中考數(shù)學(xué)壓軸題專題旋轉(zhuǎn)的經(jīng)典綜合題及答案

1、一、旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編(難題易錯(cuò)題)1.平面上，RtABC與直徑為CE的半圓O如圖1擺放，ZB=90°,AC=2CE=m,BC=n,半圓O交BC邊于點(diǎn)D,將半圓O繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D隨半圓O旋轉(zhuǎn)且/ECD始終等于/ACB,旋轉(zhuǎn)角記為a(0°180(1)當(dāng)0°時(shí)，連接DE,則/CDE=°,CD=;(2)試判斷：旋轉(zhuǎn)過程中犯的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；AE(3)若m=10,n=8,當(dāng)a=/ACB時(shí)，求線段BD的長；(4)若m=6,n=4無，當(dāng)半圓O旋轉(zhuǎn)至與ABC的邊相切時(shí)，直接寫出線段BD的長.【答案】(1)90。，口；(2)無變

2、化；(3)12匹；(4)BD=2而或3叵.253【解析】CE-上、皿即可解決問題.求出CA一CD試題分析：(1)根據(jù)直徑的性質(zhì)，由DE/AB得CBBD、AE即可解決問題.(2)只要證明ACa4BCD即可.(3)求出AB>AE,利用AC&BCD即可解決問題.(4)分類討論：如圖5中，當(dāng)a=90時(shí)，半圓與AC相切，如圖6中，當(dāng)a=90°4ACB時(shí)，半圓與BC相切，分別求出BD即可.試題解析：(1)解：如圖1中，當(dāng)"0寸，連接DE,則。CECD11/CDE=90：/CDE=/B=90；z.DE/AB,.二一.-BC=n,.CD=-n.故答ACCB221案為90n.2

3、如圖2中，當(dāng)a=180寸，BD=BC+CD=-n,AE=AC+CE=-m,.里二二.故答案為22AEm(2)如圖3中，./ACB=/DCEZACE=ZBCD.CDBCnCEACmBD.ACEBCD,AEBCnACm（3）如圖4中，當(dāng)ACB時(shí).在RABC中，vAC=10,BC=8,，AB=4aCBC2=6在RtABE中，AB=6,BE=BC-CE=3,cc.ccBD-AE=y/AB忘=J6232=3后,由（2）可知AC&BCD,AEBCAC'耳上，.s應(yīng)535105故答案為12,55（4）m=6,n=4及，CE=3,CD=25，AB=JcA2_BC2=2,如圖5中，當(dāng)a=90時(shí)，

4、半圓與AC相切.在R9DBC中，BD=Jbc2cd2=J（4揚(yáng)2（2/2）2=2折.如圖6中，當(dāng)a=90°Z+ACB時(shí)，半圓與BC相切，作EMXABTM.ZM=ZCBM=ZBCE=90°,.四邊形BCEM是矩形，.BMEC3,ME472，DB222,114.AM=5,AE=VAM2ME2=57，由（2）可知=-，-BD=.AE33故答案為2而或2匹.3點(diǎn)睛：本題考查了圓的有關(guān)知識，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，正確畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會分類討論的思想，本題綜合性比較強(qiáng)，屬于中考壓軸題.2.如圖1,在RtADE中，ZDAE=90°,C是邊AE上任意

5、一點(diǎn)(點(diǎn)C與點(diǎn)A、E不重合)，以AC為一直角邊在RtAADE的外部作RtAABC,/BAC=90,連接BE、CD.(1)在圖1中，若AC=AB,AE=AD,現(xiàn)將圖1中的RtADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角a,得到圖2,那么線段BE.CD之間有怎樣的關(guān)系，寫出結(jié)論，并說明理由；(2)在圖1中，若CA=3,AB=5,AE=10,AD=6,將圖1中的RtADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角”，得到圖3,連接BD>CE. 求證：ABEACD；計(jì)算：BD2+Cg的值.【答案】(1)BE=CDBEXCD,理由見角；(2)證明見解析；BD2+Cg=170.【解析】【分析】(1)結(jié)論：BE=CD,BEXCD;只要證

