數(shù)值分析課件_圖文

1、 數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì) 兩個(gè)近似數(shù) 與 ，其誤差限分別為 及 ，Ax1Ax2)(1 Ax)(2 Ax);()()(2121AAAAxxxx);()()(122121AAAAAAxxxxxx).0()()()/(222122121AAAAAAAAxxxxxxxx它們進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算得到的誤差限分別為 設(shè) 是一元函數(shù)， 的近似值為 ，以 近似 ，其誤差界記作 ，)(xfxAx)(Axf)(xf)(Axf 一般情況下，當(dāng)自變量有誤差時(shí)函數(shù)值也產(chǎn)生誤差，之間介于AAAAAxxxxfxxxfxfxf,)(2)()()()(2 取絕對值得 ).(2)()()()()(2AAAAxfx

2、xfxfxf 其誤差限可利用函數(shù)的泰勒展開式進(jìn)行估計(jì).利用泰勒展開).()()(AAAxxfxf 假定 與 的比值不太大，可忽略 )(Axf )(Axf )(Ax的高階項(xiàng)，于是可得計(jì)算函數(shù)的誤差限 當(dāng) 為多元函數(shù)，如計(jì)算 時(shí). f),(1nxxf 的近似值為 ，nxx,1nAAxx,1則 的近似值為),(1nAAxxf于是由泰勒展開，如果nkkAkknAAnAAxxxxxfxxf111)(),(),(, )(),(11nkkAkAknAAxxxfxxf),(1nxxf),(1nxxf于是可以估計(jì)到函數(shù)值的誤差界，近似地有 ,1nkkAkAkxxxf),(),(11nAAnxxfxxf 已測得某

3、場地長 的值為 ，lm110Al寬 的值d為 ，80mAd已知 . m1.0,m2.0AAddll試求面積 的絕對誤差限與相對誤差限.lds 因,ldsdlslds),()()(AAAAAddsllss; )(),(11nkkAAknAAxxfxxf知例例解解由其中 ,m80AAdls而 ,m2.0)(Al于是絕對誤差限 );m(27)1.0(110)2.0(80)(2As相對誤差限 AAArsss)()(m,110AAlds,m1.0)(AdAAAdls )(%.31.0880027 1.3.2 1.3.2 病態(tài)問題與條件數(shù)病態(tài)問題與條件數(shù) 對一個(gè)數(shù)值問題本身, 如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)（即誤

4、差），引起輸出數(shù)據(jù)（即問題解）相對誤差很大，這就是病病態(tài)問題態(tài)問題. 例如計(jì)算函數(shù)值 時(shí)，)(xf若 有擾動(dòng) ，其xAxx 相對誤差為 ，xxxA 函數(shù)值 的相對誤差為)(Axf)()()(xfxfxfA,)()()()()(pAACxfxfxxxxxfxfxf 稱為計(jì)算函數(shù)值問題的條件數(shù)條件數(shù). pC相對誤差比值 自變量相對誤差一般不會(huì)太大，如果條件數(shù) 很大，pC將引起函數(shù)值相對誤差很大，出現(xiàn)這種情況的問題就是病態(tài)問題病態(tài)問題. 例如， ，nxxf)(它表示相對誤差可能放大 倍. n 如 ，10n有 ，24.1)02.1(, 1)1(ff,02.1Ax 自變量相對誤差為 ，%2函數(shù)值相對誤差

5、為 ，%24 一般情況下,條件數(shù) 就認(rèn)為是病態(tài)， 越大病態(tài)越嚴(yán)重. 10pCpC則有)()(xfxfxCp,1nxnxxnn, 1x若取這時(shí)問題可以認(rèn)為是病態(tài)的. 1. 要避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法要避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法;2。避免兩個(gè)相近的數(shù)相減。避免兩個(gè)相近的數(shù)相減;3. 要防止大數(shù)要防止大數(shù)“吃掉吃掉”小數(shù)小數(shù);2。應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定性的計(jì)算方法。應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定性的計(jì)算方法;2。簡化計(jì)算步驟和公式，設(shè)法減少運(yùn)算次數(shù)。簡化計(jì)算步驟和公式，設(shè)法減少運(yùn)算次數(shù)。 避免誤差危害的若干原則避免誤差危害的若干原則 一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有誤差，而在計(jì)算過程中舍入誤差不一個(gè)算法

