電勢(shì)及其梯度

1、思考：萬有引力作功與路徑無關(guān)，庫侖力是否與其類似？思考：萬有引力作功與路徑無關(guān)，庫侖力是否與其類似？答：?jiǎn)蝹€(gè)點(diǎn)電荷作功與路徑無關(guān)答：?jiǎn)蝹€(gè)點(diǎn)電荷作功與路徑無關(guān)bal d rdrr droqEcl dEql dFdW 02041rqE drdl cos barrbarrqqdrrqqdWWba1144100200 dlEq cos0 結(jié)論：結(jié)論：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，電場(chǎng)力對(duì)試驗(yàn)電荷所在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，電場(chǎng)力對(duì)試驗(yàn)電荷所做的功，只與試驗(yàn)電荷所帶電量以及起點(diǎn)和終點(diǎn)做的功，只與試驗(yàn)電荷所帶電量以及起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，而與所經(jīng)歷的路徑無關(guān)位置有關(guān)，而與所經(jīng)歷的路徑無關(guān)問題：?jiǎn)栴}：任何帶電體系產(chǎn)生的電場(chǎng)的結(jié)果

2、如何？任何帶電體系產(chǎn)生的電場(chǎng)的結(jié)果如何？ 21EEE l dEql dFW0 l dEEq)(210 l dEql dEq2010結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)試驗(yàn)電荷在任何靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力所做的當(dāng)試驗(yàn)電荷在任何靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功只與試驗(yàn)電荷的電量以及起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，而與功只與試驗(yàn)電荷的電量以及起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)路徑無關(guān). 這表明靜電場(chǎng)力是保守力，靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)這表明靜電場(chǎng)力是保守力，靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)1L2LPQ)(0)(021LQPLQPl dEql dEq 0)()(021 LQPLQPl dEl dEq0)()(21 LPQLQPl dEl dE0 Ll dE結(jié)

3、論結(jié)論: : 場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合回路的線積分等于零場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合回路的線積分等于零 思考思考: 其他的保守力場(chǎng)是否也有環(huán)路定理？其他的保守力場(chǎng)是否也有環(huán)路定理？ babaldEldE1L2L存在電勢(shì)能存在電勢(shì)能aL1L2b.oq. baldEqA結(jié)論結(jié)論: : 電場(chǎng)力作了多少功等電場(chǎng)力作了多少功等于其體系的能量的改變于其體系的能量的改變 PPl dEq0 定義定義: :電勢(shì)能在量值上等于把電荷從該點(diǎn)經(jīng)任意路徑移電勢(shì)能在量值上等于把電荷從該點(diǎn)經(jīng)任意路徑移到零點(diǎn)到零點(diǎn)( (無窮遠(yuǎn)處無窮遠(yuǎn)處) )電場(chǎng)力所做的功電場(chǎng)力所做的功 問題問題: :電勢(shì)能能反映電場(chǎng)的本質(zhì)？電勢(shì)能能反映電場(chǎng)的本質(zhì)？ 電勢(shì)電勢(shì) PP

4、Pl dEqU0 結(jié)論：結(jié)論：電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)在量值上等于單位正電荷電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)在量值上等于單位正電荷放在該點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能放在該點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能，或者說，等于單位正電荷從，或者說，等于單位正電荷從該點(diǎn)沿任意路徑移到無限遠(yuǎn)處電場(chǎng)力所做的功該點(diǎn)沿任意路徑移到無限遠(yuǎn)處電場(chǎng)力所做的功 電勢(shì)的單位是伏特，符號(hào)為電勢(shì)的單位是伏特，符號(hào)為 VQPPQUUU 電勢(shì)差電勢(shì)差 QPl dEl dE QPl dE結(jié)論結(jié)論: :靜電場(chǎng)中任意兩點(diǎn)靜電場(chǎng)中任意兩點(diǎn) 和和 之間的電勢(shì)差在量之間的電勢(shì)差在量值上等于把單位正電荷從值上等于把單位正電荷從 點(diǎn)經(jīng)任意路徑移到點(diǎn)經(jīng)任意路徑移到 點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功時(shí)，電場(chǎng)力所做的功

