數(shù)學(xué)分析第十七章多元函數(shù)微分學(xué)ppt課件

1、式并稱則稱函數(shù)在點(diǎn)高階的無(wú)窮小量是較有關(guān)的常數(shù)是僅與點(diǎn)其中可表示為處的全增量在點(diǎn)若函數(shù)中點(diǎn)對(duì)于內(nèi)有定義的某鄰域在點(diǎn)設(shè)函數(shù))( . ,)( , ,(1) ),( ),(),( : ),(),()( ,)(),(),( .10220000000000000可可微微定定義義PoyxPBAoyBxAyxfyyxxfzzPfyyxxyxPPUPUyxPyxfz1 1 ).()()()( :)(0000 xfAxoxAxfxxfxxf其中可微在點(diǎn)(2) . ),(| ,yBxAyxfzPfyBxAyxP0000dd記作的在點(diǎn)為函數(shù)的線性函數(shù)中關(guān)于 全全微微分分(3) , )()(),(),( ,d ,|

2、|,| ,d ,)(000021yyBxxAyxfyxfzzyxzz即充分小時(shí)特別地當(dāng)?shù)木€性主部是可知由.limlim,)(),(),(),(),(010000 (4) :yxyxyxyBxAz這里式也寫做.),(),( .處的可微性在點(diǎn)考察函數(shù)00yxxyyxf1 1 例例).(),()()(,)(0000 xfAxoxAxfxxfxxf其中則可微在點(diǎn)若一元函數(shù) .)(,),(),(式成立則可微在點(diǎn)若二元函數(shù)100yxyxf|),(|,)(xoxAzx y 得到令式中在01)(),(),(limlim|)(|lim50000000 . xyxfyxxfxzxxoxxxzAxxxxx從而.),

3、(處的導(dǎo)數(shù)在的一元函數(shù)它是關(guān)于00 xxyxfzx)(),(),(limlim6000000 . yyxfyyxfyzByyy同理.),(處的導(dǎo)數(shù)在的一元函數(shù)它是關(guān)于00yyyxfzy也就是說(shuō)統(tǒng)稱為偏導(dǎo)數(shù) ,. ),( , ),( ,(7) ),(),(limlim ,),( ,),( ,)( ),( .),( 0000000000000000yxxxxxxfyxfxyxfxyxfyxxfxzxyxfDyxDx,y yxfz或記作的關(guān)于在稱這個(gè)極限為函數(shù)存在時(shí)則當(dāng)極限的某鄰域內(nèi)有定義在且若設(shè)函數(shù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)2 2 定定義義. , 1. 是注意yx .),( . 2 0的定義域是注意yxf: 偏

4、導(dǎo)函數(shù)(偏導(dǎo)數(shù))偏導(dǎo)函數(shù)(偏導(dǎo)數(shù)): 幾何意義幾何意義yxz0 xyToxT0y0M.)2(1,3)( 224的偏導(dǎo)數(shù)和關(guān)于在點(diǎn)求函數(shù)yxyyxxx,yf2 2 例例./ 的偏導(dǎo)數(shù)求函數(shù)yxzy3 3 例例.)sin( 2的偏導(dǎo)數(shù)求三元函數(shù)zexyu4 4 例例).,( ),( (1) , ,),(),( )(00000065yxfByxfAfyxyxfyx式中的且的偏導(dǎo)數(shù)都存在在該點(diǎn)關(guān)于每個(gè)自變量則處可微在其定義域內(nèi)一點(diǎn)若二元函數(shù)下定理式和偏導(dǎo)數(shù)定義立得如由可微所推出的 1 17 7. .1 1 定定理理.),(),(|)(),),(yyxfxyxffyxfyxyx000000002d (

