2013-2022年數(shù)學(xué)高考真題專題練習(xí)--解三角形

1、2013-2022年數(shù)學(xué)高考真題專題練習(xí)5.4解三角形考點一正弦定理和余弦定理q2 +廬心1. (2018課標(biāo)印,理9,文11, 5分)AABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c.若4ABC的面積為一-，則1()A. "B. 23-nc itC. "TD. 46答案c根據(jù)余弦定理得a2+b2-c2=2ab cos C,因為si#二，所以§、取=%產(chǎn)，又Sbsin C,所以tan C=l,因 為CG(0,n),所以嚀故選C.22. (2016課標(biāo)I文,4, 5分)AABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b,c,已知a=«, c=2, co

2、s A=",則b=()A. V2 B. V3 C.2D.3答案 D 由余弦定理得 5=22+b2-2x2b cos A, ：cos A=|, .-.36-86-3=0, .-.b=3(Z> = - j 舍去)故選 0.評析本題考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了方程的思想方法.3. (2016 山東文,8, 5 分)AABC 中,角 A, B, C 的對邊分別是 a, b, c.已知 b=c, az=2b2(l-sin A).則 A=().3it- n- n八 nA.B. C. D.4346/j2_i_z»2_q2 2b2q2答案 C 在AABC 中，由 b=c,得 cos

3、A二-, 又 a -2b2(l-sin A),所以 cos A=sin A,即 tan A=l,又知 AW (0, n),2bc 2b所以A5,故選C.評析恰當(dāng)運(yùn)用余弦定理的變形形式是求解本題的關(guān)鍵.4. (2015廣東文,5, 5分)設(shè)4ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c.若a=2, c=2«, cos A='且b<c,則b=()A. 3 B. 20C.2 D. 5/3答案 C 由余弦定理 b2+c!-2bccos A=a；得 b2-6b+8=0,解得 b=2 或 b=4, .1代=2百,.b=2.選 C.5. (2014課標(biāo)II理,4, 5分)鈍角

4、三角形ABC的面積是/AB=1, BC八萬，則AC=()A. 5 B. V5 C.2 D. 1答案 B Sa/aB - BCsinx 1 x缶in B=j,/.sin B=;7.B=45?；?35°.若B=45°,則由余弦定理得AOI,.ABC為直角三角形,不符合題意,因此B= 135°,由余弦定理得AC-AB2+BC2-2AB BCcos B= 1+2-2x 1 乂6x （- 苧）二5,二.AC二通.故選 B.6. （2。13課標(biāo)II文,4, 5分）AABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知b=2, B= C=*則AABC的面積為（）A. 20

5、2B.a/3+1 C. 2>/3-2 D. V3-1答案B由島已知條件得c=2，l sino sine_/、1 y/2 y/3 V2 V2+V6 . _11/- V2+V6I,、*又 sin A=sin（B+C） =x-x=-.從而 Saw=;bcsin A=-x2x2y2x-=a/3+1.故選 B.2 2 2242247. （2013 課標(biāo) I 文，10, 5 分）已知銳角的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c, 23cos2A+cos 2A=0, a=7, c=6,則 b=（）A. 10B.9C.8D.5答案 D 由 23cos*A+cos 2A=0 得 25cosA=

6、l,11?因為 A 為銳角，所以 cos A=".又由 a2=b2+c2-2bccos A 得 49=b2+36b,整理得 5a 12b-65=0, 5513解得b="4舍）或b=5,故選D.IT8. （2016課標(biāo)m, 8, 5分）在4ABC中,B=-, BC邊上的高等于BC,則cos A=（）VIO °F, 3V10答案C過A作AD_LBC,垂足為D,由題意知AD=BD=；BC,貝（CD=|bC, AB=yBC, AC=yBC,在AABC中,由余弦定理的推論可知,cos、Ab2+ab2_bc2 .BC2+額Ab/2ABAC 2XyBCxBC459. （2016

7、 課標(biāo)口，13, 5 分）AABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,若 cos A=-, cos C=言,a=l,則 b=.答案2113XU。解析由已知可得sin a, sin C=!|,則sin B=sin （A+C）=|x4x|=|,再由矣不焉=b=叵系 。X OJ XO O X O111/a1 oilDaw JL J5思路分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sin A與sin C的值,進(jìn)而由sin B=sin（A+C）求出sin B的值,再利用正弦定理 即可求出b的值.10. （2019 課標(biāo)II文，15, 5 分）AABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a

