實驗3 數(shù)列與級數(shù)2007.9.26

1、實驗3 數(shù)列與級數(shù)級數(shù)是微積分乃至整個數(shù)學(xué)分析最重要的基本內(nèi)容之一。遠(yuǎn)在公元前三世紀(jì)，古希臘人Archimedes就采用了數(shù)列極限的思想來計算曲邊三角形的面積。本實驗的目的是通過計算機(jī)發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律、極限狀態(tài)的性質(zhì)。所謂一個無窮數(shù)列是指按一定順序排列的一串?dāng)?shù)字, , , , （1）而一個無窮級數(shù)則是用無窮項數(shù)字構(gòu)成的和式 = + （2）數(shù)列與級數(shù)有密不可分的關(guān)系。給定一個無窮級數(shù)（2），它唯一地確定了一個無窮數(shù)列 , ,其中= +,n = 1,2 ,.反過來，給定一個無窮數(shù)列（1），它也唯一地確定了一個無窮級數(shù)這里= ,n = 2 ,3 ,。并且，無窮級數(shù)的和就是相應(yīng)的無窮數(shù)列的極限。因此，無

2、窮數(shù)列與無窮級數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)化的。給定的數(shù)列 ,人們最關(guān)心的問題是：1 數(shù)列有什么規(guī)律與性質(zhì)？2 當(dāng)n時，數(shù)列的極限是什么？3 極限是否是一個有限的數(shù)字？還是無窮大？抑或根本不存在？4 如果極限是無窮大，那么它趨于無窮大的階是什么？5 如果數(shù)列的極限根本不存在，那么在無窮大的極限狀態(tài)又怎么樣？對于給定的一個無窮級數(shù)，也可以提出上述類似的問題。本實驗將通過計算機(jī)圖示的方法來幫助我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律及其極限行為。我們以Fibonacci數(shù)列為例來探討上述問題。3.1 Fibonacci數(shù)列給定如下的數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，其遞推關(guān)系式由,，2，,(3)給出，該數(shù)列被

3、稱為Fibonacci數(shù)列。Fibonacci數(shù)列經(jīng)常以著名的養(yǎng)兔問題提出來。某人養(yǎng)了一對兔子（公母各一只）。一月后，這對兔子生了一對小兔。以后每月、每對成熟（即一月以上）的兔子都生育一對小兔。假設(shè)兔子不會死亡，問一年后總共有多少對兔子？顯然，問題的答案就是數(shù)列的第十二項。為考察Fibonacci數(shù)列的極限與規(guī)律，我們用計算機(jī)算出Fibonacci數(shù)列每一項的值，并在二維平面上畫出順次連接點（，），n=1,2,，N的折線圖，其中是一個大整數(shù)。練習(xí)1分別取N=20，50，100，200，500，觀察Fibonacci數(shù)列的折線圖。Fibonacci數(shù)列是否單調(diào)增？它是否趨于無窮？它增加的速度是快

4、還是慢？你能否證實你的觀察？為進(jìn)一步研究Fibonacci數(shù)列的特性，我們將取對數(shù)，在直角坐標(biāo)系中畫出順次連接點,n=1,2,N=1000,對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合可得 (4)(5)練習(xí)2分別取N=2000，50000，10000，用直線去擬合數(shù)據(jù),n=1,2,N,由此求數(shù)列的近似表示，注意觀察的線性項的系數(shù)，它與黃金分割數(shù)有何聯(lián)系？由計算機(jī)觀察到的上述結(jié)果我們似乎可以猜測數(shù)列的通項具有形式 （6）將上式代入遞推公式（3）得 (7)從而。因為數(shù)列趨于無窮，故取于是 (8)然而，公式（8）并不滿足，即并非數(shù)列的通項公式。不過，它仍然是數(shù)列的主項。練習(xí)3證明公式（8）不是Fibonacci數(shù)列的通項。為

