第2章2013先帝啊

1、自動控制原理 第二章系統(tǒng)數學模型第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型n2-1 引言引言n2-2 微分方程（時域模型）微分方程（時域模型）n2-3 傳遞函數（復域模型）傳遞函數（復域模型）n2-4 結構圖和信號流圖（圖形描述）結構圖和信號流圖（圖形描述）n2-5 小結小結2-1 引言引言n1.數學模型的概念數學模型的概念描述系統(tǒng)內部變量之間關系的表達式，自控系描述系統(tǒng)內部變量之間關系的表達式，自控系統(tǒng)分析與設計的基礎。統(tǒng)分析與設計的基礎。n2.數學模型的研究意義數學模型的研究意義能夠比定性分析更加精細準確，從理論上對系能夠比定性分析更加精細準確，從理論上對系統(tǒng)的系統(tǒng)的性能進行定量的

2、分析和計算。統(tǒng)的系統(tǒng)的性能進行定量的分析和計算。許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運動規(guī)律可能完全一樣，可以用一個運動方其運動規(guī)律可能完全一樣，可以用一個運動方程來表示。以一個模型分析一類系統(tǒng)。程來表示。以一個模型分析一類系統(tǒng)。n3.數學模型的種類數學模型的種類靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下各變量之間的關系靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下各變量之間的關系動態(tài)模型：描述變量各階導數關系的微分方程動態(tài)模型：描述變量各階導數關系的微分方程n4.數學模型的建立方法數學模型的建立方法分析法（白箱模型）分析法（白箱模型）u對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，根據物理、化對系統(tǒng)各部

3、分的運動機理進行分析，根據物理、化學規(guī)律列寫相應的運動方程，如基爾霍夫定律、牛學規(guī)律列寫相應的運動方程，如基爾霍夫定律、牛頓定律、熱力學關系等等頓定律、熱力學關系等等實驗法（黑箱模型）實驗法（黑箱模型）u人為給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其響應，并用人為給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其響應，并用恰當的數學模型進行逼近，形成一個獨立學科：系恰當的數學模型進行逼近，形成一個獨立學科：系統(tǒng)辨識統(tǒng)辨識綜合法（灰箱法）綜合法（灰箱法）u但實際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時稱為灰盒，但實際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時稱為灰盒，可以分析計算法與工程實驗法一起用，較準確而方便可以分析計算法與工程實驗法一起用

4、，較準確而方便地建立系統(tǒng)的數學模型。實際控制系統(tǒng)的數學模型往地建立系統(tǒng)的數學模型。實際控制系統(tǒng)的數學模型往往是很復雜的，在一般情況下，常?？梢院雎砸恍┯巴呛軓碗s的，在一般情況下，常常可以忽略一些影響較小的因素來簡化，響較小的因素來簡化，u但這就出現了一對矛盾，簡化與準確性。不能過于簡但這就出現了一對矛盾，簡化與準確性。不能過于簡化，而使數學模型變的不準確，也不能過分追求準確化，而使數學模型變的不準確，也不能過分追求準確性，使系統(tǒng)的數學模型過于復雜。性，使系統(tǒng)的數學模型過于復雜。n數學模型的形式數學模型的形式時域時域(t): 微分方程微分方程復數域復數域(s)：傳遞函數：傳遞函數頻域頻域(w

5、w)：頻率特性：頻率特性三種數學模型之間的關系三種數學模型之間的關系線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)傳遞函數傳遞函數微分方程微分方程頻率特性頻率特性拉氏拉氏變換變換傅氏傅氏變換變換2-2 控制系統(tǒng)時域模型控制系統(tǒng)時域模型1.1.微分方程的建立微分方程的建立例1.RLC電路：研究在輸入電壓ur(t)作用下，電容上電壓uc(t)的變化。RLCur(t)uc(t)i(t)依據電學中的基爾霍夫定律依據電學中的基爾霍夫定律 ( )( )( )( ), 1rcdi tu tRi tLu tdt（）1( )( ),(2)Cuti t dtC( )( )Cduti tCdt)()()()(22tudttudLCdttduRC

6、tuCCCr(2)式兩邊求導消去中間變量式兩邊求導消去中間變量i(t)RLCur(t)uc(t)i(t)( )( )( )( )CCCrLCutRCututu t整理成規(guī)范形式整理成規(guī)范形式n例2-2.機械平移系統(tǒng) 求在外力F(t)作用下，物體的運動軌跡。 kF(t)x(t)位移阻尼系數f阻尼器彈簧m首先確定：輸入F(t),輸出x(t)其次：理論依據1.牛頓第二定律 物體所受的合外力等于物體質量與加速度的乘積 2.牛頓第三定律 作用力等于反作用力,現在我們單獨取出m進行分析maFtx fFtkxF而)()(21)()()()()()(21txmtx ftkxtFmaFFtFtxa 代入上式得寫