5、,可唯一地表示為的全微分在因此.d),(d),(|d ,d ,d 0000),(00yyxfxyxfzyyxxyxyx故全微分可寫為因.,),( 在原點(diǎn)的可微性考察函數(shù)000222222yxyxyxxyyxf3 3 例例.d),(d),(),(d ,D ,D000000yyxfxyxfyxfffyx為并且上在則稱函數(shù)上可微在區(qū)域若函數(shù)全全微微分分可可微微. ) ( , :與導(dǎo)數(shù)存在等價(jià)但一元函數(shù)在一點(diǎn)可微在該點(diǎn)可微也不一定存在函數(shù)即使在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)這個(gè)例子說(shuō)明課堂練習(xí)課堂練習(xí): P116, 1(8), 4, 9(2).作業(yè)作業(yè): P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).

6、,),( ,),(),( )(在該點(diǎn)可微則函數(shù)處連續(xù)在點(diǎn)與且的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)若函數(shù)可微的充分條件fyxffyxyxfyx00007 7. .2 2 1 1 定定理理 . 7)( )0 , 0( ,)0 , 0(0, 0, 0,1sin)()( , :22222222習(xí)題處不連續(xù)卻在點(diǎn)與但處可微在點(diǎn)例如的必要條件并不是函數(shù)在該點(diǎn)可微函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)注意yxffyxyxyxyxx,yf.),( ,),(),(續(xù)可微連連0000yxfffyxyxfyx在點(diǎn)則稱連續(xù)與的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)函數(shù)(12) . )(,()(,(),(),( 1,0 , )()( , )(,),( :.2120100000

7、00000217yyxfxxyfyxfyx fyyyx-xxx,yyxfyx使得和則存在屬于該鄰域若的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)式立得如下定理的證明過(guò)程中的中值公由定理7.37.3 1 1 定理定理偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) .)2(1,)(:的全微分求在的可微性考察xyeyxx,yf練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí): 1. 考察二元函數(shù)考察二元函數(shù) , 0, 1, 0,)( 22xyxyyxx,yf在原點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)性。 . )0 , 0( ,)0 , 0(0, 0, 01sin)()( , . 222222222處不連續(xù)卻在點(diǎn)與但處可微在點(diǎn)又如的必要條件并不是函數(shù)在該點(diǎn)可微函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)y

8、xffyxyxyxyxx,yf. 0sin , 0 : .y ,dh也就是和曲線的夾角應(yīng)滿足當(dāng)有切線時(shí)，相應(yīng)割線的切線軸在不平行于在幾何上反映為曲線存一元函數(shù)可微TPQ. ,S , 0 ,Q .QS , , : ,為切點(diǎn)處的切平面在點(diǎn)為曲面平面則稱恒有時(shí)上以任何方式趨近于在若當(dāng)和的距離分別為和到平面到定點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)曲面面的一個(gè)平為通過(guò)點(diǎn)上的一點(diǎn)是曲面若定義我們引入曲面的切平面與此相仿PPdhPShdPPSP 3 3 定義定義.),(),(,(),(0000000可微點(diǎn)在的充要條件是函數(shù)軸的切平面存在不平行于在點(diǎn)曲面yxPfyxfyxPyxfzz 定定理理1 17 7. .4 4 . )()(,(

9、)(,(,00000000oyyyxfxxyxfzzzPfyx則由定義可微在點(diǎn)若函數(shù)充分性:證明 ),()Y)(,()X)(,( Z000000000的切平面。在就是的平面下面證明過(guò)PyxfzyyxfxyxfzPyx),(),(1)(,()(,( 0020020000000yxfyxfyyyxfxxyxfzzhyxyx事實(shí)上，PTn,),(),(1)(002002yxfyxfoyx ,)()()()(202202020zzzzyyxxd.0 , 0),(),(11)(0002002時(shí)當(dāng)yxfyxfohdhyx YXZ 3的切平面。在就是，平面根據(jù)定義00000000),()(,()(,(Pyx