5、進(jìn)一步得到Fibonacci數(shù)列的通項，我們構(gòu)造數(shù)列將上式代入公式 （3）可得仍然滿足遞推公式（3）。因而我們猜測，數(shù)列的通項也具有形式=其中也滿足方程（7），故= 這樣，我們得到Fibonacci數(shù)列的通項一個新的猜測由條件確定出 c=,= 從而我們得到=()() (9)這樣，F(xiàn)ibonacci數(shù)列趨于無窮的階為()。練習(xí)4驗證（9）式正是Fibonacci數(shù)列的通項公式Fibonacci數(shù)列與自然界中的許多現(xiàn)象，如植物的枝干與葉子的生長有緊密的聯(lián)系。它在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個極為成功的應(yīng)用是協(xié)助前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂雅舍維奇解決了著名的Hilbert第十問題。此外，它在優(yōu)化、運籌以及計算機(jī)科學(xué)與藝術(shù)領(lǐng)

6、域都具有極大的應(yīng)用價值。下面我們來“聽一聽” Fibonacci數(shù)列。練習(xí)5取一整數(shù)m（如m=51）, 將Fibonacci數(shù)列模m得到一周期數(shù)列，將該周期數(shù)列的值作為音高，編程演奏它，取不同的m，或?qū)锥魏喜ⅲ惺苄傻淖兓?.2 調(diào)和級數(shù)熟知，無窮級數(shù) （10）當(dāng)>1時收斂，當(dāng)1發(fā)散，特別地，=1時，級數(shù)（10）稱為調(diào)和級數(shù)。一個令人感興趣的問題是，調(diào)和級數(shù)發(fā)散到無窮的速度有快？或者說數(shù)列=1+趨于無窮的速度有多快？一個直觀的方法仍然是畫出由點（n,）,n=，N構(gòu)成的折線圖。練習(xí)6 充分大的N,觀察調(diào)和級數(shù)的折線圖，你覺得它發(fā)散的速度是快還是慢？將它的圖形,，以作比較，誰的速度快？

7、從上述實驗的結(jié)果看出，調(diào)和級數(shù)發(fā)散的速度較慢，但是它到底以什么樣的速度發(fā)散到無窮？讓我們再做下面的練習(xí)。練習(xí)7 對充分大的一系列n計算，你能否猜測出，當(dāng)n趨于無窮的極限？更一般地，趨于無窮的極限是什么？反過來，固定n，讓k趨于無窮，趨于無窮的速度是什么？你能否由此得出當(dāng)n趨于無窮的極限階？我們也可以從另外一個角度考察上述問題。練習(xí)7 用表示不小于的最小整數(shù)。1. 對，計算。你能做出什么猜測？對每個n，設(shè)，則的范圍是什么？2. 對每個令n是使得成立的最大整數(shù)，我們把它記為，試計算比值。你能據(jù)此做出何種猜測？當(dāng)m趨于無窮時，關(guān)于m的階是多大？由此，關(guān)于n的極限是多少？對調(diào)和級數(shù)做更仔細(xì)的分析，可以

8、得到更精細(xì)的結(jié)果。有興趣的讀者不妨做進(jìn)一步探討。3.3思考問題作為本實驗內(nèi)容，請讀者研究下列數(shù)列的極限狀態(tài)與規(guī)律。問題1 設(shè)，研究數(shù)列的極限行為。(1)在平面上畫出順次邊接點,1,2,，2000的折線圖。(2)根據(jù)上述圖形，你認(rèn)為數(shù)列的極限是什么？(3)用一恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)去擬合上述圖形。(4)猜測數(shù)列的極限階。(5)你能否證明你的結(jié)論？問題2 研究數(shù)列的極限狀態(tài)的規(guī)律。(1)在平面上畫出點列,1,2,，(如).(2)根據(jù)上述圖形，你認(rèn)為數(shù)列的極限是否存在？(3)你能從上述圖形中觀察到點列的分布有什么規(guī)律？(4)你能否證明所觀察到的規(guī)律？(5) 任取區(qū)間，畫出數(shù)列中落在區(qū)間中的點，將區(qū)間放大并取不同

