機(jī)械振動(dòng)(總復(fù)習(xí))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)目錄第一章 導(dǎo) 論 1.1 引言 1.2 振動(dòng)的分類 1.3 離散系統(tǒng)各元件的特征 1.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其表示方法 1.5 疊加原理 1.6 振動(dòng)的幅值度量 第二章 單自由度系統(tǒng) 2.1引言 2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng) 2.3阻尼自由振動(dòng) 2.4單自由度系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng) 2.5簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用 2.6周期強(qiáng)迫振動(dòng) 2.7非周期強(qiáng)迫振動(dòng) 第三章 二自由度系統(tǒng) 3.1引言 3.2運(yùn)動(dòng)微分方程 3.3不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程 3.4無(wú)阻尼自由振動(dòng) 第四章 多自由度系統(tǒng) 4.1運(yùn)動(dòng)微分方程 4.2固有頻率與振型 4.3動(dòng)力響應(yīng)分析 4.4動(dòng)力響應(yīng)分析中的變換方法

2、 第五章 隨機(jī)振動(dòng) 5.1隨機(jī)過(guò)程 5.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 5.3平穩(wěn)過(guò)程和各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程 5.4正態(tài)隨機(jī)過(guò)程 5.5相關(guān)函數(shù) 5.6功率譜密度函數(shù) 5.7線性振動(dòng)系統(tǒng)在單隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng) 5.8線性系統(tǒng)在兩個(gè)隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng) 第一章 導(dǎo) 論1.1 引言振動(dòng)：指一個(gè)物理量在它的平均值附近不停地經(jīng)過(guò)極大值和極小值而往復(fù)變化。機(jī)械振動(dòng)：機(jī)械或結(jié)構(gòu)在它的靜平衡位置附近的往復(fù)彈性運(yùn)動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)研究對(duì)象：機(jī)械或結(jié)構(gòu)，在理論分析中要將實(shí)際的機(jī)械或結(jié)構(gòu)抽象為力學(xué)模型，即形成一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)。激勵(lì)或輸入：外界對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)或作用。響應(yīng)或輸出：系統(tǒng)對(duì)外界影響的反應(yīng)，如振動(dòng)系統(tǒng)某部位產(chǎn)生的位移、速度、加速度及應(yīng)力等

3、。機(jī)械振動(dòng)研究?jī)?nèi)容：研究激勵(lì)、響應(yīng)和系統(tǒng)三者之間的關(guān)系。系統(tǒng)激勵(lì)輸入響應(yīng)輸出激勵(lì)、系統(tǒng)和響應(yīng)三者知其二可求出第三者。常見(jiàn)的振動(dòng)問(wèn)題的三種基本課題：1振動(dòng)設(shè)計(jì) 已知外界激勵(lì)的條件下設(shè)計(jì)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，使其響應(yīng)滿足預(yù)期的要求。2系統(tǒng)識(shí)別 根據(jù)已知的激勵(lì)與響應(yīng)的特性分析系統(tǒng)的性質(zhì)，得到振動(dòng)系統(tǒng)的全部參數(shù)。3環(huán)境預(yù)測(cè) 已知系統(tǒng)振動(dòng)性質(zhì)和響應(yīng)，研究激勵(lì)的特性。1.2 振動(dòng)的分類1.2.1 線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)振動(dòng)可分成線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)兩種。線性振動(dòng)：系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中，振動(dòng)系統(tǒng)的慣性力、阻尼力、彈性力分別與絕對(duì)加速度、相對(duì)速度、相對(duì)位移成線性關(guān)系。線性振動(dòng)系統(tǒng)可以用線性微分方程描述。非線性振動(dòng)：系統(tǒng)的

4、慣性力、阻尼力、彈性力與絕對(duì)加速度、相對(duì)速度、相對(duì)位移不是線性關(guān)系。非線性振動(dòng)系統(tǒng)只能用非線性微分方程描述。1.2.2 確定性振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)確定性振動(dòng)：系統(tǒng)的振動(dòng)對(duì)任意時(shí)刻，都可以預(yù)測(cè)描述它的物理量的確定的值x。反之為隨機(jī)振動(dòng)。在確定性振動(dòng)中，振動(dòng)系統(tǒng)的物理量可以用隨時(shí)間變化的函數(shù)描述。隨機(jī)振動(dòng)只能用概率統(tǒng)計(jì)方法描述。1.2.3 離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)的自由度數(shù)：描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。連續(xù)系統(tǒng)：振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度都是連續(xù)分布的，需要無(wú)限多個(gè)自由度才能描述它們的振動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)微分方程是偏微分方程。離散系統(tǒng)：在結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度分布很不均勻時(shí)，或?yàn)榱私鉀Q實(shí)際問(wèn)題的需要，把連續(xù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)