10、fzyyxfxyxfzyx 必要性（略）。的切平面方程為在點(diǎn)則曲面可微在點(diǎn)若函數(shù):說(shuō)明定理17.4),(,(),( ,),(0000000yxfyxPyxfzyxPf (13) . )(,()(,(0000000yyyxfxxyxfz zyxPTn),(),( 10000yxfyxfyx法向量為(14) ),(),( ),(,(100000000000zzyxfyyyxfxxyxfyxPyx的法線方程為過(guò)切點(diǎn).)2 , 1 , 1 (22與法線方程的切平面方程在點(diǎn)試求拋物面Myxz 6 6 例例的近似值. 02. 204. 1解解: : 設(shè)設(shè),那么yxyxf),(,),(1yxyxyxfxxy

11、xfyyln),(取, 2, 1yx,02. 0,04. 0yx那么)02. 2 ,04. 1 (04. 102. 2fyfxffyx)2 , 1 ()2 , 1 ()2 , 1 (.08. 102. 0004. 021課堂練習(xí)課堂練習(xí): P116, 12小結(jié)小結(jié)1、理解可微和全微分的概念，會(huì)證明可微性；2、掌握偏導(dǎo)數(shù)定義和計(jì)算，會(huì)求全微分；3、了解可微的必要條件和充分條件，及其有關(guān)例子；4、知道幾何意義，會(huì)在幾何和近似計(jì)算上的應(yīng)用。 作業(yè)作業(yè): P116, 7, 11, 13(1).,),( ),( ),(| )( , (2) )( , (1) )( ),( 11DDtstsytsxx,yD

12、xyx,yfzDsts,tytsx且上平面的區(qū)域定義在函數(shù)上平面的區(qū)域定義在設(shè)函數(shù)., , .(1) (2)( ),( ),(),( 為函數(shù)的自變量的中間變量函數(shù)稱為其中的為，為是以則函數(shù)tsFx,yDs,ts,ttsftsFz復(fù)合函數(shù)內(nèi)函數(shù)外函數(shù)(4) ., ,),()( ),(z 數(shù)復(fù) ,)( ),(),(),(,),()( ),( .),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(tsyxtsyxtstsyxtsyxtstyyztxxztzsyyzsxxzsztss,ttsfs,ttsyxyxfDtss,tytsx且偏導(dǎo)數(shù)可微在點(diǎn)合函則可微在點(diǎn)可微在點(diǎn)設(shè)函數(shù)定理17.5定理1

13、7.5公式4也稱為鏈?zhǔn)椒▌t. (z ( ( ).0,0,)0,0,)0,0,.22221111時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)由假設(shè)可微知，證明yxyxyxtststsytststsxyzxztysytxsx.,)()211212121tytxyzxzsysxyzxztyyztxxzsyyzsxxztsts (8) (z 其中，代入整理得式成立。法則式及可微定義知，鏈?zhǔn)接蓮亩鴷r(shí)當(dāng)(4) )8(. 0, 0, 0,0,2211yxts. 0 , 0, 0,),( . , (1) :2222222tyxyxyxyxffyxyx例如，可微但要若求偏導(dǎo)數(shù)說(shuō)明nixumkkufxfxxxxguuuuufikinnkkmm,

14、 2 , 1 ,1 復(fù) ,),(),(,),(),( (2) 1111數(shù)偏導(dǎo)數(shù)合函則存在偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)可微在點(diǎn)若. , , , ),ln( 222tzsztsyexyxzts求設(shè) 1 1 例例.dd ,cos , ,sin xztveutuvzt求其中設(shè) 3 3 例例22222 1 ,sin ,cos ),( yuxuurruryrxyxuu證明設(shè) 2 2 例例.cossinln)( (2) ; (1) : xxxxyxyx21求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4 4 例例注意注意: 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo), 關(guān)鍵是理順復(fù)合步驟關(guān)鍵是理順復(fù)合步驟,分清中間變量分清中間變量與自變量與自變量. 當(dāng)自變量只有