8、, b, c,已知 bsin A+acos B=0,則 B=.答案14解析本題考查正弦定理及三角函數(shù)求值,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.在AABC中，由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0,/sin AO, /.sin B+cos B=0,即 tan B=l,3 又 BE (0, it), /.B=-TT.411. (2017 課標(biāo)m文，15, 5 分)ZiABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b.c.已知 C=60°, b=, c=3,則 A=.答案75。解析由正弦定理得一黑,J.sin Bsin60- smB2又.,c>b, .,.B=4

9、5°, .，.A=75°.易錯警示 本題求得s i n B-苧后,要注意利用b<c確定B=45°,從而求得A=75°.12. (2017 課標(biāo)II文，16, 5 分)AABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,若 2bcos B=acos C+ccos A,則 B=.答案60°解析 解法一:由正弦定理得 2sin Bcos B=sin Acos C+sin C cos A,即 sin 2B=sin(A+C),即 sin 2B=sin(180°-B),可得 B=60°.解法二:由余弦定理得2b 十:=

10、a 9 : J +c"受',BPb 9十'"=b,所以aXac,所以cos B4X0°<B<180°,2ac2ab2bcac2所以B=60°.思路分析利用正弦定理或余弦定理將邊角統(tǒng)一后求解.13. (2016 北京文，13, 5 分)在4ABC 中，NA=與,a=>/5c,則：=.答案1解析 在AABC 中,a2=b2+c2-2bc - cos A,將NA二學(xué)a=V3c代入可得(7ic)2+cJ2bc (-i),整理得 2c2=b2+bc.等式兩邊同時除以c；得即2=()微令 t=-(t>0),有 2=t

11、2+t,即 tJ+t-2=0,C解得t=l或t =-2（舍去），一 b故-二Lc思路分析 本題先由余弦定理列出關(guān)于b、c的方程，再將方程轉(zhuǎn)化為以色為變元的方程求解.C評析本題考查余弦定理的應(yīng)用及換元思想的應(yīng)用,屬中檔題.14. （2015福建理,12, 4分）若銳角4ABC的面積為106,且AB=5, AC=8,則BC等于.答案7解析 設(shè)內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.由已知及gbcsin A=10/i得sin A號,因為A為銳角,所以A=60°, cos A=.由余 弦定理得 a2=b!+c2-2bccos A=25+64-2x40x；=49,故 a=7,即 BC=

12、7.評析 本題考查了三角形的面積和解三角形,利用三角形的面積求出cos A是求解關(guān)鍵.15. （2015 安順，12, 5 分）在4ABC 中,AB=&, ZA=75°, NB=45°,則 AC=.答案2AB AC AB sinB V6 sin45°解析 由已知及三角形內(nèi)角和定理得NC=60。,由等一件口 AC二絲邛2二2.sine sino sine sin60°16. （2015 福建文，14, 4 分）若4ABC 中,AC=«, A=45", C=75°,則 BC=.答案V2解析B=180o-45°-

13、75o=60°.由正弦定理得三-能,可得BC=0.sinF smA117. （2015 重慶文,13,5分）設(shè)4人13（：的內(nèi)角人,1,（：的對邊分別為2,1）,3且2=2,«« C=, 3sin A=2sin B,則 c= .4答案4解析 由 3sin A=2sin B 及正弦定理，得 3a=2b,又 a=2,所以 b=3,故 <?=a+b'2abeos C=4+9-2x2x3x-16,c=4.sin 2 A18. （2015 北京理，12, 5 分）在aABC 中,a=4, b=5, c=6,則一一. sine 答案1/?2+（;2q2 524_

14、52_42 3解析 在AABC中,由余弦定理的推論可得cos A-由正弦定理可知2bc 2x5x6 4sin2/4 2sin4cos4 2a cosA 2x4x,二 ，二 ，二1二 sinC sinC c 6評析本題主要考查正弦定理、余弦定理的推論以及二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和知識的應(yīng)用轉(zhuǎn)化能力.19. (2014 課標(biāo) I 理，16, 5 分)已知 a, b,c 分別為ABC 三個內(nèi)角 A, B,C 的對邊,a=2,且(2+b) (sin A-sin B) = (c-b)sin C,則4ABC面積的最大值為.答案V3 解析 因為 a=2,所以(2+b) (sin A-sin