5、化為由若干個(gè)集中質(zhì)量、集中阻尼和集中剛度組成的系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是指系統(tǒng)只有有限個(gè)自由度。描述離散系統(tǒng)的振動(dòng)可用常微分方程。1.2.4 其他的分類按外界激勵(lì)情況和系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)情況分類。按激勵(lì)情況分類：自由振動(dòng)：系統(tǒng)在初始激勵(lì)下或原有的激勵(lì)消失后的振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)：系統(tǒng)在持續(xù)的外界激勵(lì)作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。按響應(yīng)情況分類：大致可分為確定性振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)。其中確定性振動(dòng)又可分為：簡(jiǎn)諧振動(dòng)：振動(dòng)的物理量為時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)。周期振動(dòng)：振動(dòng)的物理量為時(shí)間的周期函數(shù)，可用諧波分析的方法歸結(jié)為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。顯然，簡(jiǎn)諧振動(dòng)也是周期振動(dòng)。瞬態(tài)振動(dòng)：振動(dòng)的物理量為時(shí)間的非周期函數(shù)，在實(shí)際的振動(dòng)中通常只在一段

6、時(shí)間內(nèi)存在。1.3 離散系統(tǒng)各元件的特征離散振動(dòng)系統(tǒng)三個(gè)最基本的元件：慣性元件、彈性元件和阻尼元件。彈性元件：忽略其質(zhì)量和阻尼，在振動(dòng)過(guò)程中儲(chǔ)存和釋放勢(shì)能。彈性力與其兩端的相對(duì)位移成比例，方向相反。線性扭轉(zhuǎn)彈簧：阻尼元件：在振動(dòng)過(guò)程中消耗振動(dòng)能量。在線性振動(dòng)系統(tǒng)中，阻尼力的大小與阻尼元件兩端的相對(duì)速度成比例，方向相反，這種阻尼又稱為粘性阻尼。忽略粘性阻尼元件的質(zhì)量和彈性。慣性元件：完全剛性且無(wú)阻尼，在振動(dòng)過(guò)程中儲(chǔ)存和釋放動(dòng)能。集中質(zhì)量的慣性力與慣性坐標(biāo)系下的加速度(絕對(duì)加速度)成正比，方向相反。扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)：若干個(gè)元件串聯(lián)或并聯(lián)的情況，等效剛度、等效阻尼和等效質(zhì)量。1.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其表示方法

7、1.4.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期運(yùn)動(dòng)滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)滿足： 或 1.4.2 兩種常用的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示方法1.向量表示法 2.復(fù)數(shù)表示法 1.5 疊加原理疊加原理：一個(gè)線性振動(dòng)系統(tǒng)，激勵(lì)F1(t)、F2(t)、Fn(t)，分別對(duì)應(yīng)于響應(yīng)x1(t)、x2(t)、xn(t)，若激勵(lì)為F1(t)=c1F1(t)+c2 F2(t)+. + cnFn(t)，則有對(duì)應(yīng)的響應(yīng)x(t)= c1 x1(t)+ c2 x2(t)+. + cnxn(t)成立。1.6 振動(dòng)的幅值度量1峰值 2平均值 3均方值 4均方根值(rms) 是的平方根。第二章 單自由度系統(tǒng)基本內(nèi)容：無(wú)阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫

8、振動(dòng)理論的應(yīng)用周期強(qiáng)迫振動(dòng)非周期強(qiáng)迫振動(dòng)2.1 引言單自由度系統(tǒng)：只有一個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)?？捎靡粋€(gè)常系數(shù)的二階線性常微分方程描述其振動(dòng)規(guī)律。2.2 無(wú)阻尼自由振動(dòng)自由振動(dòng)：系統(tǒng)在初始激勵(lì)下或外加激勵(lì)消失后的一種振動(dòng)形態(tài)。2.2.1 運(yùn)動(dòng)微分方程列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程步驟：1. 取一個(gè)坐標(biāo)系，原點(diǎn)為靜平衡時(shí)質(zhì)量所在位置。2. 設(shè)質(zhì)量沿坐標(biāo)正向有一移動(dòng)，考察質(zhì)量的受力情況，畫(huà)出隔離體圖。3. 按牛頓第二定律寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程。4. 確定系統(tǒng)初始的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?；蛳到y(tǒng)的固有頻：方程的通解為：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。周期：頻率：系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能：即無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)為一保守系統(tǒng)，總機(jī)

