平面相對(duì)位置

1、直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置1 平行問(wèn)題2 相交問(wèn)題3 垂直問(wèn)題4 綜合問(wèn)題 1 平行問(wèn)題幾何條件幾何條件若一直線與某平面上任一直線平行，則此直線與該平面平行。若一直線與某平面上任一直線平行，則此直線與該平面平行。1.1 直線與平面平行PABCDEFf c d e cdefb a ab 若一直線與某平面平行，則在平若一直線與某平面平行，則在平面上必能作出直線與原直線平行。面上必能作出直線與原直線平行。PABCDEFf c d e cdefb a ab幾何條件幾何條件例：過(guò)已知點(diǎn)例：過(guò)已知點(diǎn)E E作水平線與平面作水平線與平面ABCABC平行。平行。f fe e

2、abcda b c d f fe eabca b c 如平面為鉛垂面，應(yīng)如何作？如平面為鉛垂面，應(yīng)如何作？例：判斷直線例：判斷直線EFEF是否和平面是否和平面ABCABC平行。平行。f fe eabca b c 例：過(guò)點(diǎn)例：過(guò)點(diǎn)K K作平面平行于二交叉直線作平面平行于二交叉直線ABAB和和CDCD。d dk kabca b c 1 2 12例：過(guò)點(diǎn)例：過(guò)點(diǎn)K K作平面平行于二交叉直線作平面平行于二交叉直線ABAB和和CDCD。d dk kabca b c 1 2 12343 4 若兩平面內(nèi)各有一對(duì)若兩平面內(nèi)各有一對(duì)相交相交直線直線對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)平行，則兩平面互相平行。平行，則兩平面互相平行。幾何條件

3、幾何條件1.2 平面與平面平行BCAPQEDFd de eabca b c f f 若已知兩平面平行，則若已知兩平面平行，則如在第一平面內(nèi)任取一條直如在第一平面內(nèi)任取一條直線，在第二平面內(nèi)必能作出線，在第二平面內(nèi)必能作出一條直線和該直線平行。一條直線和該直線平行。BCAPQD幾何條件幾何條件f例：判斷兩平面是否互相平行。例：判斷兩平面是否互相平行。f e eabca b c dd 1 12 2 例：判斷兩平面是否互相平行。例：判斷兩平面是否互相平行。 要判斷兩平面要判斷兩平面平行，必須作兩平行，必須作兩對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行。平行。 如所作第一對(duì)如所作第一對(duì)直線即不平行，直線即不平行

4、，即可斷定兩平面即可斷定兩平面不平行。不平行。cff e eaba b c dd 1 12 2例：過(guò)點(diǎn)例：過(guò)點(diǎn)K K作平面與作平面與ABCABC平面平行。平面平行。abca b c kk 1 12 2例：過(guò)點(diǎn)例：過(guò)點(diǎn)K K作平面與作平面與ABCABC平面平行。平面平行。abca b c kk 1 12 2433 4 dd 兩鉛垂面平行和不平行實(shí)例兩鉛垂面平行和不平行實(shí)例p pq qpqp q 平 行不平行例：過(guò)直線例：過(guò)直線ABAB、CDCD各作一平面，使它們互相平行。各作一平面，使它們互相平行。abca b c dd f fee 例：過(guò)直線例：過(guò)直線ABAB、CDCD各作一平面，使它們互相平

5、行。各作一平面，使它們互相平行。abca b c dd f fee PABKABCMN 2 相交問(wèn)題交交 點(diǎn)點(diǎn) 直線和平面的直線和平面的共有點(diǎn)共有點(diǎn)交交 線線 兩平面的兩平面的共有線共有線（兩個(gè)共有點(diǎn)）（兩個(gè)共有點(diǎn)）P 參與相交的兩元素中，參與相交的兩元素中，至少有一個(gè)垂直至少有一個(gè)垂直于某投影面于某投影面，其投影有，其投影有積聚性積聚性，這種情況為，這種情況為特殊位置的相交，作圖較為簡(jiǎn)便。特殊位置的相交，作圖較為簡(jiǎn)便。2.1 特殊位置的相交2.1.1 直線與特殊位置平面相交直線與特殊位置平面相交 直線與平面相交，當(dāng)平面的投影有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的直線與平面相交，當(dāng)平面的投影有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)

