添加輔助線解特殊四邊形題答案

1、添加輔助線解特殊四邊形題 特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關的問題時往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.一、 和平行四邊形有關的輔助線作法1利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形例1 如圖，點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.2利用兩組對邊平行構造平行四邊形例2 如圖，在ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.3利用對角線互相平分構造平行四邊形例3 如圖，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=

2、EF.求證BF=AC. 二、和菱形有關的輔助線的作法 和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質定定理解決問題.例4 如圖，在ABC中，ACB=90°，BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE=AC，EF/BC交AD于點F，求證：四邊形CDEF是菱形. 例5 如圖，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長. 三、 與矩形有輔助線作法 例6 如圖，矩形ABCD內一點，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長.四、與正方形有關輔助線的作法例7如圖，過正方形ABCD的頂點B作BE/AC，且AE

3、=AC，又CF/AE.求證：BCF=AEB.五、 與梯形有關的輔助線的作法 和梯形有關的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：1作一腰的平行線構造平行四邊形和特殊三角形；2作梯形的高，構造矩形和直角三角形；3作一對角線的平行線，構造直角三角形和平行四邊形；4 延長兩腰構成三角形；5作兩腰的平行線等.例8 ，如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90°，BD=BC，BD交AC于點0.求證：CO=CD.例9 如圖，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的長.六、 和中位線有關輔助線的作法例10 如圖，在四邊形ABCD中，

4、AC于BD交于點0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點，EF分別交AC、BD于點H、G.求證：OG=OH.答案 例1 例2 例3例1：證明:連結AE、OD，因為是四邊形OCDE是平行四邊形，所以OC/DE，OC=DE，因為0是AC的中點，所以A0/ED，AO=ED， 所以四邊形AODE是平行四邊形，所以AD與OE互相平分. 說明：當條件中涉及到平行，且要求證的結論中和平行四邊形的性質有關，可試通過添加輔助線構造平行四邊形.例2：證明:過點E作EH/BC,交AC于H,因為ED/AC,所以四邊形CDEH是平行四邊形,所以ED=HC,又FG/AC,EH/BC,所以AEH=B,A=BFG,又AE=

5、BF,所以AEHFBG,所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.說明：當圖形中涉及到一組對邊平行時，可通過作平行線構造另一組對邊平行，得到平行四邊形解決問題.例3：證明：延長AD到G，使DG=AD，連結BG，CG，因為BD=CD，所以四邊形ABGC是平行四邊形，所以AC=BG，AC/BG，所以1=4，因為AE=EF，所以1=2，又2=3，所以1=4，所以BF=BG=AC. 例4 例5 例6例4：證明：連結CE交AD于點O，由AC=AE，得ACE是等腰三角形，因為AO平分CAE，所以AOCE，且OC=OE，因為EF/CD，所以1=2， 又因為EOF=COD，所以DOC可以看成由FOE繞

6、點O旋轉而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四邊形CDEF是菱形.例5證明：連結BD、DF.因為AC、BD是菱形的對角線，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DFDE，當且僅當F運動到DE與AC的交點G處時，上式等號成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的長.說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關證明題或計算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：1作菱形的高；例6解：過點P分別作兩組對邊的平行線EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于點H，交AD于G.因為四邊形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE

7、2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=3. 說明：此題主要是借助矩形的四個角都是直角，通過作平行線構造四個小矩形，然后根據(jù)對角線得到直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PB、PC之間的關系，進而求到PD的長.例7 例8例7：證明：連接BD交AC于O，作AHBE交BE于H.在正方形ABCD中，ACBD，AO=BO，又BE/AC，AHBE，所以BOAC，所以四邊形AOBH為正方形，所以AH=AO=AC，因為AE=AC，所以AEH=30°，因為BE/AC，AE/CF，所以ACFE

8、是菱形，所以AEF=ACF=30°，因為AC是正方形的對角線，所以ACB=45°，所以BCF=15°，所以BCF=AEB. 說明：此題是一道綜合題，既涉及正方形的性質，又涉及到菱形的性質.通過連接正方形的對角線構造正方形AHBO，進一步得到菱形，借助菱形的性質解決問題.例8： 證明：過點A、D分別作AEBC，DFBC，垂足分別是E、F，那么四邊形AEFD為矩形，因為AE=DF，AB=AC，AEBC，BAC=90°，所以AE=BE=CE=BC，ACB=45°，所以AE=DF=，又DFBC，所以在RtDFB中，DBC=30°，又BD=BC，所以BDC=BCD=，所以DOC=DBC+ACB=30°+45°=75°.所以BDC=DOC，所以C0=CD.例9：解：過點D作DF/AC，交BC的延長線于F，那么四邊形ACFD為平行四邊形，所以AC=DF，AD=CF，因為四邊形ABCD為等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因為DEBC，所以BE=EF=BF=(BC+CF)=(BC+AD)=×10=5.因為AC/DF,BDAC,所以BDDF,因為BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的長為5. 例9 例