15、B) = (c-b) sin C 可化為(a+b) (sin A-sin B) = (c-b)sin C,由正弦定理可得(a+b) (a-b) = (c-b)c,即 b%一二be,由余弦定理可得cos=-=-f 又 0<A<n,故 A.因為 cos A-,2bc 2bc 232 2bc 2bc所以bcW4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號.由三角形面積公式知S M="bcsin A=|bc 苧beWj1故4ABC面積的最大值為百.評析 本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及基本不等式的應(yīng)用,考查學(xué)生對知識的綜合應(yīng)用能力以及運(yùn)算求解能力.能把2代換成a是正確解決本題的關(guān)鍵.2

16、0. (2011 課標(biāo)文，15, 5 分)AABC 中,B=120°, AC=7, AB=5,則AABC 的面積為.田 q 15y/3答案 4解析 由余弦定理bJa2+c?-2accos B,及已知條件得49=a2+25-2x5xacos 1200.整理得 a2+5a-24=0,解得a=3或a=-8(舍).Si,w=acsin B=x3x5sin 120°=.評析 本題考查余弦定理、解三角形等知識,根據(jù)余弦定理正確求出a的值是解答本題的關(guān)鍵.21. (2017 課標(biāo)II理，17, 12 分)ZABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a, b, c,已知 sin(A+C)

17、=8sin:!1.求cos B;(2)若a+c=6, AABC的面積為2,求b.解析本題考查了三角公式的運(yùn)用和余弦定理的應(yīng)用.(1)由題設(shè)及 A+B+C=n得 sin B=8sin；故 sin B=4 (1-cos B).上式兩邊平方，整理得17cos B-32cos B+15=0,解得 cos B=l(舍去),cos B=y.(2)由 cos B哈得 sin B哈，故 S&y"acsin B=ac.又 Sim*=2,則 ac=.由余弦定理及 a+c=6 得 bW+c'-Zaccos B= (a+c);-2ac (1 +cos B) =36-2xx + 所以b=2.解

18、后反思 在余弦定理和三角形面積公式的運(yùn)用過程中,要重視“整體運(yùn)算”的技巧.如本題中b2=a;+c2-2accosB= (a+c) J2ac (1+cos B)中的轉(zhuǎn)化就說明了這一點.322. (2017 北15, 13 分)在ABC 中,ZA=60°, c=-a.(1)求sin C的值；(2)若a=7,求AABC的面積.解析本題考查正、余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式.(DffiAABC 中,因為NA=60。, c=a,. c csin/1 3 V3 3V3所以由正弦定理得sin C=zx=.Cl 7 Z 14因為a=7,所以c=x7=3.由余弦定理 aW+c-2bccos A

19、得 7-=b2+3-2bx3x1.解得b=8或b=-5 (舍).所以AABC 的面積 S=；bcsin A=；x8x3x二6V5.解后反思 根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點,利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在求解面積時,經(jīng)常用余弦定 理求出兩邊乘積.23. (2017山東文，17, 12分)在AABC中,角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知b=3, AB 在二-6, S *3,求A和a.解析因為法 AC=6,所以bccos A=-6,又 Saabc=3,所以 bcsin A=6,因此tan A= -1,又0<A<ll,所以A二與.又 b=3,所以 c=2y2.由

20、余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 aJ9+8-2x3x20x(_ 苧)=29,所以a=V29.24. (2016四川文,18, 12分)在4ABC中,角A, B, C所對的邊分別是a, b, c,且也卑=陋.a b c(1)證明:sin Asin B=sin C;若 b2+c;-aL=|bc,求 tan B.解析(1)證明:根據(jù)正弦定理,則 a=ksin A, b=ksin B, c=ksin C.代入一C0Si4 cosB sinC .二中cosA cosB sinC _由百百研,變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B-sin(A+B).在Z

21、ABC 在 由 A+B+C=n,有 sin(A+B)=sin(n-C)=sin C,所以 sin Asin B=sin C.由已知,b2+c2-a21bc,廬+ 2_/3根據(jù)余弦定理，有cos A二勺一 2bc 5所以 sin A=V 1 - cos2A.由(l),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以£in Bcos B+sin B,故 lan B=-=4.cosB方法總結(jié) 解三角形中,要根據(jù)題干條件恰當(dāng)選取正、余弦定理,當(dāng)涉及邊較多時,可考慮余弦定理,當(dāng)涉及角較多時,可考慮正弦定理.AABC中,也常用到sin(A+B)=sin C.評析本題考查了正