9、械能在運(yùn)動(dòng)中保持不變。定義動(dòng)能系數(shù)：對(duì)于單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)，有以下結(jié)論：1. 單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。運(yùn)動(dòng)的中點(diǎn)為系統(tǒng)的靜平衡位置。2. 振動(dòng)頻率只與系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量有關(guān)。3. 、與成正比而與成反比。4. 振動(dòng)得以維持的原因是系統(tǒng)有儲(chǔ)存動(dòng)能的慣性元件和儲(chǔ)存勢(shì)能的彈性元件。振動(dòng)時(shí)動(dòng)能、勢(shì)能不斷相互轉(zhuǎn)換。上面的結(jié)論與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，但選擇合適的坐標(biāo)系有助于簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解。2.2.2 求固有頻率的方法方法1：列出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，求出系統(tǒng)的固有頻率，。需已知系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量。方法2：靜態(tài)位移法。根據(jù)虎克定律，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)靜止時(shí)在重力的作用下彈簧被壓縮，有：故：方法3：能量

10、法。用能量法求固有頻率有兩種方法：一種方法是求出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，再根據(jù)求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，從而得到固有頻率。另一種方程是求出系統(tǒng)的最大勢(shì)能和動(dòng)能系數(shù) ，然后根據(jù)求出固有頻率。2.2.3 有效質(zhì)量離散系統(tǒng)模型約定，系統(tǒng)的質(zhì)量集中在慣性元件上，彈性元件無(wú)質(zhì)量。當(dāng)彈性元件的質(zhì)量占系統(tǒng)質(zhì)量的相當(dāng)部分時(shí)，略去它會(huì)使計(jì)算得到的固有頻率住偏高?？梢圆捎媚芰康刃У姆椒ǎ哟髴T性元件的數(shù)值，使慣性元件的動(dòng)能等于系統(tǒng)的總動(dòng)能，再把彈性元件的質(zhì)量略去。對(duì)于質(zhì)量均布彈簧，在考慮彈簧質(zhì)量的條件下，系統(tǒng)的固有頻率： 系統(tǒng)在動(dòng)能意義下的質(zhì)量為系統(tǒng)的等效質(zhì)量。它并不一定等于系統(tǒng)慣性元件的質(zhì)量加上其他元件的質(zhì)量。等效剛度

11、的定義同理。2.3 阻尼自由振動(dòng)阻尼：度量系統(tǒng)自身消耗振動(dòng)能量的能力的物理量。最常用的阻尼是氣體和液體的粘性阻尼粘性阻尼力的大小與相對(duì)速度成正比，方向與速度方向相反。阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：定義系統(tǒng)的臨界阻尼：定義為系統(tǒng)的阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）：利用，可把阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為變換為：根據(jù)的大小，可得到三種不同形式的解：1. 1：強(qiáng)阻尼(過(guò)阻尼)。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為：強(qiáng)阻尼情況下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不是振動(dòng)。2. 1：臨界阻尼。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為：臨界阻尼情況下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)也不是振動(dòng)。3. 0時(shí)有峰值，而且峰值max1。關(guān)注、這三個(gè)特殊點(diǎn)，和分別為 根據(jù)頻率比的大小，可以把系統(tǒng)

12、響應(yīng)分成三個(gè)不同的范圍，由向量圖可清楚看出這三個(gè)范圍的特點(diǎn)。 當(dāng)1：激勵(lì)主要是與慣性力平衡。因?yàn)榧?lì)頻率很高，使激勵(lì)力方向變化過(guò)快，系統(tǒng)由于慣性來(lái)不及跟隨。當(dāng)即共振時(shí)：響應(yīng)的振幅比靜位移大，激勵(lì)力與阻尼力平衡，彈性力與慣性力平衡。稱1附近為系統(tǒng)的共振區(qū)。峰值點(diǎn)并不在頻率比=l的位置，而在處，即激勵(lì)頻率小于固有頻率的地方。2.4.3 能量關(guān)系與等效阻尼1. 能量關(guān)系 對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)，由于無(wú)阻尼，振動(dòng)時(shí)無(wú)能量消耗。當(dāng)激勵(lì)頻率時(shí)，無(wú)能量輸入，外力對(duì)系統(tǒng)不做功。當(dāng)時(shí)，外力對(duì)系統(tǒng)做功，使系統(tǒng)能量越來(lái)越大，以致振動(dòng)的振幅越來(lái)越大。無(wú)阻尼系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，如果激勵(lì)頻率等于系統(tǒng)固有頻率，由于系統(tǒng)無(wú)阻尼，因此外

