2020屆廣西柳州市高三摸底考試數(shù)學(理)試題(解析版)

1、【詳解】第 1 頁共 18 頁2020 屆廣西柳州市高三摸底考試數(shù)學(理)試題一、單選題i .若復數(shù)|滿足：- 則復數(shù) T 的虛部為()A . wB. &C . JD . -”【答案】B【解析】分析：先根據(jù)復數(shù)除法法則得復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)虛部概念得結果 詳解：因為(|+2i)z=-L,所以冇總=譽旦二，因此復數(shù)汕勺虛部為二，選 B.點睛：本題重點考查復數(shù)的基本運算和復數(shù)的概念，屬于基本題首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如| .：-丨 -其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù) ：的實部為|、虛部為i；、模為.：.：個、對應點為、共軛為+.；：2.已知集合A xx(x 4

2、)0 ,B 3,0,1,3，則 AIB=()A.3, 1B.1,3C.3, 1,0D.0,1,3【答案】B【解析】 通過不等式的解法求出集合A,然后求解交集即可.【詳解】由已知得A x|x(x 4)0 x| 0 x 4,所以AI B 1,3,故選 B.【點睛】本題考查二次不等式的求法，交集的定義及運算，屬于基礎題.A . -1B. 0C. 1D . 2【答案】B【解析】 利用分段函數(shù)，通過函數(shù)的周期性，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)值即可.3.已知函數(shù)log2x,x 0, f x2 ,x0,，則f第2頁共 18 頁Iog2x, x0函數(shù) f (x)=，貝 y f (- 3) =f (- 3+2) =f (- 1

3、) =f (- 1+2) =f (1)f x 2,x 0= IOg2l=0.故選 B.【點睛】B.【答案】Ca?a b)=0,即a2+a?b=0,. a?b=-1.r r3- = 4故選C.a5.已知 Sn是等差數(shù)列an的前 n 項和，a2+a4+a6= 12,則 S7=（）A . 20B. 28C. 36D . 4【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)計算.【詳解】 由題意a?84a3a412,a44 , - -S77 比 28.故選 B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)可以很快速地求解等差數(shù)列的問題.本題考函數(shù)值的求法，考查計算能力.4 .若向量a, b，滿足i,b罷,若

4、 a（舌b），則a與b的夾角為（【解cos=_22在等差數(shù)列an中，正整數(shù)m, n,l, k滿足mk I，則amanaka，特別地若m n 2k，則aman2ak；S2n 1(2n 1)an.6 .一錐體的三視圖如圖所示，則該棱錐的最長棱的棱長第3頁共 18 頁試題分析：該幾何體為一個側(cè)面與底面垂直，底面為正方形的四棱錐（如圖所 示），其中底面 I 和沉門 I 邊長為， 側(cè)面平面憶沁制， 點 在底面的射影為 ， 所以 匹丄AD.DE l,AE 4TE= 4,所以PA二JpE?斗= $ PB= 7PE1+ BE2=【答案】B【答【解甬PC二JpE+ CE國，所以最長的棱長為卩，故選 C.m為常數(shù)

5、，若輸出的 k 的值為 2,貝 y m=10C.31007B.【考點】簡單幾何體的三視圖.第4頁共 18 頁【解析】根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，即可得出結果.【詳解】運行該程序，第一次循環(huán)，S 50 m,k 1；第二次循環(huán)，S 50 3m, k 2；50第三次循環(huán)，S 50 7m，此時要輸出k的值，則50 7m 0，解得m 7故選 B.【點睛】本題主要考查程序框圖，分析框圖作用，逐步執(zhí)行即可，屬于?？碱}型8現(xiàn)有甲，乙，丙，丁，戊5 位同學站成一列，若甲不在右端，且甲與乙不相鄰的不同站法共有（）A 60 種B. 36 種C 48 種D 54 種【答案】D【解析】 先排甲，然后排乙，最后排丙、丁、戊，

6、由此計算出不同的站法數(shù)【詳解】3甲排1號位，乙可以排 3,4,5 號位，故方法數(shù)有3 A種.甲排2號位，乙可以排4,5號位,33故方法數(shù)有2 A3種.甲排3號位，乙可以排1,5號位，故方法數(shù)有2 A3種.甲排4號位,33乙可以排1,2號位，故方法數(shù)有2 Aa種.故總的方法數(shù)有3 2 2 2 A354種.故選 D.甲 123451甲 234512甲 345123甲 45【點睛】本小題主要考查有限制條件的排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.2 2第5頁共 18 頁9.已知雙曲線C1: i，雙曲線C2的焦點在y軸上,它的漸近線與雙曲線Ci的相84第6頁共 18 頁同，則雙曲線C2的