7、微分方程時，常習慣于把輸出寫在方程的寫微分方程時，常習慣于把輸出寫在方程的左邊，輸入寫在方程右邊，而且微分的次數左邊，輸入寫在方程右邊，而且微分的次數由高到低排列由高到低排列 。機械平移系統(tǒng)的微分方程為：機械平移系統(tǒng)的微分方程為：)()()()(tFtkxtx ftxm )()()()(tututuRCtuLCrCCC 這兩個式子很相似，故可用電子線路來模擬這兩個式子很相似，故可用電子線路來模擬機械平移系統(tǒng)，機械平移系統(tǒng)，這也證明了我們前面講到的，這也證明了我們前面講到的，看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運動規(guī)律，看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運動規(guī)律，可用相同的數學模型來描述。（相似系統(tǒng)）可用

8、相同的數學模型來描述。（相似系統(tǒng)）討論：討論：)()()()(tFtkxtx ftxm n微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數學模型，微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數學模型，要研究系統(tǒng)的運動，必須列寫系統(tǒng)的微分要研究系統(tǒng)的運動，必須列寫系統(tǒng)的微分方程。方程。n列寫微分方程的基本步驟：列寫微分方程的基本步驟：確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開始，按信將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開始，按信號傳遞的順序，依據各變量所遵循的物理學定號傳遞的順序，依據各變量所遵循的物理學定律，列出各環(huán)節(jié)的線性化原始方程。律，列出各環(huán)節(jié)的線性化原始方程。消去中間變量，寫出僅包含輸入、輸

9、出變量的消去中間變量，寫出僅包含輸入、輸出變量的微分方程式，并且化為標準形式。微分方程式，并且化為標準形式。例例3 試求電樞控制直流電動機的微分方程。試求電樞控制直流電動機的微分方程。電樞電壓電樞電壓ua(t)作為輸入量，電機轉速作為輸入量，電機轉速w wm(t)作為輸作為輸出量出量. Ra La 分別是電樞電路的電阻和電感；分別是電樞電路的電阻和電感；Mc是是折合到電動機軸上的總負載轉矩。折合到電動機軸上的總負載轉矩。 mw負載負載LaRa+-Ea+ +- -SMJmfmuauf+ +- -ia（1）根據基爾霍夫定律 電樞繞組的電壓平衡方程式為 )()()()(tEtiRdttdiLtuaa

10、aaaa)()(tCtEmeawCe是反電勢系數（伏是反電勢系數（伏/（弧度（弧度/秒）秒）)()()(tEtiRtuaaaa通常通常La很小，可以忽略不計，那么很小，可以忽略不計，那么 為轉矩系數（牛米/安）)()(tiCtMammmC（2） 產生電磁轉矩產生電磁轉矩 Mm與電樞電流成正比：與電樞電流成正比：)()()()(tftMtMdttdJmmcmmmww 電機軸上的轉矩平衡方程式為電機軸上的轉矩平衡方程式為 )()()(tEtiRtuaaaammaCtMti)()()()()()(tftMtMdttdJmmcmmmww)()(tCtEmeaw代入式：代入式：令 為直流電動機的傳遞系數

11、 為直流電動機的時間常數 所以直流電機的運動方程為 )()()()()(tMRtuCtCCRfdttdJRcaammmebmmmawwmeammCCRfCK1meammamCCRfJRT)()()()(21tMKtuKtdttdTcammmwwmeamaCCRfRK22. 2. 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程n例3.位置隨動系統(tǒng)的數學模型微分方程rcuSM放大器負載轉動慣量JL粘性摩擦fLTGRaLaZ1Z2+-if+-uautuE 任務是控制機械負載，使其位置與輸入手柄的位置相協(xié)調。解：首先確定總輸入r 總輸出 c n（1）電位器對也稱為電橋，由完全相同的兩個電位器對組成。 作用：用來

12、檢測輸入r 與輸出c之間的角偏差，是控制系統(tǒng)中常用的誤差檢測器之一。)()(tkturr)()(tktucc)()()()(tkttktucrn（2）晶體放大器（控制系統(tǒng)中常用的放大元件，包括電壓放大和功率放大兩部分）。在本題中，放大器的輸入電壓為u，等于電位器對的輸出電壓u與測速發(fā)電機的反饋電壓ut之差 輸出電壓為ua 晶體放大器的特性為：)()()(tutututuua0 由于隨動系統(tǒng)總是工作在原點附近的小偏差范圍內，故可以認為放大器工作在線性段，而大輸入信號時出現的飽和非線性可以忽略，從而得到簡化的數學模型 為放大器增益n（3）.直流測速發(fā)電機（是控制系統(tǒng)中常用的校正元件，常與電機同軸安

13、裝，用來測量電機軸的角速度） 它的輸入是電機軸的角速度 它的輸出是電壓 它與角速度成正比。)()(tuktuaaakdttdtmm)()(w)(tut所以測速發(fā)電機的運動方程為： 為測速發(fā)電機的傳遞系數 n（4）.電樞控制式直流電動機（它是控制系統(tǒng)中應用最廣泛的執(zhí)行元件） 它的輸入電壓為 ， 輸出為電機軸的轉 角 。dttdktumtt)()(tkaum令 為直流電動機的傳遞系數 為直流電動機的時間常數 所以直流電機的運動方程為 )()()()(22tuCdttdCkfRdttdJRammmbbmambammCkfRCkmbaamCkfRJRT)()()(22tuKdttddttdTammmm