13、力對(duì)系統(tǒng)做的功全部轉(zhuǎn)成系統(tǒng)的機(jī)械能即振動(dòng)的能量。外力持續(xù)給系統(tǒng)輸入能量，使系統(tǒng)的振動(dòng)能量直線上升，振幅逐漸增大。由此可知，即使是無(wú)阻尼系統(tǒng)共振時(shí)，也需要一定的時(shí)間來(lái)積累振動(dòng)能量。在實(shí)際中有些機(jī)械結(jié)構(gòu)在起動(dòng)或停機(jī)時(shí)無(wú)法避免通過(guò)共振區(qū)，為避免在共振區(qū)給結(jié)構(gòu)造成損壞，可以采用迅速通過(guò)共振區(qū)的辦法來(lái)解決。2. 等效阻尼假定系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，令原系統(tǒng)耗散的能量與粘性阻尼耗散的能量相同，從而求出等效阻尼系數(shù)。2.5 簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用2.5.1 旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動(dòng)圖 失衡激勵(lì)下的幅頻特性圖、相頻特性圖特點(diǎn)：當(dāng)，即轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)低于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，也就是說(shuō)失衡激勵(lì)引起的振動(dòng)很小。當(dāng)，即轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的固有頻

14、率時(shí)，即響應(yīng)的振幅，為一個(gè)確定的值。1，即轉(zhuǎn)速接近但略高于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，響應(yīng)的振幅最大（共振），2.5.2 支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)圖 支承激勵(lì)下系統(tǒng)的幅頻特性圖、相頻特性圖特點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，無(wú)論阻尼比為何值，響應(yīng)幅值總是與激勵(lì)幅值相等，即X/Al。當(dāng)時(shí)，阻尼抑制了響應(yīng)的幅值，阻尼比越大，響應(yīng)的幅值越小。但無(wú)論阻尼為何值，響應(yīng)的幅值總大于支承運(yùn)動(dòng)的幅值，即XA。當(dāng)時(shí)，響應(yīng)的幅值總小于支承運(yùn)動(dòng)的幅值，即XA。但越大，響應(yīng)的幅值反而增大。2.5.3 隔振原理振動(dòng)隔離指將機(jī)器或結(jié)構(gòu)與周圍環(huán)境用減振裝置隔離，它是消除振動(dòng)危害的重要手段。積極隔振：自身是振源，為減少其對(duì)周圍環(huán)境的影響，將其與支承它的基礎(chǔ)隔離

15、開(kāi)。消極隔振：對(duì)允許振動(dòng)很小的精密儀器和設(shè)備，為減少周圍環(huán)境振動(dòng)對(duì)其影響，需要把它與支承它的基礎(chǔ)隔離。兩種隔振的原理相似，基本作法都是把需要隔離的機(jī)器設(shè)備安裝在合適的具有彈性和阻尼的減振裝置或隔振裝置上，使大部分振動(dòng)被減振裝置或隔振裝置吸收，以阻斷振動(dòng)的傳遞。隔振與頻率比和阻尼比的關(guān)系圖（振源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)）隔振要求：無(wú)論阻尼大小，僅當(dāng)頻率比才有隔振效果。即在隔振設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的固有頻率要小于振源振動(dòng)頻率。隨增大，隔振效果提高，在實(shí)際應(yīng)用中取已足夠。在時(shí)，阻尼增大使隔振系數(shù)增大，降低了隔振效果。但阻尼比不是越小越好，實(shí)際問(wèn)題中激勵(lì)頻率是由零逐步增加到某一定值，此過(guò)程中不可避免要與系統(tǒng)的固有頻率重合