7、離心率為（A .3【答案】A它的漸近線與雙曲線c1的相同求解.【詳解】2 2因為雙曲線c1:1,84所以a 2 2,b2，所以漸近線方程為：y所以-2，a所以eC1-3.a a故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題B. 2C. 、5【解析】根據(jù)雙曲線Ci的方程,求得其漸近線方程,再根據(jù)雙曲線C2的焦點在y軸上,因為雙曲線C2的焦點在y軸上，它的漸近線與雙曲線G的相同,第7頁共 18 頁【答案】D10 .函數(shù)f x Asin x A 0,0,-的部分圖象如圖所示則21124的值為（B.D . -1TT i TF TIT第8頁共 18 頁【解析】由振幅得到

8、A、2，根據(jù)相鄰零點和最小值點，求得周期，得到11最小值點求得 ，得到函數(shù)，然后求f的值.24【詳解】由圖可得AJ2，最小正周期為T2,47123所以2所以f742 sin 27近,12127322k1222k_3又因為52所以 一，3所以fx2 sin 2x3.所以f11、2 sin 11 2 sin5-1241234故選：D【點睛】于中檔題.11.已知正三角形ABC的三個頂點都在球心為0、半徑為 3 的球面上，且三棱面積的最小值為（15/A .B .44【答案】A，再代入本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力,錐0 ABC的高為2,點D是線段BC的中點，過

9、點D作球0的截面，則截面第9頁共 18 頁設正三角形ABC的邊長為a，中心為M，由題設可知OA 3,OM 2，則依據(jù)實際意義求出截面面積的最小值?！敬鸢浮俊驹斀狻?x 0可得x -如圖,AM、戸5，即于aa帀，又由實際意義可知以D為圓心答案.15為半徑的圓的截面的面積最小，其最小值為Smin2_ 21521515,應選4點睛：解答本題的關鍵是充分借助題設條件，先正三角形的邊長，進而求出該三角形的外接圓的半徑，借助球心距、截面圓的半徑、球半徑之間的關系求出等邊三角形的邊長,12 .已知函數(shù) f(x)的定義域為1，對任意的2R滿足f (x) 4x.當0,2時，不等式f(sin)cos 20的解集為

10、(564B. 一53 32C.3,3116【解2x 1 2x,求導可得h x單調(diào)遞增，且故不等式f (sin)cos20的解集為h sin0的解集.2x2，則h x4x 0，可得hx在R上單調(diào)遞增,所以由ho【解5第10頁共 18 頁2第11頁共 18 頁觀察可知，當直線zx y過點C時，z 有最大值.聯(lián)立xx 3y 3 0 x,解得215x 2y 912y5則Zmax21 1255因為cos 21 2sin所以不等式f (sin ) cos20等價于h sin0所以sin12又因為0,2 所以一566故選 A【點睛】本題考查利用導函數(shù)以及三角函數(shù)解不等式問題，解題的關鍵是構造出新函數(shù)，屬于偏

11、難題目.二、填空題x 3y 3 013 .設實數(shù)x, y滿足x 2y 9，則z x y的最大值為x 3 09【答案】-5【解析】先由約束條件作出可行域，再由目標函數(shù)表示直線反數(shù)，結合圖像即可求出結果 【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，z x y在y軸截距的相5第12頁共 18 頁【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，通常需要由約束條件作出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何 意義求解，屬于?？碱}型的展開式中的常數(shù)項為【答案】【詳解】解得r = 2，所以中展開式中的常數(shù)項為5故答案為：-【解先求得x251 的展開式的通項公式，再令 X 的次數(shù)為零求解2x3Tr 1令101275r5的展開

12、式的通項公式為:x25r12x3rC5r10 5rX，第13頁共 18 頁2【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題【答案】 -10.10【解析】設BC邊上的高為AD,則BC 3AD,求出AC . 5AD,AB 2AD.再利用余弦定理求出cosA.【詳解】設BC邊上的高為AD，則BC 3AD,所以AC，AD2DC2. 5AD，AB -2AD.15 .在VABC中，B7，BC邊上的高等于11 Be,則cosA432第14頁共 18 頁由余弦定理，知cosAAB2AC2BC22AB AC2AD25AD29AD22一2AD5AD_,1070故答案為【點睛】1010