15、一個(gè)時(shí)當(dāng)自變量只有一個(gè)時(shí),因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)為全導(dǎo)數(shù)因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)為全導(dǎo)數(shù).當(dāng)自變量多于一個(gè)時(shí)當(dāng)自變量多于一個(gè)時(shí),因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)為偏導(dǎo)數(shù).復(fù)習(xí)一元微分法復(fù)習(xí)一元微分法(P100)! Quiz:y=e-xarcsin2x,求求y.dd),(),(),(),( . 3.dd),(),(),( 2.,),( 1. xuxttxhyyxgzzyxfuxuxzzxyyzyxfuzFyFxFxyzxyxfF求設(shè)求設(shè)求設(shè)：補(bǔ)充例題. , , . 1 332321fxyzFfxzfxyFfyzfyfxF：答案.dddddd . 2 321xzfxyffxu. dd .

16、 3 dxdthygzfxhygzfxgzfdxdthyfxhyfxfdxdthxhygxgzfdxdthxhyfxfxu.ddd ,),(),(yzxzzyxyxfyx得到可微在點(diǎn)一方面，.dd)dd()dd( d)(d)( ddd ,),()( ),(z復(fù) ,),(,),()( ),(syzxztysyztxsxztyzxzsyzxztzszztss,ttsfyxftss,tytsxyxtsytsxtytxsysxt可微在點(diǎn)數(shù)合函故可微可微在點(diǎn)另一方面，又這就是多元函數(shù)的一階(全)微分形式不變性.利用微分形式不變性，能更有條理地計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的全微分，并進(jìn)而求出偏導(dǎo)數(shù). 例如，.,d ),s

17、in( yzxzzyxezxy求設(shè) 5 5 例例課堂練習(xí)課堂練習(xí): P123, 1(1)(5), 2.小結(jié)小結(jié)1、熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法；2、了解一階全微分形式不變性。 作業(yè)作業(yè): P123, 1(3)(6), 3, 5. x).,( )(, 00000zyfPflfllPrrr或記作 . ,)(),( , ,)(),( .000300000PPPUlzyxPPlRPUzyxPfrr兩點(diǎn)間的距離與表示以的任一點(diǎn)內(nèi)上且含于為出發(fā)的射線為從點(diǎn)有定義內(nèi)的某鄰域在點(diǎn)設(shè)三元函數(shù)1 1 定義定義, ,0lPfrr的沿方向在點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) lim )()(lim 000fPfPfl存在

18、若極限 ; lfxllfxlrrrr軸負(fù)向，則為若軸正向，則為若.xfxf.cos,cos,cos,cos)(cos)(cos)()( , ,),( 的方向余弦為方向其中且的方向?qū)?shù)都存在在該點(diǎn)沿任一方向則可微在點(diǎn)若函數(shù)lPfPfPfPflfzyxPfzyxlrrr00000000 17.617.6 定理定理.,cos),(cos),()( ),(00000的方向角為平面向量其中則相應(yīng)地對(duì)于二元函數(shù)lyxfyxfPfyxfyxlrr.)3 , 1, 3() 1 , 0 , 1 (),( 22的方向?qū)?shù)到從點(diǎn)求QPzxyxzyxf 1 1 例例).,(),2 , 1, 2(,2,23231320

19、PQPQzzfxyfyxxf)cos,cos,(cos. 22)() 1(2)(3231320Pflr., 0,0, 1),( 2其它部分考慮xxyyxf 2 2 例例 . ,0lfr但在原點(diǎn)不連續(xù):此例說(shuō)明. , (2). )(也不是充分條件要條件該點(diǎn)方向?qū)?shù)存在的必函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)不是在分條件該點(diǎn)方向?qū)?shù)存在的充函數(shù)在一點(diǎn)可微只是在1導(dǎo)數(shù)。在原點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)和方向：考察22),(yxyxf思考題。存在和各方向?qū)?shù)都為答：在原點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不1).(),(),(grad . )(),(),(),(),( .00000000000PfPfPffPfPfPfPfzyxPzyxfzyxzyx記作的梯度在點(diǎn)為