6、投影已知，另一投影用一個(gè)投影已知，另一投影用線上取點(diǎn)線上取點(diǎn)的方法求出。的方法求出。ABKPHabkabpa b p kk 可見(jiàn)性判別abpa b p kk 直觀判別法交點(diǎn)兩側(cè)可見(jiàn)性相反( )可見(jiàn)性判別abpa b p kk 重影點(diǎn)判別法交點(diǎn)兩側(cè)可見(jiàn)性相反211 2 m bABPHaCcMNm2.1.2 平面與特殊位置平面相交平面與特殊位置平面相交nabpa b p c cmnn 兩平面相交，當(dāng)其中一個(gè)平面投影有積聚性時(shí)，交線兩平面相交，當(dāng)其中一個(gè)平面投影有積聚性時(shí)，交線的一個(gè)投影已知，另一投影用的一個(gè)投影已知，另一投影用面上取線面上取線的方法求出。的方法求出。bABPHaCcMNm 甲乙兩平

7、面相交，兩平面的可見(jiàn)甲乙兩平面相交，兩平面的可見(jiàn)性總是性總是以交線為界以交線為界，若交線的一側(cè)為，若交線的一側(cè)為甲面可見(jiàn)，另一側(cè)必為乙面可見(jiàn)。甲面可見(jiàn)，另一側(cè)必為乙面可見(jiàn)。nabpa b p c cmnm n 可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性判別直觀判別法abpa b p c cmnm n 可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性判別重影點(diǎn)判別法21( )1 2 判別規(guī)則判別規(guī)則：u 同一直線上交點(diǎn)兩側(cè)同一直線上交點(diǎn)兩側(cè)可見(jiàn)性相反。可見(jiàn)性相反。u 通過(guò)每一交叉點(diǎn)（重通過(guò)每一交叉點(diǎn)（重影點(diǎn)）的兩條直線可見(jiàn)影點(diǎn)）的兩條直線可見(jiàn)性相反。性相反。m 例例 求兩平面交線，判別可見(jiàn)性求兩平面交線，判別可見(jiàn)性abpa b p c cmnn 例例

8、求兩平面交線，判別可見(jiàn)性求兩平面交線，判別可見(jiàn)性例例 求平面求平面ABCABC與平面與平面P P的交線的交線跡線面參與相交時(shí)，不判別可見(jiàn)性跡線面參與相交時(shí)，不判別可見(jiàn)性。m aba b c cmnn PV例例 求平面求平面ABCABC與平面與平面P P的交線的交線跡線面參與相交時(shí)，不判別可見(jiàn)性跡線面參與相交時(shí)，不判別可見(jiàn)性。m aba b c cmPV 直線與平面相交，當(dāng)直線直線與平面相交，當(dāng)直線的投影有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一的投影有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影已知，另一投影用個(gè)投影已知，另一投影用面上面上取點(diǎn)取點(diǎn)的方法求出。的方法求出。2.1.3 投影面垂直線與平面相交投影面垂直線與平面相交Kkdm

9、(n)bABHaCcDMNm(n)bacdm a b c n d kk 121 2 ( )ee 參與相交的兩元素參與相交的兩元素都不垂直于投影面都不垂直于投影面，其投，其投影影都沒(méi)有積聚性都沒(méi)有積聚性，這種情況為一般位置的相交。，這種情況為一般位置的相交。2.2 一般位置的相交H2.2.1 一般位置直線與一般位置平面相交一般位置直線與一般位置平面相交MNKDFEABP輔助平面輔助平面badea b d e f fH2.2.1 一般位置直線與一般位置平面相交一般位置直線與一般位置平面相交ABPDFEMNK輔助平面法作圖步驟輔助平面法作圖步驟包含已知直線作輔助平面包含已知直線作輔助平面求輔助平面與

10、已知平面的交線求輔助平面與已知平面的交線求此交線與已知直線的交點(diǎn)求此交線與已知直線的交點(diǎn)12mnn m baH用鉛垂面作輔助面ABPDFEMNKdea b d e f fPHkk 1 2 ( )d kmnn m ba用正垂面作輔助面dea b e f fQVk 3 3 4 ( )4 線面交點(diǎn)法線面交點(diǎn)法 三面共點(diǎn)法三面共點(diǎn)法 求兩平面的交線，只要求出兩平面的求兩平面的交線，只要求出兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)兩個(gè)公共點(diǎn)或或一個(gè)公共點(diǎn)和交線的方向一個(gè)公共點(diǎn)和交線的方向。2.2.2 兩一般位置平面相交兩一般位置平面相交QP 在相交的兩平面內(nèi)在相交的兩平面內(nèi)任取任取兩條直線，分別求兩條直線，分別求出它們與另一

