高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)11__函數(shù)中的綜合問題

1、難點(diǎn)11 函數(shù)中的綜合問題函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣.本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力.難點(diǎn)磁場(chǎng)()設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x>0時(shí)f(x)<0且f(3)=4.(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)在區(qū)間9，9上，求f(x)的最值.案例探究例1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(

2、1)=a>0.(1)求f()、f();(2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)記an=f(n+),求命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力.知識(shí)依托：認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到問題的突破口.錯(cuò)解分析：不會(huì)利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)進(jìn)行合理變形.技巧與方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵.(1) 解：因?yàn)閷?duì)x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=0

3、,x0,1又因?yàn)閒(1)=f(+)=f()·f()=f()2f()=f(+)=f()·f()=f（）2又f(1)=a>0f()=a,f()=a(2)證明：依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR.又由f(x)是偶函數(shù)知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR.將上式中x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期.(3)解：由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n·)=f(+(n1) )=f()·f(n1)·)=f()·

4、f()··f()=f()n=af()=a.又f(x)的一個(gè)周期是2f(2n+)=f(),因此an=a例2甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元.(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？命題意圖：本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識(shí)，還考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.知識(shí)依托：運(yùn)用建模、函數(shù)、數(shù)

5、形結(jié)合、分類討論等思想方法.錯(cuò)解分析：不會(huì)將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問題，易忽略對(duì)參變量的限制條件.技巧與方法：四步法：(1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評(píng)價(jià).解法一：(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為y=a·+bv2·=S(+bv)所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=S(+bv),v(0,c.(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)S(+bv)2S 當(dāng)且僅當(dāng)=bv,即v=時(shí)，式中等號(hào)成立.若c則當(dāng)v=時(shí)，有ymin；若>c,則當(dāng)v(0,c時(shí)，有S(+bv)S(+bc)=S()+(bvbc)= (cv)(abcv)cv0,且c>bc

6、2,abcvabc2>0S(+bv)S(+bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)v=c時(shí)，有ymin；綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v=,當(dāng)>c時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c.解法二：(1)同解法一.(2)函數(shù)y=x+ (k>0),x(0,+),當(dāng)x(0,)時(shí)，y單調(diào)減小，當(dāng)x(,+)時(shí)y單調(diào)增加，當(dāng)x=時(shí)y取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=Sb(v+),v(0,c.當(dāng)c時(shí)，則當(dāng)v=時(shí)，y最小，若>c時(shí)，則當(dāng)v=c時(shí)，y最小.結(jié)論同上.錦囊妙計(jì)在解決函數(shù)綜合問題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問題來解決

7、，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用.綜合問題的求解往往需要應(yīng)用多種知識(shí)和技能.因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()函數(shù)y=x+a與y=logax的圖象可能是( )2.()定義在區(qū)間(,+)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0，+)的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a>b>0,給出下列不等式：f(b)f(a)>g(a)g(b) f(b)f(a)<g(a)g(b) f(a)f(b)>g(b)g(a) f(a)f(b)<g(b)g(a)其中成立的

8、是( )A.與B.與C.與D.與二、填空題3.()若關(guān)于x的方程22x+2xa+a+1=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.三、解答題4.()設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|xa|+1,xR.(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值.5.()設(shè)f(x)=.(1)證明：f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)證明：方程f-1(x)=0有惟一解；(3)解不等式fx(x)<.6.()定義在(1，1)上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x、y(1,1),都有f(x)+f(y)=f();當(dāng)x(1,0)時(shí)，有f(x)>0.求證：.7.()某工廠擬建一座平面圖(如下圖)為矩形且面積為200平方米的

9、三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16米，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋).(1)寫出總造價(jià)y(元)與污水處理池長x(米)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域.(2)求污水處理池的長和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求最低總造價(jià).8.()已知函數(shù)f(x)在(,0)(0,+)上有定義，且在(0,+)上是增函數(shù)，f(1)=0,又g()=sin2mcos2m,0,設(shè)M=m|g()<0,mR,N=m|fg()<0,求MN.學(xué)法指導(dǎo)怎樣學(xué)好函數(shù)學(xué)習(xí)函數(shù)要重點(diǎn)解決好四個(gè)問題：準(zhǔn)確深刻地

10、理解函數(shù)的有關(guān)概念；揭示并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法；認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).(一)準(zhǔn)確、深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，函數(shù)概念貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終.數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等是以函數(shù)為中心的代數(shù).近十年來，高考試題中始終貫穿著函數(shù)及其性質(zhì)這條主線.(二)揭示并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，利用函數(shù)觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程等內(nèi)容.在利用函數(shù)和方程的思想進(jìn)行思維中，動(dòng)與靜、變量與常量如此生動(dòng)的辯證統(tǒng)一，函數(shù)思