22、、余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正、余弦定理是解題的關(guān)鍵.25. (2016浙江文，16, 14分)在AABC中,內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.已知b+c=2acos B.證明:A=2B;2(2)若 cos B=§,求 cos C 的值.解析(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是 s i n B=s i n (A-B).又 A,B£(0,ti),故 0A-B<n,所以,B=n- (A-

23、B)或 B=A-B,因此A二tt (舍去)或A=2B,所以,A=2B.2 VS(2)由 cos B二§得 sin1cos 2B=2cosJB-l=-,14V5故 cos A=, sin A=-t-, 777cos C=cos(A+B) =_cos Acos B+sin Asin B=.評析本題主要考查正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力.26. (2016 課標(biāo) I 理，17, 12 分)AABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b,c,已知 2cos C (acos B+bcos A)=c.求C;若c=V7, AABC的面積為竽,求AABC的周長.解析(1)由

24、已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B+sin Be os A)= sin C, (2 分)2cos Csin(A+B)=sin C.故 2sin Ceos C=sin C. (4 分)1TT可得cos C=5,所以C=§. (6分)(2)由已知，得absin C=又C音,所以ab=6. (8分)由已知及余弦定理得,£+bJ2abcos C=7.故 a2+b2=13,從而(a+b) J25. (10 分)所以AABC的周長為5+0. (12分)解后反思 本題屬解三角形問題中的常見題型，要先利用正弦、余弦定理,將已知中的"邊"或"角

25、"的關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為只有"邊"或只有"角"的方程形式,進(jìn)而通過三角函數(shù)或代數(shù)知識求解方程.解題中要注意三角形的一些性質(zhì)應(yīng)用,例如:sin(A+B) =sinC, SzkABcabsin C.評析 本題重點考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，同時,對三角恒等變換的公式也有所考查.在解題過程中，要注意先將已知條件中的"邊"與"角"的關(guān)系，通過正弦定理轉(zhuǎn)化為"角"之間的關(guān)系,再運(yùn)用三角函數(shù)知識求解.27. (2016浙江理,16, 14分)在AABC中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a

26、, b, c.已知b+c=2acos B.(1)證明:A=2B;(2)若AABC的面積S= j,求角A的大小.解析(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A cos B+cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B).又 A, B £ (0, Tt),故 0<A-B<n,所以,B=lt-(A-B)或 B=A-B,因此A二TT (舍去)或A=2B,所以,A=2B.由s=得%bsin C=9,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因 sin

27、 BWO,得 sin C=cos B.又 B, C W (0, n),所以 C=±B.當(dāng) B+=時,A=1；當(dāng) 或 A=：.綜上,A=；或i=.思路分析(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式將已知條件轉(zhuǎn)化為NA與NB的三角函數(shù)關(guān)系,利用A, B的范圍誘導(dǎo)公式得出NA與NB的關(guān)系：(2)利用三角形的面積公式將已知條件轉(zhuǎn)化為ZC與NB的三角函數(shù)關(guān)系,再由NB, ZC的范圍及誘導(dǎo)公式求NA的大小.評析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，同時考直運(yùn)算求解能力.28. (2015課標(biāo)II理，17, 12分)AABC中,D是BC上的點,AD平分NBAC, AABD面積是

28、AADC面積的2倍.sinzF求；sinzC(2)若 AD=1, DC=y,求 BI)和 AC 的長.解析 S星ABADsinNBAD,S,：,a«=1aC ADsinZCAD.因為 Sa題=2Saw, NBAD=NCAD,所以 AB=2AC.sinZff AC 1由正弦定理可得sinzC 乙(2)因為 Saw : Samx=BD : DC,所以 BD=V2.在aABD和AADC中,由余弦定理知ABL=ADL'+BD'-2AD BDcosZADB,ACjAD旺DC-2AD DCcosZADC.故 AB-+2AC-=3AD>BI)-+2)C:=6.由知AB=2AC

29、,所以AC=1.評析 本題考查正弦定理,余弦定理的應(yīng)用,以及三角形的面積公式.屬常規(guī)題,中等偏易.29. (2015 課標(biāo) I 文,17, 12 分)已知 a,b,c 分別為AABC 內(nèi)角 A,B,C 的對邊,sin'B=2sin Asin C.(1)若 a=b,求 cos B;設(shè)B=90°,且a=V2,求aABC的面積.解析(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又 a=b,可得 b=2c, a=2c.a2+c2-b2 1由余弦定理可得cos B=T-=.(6分) 2ac 4 由(1)知 b?=2ac.因為B=90°,由勾股定理得故 a2+c2=2ac,c=a=0

