點(diǎn)df=0如果變分的泛函Iy(x)的內(nèi)點(diǎn)y=y0 (x)處達(dá)到極大或極小值，則在這點(diǎn)I=01392-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、差值函數(shù)線性差值：求過(guò)曲線y(x)上已知點(diǎn)A(xi,yi)、B(xi+1,yi+1)的直線方程：iiiiiiiiiiiiiiyxxxxyxxxxxyx

46、xxxyyyxy111111)()()(還可以寫成：3、形函數(shù)形函數(shù)只和單元的形狀、節(jié)點(diǎn)配置區(qū)間大小和差值方式有關(guān)，而和節(jié)點(diǎn)未知量無(wú)關(guān)，故統(tǒng)稱其為形函數(shù)。1402-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1）一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱求解區(qū)間0，L劃分為有限個(gè)互補(bǔ)重疊的小區(qū)間。構(gòu)造的差值函數(shù)：形函數(shù)： 只和單元的形狀、節(jié)點(diǎn)配置區(qū)間大小和差值方式有關(guān)，而和節(jié)點(diǎn)未知量無(wú)關(guān)。故統(tǒng)稱其為形狀函數(shù)或形狀因子。)()(11iiiiiixxxxTTTxTiiiixxTT111412-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)于三角形單元，通常假設(shè)單元e上的溫度是x,y的線性函數(shù)。mjiijmijmjiimmjijjimiimj

47、mmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根據(jù)矩陣求逆，是待定常數(shù)。，式中即：2）二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱1422-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的行列式。稱為方陣階行列式：則設(shè)矩陣Aaaaaaaaaanaaaaaaaaannnnnnnnnn2122211121121222111211.A.A*1212221212111*1.AAAaAAAAnnAAAAAAAAAijijnnnn且有：的代數(shù)余子

48、式。中元素為行列式的伴隨矩陣。稱為矩陣143mjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根據(jù)矩陣求逆，是待定常數(shù)。，式中即：1442-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/數(shù)學(xué)基礎(chǔ)ijmjimijjimmijimjmiimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxayaxaaT,321記：即：2111ijjim

49、mjjiicbcbyxyxyx)(21)(21)(2121321321321321mmjjiimmjjiimmjjiimjimjimjimjiTcTcTcaTbTbTbaTaTaTaaTTTcccbbbaaaaaaaaayaxaaT是待定常數(shù)。，式中即：1452-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) )(21)(21)(21,)()()(21ycxbaNycxbaNycxbaNTNTTTTNNNTTNTNTNTTycxbaTycxbaTycxbaTmmmmjjjjiiiimjimjimmjjiimmmmjjjjiiiiT用有限元法求解二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱問(wèn)題時(shí)，采用三角形單元離散化并通過(guò)線性差值所求

50、得的形函數(shù)(Ni, Nj, Nm)。1462-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 形函數(shù)(Ni, Nj, Nm)的特點(diǎn)：Ni, Nj, Nm是x, y的線性函數(shù)，與插值函數(shù)具有同樣的類型Ni（xi,yi）=1 , Ni（xj,yj）= Ni（xm,ym）=02121)()(21)(21),(ijimmjjijmmjijmimjjmmjiiiiiiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN1111mmjjiiyxyxyx2111ijjimmjjiicbcbyxyxyx可以證明：1472-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)021)()(21)(21),(mjmmmmjmjmm

51、jmjmmmjjmmjiiimmiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN1482-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟1、思想從數(shù)學(xué)角度講，某一泛函取極值所需要的充要條件等價(jià)于求解相應(yīng)的微分方程式加邊界條件。從而可利用泛函取極值的變分計(jì)算來(lái)代替微分方程及邊界條件的求解。2、步驟1）找到導(dǎo)熱微分方程對(duì)應(yīng)的泛函22xTTdxTTxTTIL)(2)(20)(2222yTxTTI為T(x,y)的函數(shù)1492-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元法的解題思想和步驟2）單元?jiǎng)澐謱^(qū)域劃分成有限個(gè)三角形單元（例如，分成E個(gè)單元，n個(gè)節(jié)點(diǎn)）溫度場(chǎng)T(x,y)離散成T1,T2