16、，產(chǎn)生共振。阻尼過(guò)小將使系統(tǒng)過(guò)共振時(shí)振幅過(guò)大，造成破壞，因而要兼顧。一般希望有點(diǎn)阻尼以限制過(guò)共振時(shí)的振幅，但又不要太大以免降低隔振效果。常用的隔振材料阻尼并不大，因此在以后計(jì)算隔振系數(shù)時(shí)可不考慮阻尼的影響。2.5.4 慣性式測(cè)振儀原理圖 慣性式測(cè)振儀系統(tǒng)的幅頻特性圖、相頻特性圖當(dāng)，即激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時(shí)， 測(cè)振儀殼體（被測(cè)結(jié)構(gòu)）的加速度幅值：，即Z與測(cè)振儀殼體的加速度幅值成比例（加速度計(jì)）。加速度計(jì)是高固有頻率儀器。當(dāng)，即激勵(lì)頻率很高時(shí)， 即激勵(lì)頻率很高時(shí)，測(cè)振儀的質(zhì)量塊在慣性空間中幾乎保持不動(dòng)，與結(jié)構(gòu)相接的儀器殼體相對(duì)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)。儀器的相對(duì)振幅Z與激勵(lì)幅值A(chǔ)相等，此時(shí)儀器用于測(cè)量振動(dòng)

17、位移（位移計(jì)）。位移計(jì)是低固有頻率儀器。2.5.5 轉(zhuǎn)軸的橫向振動(dòng)特點(diǎn)：如果轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)小于時(shí)，圓盤(pán)的撓度很小。當(dāng)即共振時(shí)，圓盤(pán)的撓度為，如果阻尼很小，圓盤(pán)的撓度將很大。當(dāng)時(shí)，圓盤(pán)的撓度約等于e。2.6 周期強(qiáng)迫振動(dòng)周期強(qiáng)迫振動(dòng)的求解方法：如果周期激勵(lì)中的某一諧波的幅值比其他諧波的幅值大的多，可視為簡(jiǎn)諧激勵(lì)。反之，則應(yīng)按周期激勵(lì)求解。求解周期激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)問(wèn)題需要將激勵(lì)展為傅里葉級(jí)數(shù)，然后分別求出各個(gè)諧波所引起響應(yīng)，再利用疊加原理得到系統(tǒng)的響應(yīng)。在周期激勵(lì)時(shí)，只要系統(tǒng)固有頻率與激勵(lì)中某一諧波頻率接近就會(huì)發(fā)生共振。2.7 非周期強(qiáng)迫振動(dòng)采用卷積積分處理：在系統(tǒng)受任意持續(xù)的激勵(lì)時(shí)，按照高等數(shù)學(xué)中

18、積分時(shí)對(duì)被積函數(shù)的處理，可把激勵(lì)看為一系列脈沖力的疊加。2.7.2 傅里葉變換方法傅里葉變換：在頻率域內(nèi)分析激勵(lì)頻譜，響應(yīng)頻譜以及系統(tǒng)特性的頻域描述之間的關(guān)系。2.7.3 拉普拉斯變換方法第三章 二自由度系統(tǒng)3.1引 言多自由度系統(tǒng)：指需要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的獨(dú)立坐標(biāo)才能描述其運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)。3.2 運(yùn)動(dòng)微分方程求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的一種比較簡(jiǎn)單的方法：先求出系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)，然后利用：求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，最終求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。3.3 不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣(包括阻尼矩陣)的具體形式與所選取的描述系統(tǒng)振動(dòng)的廣義坐標(biāo)有關(guān)，合適的廣

19、義坐標(biāo)能夠解除方程的耦合。由于不同廣義坐標(biāo)之間存在著線性變換關(guān)系，所以，方程解耦的問(wèn)題就歸結(jié)為尋找一個(gè)合適的線性變換矩陣u，使變換后系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣成為對(duì)角矩陣。3.4 無(wú)阻尼自由振動(dòng)1、基本概念固有頻率固有振型（振型）振型圖：用圖形直觀顯示固有振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)之間的相互位置關(guān)系（橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)各點(diǎn)的靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示各點(diǎn)的振幅比）2、二自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率、振型和自由振動(dòng)響應(yīng)的求解方法（1）利用特殊初始條件（對(duì)稱或反對(duì)稱條件）（2）任意的二自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率、振型和自由振動(dòng)響應(yīng)的求解方法步驟：求系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；列出系統(tǒng)的特征方程或頻率方程求出2個(gè)固