14、n（5）減速器 設主動輪和從動輪的角速度和齒數分別為wm，z1和wc，z2，顯然一級減速器的減速比為i = wm /wc =z1/z2 ，于是減速器的運動方程為 位置隨動系統(tǒng)的原理性方框圖)(1)(titmcrmctuuauu電橋放大器直流電機減速器測速機-各元件微分方程)(1)()()()()()()()()()(22tittukdttddttdTdttdktutuktutktumcammmmmttaa減速器電機測速機放大器電橋)()()(tttcr)()()(tutututn消去中間變量得到描述位置隨動系統(tǒng)運動的微分方程 式中增益 阻尼系數 折算后電機軸上的總等效轉動慣量)()()()(0

15、022tJktJkdttdJFdttdrcccamaiRCkkk0amtaamaRCkkRCkfF2121iJJJ例例4試列寫速度控制系統(tǒng)的微分方程試列寫速度控制系統(tǒng)的微分方程 K1功放功放 K2SM減減速速負負載載測速機測速機uiufw ww wmuaR1R1R1R2RC-+-+-2. 2. 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程（1）系統(tǒng)輸入變量）系統(tǒng)輸入變量ui，輸出變量，輸出變量w w（2）繪制系統(tǒng)方塊圖）繪制系統(tǒng)方塊圖1級運放級運放2級運放級運放功放功放電機電機減速箱減速箱測速箱測速箱uiufueu1u2uaw wmw w（3）列寫各環(huán)節(jié)微分方程）列寫各環(huán)節(jié)微分方程（a）第）第1級運放

16、級運放111121(),/eifuKuKuuKRR（b）第）第2級運放（級運放（RC比例微分放大電路）比例微分放大電路）1221221(),/,duuKuKRRRCdt（c）功率放大器）功率放大器32auKu（d）直流電動機）直流電動機)()()()(21tMKtuKtdttdTcammmww（e）減速箱）減速箱ittm/)()(ww（f）測速機）測速機)()(tKtutfw（4）消去中間變量，整理得：）消去中間變量，整理得：)()()()()(tMKtuKdttduKtdttdTccigigmmmwwtmtmmmKKKKKiKKKKKiTT321321tmtmgKKKKKiKKKKKK321

17、321tmmgKKKKKiKKKKK321321tmccKKKKKiKK321其中，其中，)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn線性定常系統(tǒng)數學模型的一般形式線性定常系統(tǒng)數學模型的一般形式系統(tǒng)r輸入c輸出3.線性系統(tǒng)的性質線性系統(tǒng)的性質n1）定義）定義如果系統(tǒng)的數學模型是線性微分方程，這樣的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)具有迭加性和齊次性的元件稱為線性元件。n2）性質：滿足疊加原理）性質：滿足疊加原理疊加性疊加性齊次性齊次性設元件輸入為設元件輸入為r(t)、r1(t)、r2(t)， 對應

18、的輸出為對應的輸出為c(t)、c1(t)、c2(t)如果如果 r(t)=r1(t)+r2(t)時，時，c(t)=c1(t)+c2(t) 滿足滿足迭加性迭加性如果如果 r(t)=ar1(t)時，時，c(t)=ac1(t) 滿足滿足齊次性齊次性 a為任意實常數。為任意實常數。 滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件n3）疊加原理的意義）疊加原理的意義對線性系統(tǒng)可以應用迭加性和齊次性，對研究對線性系統(tǒng)可以應用迭加性和齊次性，對研究帶來了極大的方便。帶來了極大的方便。迭加性：迭加性：欲求系統(tǒng)在幾個輸入信號和干擾信號欲求系統(tǒng)在幾個輸入信號和干擾信號同時作用下的總響應，只

19、要對這幾個外作用單同時作用下的總響應，只要對這幾個外作用單獨求響應，然后加起來就是總響應。獨求響應，然后加起來就是總響應。齊次性表明齊次性表明：當外作用的數值增大若干倍時，：當外作用的數值增大若干倍時，其響應的數值也增加若干倍。這樣，我們可以其響應的數值也增加若干倍。這樣，我們可以采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、單位斜坡等）對系統(tǒng)進行分析單位斜坡等）對系統(tǒng)進行分析簡化了問題簡化了問題4. 4. 非線性系統(tǒng)的線性化非線性系統(tǒng)的線性化n1）實際物理系統(tǒng)都是非線性的）實際物理系統(tǒng)都是非線性的n2）常見的非線性）常見的非線性000輸入輸出輸入輸出輸入輸出

20、ab飽和（放大器）死區(qū)（電機）間隙（齒輪）n3）線性化方法）線性化方法非線性微分方程的求解困難，一定條件下可以近似地轉化為線性微分方程，使系統(tǒng)的動態(tài)特性分析大為簡化，有很大的實際意義。方法一：忽略弱非線性環(huán)節(jié) 如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內，則它們對系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略方法二：偏微法(小偏差法，切線法，增量線性化法) 假設控制系統(tǒng)的整個調節(jié)過程中，各個元件的輸入量和輸出量只是在平衡點附近作微小變化，而這段區(qū)域是線性的。符合許多控制系統(tǒng)實際工作情況的。0 xy飽和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0) A(x0,y0)平衡點，函數在平衡點處連續(xù)可微，則可將函

