高等代數(shù)與幾何第二章第一節(jié)

1、第二章第二章 空間解析幾何空間解析幾何 解析幾何就是用代數(shù)的方法來研究一些幾何圖形，解決一些幾何問題。解析幾何的基本方法就是坐標(biāo)法。解析幾何在代數(shù)，分析，力學(xué)，物理和一些工程技術(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用，它是學(xué)習(xí)其他課程和解決某些實(shí)際問題的基礎(chǔ)。 在本章，我們將討論三維歐式空間，平面和直線及其它們的相互關(guān)系，最后介紹幾種重要的曲面和二次曲面。 2.1 2.1 坐標(biāo)系、三維向量坐標(biāo)系、三維向量 笛卡兒坐標(biāo)設(shè) 是相交于一點(diǎn)但是不在同一平面上的 123,L L L三條實(shí)數(shù)軸，則 構(gòu)成了一個(gè)空間笛卡兒 123,L L L坐標(biāo)系，其交點(diǎn)稱為坐標(biāo)原點(diǎn)記為 ； 123,L L LO稱為坐標(biāo)軸(分別稱為 軸， 軸，

2、 軸)； xyz12,L L所在的平面稱為 面， xOy 所在的平面稱為 所在的平面稱為 面；這些平面 23,L L13,L LxOzyOz面，統(tǒng)稱為坐標(biāo)面。 yzxO1L2L3L坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :xOy面0 zyOz面0 xzOx面0 yxyzO 軸交于 ，對應(yīng)于實(shí)數(shù)軸上的三個(gè)實(shí)數(shù)面， 面平行的平面，它們分別與 軸， 軸， 顯然點(diǎn) 按照上述方法對應(yīng)于有序數(shù)組xyz) 0 , 0 ,(01xM) 0 , 0(02yM), 0 , 0(03zMO),(000zyxM設(shè) 是空間上一點(diǎn)，過點(diǎn) 分別作與 面， xOyMMyOzxOzxyz123,M MM000

3、,.xyzM000(,)xyz是一個(gè)一一對應(yīng)。稱 為 的坐標(biāo)，000(,)xy zM記為 或 ，其中稱 為點(diǎn) 的 000(,)M xyz000(,)xyzMx0 x坐標(biāo)或橫坐標(biāo)， 稱 為點(diǎn) 的 M0yy坐標(biāo)或縱坐標(biāo)， 稱 為點(diǎn) 的 坐標(biāo)或豎坐標(biāo)。 M0zz則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ； xyz) 0 , 0 ,(01xM) 0 , 0(02yM), 0 , 0(03zMO),(000zyxM),(000zayxMa如果點(diǎn) 是點(diǎn) 平行 軸移動(dòng) 個(gè)單位時(shí)， M000(,)M xyzyaM000(,)xya z平行 軸移動(dòng) 個(gè)單位時(shí)， xa當(dāng)點(diǎn) 是點(diǎn) M000(,)M xyz則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ； M000(,)x

4、a yz當(dāng)點(diǎn) 是點(diǎn) M000(,)M xyz平行 軸移動(dòng) 個(gè)單位時(shí)，則 za點(diǎn) 的坐標(biāo)為 . M000(,)xy za總之, 設(shè)點(diǎn) 123,M MM 是點(diǎn) 000(,)M xyz分別平行 軸， 軸， 軸移動(dòng) 個(gè)單位， 則點(diǎn) 123,M MM的坐標(biāo)分別為000(,),xa y z000(,),xya z000(,).xyzaxyza三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分成八個(gè)部分，每一部分稱為一個(gè)卦限。xyzx軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)面yOzzOx面O面xOy不同卦限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)如下：卦限 坐標(biāo)( , , ), ( , , ). ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )

5、, ( , , ), ( , , ), 如果我們選取的三條實(shí)數(shù)軸是互相垂直的，并且其單位長度相同，則稱為直角坐標(biāo)系。如果直角坐標(biāo)系中 軸， 軸， 軸滿足右手法則(即用右手由 軸的正向向 軸的正向握拳，拇指正好指向 軸的正向)，則稱這個(gè)直角坐標(biāo)系是右手系的。在本章中我們都假設(shè)迪并且是右手系的。xyzxyzxyzx軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)O卡兒坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系，xoyzMN0z00r柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)對于空間上的點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 平面的垂線，它 xOyMM的垂足 與 的距離記為 ，將 軸正向與線段 的逆時(shí)針角（ 軸在 平面上繞 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與 線段 重合時(shí)所需旋轉(zhuǎn)的角度）記為 ， 為點(diǎn)的

6、軸坐標(biāo)。這樣對于空間上點(diǎn) 就有一個(gè)有序數(shù)組 與它對應(yīng)，稱 為點(diǎn) 的柱面坐標(biāo).NO0rxONxxOyOON0z0MzM000( ,)rz000( ,)rzM如果點(diǎn) 不在 軸，點(diǎn) 與它的柱面坐標(biāo)000( ,)rz00(0,02 )r是一一對應(yīng)的；為 ，其中 由 唯一確定，而MzM如果點(diǎn) 在 軸上,則點(diǎn) 的柱面坐標(biāo)MzM00(0,)z 可以是大于等于0小于 的任意數(shù)。0M0z2xoyzMN0z00r如果設(shè)點(diǎn) 的柱面坐標(biāo)為 ，000( ,)rzM點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為 ，則從M000(,)xy z圖中和三角函數(shù)公式可以看出直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式：00000000cossinxryrzz；2200000

7、02222000000arcsinarccos.rxyyxxyxyzz0 x0y 的任意數(shù)；如果點(diǎn) 在 軸上，但不是原點(diǎn), 則Mz點(diǎn) 的球面坐標(biāo) 中 和 由xoyzMNQRP00r0球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)設(shè) 是空間一點(diǎn)，將 與坐標(biāo)原點(diǎn) 的距離記為 ，將 軸正向與線段 的夾角記為 ，將 軸正向與線段 在 上的投影的逆時(shí)針角記為 。這樣對于空間中點(diǎn) 就有一個(gè)有序數(shù)稱 為點(diǎn) 的球面坐標(biāo).MM組 與它對應(yīng)，000( ,)r 000( ,)r 如果點(diǎn) 不在 軸,點(diǎn)000(0,02 ,0)r是一一對應(yīng)的；唯一確定，而MzM 可以是大于等于0小于02 與它的球面坐標(biāo) M000( ,)r 000( ,)r 00rM

8、如果點(diǎn) 是原點(diǎn)，則點(diǎn)M 的球面坐標(biāo) 中 而 M000( ,)r 00r 00, 為滿足 的任意數(shù)。 0002 ,0MMO0rzOM0 xOMxOy0000( ,)r xoyzMN0 x00r0如果設(shè)點(diǎn) 的球面坐標(biāo)為 ，M點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為 ，則從M000(,)xyz圖中和三角函數(shù)公式可以看出直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式：000( ,)r 00000000000sincossinsincosxryrzr；22200000002222000000222000arcsinarccos.arccosrxyzyxxyxyzxyz0y0z, , ,a b c定義2.1.2 一個(gè)既有大小, 又有方向的量稱為向

9、量。向量向量最簡單的量是在取定單位以后可以完全用一個(gè)實(shí)數(shù)來表示，例如距離，時(shí)間，體積，溫度等等，這種只有大小的量稱為數(shù)量。另外還有一些比較復(fù)雜的量，它們不僅有大小而且還有方向，例如力，速度，力矩等等。(也稱為矢量). 表示法: 有向線段 M1 M2 ,或,或a,b,c,向量的長度 :向量的大小,21MM記作,a或或|a|(也稱向量的模). 是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。1M2M向量的起點(diǎn)向量的終點(diǎn)零向量: 一個(gè)長度（模）為 0 的向量稱為零向量,記為0.注意：零向量的方向不定。負(fù)向量：與向量a的長度相同方向相反的向量稱為a的負(fù)向量，記為a。單位向量: 一個(gè)長度（模）為 1 的向量。自由向量：與起點(diǎn)無關(guān)的向量