5、PQPQ電場(chǎng)力所做的功可用電勢(shì)差表示為電場(chǎng)力所做的功可用電勢(shì)差表示為）（QPQPPQUUql dEqW 00討論討論: :功、電勢(shì)差、電勢(shì)能之間的關(guān)系功、電勢(shì)差、電勢(shì)能之間的關(guān)系.0 abAbaWW 0 qabU U則則0 q則則abU U2.0 abAbaWW 0 qabU U則則0 qabU U則則例題例題: 求單個(gè)點(diǎn)電荷求單個(gè)點(diǎn)電荷 產(chǎn)生的電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)產(chǎn)生的電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì) q PPl dEU PPl dEU rdrrq2014qrP rrdErq041 解解 rrrqE2041 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 的場(chǎng)強(qiáng)為的場(chǎng)強(qiáng)為 q 思考思考: 這里電勢(shì)能和電勢(shì)差如何計(jì)算？這里電勢(shì)能和電勢(shì)差如何計(jì)算？

6、例題例題: :在示波器、電視機(jī)、計(jì)算機(jī)顯示器中，均有電在示波器、電視機(jī)、計(jì)算機(jī)顯示器中，均有電子在電場(chǎng)中被加速而獲得動(dòng)能的情況。已知電子在子在電場(chǎng)中被加速而獲得動(dòng)能的情況。已知電子在1000v1000v的電壓中加速，求電子獲得的速度。的電壓中加速，求電子獲得的速度。解：解：電場(chǎng)力作功電場(chǎng)力作功 UUeA 1000106 . 119 由動(dòng)能定理由動(dòng)能定理: :AEk J16106 . 1 0 ovJmv162106 . 121 smv/1087. 17 若電子經(jīng)過若電子經(jīng)過 U=1v U=1v 的電場(chǎng)：的電場(chǎng)：AEk UUeJ19106 . 1 eV1 smv/1093. 55 Ep解：兩電荷的

7、電勢(shì)能分別是：解：兩電荷的電勢(shì)能分別是： qUWqUW WWW UUq ldEq l dEq dlEq cos cosEl q EpW 即：即：例題例題. .求一電偶極子求一電偶極子 在均勻電場(chǎng)在均勻電場(chǎng)E E中的電勢(shì)能。中的電勢(shì)能。l qp cosEp u等勢(shì)面等勢(shì)面等勢(shì)面與電場(chǎng)分布的關(guān)系：等勢(shì)面與電場(chǎng)分布的關(guān)系：(1)(1) 等勢(shì)面與電力線處處正交等勢(shì)面與電力線處處正交, ,且電且電場(chǎng)線的方向指向電勢(shì)降低的方向。場(chǎng)線的方向指向電勢(shì)降低的方向。(2) (2) 在同一等勢(shì)面上移動(dòng)電荷在同一等勢(shì)面上移動(dòng)電荷, ,電電 場(chǎng)力的功恒等于場(chǎng)力的功恒等于0 0。+q1U2Ur4qUo 1U 定義定義:

8、:電勢(shì)相等的曲面電勢(shì)相等的曲面 思考思考: 等勢(shì)面變化快慢和什么有關(guān)？等勢(shì)面變化快慢和什么有關(guān)？u電勢(shì)梯度：電勢(shì)梯度：電勢(shì)隨空間的變化率。電勢(shì)隨空間的變化率。E與與U描述電場(chǎng)各點(diǎn)描述電場(chǎng)各點(diǎn)性質(zhì)的物理量性質(zhì)的物理量P1P2l dE E與與U 的關(guān)系？的關(guān)系？在電場(chǎng)中取相距在電場(chǎng)中取相距 的兩點(diǎn)的兩點(diǎn)P P1 1、P P2 2：dll dEUUPP 21dUUUPP 21l dEdU cosEdldldUE cos即即：電勢(shì)電勢(shì)U U沿沿 方向方向的空間變化率的空間變化率l d491 1 靜電場(chǎng)中任意給定點(diǎn)靜電場(chǎng)中任意給定點(diǎn)的的E E沿某方向的分量為：沿某方向的分量為：dldUEl 2 2 場(chǎng)中