21、數在平衡點附近展開成泰勒級數 忽略二次以上的各項，上式可以寫成 這就是非線性元件的線性化數學模型202200)(! 21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xdxdykn方法三：平均斜率法 如果一非線性元件輸入輸出關系如圖所示 此時不能用偏微分法，可用平均斜率法得線性化方程為 kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1(死區(qū))電機 注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對于某些嚴重的非線性，如 不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數法進行分析。0繼電特性0飽和特性n例例4：水位自動控制系統(tǒng)，輸入量為：水位自動控制系統(tǒng)，輸入量為Q1

22、,輸輸出量為水位出量為水位H，求水箱的微分方程，水箱的，求水箱的微分方程，水箱的橫截面積為橫截面積為C，R表示流阻。表示流阻。閥門閥門水水H(tH(t) )Q Q1 1Q Q2 2Q Q1 1單位時間進水量單位時間進水量Q Q2 2單位時間出水量單位時間出水量02010 QQ此時水位為此時水位為H H0 0解：解：dt時間中水箱內流體增加時間中水箱內流體增加(或減少或減少) CdH應與水總量應與水總量 (Q1 Q2)dt相等。即：相等。即： CdH =(Q1 Q2)dtRHQ2R 121ddQQtHC據托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，據托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，則

23、有則有其中其中為比例系數。為比例系數。顯然上式為非線性關系，在工作點(Q10,H10) 附近進行臺勞級數展開。取一 次項得：)(2100202HHRHQQRHR021ddQRHtHRC為流阻。則為流阻。則于是水箱的線性于是水箱的線性化微分方程為化微分方程為記記)(10202HHRQQ)(1dd0201HHRQQtHC2-2復域數學模型：傳遞函數復域數學模型：傳遞函數n時域數學模型：微分方程時域數學模型：微分方程優(yōu)點：直觀，易于分析系統(tǒng)響應優(yōu)點：直觀，易于分析系統(tǒng)響應缺點缺點: 結構改變或者參數變化時，必須重新列結構改變或者參數變化時，必須重新列寫微分方程，不便于系統(tǒng)分析和設計寫微分方程，不便于

24、系統(tǒng)分析和設計n復數域數學模型：傳遞函數復數域數學模型：傳遞函數經典控制理論中最基本最重要的概念經典控制理論中最基本最重要的概念n補充內容：拉普拉斯變換（拉氏變換）補充內容：拉普拉斯變換（拉氏變換）1.拉氏變換的定義拉氏變換的定義n設函數設函數f( (t t) )當當t t=0=0時有定義，而且積分時有定義，而且積分 存在，則稱存在，則稱F(F(s) )是是f f( (t t) )的的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換。拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換。記法記法 f( (t t) )稱為稱為F(sF(s) )的拉氏反變換的拉氏反變換 記為記為 0)()(dtetfsFst)()(tfLsF)()(1sFLt

25、fn2.常用函數的拉氏變換常用函數的拉氏變換(1)例例1.求階躍函數求階躍函數f(t)=A1(t)的拉氏變換。的拉氏變換。 單位階躍函數單位階躍函數f(t)=1(t)的拉氏變換為的拉氏變換為 。 (2)例例2.求單位脈沖函數求單位脈沖函數f(t)= (t) 的拉氏變換。的拉氏變換。sAesAdtAesFstst00)(1)! 2! 111 (1)1 (111)()(220000000limlimlimlimsssesesdtedtetsFsstststs1n （3）例）例3.求指數函數求指數函數 f(t)=e-at 的拉氏變換的拉氏變換n幾個重要的拉氏變換幾個重要的拉氏變換aseasdtedt

26、eesFtastsastat11)(0)(0)(0f(t)F(s)f(t)F(s) (t)1sinw wt1(t)1/scosw wtt(t)1/s2e-at sinw wte-at1/(s+a)e-at cosw wt)(22wws)(22wss22)(ww as22)(wasasn3.拉氏變換的基本性質拉氏變換的基本性質 (1)線性性質線性性質 原函數之和的拉氏變換等于各原函數的拉氏原函數之和的拉氏變換等于各原函數的拉氏變換之和。變換之和。 (2)微分性質微分性質 若若 ，則有，則有 f(0)為原函數為原函數f(t) 在在t=0時的初始值時的初始值。)()()()(2121tfbLtfaL

27、tbftafL)()(sFtfL)0()()(fssFtfL 證：根據拉氏變換的定義有證：根據拉氏變換的定義有 原函數二階導數的拉氏變換原函數二階導數的拉氏變換依次類推，可得到原函數依次類推，可得到原函數n階導數的拉氏變換階導數的拉氏變換) 0()()()()()(000fssFetfdtetfsdtetftfLststst)0()0()()0()0()()0()()(2fsfsFsffssFsftfsLtfL ) 0 () 0 () 0 ()()() 1(21)(nnnnnffsfssFstfL(3)積分性質積分性質 若若 則則式中式中 為積分為積分 當當t=0時的值。時的值。證：設證：設

