小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)抽屜原理含答案

1、抽屜原理知識(shí)要點(diǎn)(1)假設(shè)有3個(gè)蘋(píng)果放入2個(gè)抽屜中，必然有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)蘋(píng)果。它的一般表述為：第一抽屜原理：(mn1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至少有(m1)個(gè)物體。(2)若把3個(gè)蘋(píng)果放入4個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜空著。它的一般表述為：第二抽屜原理：(mn1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至多有(m1)個(gè)物體。常見(jiàn)的構(gòu)造抽屜的方法有：數(shù)的分組、染色分類(lèi)、圖形的分割、剩余類(lèi)等等。例1自制的一副玩具牌共計(jì)52張(含四種牌：紅桃、紅方、黑桃、黑梅，每種牌都有1點(diǎn)，2點(diǎn)，13點(diǎn)牌各一張)，洗好后背面朝上放。一次至少抽取張牌，才能保證其中必定有2張牌的點(diǎn)數(shù)和顏色都相同。如果要

2、求一次抽出的牌中必定有3張牌的點(diǎn)數(shù)是相鄰的(不計(jì)顏色)，那么至少要取張牌。點(diǎn)撥 對(duì)于第一問(wèn)，最不利的情況是兩種顏色都取了113點(diǎn)各一張，此時(shí)再抽一張，這張牌必與已抽取的某張牌的顏色與點(diǎn)數(shù)都相同。點(diǎn)撥 對(duì)于第二問(wèn)，最不利的情況是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4張，此時(shí)再取一張，這張牌的點(diǎn)數(shù)是3，6，9，12中的一張，在已抽取的牌中必有3張的點(diǎn)數(shù)相鄰。解 (1)13×2127(張)(2)9×4137(張)例2 證明：37人中，(1)至少有4人屬相相同；(2)要保證有5人屬相相同，但不保證有6人屬相相同，那么人的總數(shù)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？點(diǎn)撥 可以把12個(gè)屬相看做

3、12個(gè)抽屜，根據(jù)第一抽屜原理即可解決。解 (1)因?yàn)?7÷1231，所以，根據(jù)第一抽屜原理，至少有314(人)屬相相同。(2)要保證有5人的屬相相同的最少人數(shù)為4×12149(人)不保證有6人屬相相同的最多人數(shù)為5×1260(人)所以，總?cè)藬?shù)應(yīng)在49人到60人的范圍內(nèi)。例3有一副撲克牌共54張，問(wèn)：至少摸出多少?gòu)埐拍鼙ＷC：(1)其中有4張花色相同？(2)四種花色都有？點(diǎn)撥 首先我們要弄清楚一副撲克牌有2張王牌，四種花色，每種有13張。(1)按最不利原則先取出2張為王牌，再取4張均不同花色，再連續(xù)取兩次4張也均不同花色，這時(shí)必能保證每一花色都有3張，再取1張即可達(dá)到

4、要求。(2)仍需按最不利原則去取牌，先是2張王牌，接著依次把三種花色的牌全部取出13×3，這時(shí)假設(shè)仍是沒(méi)有四種花色，再取1張即可。 解 (1)24×3115(張) (2)213×3142(張)例4 學(xué)校買(mǎi)來(lái)紅、黃、藍(lán)三種顏色的球，規(guī)定每位學(xué)生最多可以借兩種不同顏色的球。那么至少要來(lái)幾名學(xué)生借球，就能保證必有兩名學(xué)生借的球的顏色完全相同？點(diǎn)撥 根據(jù)題中“最多可借兩種不同顏色的球”，可知最多有以下6種情況：解 借球有6種情況，看做6個(gè)抽屜，所以至少要來(lái)7名學(xué)生借球，才能保證。例5 從前面30個(gè)自然數(shù)中最少要取出幾個(gè)數(shù)，才能保證取出的數(shù)中能找到兩個(gè)數(shù)，其中較大的數(shù)是較小