11、維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式.所謂函數(shù)觀點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是將問題放到動(dòng)態(tài)背景上去加以考慮.高考試題涉及5個(gè)方面：(1)原始意義上的函數(shù)問題；(2)方程、不等式作為函數(shù)性質(zhì)解決；(3)數(shù)列作為特殊的函數(shù)成為高考熱點(diǎn)；(4)輔助函數(shù)法；(5)集合與映射，作為基本語言和工具出現(xiàn)在試題中.(三)把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換.(四)認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)

12、用意識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)就是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系，求得問題的解決.縱觀近幾年高考題，考查函數(shù)思想方法尤其是應(yīng)用題力度加大，因此一定要認(rèn)識(shí)函數(shù)思想實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)(1）證明：令x=y=0,得f(0)=0令y=x,得f(0)=f(x)+f(x),即f(x)=f(x)f(x)是奇函數(shù)(2）解：1°,任取實(shí)數(shù)x1、x29,9且x1x2,這時(shí)，x2x1>0,f(x1)f(x2)=f(x1x2)+x2f(x2)=f(x1x2)+f(x2)f(x1)=f(x2x1)因?yàn)閤>0時(shí)f(x)0,f(x1)f(x2)>0f(x)在9，

13、9上是減函數(shù)故f(x)的最大值為f(9),最小值為f(9).而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=12,f(9)=f(9)=12.f(x)在區(qū)間9，9上的最大值為12，最小值為12.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：分類討論當(dāng)a>1時(shí)和當(dāng)0a1時(shí).答案：C2.解析：用特值法，根據(jù)題意，可設(shè)f(x)=x,g(x)=|x|,又設(shè)a=2,b=1,則f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)f(b)=f(2)f(1)=2+1=3.g(b)g(a)=g(1)g(2)=12=1.f(a)f(b)>g(1)g(2)=12=1.又f(b)f(a)=f(1)f(2)=1+2

14、=3.g(a)g(b)=g(2)g(1)=21=1,f(b)f(a)=g(a)g(b).即與成立.答案：C二、3.解析：設(shè)2x=t>0，則原方程可變?yōu)閠2+at+a+1=0方程有兩個(gè)正實(shí)根，則解得：a(1,22.答案：(1，22三、4.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=(x)2+|x|+1=f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(a)=a2+1,f(a)=a2+2|a|+1,f(a)f(a),f(a)f(a).此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+,若a,則函數(shù)f(x)在(,a上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f(x)在(,a上

15、的最小值為f(a)=a2+1.若a>,則函數(shù)f(x)在(,a上的最小值為f()=+a,且f()f(a).當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+;當(dāng)a時(shí)，則函數(shù)f(x)在a,+上的最小值為f()=a,且f()f(a).若a>,則函數(shù)f(x)在a,+)上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f(x)在a,+上的最小值為f(a)=a2+1.綜上，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a,當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a2+1;當(dāng)a>時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a+.5.(1)證明：由 得f(x)的定義域?yàn)?1，1)，易判斷f(x)在(1，1)內(nèi)是減函數(shù).(2)證明：f(0)=,f-1()=0,

16、即x=是方程f-1(x)=0的一個(gè)解.若方程f-1(x)=0還有另一個(gè)解x0,則f-1(x0)=0,由反函數(shù)的定義知f(0)=x0,與已知矛盾，故方程f-1(x)=0有惟一解.(3)解：fx(x),即fx(x)f(0).6.證明：對(duì)f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=x,又得f(x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)=f(x),f(x)在x(1,1)上是奇函數(shù).設(shè)1x1x20,則f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=f(),1x1x20,x1x20,1x1x2>0.0,于是由知f()>0,從而f(x1)f(x2)>0,即f(x

17、1)>f(x2),故f(x)在x(1,0)上是單調(diào)遞減函數(shù).根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知f(x)在x(0,1)上仍是遞減函數(shù)，且f(x)0.7.解：(1)因污水處理水池的長為x米，則寬為米，總造價(jià)y=400(2x+2×)+248××2+80×200=800(x+)+1600,由題設(shè)條件 解得12.5x16,即函數(shù)定義域?yàn)?2.5，16.(2)先研究函數(shù)y=f(x)=800(x+)+16000在12.5,16上的單調(diào)性，對(duì)于任意的x1,x212.5,16,不妨設(shè)x1x2,則f(x2)f(x1)=800(x2x1)+324()=800(x2x1)(1),12.5x1x216.0x1x2162324,>1,即10.又x2x1>0,f(x2)f(x1)0,即f(x2)f(x1),故函數(shù)y=f(x)在12.5,16上是減函數(shù).當(dāng)x=16時(shí)，y取得最小值，此時(shí)，ymin=800(16+)+16000=45000(元)，=12.5(米）綜上，當(dāng)污水處理池的長為16米，寬為12.5米時(shí)，總造價(jià)最