6、明ABA®ACAD,即可解決問題；(2)根據(jù)兩邊成比例夾角相等即可證明ABEACD. 由得到/AEB=/CDA.再根據(jù)等量代換得到ZDGE=90°,即DG±BE,根據(jù)勾股定理得到bd2+cE2=cB?+ec2,即可根據(jù)勾股定理計(jì)算.【詳解】(1)結(jié)論：BE=CD,BEXCD.理由：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,BE與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,如圖2.cCCAB=ZEAD=90；/CAD=ZBAE.ABAC在ACAD和BAE中，.BAEAECAD,ACADIABAE,.CD=BE,AD/ACD=/ABE./BFA=ZCFG,/BFA+ZABF=90；/CFG/ACD=90:ZC

7、GF=90:.-.BEXCD.(2)設(shè)AE與CD于點(diǎn)F,BE與DC的延長線交于點(diǎn)G,如圖3.郅D/CABB=ZEAD=90；，/CAD=ZBAE.CA=3,AB=5,AD=6,AE=10,1.-AE-=-AD-=2,.ABaMCD；ABAC.ABEAACD,./AEB=/CDA./AFD=/EFG,ZAFD+ZCDA=90；/EFG/AEB=90；/DGE=90；.DG,BE,ZAGD=ZBGD=90；.CEC+EG2,BD2=BG2+DG2,BD2+cE!=cG?+eG2+bG2+DG2.cg2+bG2=ce2，eG2+dg2=ed2,l-BD2+cE!=CB2+ED2=CA2+AB2+AD

8、2+AD2=170.三【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合變換綜合題，主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合運(yùn)用，運(yùn)用類比，在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.3 .小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：對折矩形紙片ABCD(AB>BC)使AB與DC重合，得到折痕EF,把紙片展平；沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處，再折出PB、PC,最后用筆畫出4PBC圖1).(1)求證：圖1中的ZiPBC是正三角形:(2)如圖2,小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個(gè)正三角形IMN,其中IJ=6cm,且HM=JN.求證：IH=IJ請求出NJ的長；(3)小明發(fā)現(xiàn)

9、：在矩形紙片中，若一邊長為6cm,當(dāng)另一邊的長度a變化時(shí)，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同.請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說明問題即可)，并直接寫出對應(yīng)的a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；12-6J3(3)3A/3<av4j3,a>4 3【解析】分析：(1)由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PCPB=CB得出PB=PC=CBIP可；(2)利用"HlffiIHMRtAIJN即可得；IJ上取一點(diǎn)Q,使QI=QN,由RtAIHMRtIJN知/HIM=/JIN=15:繼而可得ZNQJ=30°,設(shè)

10、NJ=x,貝UIQ=QN=2x、QJ=x/3x,根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；(3)由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算，畫出圖形即可.(1)證明：二.對折矩形紙片ABCD(AB>BC)使AB與DC重合，得到折痕EF.PB=PC沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處 .PB=BCPB=PC=BC .PBC是正三角形：(2)證明：如圖 矩形AHIJ/H=ZJ=90° MNJ是等邊三角形.MI=NI在RtAMHI和RJNI中MINIMHNJ RtAMHIRtAJNI(HL).HI=IJ在線段IJ上取點(diǎn)Q,使IQ=NQ RtAIHMRtAIJN,/HIM=

11、ZJIN, /HIJ=90、/MIN=60,°/HIM=ZJIN=15,°由QI=QN知/JIN=/QNI=15,/NQJ=30,°設(shè)NJ=x,貝UIQ=QN=2x,QJ=.QN2NJ2=.3x,IJ=6cm, 2x+J3x=6,.x=12-6出，即NJ=12-6<3(cm).(3)分三種情況：設(shè)等邊三角形的邊長為b,則0vbW6,則tan60=層£2“呼二3后如圖當(dāng)DF與DC重合時(shí)，DF=DE=6a=sin60xDE鼠L3出,26當(dāng)DE與DA重合時(shí)，a=sin60-3v3vaV4y/3；.1./FDC=30（如圖）1DF=cos30,32a>

12、;43點(diǎn)睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大.4.把兩個(gè)直角邊長均為6的等腰直角三角板ABC和EFG疊放在一起（如圖），使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角a滿足條件：0°<a<90°）,四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（1）探究：在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK的數(shù)量關(guān)系以及四邊形CHGK的面積的變化情況（直接寫出探究的結(jié)果，不必寫探究及推理過程）；（2）利用（1