13、本題主要考查余弦定理，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題16.過拋物線2px(p0）的焦點F且傾斜角為120的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于B兩點,AFBF【答案】-3【解析】設出A、B坐標, 利用焦半徑公式求出AB，可得X1X25P結合結口3X-|X22，求出4A、B的坐標，然后求其比值.【詳解】解：設A(Xi, yi),B(x2,y2),直線AB的方程為3(X由拋物線的焦點弦公式,I AB|xix2p晉，sin 3Xx25p3，聯(lián)立直線與拋物線的方程即2,y22px消去 y 得，3x25px空4故X!X2XiX2聯(lián)立方程組X-|X25p32，P_解得x2432第15頁共

14、18 頁第16頁共 18 頁xppp則 LAF!丄_2621|BF |xp3pp3x22221故答案為丄.3【點睛】本題考查直線的傾斜角，拋物線的簡單性質(zhì)，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于基礎題.三、解答題117.在 ABC中，a,b,c 分別是三個內(nèi)角 A,B,C 的對邊，設a 4,c 3,cosB -.8(1) 求 b 的值；(2) 求ABC的面積.【答案】(1) .、22；(2) 口4【解析】(1)由余弦定理直接求 b 的值即可.(2)先由cosB1求出sinB口，再8 8根據(jù)三角形的面積公式求解.【詳解】故b的值.22.(2) / cosB=丄，B 為三角形的內(nèi)角,O又 a=4,

15、c=3,S1 .Bl 八一 J 詢昕 SAABC=acsinB= 2 K q 孫 了 K -=_-【點睛】本題考查余弦定理的應用和三角形的面積公式，解題時可根據(jù)相應的公式求解即可，但要注意計算的準確性，這是在解答類似問題中常出現(xiàn)的錯誤.18 設卜訥是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若 卜.胡，且 ，8 成等差數(shù)列. 求的通項公式；(1)/ a=4,c=3,cosB=-二由余弦定理可得sinB=第17頁共 18 頁（2 設 inbn- -，求證：數(shù)列的前n項和耳 1 .【答案】（1） 門：匸關； （2）見解析IB.%z【解析】（1 設等比數(shù)列 傀；的公比為 q，通過嗎，嚀，8 成等差數(shù)列，求出公比，然后

16、求解軌 J 的通項公式.12求出bn= = -1 =-J-，利用裂項相消法求解數(shù)列的和，即可說明數(shù)列（bj 的tii*十j前 n 項和為 T” . I .【詳解】設等比數(shù)列的公比為 q,%，勺，8 成等差數(shù)列沁吧卜-即為三=2q +，即 C，解得匕或.1 I 舍去，- .1 -:i：所以 何;的通項為aii-2-21H1= 2% E N、（打由上知，n +11矗T弋+b 十（1 申+G 昇9+土待）誌 所以rnk)0.150.100.050.0250.010ko2.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）見解析；見解析【解析】（1）補充列聯(lián)表，計算K2的觀測值k，根據(jù)結論判

17、斷即可；（2）分別計算 X=0 , 1 , 2 對應的概率，列出 X 的分布列求出數(shù)學期望即可.【詳解】（1）列聯(lián)表補充如下：男性女性合計反感10616不反感6814合計161430附：K2第19頁共 18 頁根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)由公式計算得:第20頁共 18 頁K2的觀測值k=30 10 8 6 6i.i5& 3.841,16 14 16 14(2) X 的可能取值為 0，1，2， X的分布列是:X012P41348911591E(X)=0X+1x48+2X15139191【點睛】 本題考查了列聯(lián)表，考查分布列和數(shù)學期望，是一道綜合題.20 .如圖，在四棱錐P ABCD中，PA底面ABC

18、D,AD AB,AB/DC,AD DC AP 2,AB 1，點E為棱PC的中點P故沒有 95%的把握認為反感中國式過馬路”與性別有關,13，PX 2CsCl1591，7891(1)證明：BE DC；(2)若F為棱PC上一點，滿足BF【答案】(1)證明見詳解；【解析】(1)以 A 為原點，AC，求銳二面角F AB P的余弦值10AB 為 x 軸，AD 為 y 軸，AP 為 z 軸，建立空間直角坐標系,利用向量法證明BE DC；(2)設F(a,b,c)，由BFABP 的法向量，利用向量法能求出二面角【詳解】113AC，求出F，,，求出平面 ABF 的法向量和平面2 2 2F AB P的余弦值第21