20、偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量存在對(duì)所有自變量的在點(diǎn)設(shè)函數(shù)2 2 定定義義.cos)(grad)(grad)cos,cos,(cos 0000PflPfflll，則方向的單位向量為若記梯度的意義：。.)2 , 1, 1 (grad),( 222及其模，求設(shè)fzyxzyxf 3 3 例例. 62)2 , 1, 1 (grad,4 , 2, 2)2 , 1, 1 (grad ,2 ,2 ,2,gradffzyxffffzyx解：作業(yè)作業(yè): P127, 2, 4.以前的部分作業(yè)問(wèn)題以前的部分作業(yè)問(wèn)題: P104, 1(1)(3)(5),3.;,23,2:),tan().1 ( 12222其它點(diǎn)連續(xù)只在無(wú)定義點(diǎn)間斷

21、yxyxf.0. 0)0 ,( ,sinlimsinlim,)0 ,(0 .sin0 .0, 0| ),( . 0 , 0, 0,sin).3(000)0 ,(),()0 ,(),(000時(shí)連續(xù)僅在處上點(diǎn)在連續(xù)上在事實(shí)上，間斷點(diǎn)：xxfxxyxyxyxyxyyxyfyyxyxyyyxyfxyxxyx .0,0 ., 0).5( 1事實(shí)上，上間斷在上連續(xù)在為有理點(diǎn)為無(wú)理點(diǎn)yyxyxf.),(0),(lim0 0,0lim),(lim ,lim),(lim 00),(),(0 ),(),(0 ),(),(00000000連續(xù)時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)理點(diǎn)有理點(diǎn)fyxfyxfyyxfyyyxfyxyxyyxyx

22、yxyyxyxyx.)0 , 0(),0 , 0(0),(lim210 .| )1 (lim)(lim21 ).0 , 0(),( , 0)()()(0 210 0).( , 0 , 0, 0,)(. 3)0 , 0(),(22022 )0 , 0(),(2/122222222222222點(diǎn)連續(xù)在時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)不存在時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)ffyxfpxkxyxxpyxyxyxyxyxxppyxyxyxxfyxpxpkxyyxpppp.(0,0) 0 , 0, 0,1sin),(.17,51222222處的可微性在考察yxyxyxxyyxfP. 0)0 , 0(, 000lim )0 , 0()0 ,0(li

23、m)0 , 0(:00yxxxfxxfxff同理解22221sin )0 , 0()0 , 0( yxyxyxyfxffyx).0( , 0222yx),()0 , 0()0 , 0(oyfxffyx.(0,0) 處可微在f一、高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階偏導(dǎo)數(shù)).,( ),( ),( ),( :yxfyzyzyyxfxyzyzxyxfyxzxzyyxfxzxzxyyyxxyxx222222二階偏導(dǎo)數(shù)有四種情形.),(),( ),(),( :yxfyxfyxzxzyyxfyxfxzxzxyxxxyxxxx2323223322三階偏導(dǎo)數(shù)有八種情形.)2sin(),(232xyzyxyxfz 的所有二階偏導(dǎo)

24、數(shù)和求函數(shù) 1 1 例例.arctan 的所有二階偏導(dǎo)數(shù)求函數(shù)xyz 2 2 例例: . , 例如立并不是對(duì)所有函數(shù)都成這個(gè)結(jié)論二階混合偏導(dǎo)數(shù)在這兩個(gè)例子中xyzyxz22 : :注注意意),(),(,),(),(,),(000002222yxyxyxyxxyyxf),(),(,),(),(,)()(),(0000042224224yxyxyxyyxxyyxfx),(),(,),(),(,)()(),(0000042224224yxyxyxyyxxxyxfy,lim),(),(lim ),(10000000yyyfyffyxxyxy1.lim ),(),(lim ),(xxxfxffxyyxy