52、Tn等n個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度，則泛函IT(x,y)實(shí)際上是一個(gè)多元函數(shù)：I(T1,T2,Tn)，IT(x,y)的變分問(wèn)題則轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)求極值問(wèn)題EeeII10iTI1502-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟 建立溫度的差值函數(shù)對(duì)于三角形單元：T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm 單元變分計(jì)算EeeII10iTI的值。單元變分：求ieEeieiTIniTITI,.2 , 1, 011512-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟 總體合成得到線性方程組。 求解線性方程組niTITIEeiei,.2 , 1, 011522-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法三

53、、內(nèi)單元計(jì)算格式的建立1、一維系統(tǒng)(略去課堂不講)1）模型：2）泛函：3)溫度差值函數(shù)22xTT0)(2)(20IdxTTxTTIL尋找溫度場(chǎng)，使111111) 1()()(iiiiiiiiiiiiThihxThxhixTnLhxxxTxxxxTxxxxxT若等步長(zhǎng)：1532-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、內(nèi)單元計(jì)算格式的建立4）單元變分計(jì)算hxhiTThxTThTTxTdxTTTxTTxTTTIdxTTxTTIIIiiiiiiiiiiixxexxee)1(1)(,)()()(2)(11121544）單元變分計(jì)算TfThThdxhxhiTdxhTdxhTdxhxhiThTTdxhxhiThhTT

54、dxTTTxTTxTTTIeieieixxxxxxxxxxxxxxeiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii111111111111222) 1() 1() 1()1()()(hdxhhhhhxxhdxhhiiiiiixxeixxei11121222)(1554）單元變分計(jì)算2)222(21) 1(21) 1()(21) 1()(21)(1() 1() 1(111111122hhihiihhihhhixxxxhhixxhxxidxhxdxidxhxhifiiiiiiiiiiiiiixxxxxxei1565）總體合成,.2 , 1, 00iTITITIIIieiiehhhhhhTfTh

55、ThTITfThThTIIIiIieieieieiieeieieiieiiii20111hhhhhhIIiIiei2111hhhfffIIiIiei22niniTTT11575）總體合成nininininininininininieieieiThThTTTThThTThThThTfThThii122111221112)21 (0)(220)(22011582-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)1、數(shù)學(xué)模型無(wú)內(nèi)熱源、假定熱物理性能為常數(shù)。)(2222yTxTTdxdyTTyTxTTID)()(2)(222、泛函對(duì)應(yīng)的泛函：目標(biāo)：尋找溫度場(chǎng)T，使I=0，即：尋找是泛函達(dá) 到極值的函數(shù)。1592-5

56、不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)3、區(qū)域離散化 將一個(gè)矩形區(qū)域，劃分成多個(gè)直角三角形。設(shè)直角邊長(zhǎng)為h，(x =y=h)節(jié)點(diǎn)x=rh,y=sh (r, s為正整數(shù))此節(jié)點(diǎn)記為(r,s)，（相當(dāng)于（x,y）點(diǎn)）1602-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)4、溫度差值函數(shù)的建立對(duì)于三角形單元 T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm5、單元變分的計(jì)算將求解區(qū)域分成有限個(gè)單元后，泛函I(T)變成各個(gè)單元內(nèi)泛函的積分。eII的值。單元變分：求ieEeieiTIniTITI,.2 , 1, 011612-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)dxdyTTyTxTIee)()(222iii

57、iiimmjjiimmjjiiiiieieNTTyNyTTxNxTTTyNTyNTyNyTTxNTxNTxNxTdxdyTTTyTTyTxTTxTTI)()()()(5、單元變分1622-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)（5、單元變分）TfThThThdxdyNTyNTyNTyNTyNxNTxNTxNTxNTIeimeimjeijieiiiimmjjiiimmjjiieie）（）（代入得：eieimimieeimjijieeijiieeiidxdyNfdxdyyNyNxNxNhdxdyyNyNxNxNhdxdyyNxNh()()(221632-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo))(221)2()2()2()2()()(2222222222iieiieeiiiieiieeiicbhhhdxdydxdycbdxdycbdxdyyNxNh因?yàn)?(21ycxbaNiiii5、單元變分1642-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo))(2)44(222jijijijiejijieeijccbbhdxdyccbbdxdyyNyNxNxNh同理：)(21ycxbaNiiii)(21ycxbaN