9、的，觀察落在區(qū)間中的點集有何變化。(6)根據(jù)以上觀察，你認(rèn)為數(shù)列的聚點集合是什么？你能否證明你的結(jié)論？問題3 考察由如下關(guān)系確定的正整數(shù)數(shù)列任取一正整數(shù)作為初值，計算數(shù)列，并在平面坐標(biāo)系中用折線連接,n=0,1,N.取不同的初值，觀察所得的結(jié)果。你能發(fā)現(xiàn)數(shù)列，有什么規(guī)律？你能否嘗試證明我所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？問題4 研究Farey數(shù)列的規(guī)律與項數(shù)。給定整數(shù)n，將分母不超過n的所有真分?jǐn)?shù)（以最簡分?jǐn)?shù)形式出現(xiàn)）從小到大排列，所得到的數(shù)列稱為n階Farey數(shù)列。例如，6階Farey數(shù)列是1/6，1/5，1/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5，5/6。對n階Farey數(shù)列，我們要問它有

10、多少項？相鄰各項之間有何聯(lián)系？為研究這些問題，請做以下實驗。（1）任取一Farey數(shù)列，考察任意相鄰三項之間的關(guān)系。將頭尾兩項的分子分母分別相加，所得分?jǐn)?shù)是什么?你能因此做出什么樣的猜想？你能否證明你的猜猜想？（2）考察Farey數(shù)列相鄰兩項三項之間得差，你能得到什么結(jié)論？你能否證明你的結(jié)論？（3）將Fraey數(shù)列的每一項減去，所得到的新數(shù)列有什么性質(zhì)？（4）用表n 階Farey數(shù)列Fn的項數(shù)。觀察n階Farey數(shù)列和n+1階Farey數(shù)列的關(guān)系。由此,與有何關(guān)系？（5）點列（n,）,n=2,3.,N（如N=1000）標(biāo)在二維坐標(biāo)平面上（可用折線將它們連接起來）。猜測與 n的關(guān)系，并擬合之。的

11、極限階是多少？注意，極限階前的常數(shù)與有何關(guān)系？（6）用表示的第k項，并令。用（5）類似的辦法估計Dn的極限階。據(jù)此,你能做出何種猜測？在這里，你要非常小心。你做出的猜測很可能與著名的猜想（見有關(guān)素數(shù)的實驗）有某種聯(lián)系。問題5在調(diào)和級數(shù)中，將分母的十進(jìn)制表示中含有數(shù)字9的項去掉，由此得到的級數(shù)是收斂還是發(fā)散呢？請根據(jù)本實驗中介紹的方法做仔細(xì)的分析。問題6考察時，級數(shù)（10）的一些結(jié)果。（1） 對充分大的N ，計算級數(shù)的前N項和，并計算它與的比值。你能否據(jù)此猜測級數(shù)（10）的和？（2） 設(shè),，是按順序排列素數(shù)?？疾鞜o窮乘積（11）試計算該無窮乘積的近似值。這個值與（1）中級數(shù)的和有何關(guān)系？由此，你

12、能做出什么樣的猜測？你能否證明你的猜測？（3） 你能否猜測，對一般的，無窮級數(shù)（10）的和與哪個無窮乘積相等？需要再次提醒讀者，本問題與 猜想也有著千絲萬縷的聯(lián)系。附錄Mathematica 程序下面是本實驗中的有關(guān)Mathematica 程序。使用時，只要輸入并調(diào)用相關(guān)函數(shù)即可。1. 畫Fibonacci數(shù)列折線圖的函數(shù)FibShown_Integer:=Modulet=,i,Fori=1,i<=n,i+,AppendTot,i,Fibonaccii;ListPlott,PlotJoined->True2. 用直線去擬合(,log(F),=1,2,n的函數(shù)FibFitn_Inte

13、ger:=Moduldt=,i,Fori=1,i<=n,i+,AppendTot,i,LogFibonaccii;Fitt,1,x,x3. 演奏Fibonacci數(shù)列的函數(shù)Fibplayn_Integer:=Modulet= ,i,Fori=1,i<=n,i+,AppendTot,ModFibonaccii,n;ListPlayt,PlayRange->0,n,SamplRate->5 4. 顯示點列（,sin(), =1,2，n的函數(shù)PlotListn_Integer:=Modulet=,i,Fori=1,i<=n,i+,AppendTot,i,Sini;ListPlott,PlotStyle