30、.所以ABC的面積為1. (12分)評析本題考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法，屬容易題.30. (2015浙江理,16, 14分)在4ABC中,內(nèi)角A, B, C所對的邊分別是a, b, c.已知A=p b2-a;=iC2.(1)求tan C的值；(2)若AABC的面積為3,求b的值.解析 由b-a2=1c及正弦定理得sin，B-Msir?C,所以-cos 2B=sin2C.又由 A=,即 B+C=：T(，得 cos 2B=sin 2C=2sin Ceos C,解得 tan C=2.2V5Vs(2)由 tan C=2, C£ (0, n)彳導(dǎo) sin C=-, co

31、s C=. 55又因為 sin B=sin(A+C)=sin(； + C),所以 sin B由正弦定理得c=-b,又因為 A=：, 1bcsin A=3,所以 be=6近，故 b=3.評析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力.31. (2015 山東理，16, 12 分)設(shè) f (x)=sin x , cos x-cos'(x + ；).求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角AABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c.若1(0=0, a=l,求 ABC面積的最大值.cin?x 1+COS( 2x+tt)解析(1)由題意知Mx)=竽"s

32、in2x l-sin2x .1=二sin 2x-.222itit nnS-r+2kn2x-+2kn, keZ,可得丁knWxW7+kn，kez；由5+2kTtW2xW+2kTT, k£Z,可彳-kTTWxWk+kTT, kWZ.所以f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是卜：+ kn,； + kJ (kGZ);單調(diào)遞減區(qū)間是+ kir,系 + knj (kGZ).由 f(0=sin A-1=0, Wsin A=1, 由題意知A為銳角，所以cos A浮 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,可得 1 + V3 bc=b2+c2 2bc,即bcW2+H,且當(dāng)b二c時等號成立.因此gbesin所

33、以ABC面積的最大值為竽.評析 本題考查三角恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及解三角形等基礎(chǔ)知識和基本方法,對運(yùn)算能力有較高要求.屬中等 難度題.32. (2015陜西理,17,12分)ABC的內(nèi)角A B,.C所對的邊分別為a, b,c.向量m=(a,eb)與n=(cos A, sin B)平行.求A;(2)若 a=V7, b=2,求AABC 的面積.解析 因為mn,所以asin B-/3bcos A=0,由正弦定理，得sin Asin B-百sin Boos A=0,又 sin BWO,從而 tan A二百，由于0<A<n,所以A=g.解法一：由余弦定理,得a2=b"

34、+c2-2bccoS A,及 a=V7, b=2, A=,得 7=4+c-2c,即 c-2c-3=0,因為c>0,所以c:3.故AABC的面積為/csin A二解法二:由正弦定理,得與-義，sig snB又由 a>b,知 A>B,所以 cos B=故 sin C=sin(A+B)=sin(B 十.宜 u c . 口 3>/21=sin Bcosy»-cos Bs 1 n-".所以ABC的面積為jabs in C=.33. (2014 課標(biāo)II文，17, 12 分)四邊形 ABCD 的內(nèi)角 A 與 C 互補(bǔ),AB=1, BC=3, CD=DA=2.求C

35、和BD;(2)求四邊形ABCD的面積.解析(1)由題設(shè)及余弦定理得BD2=BC-+CD:-2BC CDcos C=13-12cos C,BD2=AB:+DA2-2AB DAcos A=5+4cos C.由,得 cos C=1,故 C=60°, BD=V7.(2)四邊形ABCD的面積S=1aB - DAsin A-BC CDsin C|xlx2+1x3x 2)sin 60°=2V3.評析 本題考杳余弦定理的應(yīng)用和四邊形面積的計算,考查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化的思想,把四邊形分割成兩個三角形是求面積 的常用方法.34. (2014 浙18, 14 分)在AABC 中，內(nèi)角 A, B,