11、平面的交出它們與另一平面的交點(diǎn)，連接起來(lái)即為兩平點(diǎn)，連接起來(lái)即為兩平面的交線。面的交線。線面交點(diǎn)法MEFDNCABmm bc c例例 求平面求平面ABC與平面與平面DEF的交線。的交線。d adea b e f fPHbc c例例 求平面求平面ABC與平面與平面DEF的交線。的交線。d adea b e f fQVmm nn 2 1 ( )nmm n bc c例例 求平面求平面ABC與平面與平面DEF的交線。的交線。d adea b e f f1 2nmm n bc c例例 求平面求平面ABC與平面與平面DEF的交線。的交線。d adea b e f f343 4 ( )三面共點(diǎn)法r rs s

12、PVQVlkk l bc cd adea b e ff g h gh 3 垂直問(wèn)題P3.1 直線與平面垂直幾何條件幾何條件MNKL1L2如果一直線垂直于平如果一直線垂直于平面內(nèi)的一對(duì)相交直線，面內(nèi)的一對(duì)相交直線，則此直線垂直于該平面則此直線垂直于該平面3.1 直線與平面垂直幾何條件幾何條件如果一直線垂直于平如果一直線垂直于平面內(nèi)的一對(duì)相交直線，面內(nèi)的一對(duì)相交直線，則此直線垂直于該平面則此直線垂直于該平面PMNL1L2K3.1 直線與平面垂直幾何條件幾何條件PMNL1L2K如果一直線垂直于平如果一直線垂直于平面內(nèi)的一對(duì)相交直線，面內(nèi)的一對(duì)相交直線，則此直線垂直于該平面則此直線垂直于該平面3.1

13、直線與平面垂直幾何條件幾何條件如果一直線垂直于某如果一直線垂直于某平面，則此直線垂直于平面，則此直線垂直于該平面內(nèi)的任意直線該平面內(nèi)的任意直線PMNL1L2PPHPVHV投影特性投影特性 如果一直線的如果一直線的正面投影正面投影垂直垂直于一平面內(nèi)于一平面內(nèi)正平線的正面投影正平線的正面投影，同時(shí)其同時(shí)其水平投影水平投影垂直于該平面內(nèi)垂直于該平面內(nèi)水平線的水平投影水平線的水平投影，則該直線垂，則該直線垂直于該平面。直于該平面。DABCMN投影特性投影特性bc caa b mm nn dd 如果一直線的如果一直線的正面投影正面投影垂直垂直于一平面內(nèi)于一平面內(nèi)正平線的正面投影正平線的正面投影，同時(shí)其同

14、時(shí)其水平投影水平投影垂直于該平面內(nèi)垂直于該平面內(nèi)水平線的水平投影水平線的水平投影，則該直線垂，則該直線垂直于該平面。直于該平面。投影特性投影特性 如果一直線垂直于一平面，如果一直線垂直于一平面，則該直線的則該直線的正面投影正面投影垂直于該平垂直于該平面內(nèi)面內(nèi)正平線的正面投影正平線的正面投影，該直線，該直線的的水平投影水平投影垂直于該平面內(nèi)垂直于該平面內(nèi)水平水平線的水平投影線的水平投影。PPHPVHVDABCMN例例 過(guò)過(guò)M M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MNMN垂直于平面垂直于平面ABCDABCD。bc caa b mm nn dd ee 例例 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)K K作平面垂直于直線作平面垂直于直線ABAB。ba

15、a b kk 1 122 例例 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)K K作直線作直線KLKL與直線與直線ABAB垂直相交。垂直相交。KL實(shí)長(zhǎng)即為點(diǎn)實(shí)長(zhǎng)即為點(diǎn)到直線的距離到直線的距離BAKLb2 2aa b 11 ll k k例例 判斷直線是否垂直于平面。判斷直線是否垂直于平面。baa b dcc d mnm n e f efn 特殊位置的線面垂直問(wèn)題 當(dāng)直線垂直于某投影當(dāng)直線垂直于某投影面垂直面時(shí)，則此直線必面垂直面時(shí)，則此直線必為該投影面平行線。為該投影面平行線。VHOXPmnm MN特殊位置的線面垂直問(wèn)題pp mnm n PVPHmnm n p pmnm (n )P 如果一直線垂直如果一直線垂直于一平面，則包含此于