10、.用有向線段表示向量的時(shí)候，起點(diǎn)可任取. 即長度相等，方向相同的向量相等。如圖M1M1PP1 1MPM P 點(diǎn) 與a 的終點(diǎn) 重合，連接兩向量a,b, 得一折線向量的加法向量的加法定義2.1.3 設(shè)a ,b ,平行移動(dòng)b，使b的始1 1M P 22M P2M ，從折線的起點(diǎn) 到終點(diǎn) 的向量s 1 122()M P MP1M2P稱為a,b的和，記為s=a+b. （三角形法則）也可用平行四邊形來定義向量的加法。2P1M12()P Ms=a+bbas=a+bba（三角形法則）（平行四邊形法則）1P 是一個(gè)數(shù) ,規(guī)定 :時(shí)，0,0時(shí),00時(shí)）時(shí)（或者 a總之:，同向與aa 與 a 的乘積是一個(gè)新向量,

11、 記作.a;aa，反向與aa;aa.0aaa向量與數(shù)的乘法注：模也為零，方向不定。我們將向量放到一個(gè)直角坐標(biāo)系里。設(shè) 為空間直角坐標(biāo)系。Oxyz向量的坐標(biāo)表示xyzO由此可得到一個(gè)向量a 。xOyzN對于任意向量a ，將它的起點(diǎn)放到坐標(biāo)原點(diǎn) OP 上，則它的終點(diǎn)坐標(biāo) 由a唯一確定，給定三個(gè)數(shù) ，則在直角坐標(biāo)系有一個(gè)唯一的 (,)xyzP a a a,xyza aaO點(diǎn) 與它對應(yīng)，OP (,)xyzP a aa這樣在有序三元數(shù)組 與向量a之間建立了一(,)xyza aa個(gè)一一對應(yīng)，因此，一個(gè)向量a可以由有序三元數(shù)組(,)xyza aa表示，稱 為向量a的坐(,)xyza aa標(biāo)，記為a 。(,)

12、xyza a a(,)xyzP a aaaxayaza反之，其中 稱為a的方向余弦。Oyzx2設(shè) 分別是a與x軸正向，123, y軸正向，z軸正向的夾角，0,1,2,3.ii命題2.1.4 設(shè)a ，b 。則有(,)xyza aa(,)xyzb b b222xyzaaa；,xxyyzzab ab ab；,xyzaaa；12222222cos,cos,yxxyzxyzaaaaaaaa3222cos,zxyzaaaa123cos,cos,cos(1) |a|(4)(3) a(2) a+b（證明略）1a3稱為a的方向角。其中向量的運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)2.1.1 設(shè)a，b，c是任意向量，k，l是任意實(shí)數(shù)，則

13、(1) a+b=b+a.(2) (a+b)+c=a+(b+c).(3) 零向量0=(0,0,0)，而且0+a=a.(4) 如果a ，則a (,)xyza aa(,),xyzaaa 而且a +（a ）=0.(5) 1a =a .(6) l(ka) =(lk)a .(7) (l+k)a =la +ka.(8) k(a+b) =ka+kb.xOyzMN如果設(shè)i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1), 它們分別表示為與x軸，y軸，z軸正向一致的單位向量, a 可以表示為a=axi+ayj+azk (,)xyza aa例2.1.5 把ABC的BC邊五等分， 設(shè)分點(diǎn)分別為D1,D2,D3

14、,D4, 再把它們分別與A連接，設(shè)AB=c，BC=a，試求DiA，i=1,2,3,4.解 由于 ,5iiiiBDBC BDD ABA 所以 c a =.5iiiD AABBD aijkxayaza則向量例2.1.6 設(shè)M(x1,y1,z1), P(x2,y2,z2)是三維空間上的兩個(gè)點(diǎn)，求向量MP的坐標(biāo)。OyzxMP解 （如圖） 212121(,).MPOPOMxx yy zz 例2.1.7 點(diǎn)P把有向線段P1P2分成定比已知P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)和 ，(1) ：12PPPP ， 求P的坐標(biāo)。 解 設(shè)P(x,y,z),由 推出 111222(,)(,)xx yy zzxx yy zz，121212()()()xxxx