36、 C 所對的邊分另！)為 a, b, c.已知 aNb, c二cos'A-cos'B二Vsin Acos AV5sinBcos B.(】)求角('的大??；4(2)若sin Aq,求AABC的面積.解析(D由題意得1+cos2A l+cos2B V3 V3 二亍sin 2A-sin 2B,BPsin 2A-rcos 2A-s i n 2B-cos 2B, siQ-JsiQY).由 a#b,得 AWB,又 A+B£ (0, n),得7T6B2n62A2TT-3-+B A 即K-3一si 4 -inAn-1s菽一n/18,-5a得3由a<cA<C.從而c

37、os4+3冉故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C-,所以,AABC的面積為S=1acsin B更夢.評析本題主要考直誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識,同時考直運(yùn)算求解能 力.35. (2013 課標(biāo)II理，17, 12 分)ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B.求B;(2)若b=2,求ABC面積的最大值.解析(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin C sin B.又 A=TT (B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos

38、 C+cos Bsin C.由和 CW (0, IT)得 sin B=cos B.又B£(0,n),所以 4(2) ZABC 的面積 S=gacsin B=-ac.由已知及余弦定理得4=£+c=2accos*4又a2+c2>2ac,故ac<=,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立.因此AABC面積的最大值為0+1.36. (2012課標(biāo)文，17, 12分)已知a, b, c分別為AABC三個內(nèi)角A, B, C的對邊,c=V3a - sin C-ccos A.求A;(2)若a=2, AABC的面積為百,求b, c.解析(1)由c=V3asin C-c cos A及正弦定理得

39、/5sin A sin C-cos A sin C-sin C=0.由于 sin CWO,所以 sin(4 -又故A.(2)4ABC 的面積 sgcsin A=W，故 bc=4.而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b'+c J8.解得 b=c=2.評析本題考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,靈活用正、余弦定理是求解關(guān)鍵，正確的轉(zhuǎn)化是本題的難點.37. (2012 課標(biāo)理，17, 12 分)已知 a, b, c 分別為ABC 三個內(nèi)角 A, B, C 的對邊,acos C+>/3asin C-b-c=0.求A;(2)若a=2, AABC的面積為舊,求b, c.解

40、析 由 acos C+V3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+V5sin Asin C-sin B-sin C=0.因為 H=n-A-C,所以，5si口 A占in C-dos Asin C-sin C=0.由于 sin C#0,所以 sin(月-又0<A<nn故A當(dāng)(2) ABC 的面積 S=bcsin 故 bc=4.而 a=b2+c2-2bccos A,故 b%/=8.解得 b=c=2.評析本題考查了正、余弦定理和三角公式，考有了方程的思想.靈活運(yùn)用正，余弦定理是求解關(guān)鍵.考點二解三角形及其應(yīng)用1. (2014四川文,8, 5分)如圖,從氣球A上測得正前

41、方的河流的兩岸B, C的俯角分別為75。, 30。,此時氣球的高是60%則河流的寬度BC等于()A. 240（癡-l）mE. 180（冷l）mC 120（V3-l）ni氏 30（正+1）卬答案 C 如圖,ZACD=300s ZABD=75°n AD=60 叱在 RtAACD 中,CD=一二 二60次 叫在 RtAABD tanzZCD tan300中.BD=*-一二尸7760 （2%=CD-BD=60，-60= 120 （yf3l）肛tnZABD tan75& 2+V32. (2015課標(biāo)工理，電5分)在平面四邊形ABCD中，/A二/B二/C二7H BO2,則AB的取值范圍是

42、.答案(庭-應(yīng),V6+V2)解析 依題意作出四邊形ABCD,連接BD.令BD=x, AB=ys NCDBy /CBD邛.在BCD中,由正弦定理得點二一.由題意可知,NADC=135",貝(I/ADB=135°-6在AABD中，由正弦定理所以> 一二 J 即s也75° sin(135cr)sin(135e-a) sina2sin(13S°r)毒呵9爐一缶45°) 2ss。-45°) V2(cosa+sina)y = r -=- =-=-二sinasinasinasina因為 0°<p<75°, a+

43、B+75°= 180°,所以 30°<a<105°,當(dāng)a=90°時,易得y=V2;當(dāng)aX90。時,y=皿吧里也：sina3(高+1)J3tan600+tan45° l1 l l 1又 tan 30°-, tan 105°=tan(60°+45°) 二-2-竟,結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)知, W (0-2, y3),且;#0,所以3l-tan60otan450tanatanay:綜謎:ye(V6-V2, V6+V2).評析 本題考查了三角函數(shù)和解三角形.利用函數(shù)的思想方法是求解關(guān)鍵,屬偏難題.