9、任一點(diǎn)沿不同方向，場(chǎng)中任一點(diǎn)沿不同方向，U U的空間變化率不同的空間變化率不同 當(dāng)當(dāng) = 0= 0時(shí)時(shí), , ,|EnddndU有最大值：有最大值：EdndU 結(jié)論：結(jié)論：P1P2l dE xUEx yUEy zUEz 例如該點(diǎn)電場(chǎng)例如該點(diǎn)電場(chǎng)E E的三個(gè)坐標(biāo)分量：的三個(gè)坐標(biāo)分量：dndU電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度ndndUE Ugrad 則：則：例題例題: 一個(gè)均勻帶電圓環(huán)一個(gè)均勻帶電圓環(huán), 半徑為半徑為R 電量為電量為Q。其軸。其軸線上任意一點(diǎn)的電勢(shì)為線上任意一點(diǎn)的電勢(shì)為 求其場(chǎng)強(qiáng)。求其場(chǎng)強(qiáng)。X X. .P Po oRxr解：根據(jù)點(diǎn)電荷電勢(shì)疊加，解：根據(jù)點(diǎn)電荷電勢(shì)疊加，P P點(diǎn)的電勢(shì)點(diǎn)的電勢(shì)224p

10、oQURxP P點(diǎn)的電場(chǎng)：點(diǎn)的電場(chǎng)：0zU0yU xUEExP 2322oxR4Qx 方向沿方向沿X X軸正向軸正向224poQURx即：即：E E 取決于取決于U U 在該點(diǎn)的空間變化在該點(diǎn)的空間變化率而與該點(diǎn)率而與該點(diǎn)U U 值的大小無關(guān)。值的大小無關(guān)。2 2 E E的又一單位：的又一單位：V/mV/m= N/C3 3 求求E E的三種方法的三種方法點(diǎn)電荷電場(chǎng)疊加點(diǎn)電荷電場(chǎng)疊加 ：用高斯定理求對(duì)稱場(chǎng)：用高斯定理求對(duì)稱場(chǎng)：電勢(shì)梯度法：電勢(shì)梯度法： rrdqEo42 gradUE 1 內(nèi)內(nèi)SioEqSdE 1gradUE 52u注意要點(diǎn)注意要點(diǎn)例題例題: 求均勻帶電球面內(nèi)外的電勢(shì)分布，設(shè)球面電

11、量求均勻帶電球面內(nèi)外的電勢(shì)分布，設(shè)球面電量為為 ，半徑為，半徑為 QR解解 RoQPrPr當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；Rr rrrQE2041 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，Rr 0 EP（1 1）球面內(nèi)任一點(diǎn)）球面內(nèi)任一點(diǎn) 的電勢(shì)的電勢(shì)Rr （ ） RRrrPPrdErdErdEl dEURQdrrQR0204141 RrdE（ ）P（2 2）球面外任一點(diǎn)）球面外任一點(diǎn) 的電勢(shì)的電勢(shì)Rr RoQPr rPPrdEl dEUrQdrrQr0204141 VrRq04RO電勢(shì)分布曲線電勢(shì)分布曲線1r例題例題:半徑為半徑為 R的無限長(zhǎng)帶電圓柱，電荷體密度為的無限長(zhǎng)帶電圓柱，電荷體密度為 ， 求離軸為求離軸為 r處的處的 U