28、則有則有 由上述微分定理由上述微分定理dttfth)()()()(sFtfLsfssFdttfL)0()()()1(dttf)() 0() 1(f)()(tfth)0()()(hthsLthL)0(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)()1(fssFshstfLshsthLsthL即：即：同理，對同理，對f(t)的二重積分的拉氏變換為的二重積分的拉氏變換為若原函數若原函數f(t)及其各重積分的初始值都等于及其各重積分的初始值都等于0則有則有 即原函數即原函數 f(t)的的n重積分的拉氏變換等于其象重積分的拉氏變換等于其象函數除以函數除以 。 sfssFdttfL)0()()()1()(1)(

29、sFsdttfLnn )0(1)0(1)(1)()2()1(222fsfssFsdttfLns（4）.終值定理終值定理原函數的終值等于其象函數乘以原函數的終值等于其象函數乘以s的初值。的初值。證：由微分定理，有證：由微分定理，有等式兩邊對等式兩邊對s趨向于趨向于0取極限取極限)(lim)(lim0ssFtfst)0()()()(0fssFdtetftfLst)(lim)(lim)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()()(lim)(lim000000000ssFtffssFfssFftftfdttfdtetfdtetfstsststssts右邊左邊注：若注：若 時時f(t)極限極

30、限 不存在，不存在，則不能用終值定理。如對正弦函數和余弦則不能用終值定理。如對正弦函數和余弦函數就不能應用終值定理。函數就不能應用終值定理。(5)初值定理：初值定理：證明方法同上。只是要將證明方法同上。只是要將 取極限。取極限。(6)位移定理：位移定理：a.實域中的位移定理，若原函數在時間上延實域中的位移定理，若原函數在時間上延遲遲 ，則其象函數應乘以，則其象函數應乘以t)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs sesb.復域中的位移定理，象函數的自變量延遲復域中的位移定理，象函數的自變量延遲a，原函數應乘以原函數應乘以 即：即：(7)時間比例尺定理時間比例尺

31、定理 原函數在時間上收縮（或展寬）若干倍，原函數在時間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數及其自變量都增加（或減?。┩瑒t象函數及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊怠＜矗簶颖稊?。即： 證：證：)()(asFtfeLat)()(asaFatfL00 ( )( )/,( )()stsattL ffedtt aaafeadaF as,令則原式ate(8)卷積定理卷積定理 兩個原函數的卷積的拉氏變換等于兩個象兩個原函數的卷積的拉氏變換等于兩個象函數的乘積。函數的乘積。 即即 證明：證明：)()()()(21021sFsFdftfLt 02102110 021021)()( 1)()()(0)( 1)()()(

32、)()(dfttfdftfttftdtedftfdftfLtsttt時， 即得證。則令)()()()()()()()(,)(1)()()()(1)()()(1201020)(10202101020021021sFsFdefdefdefdfdftfLtdtettfdfdtedfttfdftfLssstststt4.拉氏反變換拉氏反變換 1）定義：從象函數）定義：從象函數F(s)求原函數求原函數f(t)的運算稱為的運算稱為拉氏反變換。記拉氏反變換。記 。 由由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是實常數，而且大于是實常數，而且大于F(s)所有極點的實部。所有極點的實部。 直接按上式求原函數

33、太復雜，一般都用查拉氏變直接按上式求原函數太復雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能必須是一種能直接查到的原函數的形式。直接查到的原函數的形式。 )(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst 若若F(s)不能在表中直接找到原函數，則需要不能在表中直接找到原函數，則需要將將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。分分式的拉氏變換在表中可以查到。例例1：例例2：求：求 的逆變換。的逆變換。解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(

34、1)(則tetsFLtfssssssF1)()(1111) 1(1)(122) 1(1)(2sssF例3.ttteetfssssFcbacssbssascsbsasFsssF1)()1(1111)(1, 1, 11)1()1()1(1)()1(1)(2222對應項系數相等得則解：的逆變換2）. 拉式反變換拉式反變換部分分式展開式的求法部分分式展開式的求法n情況一情況一:F(s) 有不同極點有不同極點,這時這時,F(s) 總能展總能展開成如下簡單的部分分式之和開成如下簡單的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpscs

35、F2211)(1,2, )( )0,( )()( )iiiiispp inD sM sccspD s式中是的根是常數,321)3)(2)(1(1)(:1321scscscssssF例tttssseeetfssssFsssscsssscssssc3233221110115161)(31101211511161)(101)3()3)(2)(1(1151)2()3)(2)(1(161)1()3)(2)(1(1n情況2:F(s)有共軛極點例2：求解微分方程1) 0() 0(, 054 yyyyy為零）拉氏變換（初始條件不則微分方程兩邊同時取teteysssssssssssFsFfssFfsfsFstt