44、3. (2015 重慶理,13, 5 分)SEAABC 中,B=120", AB=0, A 的角平分線 AD=dI 貝IJ AC=答案V6ZC + ZBAC避T,xf. /3解析 依題意知NBDA=NC弓NBAC,由正弦定理得=,/.sinZsinzBD/l sin8ZC+ ZBAC= 180°-ZB=60°, .ZC-ZBAC=45°, .,.ZBAC=30o, ZC=30".從而 AC=2 ABcos 30°=&.4. （2014課標(biāo)I理,16, 5分）如圖,為測量山高M(jìn),選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點,從A點測得M

45、點的仰角/MA=60。, C點的仰角NCAB=45°以及NMAC=75°從C點測得/MCA=60°.已知山高BC=100 m,則山高M(jìn)N：答案150 解析 在 RtAABC 中，NCAB=45°, BC=100 m,所以 AC=100V2 m.在AMC 中，ZMAC=75°, ZMCA=60°,從而NAMC=45°,由正弦定理得,ACAMsin45° sin60°,因此 AM二 I00« m.在 RtAMNA 中,AM=100V3 * /MAN=60*由空二sin 60°得標(biāo)二100任

46、當(dāng)-150 m，故填150 AM25. (2011課標(biāo)理,16, 5分)在ABC中,B=60°, AO百,則AB+2BC的最大值為答案24 解析 設(shè) AC=b=V3, AB=c, BC=a,ffiAABC中,忌噎二室 .在二2sin A, c=2sin C,且 A+C= 120°, /.AB+2BC=c+2a=2sin C+4sin A =2sin C+4sin(120°-C) =4sin C+2V3cos C=2V7sin (C+(p),“I 27其中 sm <p=, cos =,A(pe (30°, 60而 (01 120°), A(

47、p+Ce (30°, 180°),當(dāng) C+(p=90時,AB+2BC 有最大值 2b評析 本題主要考查正弦定理的應(yīng)用及三角函數(shù)性質(zhì)和公式的應(yīng)用，熟練掌握定理、公式和三角函數(shù)的性質(zhì)是正確解題的關(guān) 鍵.6. (2020江蘇,16, 14分)在ABC中,角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知a=3, s近,B=45°.(1)求sin C的值；4(2)在邊BC上取一點D,使得cosZADC=-5求tanZDAC的值.解析 本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.(1) SEA ABC 中,因為乳二

48、 3“ 二近,B 二 451由余弦定理b?二2之十匕”2aLec。占B,得1/二9+2-2x3xV5cos 45°二5T所以b二日.在ZWC中,由正弦定理白二裊得 " 二z,所以 sin C.sm450 sinC54在 ADC中,因為cos ZADC-所以/ADC為鈍角， 5而/ADC+NC+/CAD=180°,所以NC 為銳角，/-T- 2VSsinC 1故 cos C=V1 sin2C，貝 11 tan (/-7、二，5cost. 2因為 cdADC二金所以 si nZABC- 1 - cos2ZADC-|i55sinzDC 3tan ZADC=-.COSZ.

49、ADC 4tanz?lDC+tanC從而 tanZDAC=tan(180°-ZADC-ZC)=-tan(ZADC+ZC)= l-tanZDCtanC7. (2019江蘇,15, 14分)在AABC中,角A,比C的對邊分別為& b, c.(1)若 2i=3c, b=V2, cos B=|,求 c 的值；z 、.寫 in A cosB /若k WT求+ ”的值解析本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.rl(1)因為"3c, b=6, cqb B-t由余弦定理，醋吟W竺即仁,所以片學(xué)因為也二噗， q 2b.a b /(_

50、cosS sinS,八. ,由正弦定理一;二，得FT二丁，所以cos B=2sin B.smA s】nE 2b b從而 cg/B= (2sin E)即 cos2B=4 (Hcos2B),故 cos2B=->2V5因為 sin B>0s 所以 cos B=2sin B>0,從而 cos B二g.因此 sin(B + 1)=cos 普.8. (2018北京理,15,13分)在柚C中,a% b田cos B二尚.求A;(2)求AC邊上的高.，所以 sin B=V1 - cos2B=-.解析 在aABC中，因為cos B號，所以Bd&n)由正弦定理得sin Ana-sinB 6