5、數(shù)的倍數(shù)？點(diǎn)撥 把130這30個(gè)自然數(shù)分成下面15組：1，2，4，8，16，3，6，12，24，5，10，20，7，14，28，9，18，11，22，13，26，15，30，1 7，19，21，23，25)，27，29，在這15組中，每組中的任意兩個(gè)數(shù)都存在倍數(shù)關(guān)系，故可把這15組看做15個(gè)抽屜，至少要取出16個(gè)數(shù)才能達(dá)到題目的要求。例6 邊長(zhǎng)為1的正方形中，任意給定13個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共線。試說(shuō)明其中至少有4個(gè)點(diǎn)，以此4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積不超過(guò)四分之一。解：把正方形平均分成四個(gè)相同的小正方形，每個(gè)正方形的面積為四分之一。13=4×3+1，13個(gè)點(diǎn)至少有4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)小正方形

6、，以此4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)小正方形的面積，即不超過(guò)原正方形面積的四分之一。例7平面上給定六個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有三點(diǎn)共線。每?jī)牲c(diǎn)用一條紅線段或黃線段連接起來(lái)，試說(shuō)明由這些線段圍成的三角形中，至少有一個(gè)三角形，它的三條邊同色.解 因?yàn)橛辛鶄€(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都要引出五條線段，據(jù)抽屜原理，任意一點(diǎn)引五條線段中至少有三條線段同色，不妨設(shè)是紅色(如圖紅色線段為實(shí)線，藍(lán)色線段為虛線)，這時(shí)三角形a2a3a4會(huì)出現(xiàn)兩種顏色情況(1)若a2a3，a3a4，a2a4中有任意一條線段為紅的，那么這條紅線段與它的兩個(gè)端點(diǎn)與a1引出的兩條線段組成一個(gè)紅三角形。(2)若a2a3，a3a4，a2a4中沒(méi)有一條線段是紅色的，則a2

7、a3a4為一個(gè)藍(lán)色三角形。綜上所述，無(wú)論(1)還是(2)，題目結(jié)論都成立。說(shuō)明：若把兩種顏色連線換成人與人之間的相識(shí)或不相識(shí)關(guān)系，就可以解決實(shí)際問(wèn)題：結(jié)果可證明6人之間至少有3人互相認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)。1.要在30米長(zhǎng)的水泥臺(tái)上放16盆花，不管怎么放，至少有幾盆之間的距離不超過(guò)2米？解：兩盆 30÷2=15段，30米中每?jī)擅诪橐欢蔚挠?5段，16盆花至少有兩盆花在一段，至少兩盆之間的距離不超過(guò)2米。3.在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形內(nèi)隨意放置10個(gè)點(diǎn)，試說(shuō)明其中至少有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不超過(guò)1/3。解：把邊長(zhǎng)為一的正三角形平分成9粉，由每個(gè)三角的邊長(zhǎng)為1/3，必有兩點(diǎn)在一個(gè)三角形內(nèi)，則兩點(diǎn)的距離小

8、于1/3。4.用黑、紅兩種顏色將一個(gè)長(zhǎng)9、寬3的矩形中的邊長(zhǎng)為1的小正方形隨意涂色，試證必有兩列涂色情況一樣。因?yàn)橥可霈F(xiàn)八種情況：（紅紅紅），（藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)），（紅，紅，藍(lán)），（紅，藍(lán)，紅），（藍(lán)，紅，紅），（藍(lán)，藍(lán)，紅），（藍(lán)，紅，藍(lán)），（紅，藍(lán)，藍(lán)），所以九列中一定有兩列是相同的。5.從整數(shù)1，2，3，199，200中任選101個(gè)數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)，其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。分?jǐn)?shù)組1,2,4,8，16，128，3,6,12,24,48192，5,10,20,40200，7,14,28,56,112，9,18,36,72,144，11,22,44,88,176，13,2