16、一平面，則包含此直線的一切平面都與直線的一切平面都與該平面垂直。該平面垂直。3.2 平面與平面垂直幾何條件幾何條件ABPQK 如果兩平面互相垂直，則從一平面上任一點(diǎn)向如果兩平面互相垂直，則從一平面上任一點(diǎn)向另一平面所作的垂線必在前一平面上。另一平面所作的垂線必在前一平面上。幾何條件幾何條件LPQKL例例 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)K K作一平面垂直平面作一平面垂直平面ABCDABCD。k kbaa b dcc d 121 2 ee 例例 包含直線包含直線MNMN作平面垂直于平面作平面垂直于平面ABCABC。baa b cc m n nmll 例例 判斷下圖中兩平面是否垂直。判斷下圖中兩平面是否垂直。baa b

17、dcc d ee f fg g例例 判斷下圖中兩平面是否垂直。判斷下圖中兩平面是否垂直。baa b dcc d ee f f 4 綜合問(wèn)題基本作圖u 過(guò)點(diǎn)作直線平行于已知平面過(guò)點(diǎn)作直線平行于已知平面無(wú)數(shù)解基本作圖u 過(guò)點(diǎn)作平面平行于已知平面過(guò)點(diǎn)作平面平行于已知平面唯一解基本作圖u 過(guò)點(diǎn)作平面平行于已知直線過(guò)點(diǎn)作平面平行于已知直線無(wú)數(shù)解基本作圖u 過(guò)直線作平面平行于已知直線過(guò)直線作平面平行于已知直線唯一解基本作圖u 直線與特殊位置平面相交直線與特殊位置平面相交基本作圖u 平面與特殊位置平面相交平面與特殊位置平面相交基本作圖u 直線與一般位置平面相交直線與一般位置平面相交重影點(diǎn)法輔助平面法1 1

18、2( )2 基本作圖u 兩個(gè)一般位置平面相交兩個(gè)一般位置平面相交線面交點(diǎn)法線面交點(diǎn)法 利用兩次利用兩次輔助平面法輔助平面法求兩個(gè)交點(diǎn)求兩個(gè)交點(diǎn)三面共點(diǎn)法三面共點(diǎn)法 利用利用三面共點(diǎn)原理三面共點(diǎn)原理基本作圖u 過(guò)點(diǎn)作直線垂直于已知平面過(guò)點(diǎn)作直線垂直于已知平面過(guò)平面外一點(diǎn)基本作圖u 過(guò)點(diǎn)作直線垂直于已知平面過(guò)點(diǎn)作直線垂直于已知平面過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)基本作圖u 過(guò)點(diǎn)作直線垂直于已知平面過(guò)點(diǎn)作直線垂直于已知平面過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)基本作圖u 過(guò)點(diǎn)作平面垂直于已知直線過(guò)點(diǎn)作平面垂直于已知直線過(guò)直線外一點(diǎn)基本作圖u 過(guò)點(diǎn)作平面垂直于已知直線過(guò)點(diǎn)作平面垂直于已知直線過(guò)直線上一點(diǎn)基本作圖u 過(guò)點(diǎn)作平面垂直于已知平面過(guò)點(diǎn)作平

19、面垂直于已知平面無(wú)數(shù)解基本作圖u 過(guò)直線作平面垂直于已知平面過(guò)直線作平面垂直于已知平面唯一解基本作圖u 過(guò)點(diǎn)作直線和已知直線垂直相交過(guò)點(diǎn)作直線和已知直線垂直相交輔助平面法基本作圖問(wèn)題解的個(gè)數(shù)基本作圖問(wèn)題解的個(gè)數(shù) 過(guò)過(guò) 點(diǎn)點(diǎn) 作直線作直線 平行于直線平行于直線 一一 解解 平行于平面平行于平面 無(wú)數(shù)解無(wú)數(shù)解 垂直于直線垂直于直線 無(wú)數(shù)解無(wú)數(shù)解 垂直于平面垂直于平面 一一 解解 作平面作平面 平行于直線平行于直線 無(wú)數(shù)解無(wú)數(shù)解 平行于平面平行于平面 一一 解解 垂直于直線垂直于直線 一一 解解 垂直于平面垂直于平面 無(wú)數(shù)解無(wú)數(shù)解c例例 求點(diǎn)求點(diǎn)C到直線到直線AB的距離。的距離。baa b kc k 22 1 1距離實(shí)長(zhǎng)距