13、）中你得到的結(jié)論，解決下面問題：連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一位置，使4GKH的面積恰好等于4ABC面積的二一？若存在，求出此時(shí)BH的長度；若12不存在，說明理由.【答案】(1)BH=CK;(2)存在，使4GKH的面積恰好等于ABC面積的的位置，此時(shí)BH_12的長度為|3土巡.【解析】(1)先由ASA證出CGKBGH,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK根據(jù)全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半；(2)根據(jù)面積公式得出Skghk=S四邊形ckghSzxckffx2-3x+9,根據(jù)GKH的面積恰好等于2ABC面積的,代入得出方程一x2-3x+9=?<X646求出即可

14、.122122解：(1)BH與CK的數(shù)量關(guān)系：BH=CK理由是：連接OC,由直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出OC=BGAC=BC,O為AB中點(diǎn)，/ACB=90；/B=/ACG=45；CO±AB,/CGB=90=ZKGH, 者B減去/CGH得：ZBGH=ZCGK在CGK和4BGH中,.tCG;BG,bZKGC=ZBGH .CGKABGHI(ASA), .CK=BH即BH=CK；四邊形CHGK的面積的變化情況：四邊形CHGK的面積不變，始終等于四邊形CQGZ的面積，即等于4ACB面積的一半，等于9;5(2)假設(shè)存在使4GKH的面積恰好等于ABC面積的一的位置.12設(shè)BH=x,由題意及(1)中

15、結(jié)論可得，CK=BH=xCH=CB-BH=6-x,SachK=1CHXCK=3x1x2,2212、J2.Saghk=S四邊形ckghSackh=9(3x/X2)-x2-3x+9,5GKH的面積恰好等于ABC面積的一,12x23x+9-3xlx6X62122解得x3>/6,X23庭(經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意).存在使GKH的面積恰好等于4ABC面積的9的位置，此時(shí)x的值為3J6.12薰睛”本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積,有一定的難度，但是一道比較好的題目.全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，此題L皿44CAPA5.已知：一次函數(shù)下二一,工一1的圖象與BCD(其中x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B,以B

16、為旋轉(zhuǎn)中O與CA與D是對應(yīng)的頂點(diǎn))(2)當(dāng)/BAD=45時(shí)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，求直線BD的關(guān)系式.【答案】(1)5;(2)D(4,7)或(-4,1);(3)【解析】試題分析：(1)先分別求得一次函數(shù)卜二一萬工+4的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求解即可；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合BOA的特征求解即可；(3)先根據(jù)點(diǎn)C在線段AB上判斷出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法列方程組求解即可一+4時(shí)，當(dāng)工=0時(shí)，了=4,當(dāng)F=U時(shí)，x-3(2)由題意得(2)由題意得D(4,7)或(-4,1);17D點(diǎn)坐標(biāo)為(4,7")0設(shè)直線BD的關(guān)系式為J二H+b一”,、_,r

17、圖象過點(diǎn)B(0,4),D(4,)6，直線BD的關(guān)系式為考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)的綜合題點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型.6.如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過點(diǎn)B,C,/F=30°.（1）求證：BE=CE（2）將4EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF,EG分別與AB,BC相交于點(diǎn)M,N.（如圖2）求證：BEMCEN；若AB=2,求4BMN面積的最大值；當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)B恰好在FG上（如圖3）,求sin/EBG的值.6【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；2

18、;不一4【解析】【分析】（1）只要證明BA®4CDE即可；（2）利用（1）可知4EBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明;構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；如圖3中，作EH，BG于H.設(shè)NG=m,貝UBG=2m,BN=EN=J3m,EB=qm.利用面積法求出EH,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題.【詳解】四邊形ABCD是矩形，.AB=DC,/A=/D=90；2 .E是AD中點(diǎn),.AE=DE.BAEACDE,.BE=CE(2)解：如圖2中，5G由（1）可知，4EBC是等腰直角三角形,/EBC=ZECB=45,°3 /ABC=ZBCD=90,°/EBM=Z