9、6,52,104，15,30,60,120,99,198，101，103，199共100個(gè)抽屜，任選101個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)在一個(gè)抽屜里，即其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。6.在10×10方格紙的每個(gè)方格中，任意填入1、2、3、4四個(gè)數(shù)之一。然后分別對(duì)每個(gè)2×2方格中的四個(gè)數(shù)求和。在這些和數(shù)中，至少有多少個(gè)和相同？1、2、3、4填入后，四個(gè)數(shù)的和最小為4，最大為16。4-16之間有13個(gè)不同的和，2×2的方格在10×10的方格中可推出81個(gè)和，81÷13=63，故至少有6+1=7個(gè)和。7.從八個(gè)連續(xù)自然數(shù)中任意選出五個(gè)，其中必有兩個(gè)數(shù)的差等于4，試分析之

10、。這八個(gè)連續(xù)自然數(shù)為a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，分為四組 a+4，a，a+5，a+1，a+6，a+2，a+7，a+3，取五個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)在一個(gè)抽屜中，即差為48.任意給定七個(gè)自然數(shù)，說(shuō)明其中必有四個(gè)數(shù)，它們的和為4的倍數(shù)。 七個(gè)數(shù)中必有三對(duì)奇偶性相同，即滿(mǎn)足a1+a2=2k1,a3+a4=2k2，a5+a6=2k3。在k1，k2，k2三個(gè)數(shù)中又至少有兩個(gè)奇偶性相同，不妨設(shè)k1，k2奇偶性相同，所以k1+k2=2m，即a1+a2+a3+a4=4m, 2k1+2k2=4m，所以其中必有四個(gè)數(shù)，它們的和是4的倍數(shù)。9.從3，6，981，84這些數(shù)中，任意選出16個(gè)數(shù)，

11、其中至少有兩個(gè)數(shù)的和等于90，試說(shuō)明之。 分?jǐn)?shù)組6,84，9,81，12,78，42,48，3，45，共15個(gè)抽屜，故取16個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)在一個(gè)抽屜中，即和為90。10.任意給定七個(gè)不同的自然數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)的和或差是10的倍數(shù)，試說(shuō)明之。按余數(shù)是2或5或兩個(gè)余數(shù)和為10來(lái)構(gòu)造6個(gè)抽屜：0，5，1,9，2,8，3,7，4,6這樣7個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)在一個(gè)抽屜里，它們的余數(shù)之和是10或余數(shù)相同，從而他們本身的和或差為10的倍數(shù)。11.能否在10行10列的方格中的每個(gè)空格處分別填上1，2，3這三個(gè)數(shù)，使大正方形的每行、每列及兩條對(duì)角線的各個(gè)數(shù)字和互不相同？10個(gè)數(shù)的和最小為10，最大為30,10-3

12、0中有21個(gè)數(shù)。10行10列加上兩條對(duì)角線共22個(gè)和，則必有兩條線上的和相同。所以不能。12.能否把17這七個(gè)數(shù)排成一圈，使任意兩個(gè)相鄰數(shù)的差等于2或3？ 在這7個(gè)數(shù)中，1,2,6,7都不能相鄰，要把它們隔開(kāi)需要4個(gè)數(shù)，而現(xiàn)在只剩下3,4,5三個(gè)數(shù)，所以不能。13.平面上給定六個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，每?jī)牲c(diǎn)用一條紅色線段或藍(lán)色線段連接起來(lái)。試說(shuō)明這些線段圍成的三角形中，至少有兩個(gè)同色三角形。14.庫(kù)房里有一批籃球、排球、足球和手球，每人任意搬運(yùn)兩個(gè)，至少有多少人搬運(yùn)才能保證有5人搬運(yùn)的球完全一樣？每人搬得可能是兩籃、兩排、兩足、兩手、籃排、籃足、籃手、排足、排手、足手10種情況。 4&#