36、sin3cos1)2(31)2(21)2(321)2(5545)(0)(5)0(4)(4)0()0()(22222222n情況3:F(s)有重極點,假若F(s)有L重極點 ,而其余極點均不相同。那么11)()()()()()()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssDsMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中1p仍按以前的方法計算系數,)()()()!1(1)()()(!1,11111111nlpslllpsliiilccpssDsMdsdlbpssDsMdsdib的其余互異極點。是式中0)(), 1()()()(sDnlj

37、ppssDsMcjpsjjj1)()1() 1() 1(11) 1() 1(11) 1() 1() 1(1)(.0)0()0()0(, 133:3121133213334122333)3( ssssssdsdsssdsdbsssbscsbsbsbsssFyyyyyyy求微分方程例tttsseteetysssssFssscsb2230313121111) 1(1) 1(11)(1) 1(11)2(! 21n如果不記公式如果不記公式,可用以下方法求解可用以下方法求解1, 1, 1, 11)3()23(1) 1() 1() 1(1) 1() 1() 1(1)(32132123233323213322

38、313bbbaasbbbasbbasbasssbssbsbsasbsbsbsasssF也可得解。也可得解。1.傳遞函數定義傳遞函數定義n定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數，用輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數，用G(s)表示。表示。n設線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是設線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是其中其中c(t)為系統(tǒng)的輸出，為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入為系統(tǒng)輸入)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtd

39、ammmmmmnnnnnn 零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數為：得到系統(tǒng)傳遞函數為：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(1011(1)( )( )0nnnnN sa sa sasaN s注：即是系統(tǒng)的特征方程。(2)分母中分母中s的最高階次的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。即為系統(tǒng)的階次。(4)物理可實現系統(tǒng)：因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母次數大于等于分子次數，即 ,若mn,我們就說這是物理不可實現的系統(tǒng)。012012()()()( )3( )( )()()()(1,2)

40、( )0(1,2)( )0mniib szszszM sG sN sa spspspsz imM ssp inN s（）零極點描述：是的根，稱為傳遞函數的零點，是的根是傳遞函數的極點。mn 例1：RC電路如圖所示依據：基爾霍夫定律 消去中間變量 ，rucuRCti)()()(tutRitucrdttduCtiC)()()(ti則微分方程為：則微分方程為：)()()(tutudttduRCrcc可用方框圖表示)(sG)(sR)(sC11RCs)(sur)(suc對上式進行零初始條件下的拉氏變換得：對上式進行零初始條件下的拉氏變換得：11)()()(RCssususGrc2.傳遞函數性質傳遞函數性

41、質 (1)傳遞函數與線性定常微分方程一一對應。傳遞函數與線性定常微分方程一一對應。 (2)傳遞函數表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。（傳遞函傳遞函數表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。（傳遞函數只取決于系統(tǒng)本身的結構參數，而與輸入和初數只取決于系統(tǒng)本身的結構參數，而與輸入和初始條件等外部因素無關，可見傳遞函數有效地描始條件等外部因素無關，可見傳遞函數有效地描述了系統(tǒng)的固有特性。）述了系統(tǒng)的固有特性。） (3)只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且內部許多中間變量的變化情況無法反映。內部許多中間變量的變化情況無法反映。 (4)如果存在零極點對消情況，傳遞函數就不如果存

42、在零極點對消情況，傳遞函數就不能正確反映系統(tǒng)的動態(tài)特性了。能正確反映系統(tǒng)的動態(tài)特性了。 (5)只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。出，不能反映非零初始條件引起的輸出。rucu1C2C1R2R1i2i1u例例2.雙雙T網絡網絡解：方法一：根據基爾霍夫定理列出下列微解：方法一：根據基爾霍夫定理列出下列微分方程組：分方程組：dttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變

43、換得：)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sIsCsusIRsususIsIsCsusIRsusuCCr1)(1)()(21221122211sCRCRCRsCRCRsusurC傳遞函數為消去中間變量后，得到方法二：用復阻抗比：1)(1111111)1(11)()(21221122121222112212211sCRCRCRsCCRRsCRsCsCsCsCRsCsCRsCRsusurC2221122111111)1/(1)()(sCRsCsCSCsCRsCRsusurc 注意：雙T網絡不可看成兩個RC網絡的串聯(lián)，即：)1)(1(1)()(11)()(,11)

44、()(2211222112sCRsCRsususCRsususCRsusurccr得R1R2urC1C2ucu2 與雙T網絡相比少一個交叉項R1C2S，這就是負載效應，因此雙T網絡不能孤立地分開，必須作為一個整體來求傳遞函數。當后一個RC網絡接到C1兩端時，u2已不再是原來的u2，也就是說R1中的電流=C1中的電流+R2中電流，不再等于C1中的電流。只有當第一個RC網絡的負載阻抗為無窮大時，雙T網絡的傳遞函數才等于兩個RC網絡的串聯(lián)。例3：位置隨動系統(tǒng)turmcuauu電橋放大器直流電機減速器測速機-各元件微分方程:)(1)()()()()()()()()()(22tittukdttddttd