51、因為BC&n),所以A=g.(2)在ABC 中，sin C=sin(A+B)=sin(B + g)="sin B+-cos三角形ABC的面積Sz.w-abs i n C二60，設(shè)AC邊上的高為h,貝!J SAAM-|bh=1x8 h=6y/3,所以普，即AC邊上的高為苧.方法總結(jié) 處理解三角形相關(guān)的綜合題目時，首先要掌握正弦、余弦定理,其次結(jié)合圖形分析哪些邊、角是已知的，哪些邊、角 是未知的,然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程,最后通過解方程求出邊或角.9. (2017天津理，15, 13分)在4ABC中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.已知a>b, a

52、=5, c=6, sin B卷. a求b和sin A的值；求sin(24+；)的值.解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦公式,兩角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考杳運(yùn)算求解能力.(1)在ABC中,因為a>b,故由sin B暫,可得cos B.由已知及余弦定理,有b*=a'+c'-2accos B=13,所以b=y/L3.55rh-rmam a 匕，日a asinB 3舊由正弦定理而二而？es】n A=.所以,b的值為g, sin A的值為誓.由及ac,得cos A二浮，125所以 sin 2A二2sin Acos A-, cos 2

53、A-l-2sin'A-r.故sin匚sin 2Acos-*-cos 2Asin-=44 26方法總結(jié)1.利用正、余弦定理求邊或角的步驟：（1）根據(jù)已知的邊和角畫出相應(yīng)的圖形,并在圖中標(biāo)出；（2）結(jié)合圖形選擇用正 弦定理或余弦定理求解；（3）在運(yùn)算和求解過程中注意三角恒等變換和三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用.2.解決三角函數(shù)及解三角形問題的滿分策略：（1）認(rèn)真審題，把握變形方向；（2）規(guī)范書寫,合理選擇公式；（3）計算準(zhǔn)確,注意符 號.10. （2017 天津文，15,13 分）在ABC 中，內(nèi)角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c.已知 asin A=4bsin B, ac=V5

54、（a2-bJ-c2）.求cos A的值；（2）求 sin（2B-A）的值.解析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦、余弦公式、兩角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基 礎(chǔ)知識.考查運(yùn)算求解能力.sinA sinB（1）由 asin A=4bsin B,彳導(dǎo) a=2b.由 ac=«),及余弦定理，得cos A-h2+c2-a2 邛ac 店(2)由(1),可得 sin A=z-, ftAasin A=4bsin B,asinA V54b 5由（1）知,A為鈍角,所以cos Br/1-siMB華540 3于是 sin 2B=2sin Bcos B=r, cos 2B=l-2s

55、in'B=T, 55,.4 / V5 3 2V5 2V5故 sin（2B-A）=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=-xl l -x=規(guī)律總結(jié)解有關(guān)三角形問題時應(yīng)注意：（1）在解有關(guān)三角形的題目時,要有意識地考慮用哪個定理更適合或兩個定理都要用,要抓住能夠利用某個定理的信息.一般地. 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式,要考慮用正弦定理;以上 特征都不明顯時,則要考慮到兩個定理都有可能用到.（2）解三角形問題時應(yīng)注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍.11. （2016 北京理,15, 13 分）在ABC 中,a2+c2=

56、b2+V2ac.（1）求NB的大??；（2）求x/Jcos A+cos C 的最大值.a2.c2_b2 2722ac 2ac解析（1）由余弦定理及題設(shè)得cos 8=巴與=等匚當(dāng).又因為0<NB<n,TT所以NB=7 （6分） 43n由知/A+NC="Vzcos A+cos C=V2cos A+cos（空A）r V2 V2V2cos A-r-cos A+-r-sin AV2 V2=cos A+-sm A=cos（4 -（11 分）因為 0<ZA<,所以當(dāng)人斗時，發(fā)cos A+cos C取得最大值1. （13分）思路分析 第（1）問條件中有邊的平方和邊的乘積,顯然用余弦定理求解.第問用三角形內(nèi)角和定理將原三角函數(shù)式化為只 含一個角的三角函數(shù)式,再注意角的取值范圍，問題得解.評析 本題考查余弦定理,三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).屬中檔題.ta n 力 tanB12. （2016 山東理，16, 12 分）在AABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a, b,c.已知 2 （tan A+tan B）=-+COSD cos/1（1）證明：a+b = 2c;(2)求cos C的最小值./八士/rc /sinA sn