19、ECN=45；mMMEN=ZBEC=90,°/BEM=/CEN,4 .EB=EQ5 .BEMACEN;.BEMACEN,.BM=CN,設(shè)BM=CN=x,貝UBN=4-x,/.Sabmn=?x(4-x)=-(x-2)2+2,22,.-1<0,2.x=2時(shí)，ABMN的面積最大，最大值為2.解：如圖3中，作Ehl±BG于H.設(shè)NG=m,貝UBG=2m,BN=EN=J3m,EB=J6m.11Sabeg=-?EG?BN=-?BG?EH).EHj3rn?(13)rn=3+j3m2m2'3+.3在RtEBH中，sin/EBH=EH2m娓亞.EB6m4【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜

20、合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，7.如圖，在RtABC中，ZACB=90°,/A=30：點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接OGOP,將線段OP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段PQ,連接BQ.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系.(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上

21、時(shí)，若/BPO=15°,BP=4,請求出BQ的長.【答案】(1)BQ=CR(2)成立：PC=BQ;(3)4734.【解析】試題分析：(1)結(jié)論：BQ=CP.如圖1中，作PH/AB交CO于H,可得4PCH是等邊三角形，只要證明POHQPB即可；(2)成立：PC=BQ.作PH/AB交CO的延長線于H.證明方法類似(1);(3)如圖3中，作CE，OP于E,在PE上取一點(diǎn)F,使得FP=FG連接CF.設(shè)CE=CO=a,則FC=FP=2a,EF=JJa,在RtPCE中，表示出PC,根據(jù)PC+CB=4,可得方程(娓J2)a缶4,求出a即可解決問題；試題解析：解：(1)結(jié)論：BQ=CP.理由：如圖1

22、中，作PH/AB交CO于H.在RtABC中，./ACB=90°,/A=30°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，.CO=AO=BO,ZCBO=60°, CBO是等邊三角形，/CHP=ZCOB=60；/CPH=ZCBO=60；./CHP=ZCPH=60； CPH是等邊三角形,PC=PH=CH,.1.OH=PB,/OPB=ZOPQ+ZQPB=ZOCBZCOPZOPQ=ZOCP=60；./POH=ZQPB,PO=PQ,APOHAQPB,.PH=QB,.PUBQ.(2)成立：PC=BQ.理由：作PH/AB交CO的延長線于H.在RtABC中，ZACB=90°,/A=30°

23、,點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，.CO=AO=BO,ZCBO=60°,CBO是等邊三角形，/CHP=ZCOB=60；/CPH=ZCBO=60:./CHP=ZCPH=60;.CPH是等邊三角形，PC=PH=CH,.1.OH=PB,/ZPOH=60+ZCPO,/QPO=60+/CPQZPOH=ZQPB,/PO=PQ,POHAQPB,.PH=QB,.PC=BQ.(3)如圖3中，作CE±OP于E,在PE上取一點(diǎn)F,使得FP=FG連接CF./OPC=15；ZOCB=ZOCR/POC/POG=45；CE=EO,設(shè)CE=CO=a,貝UFC=FP=2a,EF=3a,在RtPCE中，PC=PE2CE2=,

24、：(2a3a)2a2=(76V2)a,PCCB=4,(766)aQa4,解得a=46276,，PC=4出4,由(2)可知BQ=PC,BQ=4V34.點(diǎn)睛：此題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.8.如圖，是邊長為公用的等邊三角形，邊油在射線上，且&4=6幽，點(diǎn)口從點(diǎn)門出發(fā)，沿OV的方向以1匚W、的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q不與點(diǎn)M重合是，將8繞點(diǎn)e逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60ro得到皿C£，連接辦E.（2）當(dāng)時(shí)，的SZ）E周長是否存在最小值？若存在，求出A

25、BDE的最小周長；若不存在，請說明理由（3）當(dāng)點(diǎn)。在射線3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以DtE.B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在，求出此時(shí)F的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）詳見解析；（2）存在，2百+4;（3）當(dāng)t=2或14s時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.【解析】試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/DCE=60,DC=EC即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)6<t<10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得至ijCadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CD）!AB時(shí)，4BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；（3）存在，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)0Wg6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/ABE=60,ZBDE<60°,求得ZBED=90,根據(jù)等邊三角形