6、如果輸入數(shù)據(jù)有誤差，而在計(jì)算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱此算法為的，否則稱此算法為不穩(wěn)定不穩(wěn)定的的. . 2。防止溢出。防止溢出。解：解：ndxxdxxxxIInnnn可得算法：可得算法： )20, 2 , 1(511823. 05ln6ln10nInIInn建立積分建立積分20, 1 , 0510 ndxxxInn的遞推關(guān)系式，并研究它的誤差傳遞。的遞推關(guān)系式，并研究它的誤差傳遞。例例一、使用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式（一、使用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式（即能控制誤差的傳播） 避免誤差危害的若干原則這個(gè)算法不具有穩(wěn)定性，因?yàn)檫@個(gè)算法

7、不具有穩(wěn)定性，因?yàn)?823. 00 I的舍入誤差傳播到的舍入誤差傳播到 時(shí)，該誤差放大時(shí)，該誤差放大5倍，傳到倍，傳到1I20I時(shí)，該誤差將是時(shí)，該誤差將是 倍，當(dāng)倍，當(dāng)n較大時(shí)，誤差將較大時(shí)，誤差將205淹沒真值，這種遞推公式不宜采用。淹沒真值，這種遞推公式不宜采用。5561 , 0nnnxxxxx 時(shí)時(shí)，所以有估計(jì)式所以有估計(jì)式)1(51)1(61 nInn避免誤差危害的若干原則于是于是2151216120 I粗略地取粗略地取0087301587. 021051126120 I可得另一算法：可得另一算法： )1 ,19,20)(1(510087301587. 0120nInIInn這個(gè)算法

8、是穩(wěn)定的，因?yàn)橛蛇@個(gè)算法是穩(wěn)定的，因?yàn)橛?引起的誤差在引起的誤差在以后的計(jì)算過程中將逐漸減小。以后的計(jì)算過程中將逐漸減小。20I避免誤差危害的若干原則nIn（按算法（按算法1計(jì)算計(jì)算）In（按算法（按算法2計(jì)算）計(jì)算）0.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.034303350.028489580.0284683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.0

9、30195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-0.645697260.013016368.305409380.0118412714-41.455618310.01222222130 0*10I二、防止相近的兩數(shù)相減二、防止相近的兩數(shù)相減避免誤差危害的若干原則在數(shù)值計(jì)算中兩相近數(shù)相減，有效數(shù)字會(huì)嚴(yán)重?fù)p失在數(shù)值計(jì)算中兩相近數(shù)相減，有效數(shù)字會(huì)嚴(yán)重?fù)p失. . 這說明必須盡量避免出現(xiàn)這類運(yùn)算這說明必須盡量避免出現(xiàn)這類運(yùn)算. . 最好是改變計(jì)算方最好是改變計(jì)算方法，防止這種現(xiàn)象產(chǎn)生法，防止這種現(xiàn)象產(chǎn)生. . 1000000

10、. 05706121. 15706122. 15429arctan5430arctan6個(gè)個(gè)零零 y8位有效數(shù)字位有效數(shù)字8位有效數(shù)字位有效數(shù)字1位有效數(shù)字位有效數(shù)字 這說明必須盡量避免出現(xiàn)這類運(yùn)算這說明必須盡量避免出現(xiàn)這類運(yùn)算. . 最好是改變計(jì)算方最好是改變計(jì)算方法，防止這種現(xiàn)象產(chǎn)生法，防止這種現(xiàn)象產(chǎn)生. . 1000000. 05706121. 15706122. 15429arctan5430arctan6個(gè)個(gè)零零 y8位有效數(shù)字位有效數(shù)字8位有效數(shù)字位有效數(shù)字 33921910000000. 05429arctan5430arctan7個(gè)零個(gè)零 y1位有效數(shù)字位有效數(shù)字改變計(jì)算公式：

11、改變計(jì)算公式：，可可得得由由 1arctanarctanarctan8arctan5430arctan54291arctan3.3921911 1029479471精度提高了很多。此例說明，可通過改變精度提高了很多。此例說明，可通過改變計(jì)算公式避免或減少有效數(shù)字的損失。計(jì)算公式避免或減少有效數(shù)字的損失。的的近近似似值值。利利用用四四位位數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)用用表表求求021cos x解：查表得解：查表得9994. 02cos0 01cos210.99940.0006Axx 04cos20.99940.5 10Axx0.0006Ax 故有一位有效數(shù)字。,1sin22cos1020 若用公式若用公式02023

12、sin10.01752sin 12 (0.0175)0.6125 10,Axx例例避免誤差危害的若干原則0.0006125具有4位有效數(shù)字求求 的小正根的小正根. . 01162xx 解解,6381x 只有一位有效數(shù)字只有一位有效數(shù)字. . *2x6382x則具有則具有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字. . 若改用若改用例例由求根公式由求根公式6382x,06.094.78*2x0627.094.1516381很接近時(shí)，應(yīng)用很接近時(shí)，應(yīng)用和和如果如果21xx1122lnlnln.xxxx應(yīng)應(yīng)用用很很大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),x,111 xxxx說說明明避免誤差危害的若干原則用右邊算式有效數(shù)字就不損失用右邊算式有