19、頁共 18 頁設平面 ABF 的法向量 n(x, y, z),vuuvn ABx 0則v uuu/1 13，取z 1，得n (0, 3,1),n AFxyz 02 22平面 ABP 的一個法向量m （0,1,0）,設二面角F AB P的平面角為，ur rm|m n| 33/l0貝y cos七 a|m| | n |y/1010 二面角F AB P的余弦值為3衛(wèi).10【點睛】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面 間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題證明：（1） 在四棱錐 P-ABCD 中，PA 丄底面 ABCD , AD 丄 AB,AB / D

20、C , AD = DC = AP = 2, AB = 1,點 E 為棱 PC 的中點.以 A 為原點，AB 為 x 軸，AD 為 y 軸，AP 為 z 軸，建立空間直角坐標系，B（1，0，0），P（0，0, 2），C（2，2，0），E（1，1, 1），D（ 0，2, 0），uuuumrBE （0,1,1）,DC （2,0,0）,uuu uuirBE DC 0，BE DC;設F(a,b,c),uuuPFuuuPC, 0,1,則(a,b,c2)(2 ,2,2 ),F(2 ,2 ,2 2 ),uuuuuurBF(21,2 ,2 2 ),AC (2,2,0),uuur uuur BFAC,BF AC

21、2(21) 2 20,解得14,F1 1 32,2,2uuuuuu(1,0,0),AF（2） / F 為棱 PC 上一點，滿足BF AC,第22頁共 18 頁2 221.已知橢圓 E:篤爲1(a b 0)經(jīng)過點 P(2,1)，且離心率為a b2(I)求橢圓的標準方程；uuuv umv(n)設 0 為坐標原點，在橢圓短軸上有兩點M, N 滿足OM NO，直線 PM、PN分別交橢圓于 A, B.探求直線 AB 是否過定點，如果經(jīng)過定點請求出定點的坐標，如果不經(jīng)過定點，請說明理由.2 2【答案】(1) 乞1; (2)直線 AB 過定點 Q (0,- 2).8 2【解析】試題分析：(1 )根據(jù)橢圓的幾

22、何性質(zhì)得到橢圓方程；(2)先由特殊情況得到結果，再考慮一般情況，聯(lián)立直線和橢圓得到二次函數(shù)，根據(jù)韋達定理，和向量坐標化的方法，得到結果.-1，則 a2=4b2,將 P (2, 1)代入橢圓221,解得：b2=2，則 a2=8,橢圓的方程為： 8(n)當 M , N 分別是短軸的端點時，顯然直線AB 為 y 軸，所以若直線過定點，這個定點一點在 y 軸上, 當 M , N 不是短軸的端點時， 設直線 AB 的方程為 y=kx+t， 設 A (X1, y、 B ( X2,y2),2 20 y_ 1由82消去 y 得(1+4k2) x2+8ktx+4t2- 8=0,則厶=16 (8k2- t2+2)

23、 0,y kx t8kt4t28X1+X2=2, X1X2=4k214k21y-i1kx-it 1又直線 PA 的方程為 y-仁上(x-2),即 y-仁1(x-2),x12x121 2k x12t1 2k x22t因此 M 點坐標為(0 ,1),同理可知：N (0 ,2),x12x22亠uuuv umvn t1 2k X12t 1 2k X22t由OM NO,則+=0 ,x12x22化簡整理得：(2 - 4k) X1X2-( 2 - 4k+2t) (X1+X2) +8t=0 ,2x4b2由橢圓的離心率第23頁共 18 頁4t288 kt則(2 - 4k)8-( 2 - 4k+2t) (2) +

24、8t=0 ,4k214k1第24頁共 18 頁【詳解】當且僅當 t=- 2 時，對任意的 k 都成立，直線 AB 過定點 Q (0,- 2)In x22 已知函數(shù)f(x)(a R)，曲線y f (x)在點(1,f (1)處切線與直線x ax y 80垂直.(1)試比較20182019與20192018的大小，并說明理由;(2)若函數(shù)g(x) f(x) k有兩個不同的零點x1，2X2，證明：X1X2e.【答案】(1)2018201920192018，理由見解析(2)詳見解析【解析】(1)求出f x的導數(shù)，由兩直線垂直的條件,即可得切線的斜率和切點坐標,進而可知f x的解析式和導數(shù)，求解單調(diào)區(qū)間，可得f 2018 f 2019，即可得到201820