45、Tdttdktutuktutktumcammmmmttaa減速器電機測速機放大器電橋零初始條件下的拉氏變換:)(1)()()()()()()()()()(2sissuksssTssksusuksusksumcammmmttaa減速器電機測速機放大器電橋各元件傳遞函數:isssGsTsksussGskssusGksususGkssusGmcmmamtmtaa1)()()()1()()()()()()()()()()()()(54321減速器電機測速機放大器電橋由各元部件傳遞函數，消去中間變量，得系統(tǒng)的傳遞函數為：21210020,)()()(iJJJRCkkRCkfFiRCkkkJksJFsJk

46、sssGamtaamaamarc效的轉動慣量折算后電機軸上的總等阻尼系數增益例例4：求圖：求圖2-18所示運算放大器的傳遞函數。所示運算放大器的傳遞函數。圖中圖中Rf是反饋電阻，是反饋電阻，if是反饋電流，是反饋電流，Ri是輸入是輸入電阻，電阻，ur和和ir是輸入電壓和電流，是輸入電壓和電流，uc是輸出電是輸出電壓壓,i0是進入放大器的電流。是進入放大器的電流。urucRfRiRui0irif-+n 運算放大器有同相運算放大器有同相(+)和反相和反相(-)兩個輸入端。帶兩個輸入端。帶負號的輸入端為反相輸入，此輸入所產生的輸出負號的輸入端為反相輸入，此輸入所產生的輸出與輸入極性相反。帶正號的輸入

47、為同相輸入，它與輸入極性相反。帶正號的輸入為同相輸入，它所產生的輸出極性不變。兩個輸入有差分作用，所產生的輸出極性不變。兩個輸入有差分作用，即輸出電壓與兩個輸入端的電壓差成正比。運算即輸出電壓與兩個輸入端的電壓差成正比。運算放大器常用的是反相輸入端，它利用負反饋原理，放大器常用的是反相輸入端，它利用負反饋原理，把一部分與輸入信號反相的輸出信號送回輸入端，把一部分與輸入信號反相的輸出信號送回輸入端，同相輸入端與同相輸入端與ur和和uc共地。共地。n運算放大器具有高增益運算放大器具有高增益k=105109,而通常而通常uc小于小于10伏，因為伏，因為u=-uc/k,所以運算放大器的輸入電壓所以運算

48、放大器的輸入電壓u近似等于近似等于0，這種反相輸入端電位為，這種反相輸入端電位為0的現象，的現象，是運算放大器的共同特點，叫做是運算放大器的共同特點，叫做“虛地虛地”n因為運算放大器的輸入阻抗很高，所以流入放大器因為運算放大器的輸入阻抗很高，所以流入放大器的電流的電流i0也近似等于也近似等于0。這個現象叫做。這個現象叫做“虛斷虛斷”，ir=if , 由此導出：由此導出： ， 即即 ，所以運算放大器的傳遞函數為，所以運算放大器的傳遞函數為n 這個結論可以推廣為：運算放大器的傳遞函數等于這個結論可以推廣為：運算放大器的傳遞函數等于反饋復阻抗與輸入復阻抗之比。反饋復阻抗與輸入復阻抗之比。fcirRu

49、uRuuifrcRRsusu)()(fcirRuRuRC網絡 與 單容水槽)()()(tutudttduRCrcc水水H(tH(t) )Q Q1 1Q Q2 2rucuRCti1RQHdtdHRC11)(RCssG1)(RCsRsG雙雙T網絡與雙容水槽網絡與雙容水槽rucu1C2C1R2R1i2i1u1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsUsUsGrciiQQ0110HH220HH110QQ220QQ1R2R1C2C2122111QQdtHdCQQdtHdCi2221211RHQRHHQ22121122121111RHRHRHdtHdCRHRHQdtHdCi)()

50、()1()()()() 1(1122122221111sHRRsHRRsCRsHsQRsHsCRi1)()()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHsGi1)()()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHsGi1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsUsUsGrc雙容水槽雙容水槽雙雙T網絡網絡2-4 結構圖和信號流圖結構圖和信號流圖n1.結構圖的概念和基本組成結構圖的概念和基本組成（1）概念：將方框圖中各時間域中的變量用）概念：將方框圖中各時間域中的變量用其拉氏變換代替，各方框中元件的名稱換成各其拉氏變換代替，

51、各方框中元件的名稱換成各元件的傳遞函數，這時方框圖就變成了結構圖。元件的傳遞函數，這時方框圖就變成了結構圖。（2）基本組成：）基本組成：u方框：有輸入信號，輸出信號，傳遞線，方框內的函數為輸入與輸出的傳遞函數，一條傳遞線上的信號處處相同。G(s)X(s)Y(s)u比較點： 綜合點，相加點 加號常省略， 負號必須標出 u 引出點 一條傳遞線上的信號處處相等 ，引出點的信號與原信號相等u2.結構圖的繪制結構圖的繪制繪制雙T網絡的結構圖rucu11sC21sC1R2R1i2i1u2221212111111)()()()()(1)()()()()()(sCsIsuRsususIsCsIsIsuRsus