20、有頻率；將2個(gè)固有頻率依次代入求出各自對(duì)應(yīng)的振型；求系統(tǒng)的響應(yīng)。第四章 多自由度系統(tǒng)多自由度振動(dòng)系統(tǒng)：指需要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的獨(dú)立坐標(biāo)才能描述其運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)。描述其振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為常微分方程組。本章主要內(nèi)容：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的基本理論；多自由度系統(tǒng)的固有頻率和振型；多自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析-振型迭加方法；多自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析-變換法（傅里葉變換和拉普拉斯變換）。4.1 運(yùn)動(dòng)微分方程n個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫(xiě)為剛度矩陣K各元素kij的意義（定義法求剛度矩陣）：如果系統(tǒng)的第j個(gè)自由度沿其坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位移，其余各個(gè)自由度的位移保持為零，為保持系統(tǒng)這種變形狀態(tài)需要在各個(gè)

21、自由度施加外力，其中在第i個(gè)自由度上施加的外力就是kij。系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣定義類似。能量法求解系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣。質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣均為對(duì)稱矩陣。方程的求解方法：尋找一個(gè)新的描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)系，在這個(gè)新的坐標(biāo)系下，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為對(duì)角矩陣。4.2 固有頻率與振型在無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：求固有頻率： 由頻率方程求得n個(gè)固有頻率，。將固有頻率依次代入方程可以求出與相對(duì)應(yīng)的非零的振型ur。由于只給出了振型的方向，而振型的大小需要人為指定（振型的正規(guī)化）。振型的正規(guī)化：指定振型的大小。常用的兩種振型正規(guī)化方案：(1)令ur滿

22、足此時(shí)有：(2)令ur的某一分量為1。比如在振動(dòng)模態(tài)實(shí)驗(yàn)中常常取ur的分量中絕對(duì)值最大的分量為1，這樣便于對(duì)振型和實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。再令此時(shí)有：振型的一個(gè)重要性質(zhì)：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交（振型的正交性）。即：如果當(dāng)時(shí)，則必然有振型正交性的物理意義：系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能均分別為各階動(dòng)能和勢(shì)能之和；各個(gè)振型之間的動(dòng)能、勢(shì)能不交換，各振型在振動(dòng)時(shí)相互獨(dú)立、互不影響。振型的正交性和正規(guī)化可用統(tǒng)一的公式表達(dá)（振型的正規(guī)正交化條件）。如果取振型正規(guī)化為，則振型的正規(guī)正交化條件可以寫(xiě)為如果取振型正規(guī)化為，則振型的正規(guī)正交化條件可以寫(xiě)為振型矩陣u：列向量為相應(yīng)的振型，即由全體

23、振型構(gòu)成的向量組線性無(wú)關(guān)。振型矩陣u就是線性變換的矩陣。在振型坐標(biāo)下n自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：x=uy 如果振型取、正規(guī)化：如果振型取、正規(guī)化：4.3 動(dòng)力響應(yīng)分析動(dòng)力響應(yīng)分析：系統(tǒng)在外部激勵(lì)作用下的響應(yīng)分析。常用的動(dòng)力響應(yīng)分析方法：振型疊加法（本書(shū)討論的內(nèi)容）和逐步積分法，后者是數(shù)值積分方法。這兩種方法的特點(diǎn)是適于已知系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和激勵(lì)，求系統(tǒng)響應(yīng)的情況，且便于用計(jì)算機(jī)編程求解。振型疊加法步驟：振型疊加方法求解式的步驟如下：首先由求出系統(tǒng)的固有頻率、振型和矩陣。新、舊坐標(biāo)變換。初始條件：解方程得到y(tǒng)，再由展開(kāi)定理得到系統(tǒng)響應(yīng)x。上式中，阻尼矩陣可能不是對(duì)角矩陣，存在阻尼耦合。實(shí)踐證明：在系統(tǒng)的各階固有頻率間隔較大，阻尼較小的條件下，可以對(duì)阻尼矩陣進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，以方便計(jì)算。阻尼矩陣簡(jiǎn)化處理的三種方法：如果阻尼矩陣C已經(jīng)求得，則在振型坐標(biāo)下的阻尼矩陣Cn也可求得，此時(shí)最簡(jiǎn)單的處理方法是把Cn的非對(duì)角元素全認(rèn)為是零，即人為將Cn變成對(duì)角矩陣。有時(shí)阻尼矩陣不容易求得，