求三角形內(nèi)一點到三個頂點距離之和的最小值

1、求三角形內(nèi)一點到三個頂點距離之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值.解：由題意三角形ABC為直角三角形，以直角頂點C為原點，CB為x軸，CA為y軸建立坐標系（如圖）則C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B為旋轉(zhuǎn)中心，將BPC繞點B逆時鐘旋轉(zhuǎn)60°至BP'C'，連接PP'、CC'、AC'則BPP'，BCC'均為等邊三角形所以PB=PP'，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'AC

2、9;而C'（2，-23）所以AC'=（0-2）²+（3+23）²=（25+123）.即PA+PB+PC的最小值等于AC'的長（25+123）.2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P是三角形ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值.解：過A作ADBC于D，設(shè)BC=x，則CD=21-x 由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得x=6，AD=8，DC=15以D為坐標原點，BC為x軸，DA為y軸建立坐標系（如圖）則A（0，8）B（-6，0）C（15，0）

3、以C為旋轉(zhuǎn)中心，將CPB繞點C逆時鐘旋轉(zhuǎn)60°至CP'B'，連接PP'、BB'、AB'則CPP'，CBB'均為等邊三角形所以PC=PP'，PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'AB'而B'（9/2，-213/2）所以AB'=（0-9/2）²+（8+213/2）²=（415+1683）.即PA+PB+PC的最小值等于AB'的長（415+1683）.【 補充說明】（1）如圖，以ABC的三邊為邊，分別向外作

4、等邊三角形BCD、ACE、ABF，連接AD、BE、CF，則（1）AD、BE、CF交于一點P，且APB=APC=BPC=120°，（2）P到A、B、C三頂點距離的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。證明：AF=AB，F(xiàn)AC=BAE，AC=AEAFCABECF=BE同理可證BCFBDA，CF=ADAD=BE=CF. AFCABEAFC=ABEBPF=BAF=60°，BPC=120° 同理可證APB=APC=120° APB=APC=BPC=120°至于P到三頂點距離之和為何最小上面兩題已明。（2）給出三個點，怎樣用尺規(guī)作圖，使某一點P到這三點的距離之和最短解：如果三個點在同一直線上，P點為居中的那個點如果三個點能組成三角形，這里的點P就是著名的“費馬點”這時的一般結(jié)論是：當三角形有一個內(nèi)角大于或等于120度的時候，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點；如果三個內(nèi)角都小于120度，那么，費馬點就是使得費馬點與三角形三頂點的連線兩兩夾