13、效數(shù)字就不損失. . 思考：思考：sinx x當(dāng)當(dāng) 0,1xx時(shí)，如何計(jì)算時(shí)，如何計(jì)算 sintanxx如果無法改變算式，如果無法改變算式，在計(jì)算機(jī)上則采用雙精度運(yùn)算，以在計(jì)算機(jī)上則采用雙精度運(yùn)算，以增加有效數(shù)字位數(shù)，增加有效數(shù)字位數(shù)，但這要增加機(jī)器計(jì)算時(shí)間和多占內(nèi)但這要增加機(jī)器計(jì)算時(shí)間和多占內(nèi)存單元存單元. . 避免誤差危害的若干原則一一般般情情況況，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))()(*xfxf 可可用用泰泰勒勒展展開開 )(2)( )( )()(*xxxfxxxfxfxf取右端的有限項(xiàng)近似代替左端。取右端的有限項(xiàng)近似代替左端。 當(dāng)兩個(gè)絕對值相差很大的數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)當(dāng)兩個(gè)絕對值相差很大的數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)

14、算時(shí)算時(shí), ,絕對值小的數(shù)有可能被絕對值大的數(shù)絕對值小的數(shù)有可能被絕對值大的數(shù) 吃掉吃掉 從從而引起計(jì)算結(jié)果很不可靠而引起計(jì)算結(jié)果很不可靠. .三、防止大數(shù)吃小數(shù)三、防止大數(shù)吃小數(shù)避免誤差危害的若干原則例如，某計(jì)算機(jī)允許表示具有七位有效數(shù)字的十進(jìn)制數(shù)，例如，某計(jì)算機(jī)允許表示具有七位有效數(shù)字的十進(jìn)制數(shù)，計(jì)算計(jì)算333.3333+0.0002222222。 若計(jì)算時(shí)沒有位數(shù)的限制，則計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)是若計(jì)算時(shí)沒有位數(shù)的限制，則計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)是333.3335222222。而現(xiàn)在的問題是，計(jì)算機(jī)由于字長位數(shù)。而現(xiàn)在的問題是，計(jì)算機(jī)由于字長位數(shù)的限制，只能表示七位有效數(shù)字，于是只得將小數(shù)點(diǎn)最后的限制，只能表

15、示七位有效數(shù)字，于是只得將小數(shù)點(diǎn)最后的的6個(gè)數(shù)字全部刪掉，得到個(gè)數(shù)字全部刪掉，得到333.3335。這樣，在相加的過。這樣，在相加的過程中，大數(shù)就把小數(shù)程中，大數(shù)就把小數(shù)“吃掉吃掉”了。了。例例避免誤差危害的若干原則 在五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上，計(jì)算在五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上，計(jì)算,5249210001iiA其中 . 9 .01 .0i 解：把運(yùn)算的數(shù)寫成規(guī)格化形式解：把運(yùn)算的數(shù)寫成規(guī)格化形式 .1052492.0100015iiA由于在計(jì)算機(jī)內(nèi)計(jì)算時(shí)要對階由于在計(jì)算機(jī)內(nèi)計(jì)算時(shí)要對階，若取若取 ，9.0i55510000009.010000009.01052492.0A，表示機(jī)器中相等符號)(105249

16、2.05對階時(shí)對階時(shí) ，在五位的計(jì)算機(jī)中表示為，在五位的計(jì)算機(jī)中表示為5100000090.i機(jī)器機(jī)器 0 0 ，因此因此結(jié)果顯然不可靠，這是由于運(yùn)算中出現(xiàn)了大數(shù)結(jié)果顯然不可靠，這是由于運(yùn)算中出現(xiàn)了大數(shù) 52492 “52492 “吃吃掉掉”小數(shù)小數(shù) 造成的造成的. . i,109.0101.03100013ii于是于是 A551052492. 010001. 0 如果計(jì)算時(shí)先把數(shù)量級相同的一千個(gè)如果計(jì)算時(shí)先把數(shù)量級相同的一千個(gè) 相加，最后相加，最后再加再加5249252492，就不會(huì)出現(xiàn)大數(shù)，就不會(huì)出現(xiàn)大數(shù)“吃吃”小數(shù)現(xiàn)象，小數(shù)現(xiàn)象，i,1052492. 010009. 055.533925