12、=？R R.pr r解：由高斯定理求得各處的電場(chǎng)解：由高斯定理求得各處的電場(chǎng)Rr r r2RERro2 r r2o 0Uppl dEU設(shè)設(shè)r r, U, U = 0= 0Rr PprdEU 設(shè)設(shè) r= Rr= R處，處，U= 0U= 0 0 0Rrln2RUo2p drr2RPo2 po2rln2R rRln2Rdrr2RrdEUo20UPRro2p r2Eo R.prRr r r2RERro2 r r2o 22oRrorR2drr2URr 0r= 0處，處，2oR2 Rrln2RUo2p U= Umax=r2Eo 問題問題: 如果是一個(gè)無限長(zhǎng)均勻帶電直線呢？如果是一個(gè)無限長(zhǎng)均勻帶電直線呢？點(diǎn)

13、電荷系的電勢(shì)：點(diǎn)電荷系的電勢(shì)： 在點(diǎn)電荷系在點(diǎn)電荷系 的電場(chǎng)中的電場(chǎng)中k21qqq iq.P P任意點(diǎn)任意點(diǎn)P P處的電位處的電位 Ppl dEU l dEEEPk 21 PkPPldEldEldE21kokoorqrqrq 4442211kUUU 21 iioiiiPrqUU4電勢(shì)疊加原理電勢(shì)疊加原理u電勢(shì)疊加原理電勢(shì)疊加原理連續(xù)帶電體的電勢(shì)連續(xù)帶電體的電勢(shì):+q.P取電荷元取電荷元 ，其在任意點(diǎn)，其在任意點(diǎn)P處的電勢(shì)：處的電勢(shì)：dqdqrpPoPr4dqdU 電勢(shì)是標(biāo)量，積分是標(biāo)量迭加。電勢(shì)是標(biāo)量，積分是標(biāo)量迭加。 電勢(shì)迭加比電場(chǎng)迭加要簡(jiǎn)便。電勢(shì)迭加比電場(chǎng)迭加要簡(jiǎn)便。注：注： PoPr4d

14、qU整個(gè)帶電體在任意點(diǎn)整個(gè)帶電體在任意點(diǎn)P處的電勢(shì)：處的電勢(shì)：例題例題: 計(jì)算電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)計(jì)算電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)。的電勢(shì)。 rqrqVP0044式中式中r+與與r-分別為分別為+q和和-q到到P點(diǎn)的距離，由圖可知點(diǎn)的距離，由圖可知yPx+q q re/2re/2Or+r r解解 ：設(shè)電偶極子如圖放置，電偶：設(shè)電偶極子如圖放置，電偶極子的電場(chǎng)中任一點(diǎn)極子的電場(chǎng)中任一點(diǎn)P P的電勢(shì)為的電勢(shì)為u疊加法應(yīng)用疊加法應(yīng)用302044cosrrPrqrVeeP 由于由于r re ，所以所以P點(diǎn)的電勢(shì)可寫為點(diǎn)的電勢(shì)可寫為2200cos2cos4cos21cos214 eeeePrrrqrrrr

15、qV因此因此 cos2errr cos2errr 例題例題: 計(jì)算均勻帶電計(jì)算均勻帶電Q的圓環(huán)軸線上任意一點(diǎn)的圓環(huán)軸線上任意一點(diǎn)P電勢(shì)電勢(shì)RrxXo解：取環(huán)上電荷元解：取環(huán)上電荷元 ， dq其在其在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位點(diǎn)產(chǎn)生的電位dqr4dqdUo 22oxR4dq PU Q22oPxR4QU .Pr思考思考: 如果是均勻帶電圓盤，則電勢(shì)如何求解？如果是均勻帶電圓盤，則電勢(shì)如何求解？RrxXodq22oPxR4QU R4QUoP x4QUoP 相當(dāng)于點(diǎn)電荷相當(dāng)于點(diǎn)電荷22oxr4dqdU dq= 2 rdr xxR2dUU22o .Pr當(dāng)當(dāng)x= 0，1當(dāng)當(dāng)x R，2若是一帶電圓盤？若是一帶電圓盤？3討論：討論：u課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.理解掌握電勢(shì)及其梯度的概念和求解理解掌握電勢(shì)及其梯度的概念和求解0 Ll