52、usICCr畫圖時畫圖時G(s)R(s)C(s)從左向右列方程組從左向右列方程組)()()(sCsGsR將上頁方程改寫如下相乘的形式：)(1)()(1)()()(1)()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCsIsIsIRsusuCCr繪圖：ur(s)為輸入，畫在最左邊。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)這個例子不是由微分方程組這個例子不是由微分方程組代數方程代數方程組組結構圖，而是直接列寫結構圖，而是直接列寫s域中的代數方域中的代數方程，畫出了結構圖。程，畫出了結構圖。若重新選擇一

53、組中間變量，會有什么結果呢？(剛才中間變量為i1,u1,i2，現在改為I,I1,I2)rucu1C2C1R2R1I2II從右到左列方程：從右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc 這個結構與前一個不一樣，選擇不同的中間變量，結構圖也不一樣，但是整個系統(tǒng)的輸入輸出關系是不會變的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI繪圖繪圖1)(1)()()(21221122121sCRCRCRsCCRRsususGrc如例如例2.1.4 試列寫速度控制系統(tǒng)的

54、結構圖試列寫速度控制系統(tǒng)的結構圖 K1功放功放 K2SM減減速速負負載載測速機測速機uiufw ww wmuaR1R1R1R2RC-+-+-1級運放級運放2級運放級運放功放功放電機電機減速箱減速箱測速箱測速箱uiufueu1u2uaw wmw wG1(s)G2(s)G3(s)Gm(s)Gb(s)Gf(s)UiUfUeU1U2UaW WmW W1級運放級運放2級運放級運放功放功放電機電機減速箱減速箱測速箱測速箱uiufueu1u2uaw wmw w各環(huán)節(jié)傳遞函數各環(huán)節(jié)傳遞函數（a）第）第1級運放級運放111121(),/eifuKuKuuKRR111( )( )( )eU sG sKUs（b）第

55、）第2級運放（級運放（RC比例微分放大電路）比例微分放大電路）1221221(),/,duuKuKRRRCdt22221( )( )( )UsG sKsKU s（c）功率放大器）功率放大器32auKu232( )( )( )aUsG sKUs（d）直流電動機）直流電動機)()()()(43tMKtuKtdttdTcammmww2( )( )0,( )( )1mmamsKMc sG sUsT sW令（e）減速箱）減速箱ittm/)()(ww( )1( )( )bmsG ssiWW（f）測速機）測速機)()(tKtutfw( )( )( )fftUsGsKsWK1K2+ sK3Gm(s)1/iKt

56、UiUfUeU1U2UaW WmW W11mKTs G1(s)G2(s)G3(s)Gm(s)Gb(s)Gf(s)UiufUeU1U2UaW WmW W3.結構圖的等效變換結構圖的等效變換（1）串聯(lián)G(s)X(s)Y(s)()()()()()()(),()()()()()()()(21211121sGsGsxsysGsxsysGsxsxsGsGsxsysG證明：X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)(2)并聯(lián)G(s)X(s)Y(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()(2121212121sGsGsGsGsxsGsGsxsGsxsGsxsysysysGsG

57、sG證明：X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)(3)反饋這是個單回路的閉環(huán)形式，反饋可能是負，可能是正，我們用消去中間法來證明。R(s)C(s)()(1)(sHsGsG)()()()()()(),()()(sHsCsBsBsRsEsGsEsCC(s)G(s)H(s)E(s)R(s)()(1)()()()()()()()(1)()()()()()()()()()(sGsHsGssRsCsGsRsGsHsCsGsHsCsGsRsGsBsRsC以后我們均采用以后我們均采用(s)表示閉環(huán)傳遞函數，表示閉環(huán)傳遞函數，負反饋時，負反饋時， (s)的分母為的分母為1回路傳遞函數，回路傳遞

58、函數，分子是前向通路傳遞函數。分子是前向通路傳遞函數。正反饋時，正反饋時， (s)的分母為的分母為1回路傳遞函數，回路傳遞函數，分子為前向通路傳遞函數。分子為前向通路傳遞函數。單位負反饋時，單位負反饋時，)(1)()(sGsGs（4）比較點和分支點（引出點）的移動比較點和分支點（引出點）的移動 有關移動中，“前”、“后”的定義：按信號流向定義，也即信號從“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。 C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )比比較較點點前前移移G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )()()()

59、()()()()(sGsGsQsRsQsGsRsC 比比較較點點后后移移C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s) )()()()()()()()(sGsQsGsRsGsQsRsCR R( (s s) )分分支支點點（引引出出點點）前前移移G(s)C C( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)()()(sGsRsC分分支支點點（引引出出點點）后后移移R R( (s s) )G(s)R

60、R( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )()(1)()()(sRsGsGsRsR結構圖三種基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串串 聯(lián)聯(lián)并并 聯(lián)聯(lián)反反 饋饋2 相鄰綜合點可互換位置、可合并相鄰綜合點可互換位置、可合并結構圖等效變換方法1 三種典型結構可直接用公式三種典型結構可直接用公式3 相鄰引出點可互換位置相鄰引出點可互換位置、可合并可合并 注意事項：注意事項：1 不是不是典型結構典型結構不可不可直接用公式直接用公式2 引出點綜合點引出點綜合點相鄰，不可相鄰，不可互換位置互換位置G1G2G3G4H3H2H