17、2592 A這時(shí)這時(shí) 分母接近零的數(shù)會(huì)產(chǎn)生溢出錯(cuò)誤分母接近零的數(shù)會(huì)產(chǎn)生溢出錯(cuò)誤,因而產(chǎn)生大的因而產(chǎn)生大的誤差誤差,而且當(dāng)很小的除數(shù)稍有一點(diǎn)誤差時(shí)，對計(jì)算結(jié)而且當(dāng)很小的除數(shù)稍有一點(diǎn)誤差時(shí)，對計(jì)算結(jié)果影響很大。此時(shí)可以用數(shù)學(xué)公式化簡后再做果影響很大。此時(shí)可以用數(shù)學(xué)公式化簡后再做.2)()(yyxexyeyxe 很很多多。時(shí)時(shí)，舍舍入入誤誤差差可可能能增增大大當(dāng)當(dāng)xy 四、防止用接近零的數(shù)做除數(shù)四、防止用接近零的數(shù)做除數(shù)避免誤差危害的若干原則5 .3141001. 01415. 39 .28550011.01415.3若直接計(jì)算，再逐項(xiàng)相加共需要做若直接計(jì)算，再逐項(xiàng)相加共需要做4+3+2+1=10次

18、次乘法和乘法和4次加法次加法.分析分析若用著名的秦九韶算法：若用著名的秦九韶算法：4( )(72)3)4)5P xxxxx只要做只要做4次乘法和次乘法和4次加法。次加法。五、注意簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)五、注意簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)4324( )72345P xxxxx例例求下列多項(xiàng)式在求下列多項(xiàng)式在 的值的值2 x避免誤差危害的若干原則 例例0111)(axaxaxaxPnnnnn的值，的值， 若直接計(jì)算若直接計(jì)算 再逐項(xiàng)相加，一共需做再逐項(xiàng)相加，一共需做kkxa2)1(12)1(nnnn次乘法和次乘法和 次加法次加法. . n 若采用秦九韶算法若采用秦九韶算法 10,(1, 2,1,

19、 0),( ),nnkkknuauxuaknPxu計(jì)算多項(xiàng)式計(jì)算多項(xiàng)式012101211)()()(aaaaxaxxxaaxaxaxxPnnnnnnnn 只要只要 次乘法和次乘法和 次加法就可算出次加法就可算出 的值的值. . nn)(xPn2311ln 2ln(1).( 1).231111ln 21.( 1).23nnnTaylorxxxxxnxn 例：計(jì)算的值。解：算法一：由展式有令有55ln211|102 1012nn由交錯(cuò)級數(shù)級數(shù)判別法可知收斂。若要時(shí)，則顯然項(xiàng)數(shù)大，收斂速度慢。得：并取則令則而由于算法二1031211.)12.531(211ln)1ln()1ln(.)1(.32)1l

20、n(.32)1ln(:24213232nxxxnxxxxxxxxnxxxxxnxxxxxnnnn20241112121110211 111ln 2(1.()335 321 321111(.)3239259211111110132391223919ln 2T其 截 斷 誤 差 為兩 種 算 法 ， 同 樣 計(jì) 算， 計(jì) 算 精 度 及 速 度差 距 很 大 。2! !2! !12nnPn2 解：解： 若按先計(jì)算分子，再計(jì)算分母，然后再進(jìn)行除法，若按先計(jì)算分子，再計(jì)算分母，然后再進(jìn)行除法，最后乘以最后乘以例例 計(jì)算計(jì)算22121ppkkppP這樣就避免了上溢。這樣就避免了上溢。 這種算法的缺點(diǎn)是當(dāng)

21、這種算法的缺點(diǎn)是當(dāng)n n很大時(shí)，受字長的限制，分子、分很大時(shí)，受字長的限制，分子、分母可能產(chǎn)生溢出。母可能產(chǎn)生溢出。若算法改進(jìn)為若算法改進(jìn)為六、防止溢出。六、防止溢出。 計(jì)算計(jì)算 ，取取 ，利用下列等利用下列等式計(jì)算，哪一個(gè)得到的結(jié)果最好？式計(jì)算，哪一個(gè)得到的結(jié)果最好？6)12( f4 . 12 61( 21)3(32 2)31(32 2)9970 2思考與練習(xí)利用等價(jià)變換使下列表達(dá)式計(jì)算比較精確利用等價(jià)變換使下列表達(dá)式計(jì)算比較精確.; 111211)1( xxxx; 111)2( xxxxx; 11)3(12 xxxtdt; 1)1ln()4(2 xxx; 11)5( xex;cos1)6(x .sincos1)7(xx 練習(xí)練習(xí)思考與練習(xí)提示提示xxxxxxxxx11211)2( xxtdtxxarctan)1arctan(1)3(12 )1)(21(211211)1(2xxxxxx xxxxxxxx)1(11arctan)1(1)1(arctanarctan)1arctan(arctanta