13、215;10+1=41人15.在一個(gè)3×4平方米的長(zhǎng)方形盤(pán)子中，任意撒入5個(gè)豆，5個(gè)豆中距離最小的兩個(gè)豆的最大距離是幾米？(這時(shí)盤(pán)子的對(duì)角線長(zhǎng)為5米)將長(zhǎng)方形分成四份，如放5豆，必有2個(gè)豆在一個(gè)小長(zhǎng)方形內(nèi)，一個(gè)小正方形內(nèi)最大的距離是2.5米（如AE），故距離最小的兩個(gè)點(diǎn)的距離最大值是2.5米。16.一個(gè)3行7列的21個(gè)小方格的長(zhǎng)方形，每個(gè)小方格用紅或黃中的一種顏色涂色。證明：不論如何涂色，一定能找到一個(gè)由小方格組成的長(zhǎng)方形，它的四個(gè)角上的小方格具有相同的顏色。第一行有7個(gè)方格，因?yàn)橥績(jī)煞N顏色，根據(jù)抽屜原理二，必有一種顏色涂了4個(gè)或4個(gè)以上的方格。設(shè)第一行有四個(gè)紅方格，第二行是在第一行

14、四個(gè)紅方格下面的四個(gè)方格中，如果有兩個(gè)紅色，那么結(jié)論已成立，否則必有三個(gè)黃方格。第三行是在第二行3個(gè)黃方格下面的3個(gè)方格中，至少有兩個(gè)方格涂一種顏色。如涂紅色就與第一行組成符合條件的長(zhǎng)方形，如涂黃色就與第二行組成符合條件的長(zhǎng)方形。17.在1，2，n中，任意取10個(gè)數(shù)，使得其中有兩個(gè)數(shù)的比值不小于，且不大于。求n的最大值。由于任取10個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，顯然最多構(gòu)造9個(gè)抽屜這9個(gè)抽屜中的每一個(gè)抽屜都含有1，2，3，n中的一些數(shù)，而且這些數(shù)必須滿(mǎn)足每?jī)蓚€(gè)數(shù)的比值都在和之間，這9個(gè)抽屜，是：1；2，3；4，5，6；7，8，9，10；11，12，16；17，18，24，25；26，27，38

15、，39；40，41，59，60；61，62，90，91 因此，n的最大值是9118.從1，2，3，1988，1989這些自然數(shù)中，最多可取多少個(gè)數(shù)，其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于4?把1,2,1989這些數(shù)分成四組公差是4的等差的數(shù)列；1,5,9,1989共498個(gè)數(shù);2,6,10,1986共497個(gè)數(shù);3,7,111987共497個(gè)數(shù);4,8,121988共497個(gè)數(shù);我們發(fā)現(xiàn):1.四行中每一行中任意相鄰兩數(shù)相差為4,不相鄰兩數(shù)相差不可能是4;2.而分屬不同兩行的任意兩個(gè)數(shù)相差不可能為4,因?yàn)槿绻嗖顬?的話,兩數(shù)將被歸為一行,這顯然與事實(shí)矛盾;故選符合規(guī)定的數(shù)只要在每組里每隔一個(gè)數(shù)選一個(gè),每行最多

16、可選249個(gè)數(shù);最終249×4=996（個(gè)）19.四個(gè)人聚會(huì)，每人各帶了兩件禮品，分贈(zèng)給其余三個(gè)人中的兩人。試證明：四個(gè)人中至少有兩對(duì)，每對(duì)是互贈(zèng)過(guò)禮品的。將這四個(gè)人用4個(gè)點(diǎn)表示，如果兩個(gè)人之間送過(guò)禮品，就在兩點(diǎn)之間連一條線。由于每人送出2件禮品，共有4×2=8條線，由于每人禮品都分贈(zèng)給2個(gè)人，所以每?jī)牲c(diǎn)之間至多有1+1=2條線。四點(diǎn)間，每?jī)牲c(diǎn)連一條線，一共6條線，現(xiàn)在有8條線，說(shuō)明必有兩點(diǎn)之間連了2條線，還有另外兩點(diǎn)(有一點(diǎn)可以與前面的點(diǎn)相同)之間也連了2條線。即為所證結(jié)論。20.一排長(zhǎng)椅共有90個(gè)座位，其中一些座位已經(jīng)有人就座了。這時(shí)，又來(lái)了一個(gè)人要坐在這排長(zhǎng)椅上，有趣

17、的是，他無(wú)論坐在哪個(gè)座位上都與已經(jīng)就座的某個(gè)人相鄰。原來(lái)至少有幾人已經(jīng)就座？由于,他無(wú)論坐在哪個(gè)座位上都與已經(jīng)就座的某個(gè)人相鄰,求至少有多少人,則有人的位置如圖所示,(“”表示已經(jīng)就座的人,“”表示空位):.即有人的位置占全部人數(shù)的1/3，90÷3=30人。即原來(lái)至少有30人已經(jīng)就座。21.把1，2，3，8，9，10任意擺放在一個(gè)圓圈上，每相鄰的三個(gè)數(shù)組成一個(gè)和數(shù)。試說(shuō)明其中至少有一個(gè)和數(shù)不小于17。（反證）假設(shè)任意三個(gè)相鄰的數(shù)之和都小于17即小于等于16。則10組之和應(yīng)小于等于16×10=160；10組之和即把10個(gè)數(shù)分別加了3次，又因?yàn)椋?（1+2+3+4+5+6+7+

18、8+9+10）=165>160所以矛盾；故假設(shè)不成立，所以其中至少有一個(gè)和不小于17。22.某人步行10小時(shí)，走了45千米。已知他第一小時(shí)走了5千米，最后一小時(shí)走了3千米，其余每小時(shí)都走了整數(shù)千米。證明在中間8小時(shí)當(dāng)中，一定存在連續(xù)的兩小時(shí)，這人至少要走10千米。這個(gè)人在中間的8小時(shí)內(nèi)走了4553=37(km)假設(shè)在中間的8個(gè)小時(shí)內(nèi)他相鄰2個(gè)小時(shí)內(nèi)都走9km，8個(gè)小時(shí)內(nèi)一共有7組相鄰，其中除去這8個(gè)小時(shí)內(nèi)的前后兩個(gè)小時(shí)，其他6個(gè)小時(shí)都有2次相鄰，這8個(gè)小時(shí)內(nèi)的路程可得：7×96÷2×9=36km<37km一定存在連續(xù)的兩小時(shí)，這人至少走了10千米。23

19、.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12這12個(gè)自然數(shù)中，任意選取8個(gè)不同的數(shù)，其中必有兩對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的差是1。構(gòu)造6個(gè)抽屜1,23,45,67,89,1011,12將八個(gè)不同的數(shù)放入六個(gè)抽屜，必有兩對(duì)數(shù)，每對(duì)的差是1。24.有紅、黃、藍(lán)、綠四色的小球各10個(gè)，混合放在一個(gè)布袋里。一次摸出8個(gè)小球，其中至少有幾個(gè)小球的顏色是相同的。把紅黃藍(lán)綠四個(gè)小球看成四個(gè)抽屜，一次摸出八個(gè)小球放在抽屜里，8÷4=2，其中至少有2個(gè)小球顏色相同。25.數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽，全世界52個(gè)國(guó)家的308名選手參加了競(jìng)賽。按組委會(huì)規(guī)定，每個(gè)國(guó)家的選手不得超過(guò)6名，至少有幾個(gè)國(guó)家派6名選手參賽。每個(gè)國(guó)家最多派出的運(yùn)動(dòng)員不超過(guò)6人，假設(shè)52個(gè)國(guó)家每個(gè)國(guó)家都派了5名，則剩下308-52×5=48（名）運(yùn)動(dòng)員。因?yàn)槊總€(gè)國(guó)家派出的運(yùn)動(dòng)員不超過(guò)6名，所以只好把48名運(yùn)動(dòng)員平均分到48個(gè)國(guó)家中去，也就是說(shuō)，至少有48個(gè)國(guó)家派滿(mǎn)了6名運(yùn)動(dòng)員。26.某中學(xué)有十位老師，每位至少與另外九位中的七位認(rèn)識(shí)，我們必可從中找出幾位，他們彼此認(rèn)識(shí)。用a(1),a(2),.,a(10)表示10個(gè)人；a(1)不認(rèn)識(shí)的至多2人,認(rèn)識(shí)的人不少于7個(gè),不妨假定a(1)認(rèn)識(shí)a(2)；a(1)、a(2)中至少有一