25、x0000000yxyxfyxxfyyxfyyxxfxyxfyxxfxyyxfyyxxfyyyxfyyxfyxfxyxxyxxyxy),(),(),(),(limlim),(),(lim ),(),(lim1lim),(),(lim ),(0000000000000000000000000000.),(),(),(),(limlim ),( , yxyxfyyxfyxxfyyxxfyxfyxyx000000000000同理 ).,(),(,),(),(),(000000yxfyxfyxyxfyxfyxxyyxxy則連續(xù)都在點(diǎn)和若 1 17 7. .7 7 定定理理. )()(),().,(),

26、()(),(),(),(),(),(000000000000 xxxyxFyxfyyxfxyxfyxxfyyxfyyxxfyxF于是，證明：令). ( 1,0(,),(),(),(),(21201001001010yxyyxxfxyxxfyyxxfxxxyxFxyxx理，得到利用一元函數(shù)的中值定). 1,0(,),(),(434030yxyyxxfyxFyx同理，得到取極限，定理得證。從而，, ),(),(40302010yyxxfyyxxfyxxy., . ),(: .:121表示法以及注意原理：求復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)ffvfufxfvuffxuvxuuuuu 重點(diǎn)重點(diǎn). , ),( 222y

27、xzxzxyxyfz求設(shè)函數(shù)例例3 3.,),2( 222yxzfxyxfxz求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)例例3 3.2422222 223 21222 22 2122fxyxyfyfxyffxyyfxyfxzzzzyxxyyxxy 2連續(xù)，就有和利用：解法. )5( 1 141 習(xí)題P : :課堂練習(xí).348 P見 : :答案二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式.,)(),( ,1 , 0,),(),( ,121121222111 凸凸區(qū)區(qū)域域?yàn)閯t稱都有且對(duì)于為區(qū)域若DDyyyxxxPDyxPyxPD)8( .),(),( ),(),( ),1 , 0( ,int),(),( , , 2k

28、kbhafhkbhafbafkbhafDkbhaQbaPDRDfyx使得則對(duì)于內(nèi)點(diǎn)都可微的所有在上連續(xù)在凸開域設(shè)二元函數(shù)中值定理) )( ( 1 17 7. .8 8 定定理理.10)( (0)(1) ,0,1)(),( )( ），（得到上滿足中值定理在則令ttkbthaft 證明定理得證。，以及注意到，kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),( )( ),(),( (0)(1). 10 ,)()()(hhafafhaf.)8( ),1 , 0( ,),(),( ,int ,.int)(),( ),1 , 0(,),(),( , 121121222111成立使得則對(duì)于內(nèi)可微在上連

29、續(xù)在而函數(shù)都有且對(duì)于是閉凸域若DkbhaQbaPDDfDyyyxxxPDyxPyxPD 推推廣廣)8( .),(),( ),(),( kkbhafhkbhafbafkbhafyx即注意定理17.8和推廣情形的區(qū)別，如D為閉圓(閉凸)和閉矩形()。公式8也稱為二元函數(shù)在凸域上的中值公式；注意它與P.112定理17.3的中值公式12的差別: . )(,()(,(),(),(00000yyxfxxyfyxfyx fyx. , , 上為常量在區(qū)域則且存在偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域若函數(shù)DfffDfyx0 推論推論.10)(! 21(0)(0)(1) Taylor1n)(),( )( ），（中值定理：時(shí)的滿足假設(shè)令

30、ttkbthaft，以及代入22),(),(2),()(),(),( )( kkbhafhkkbhafhkbhafkkbhafhkbhafyyxyxxyx ).,(),( ),(),(),(2),(! 21 ),(),( ),(),( 2! 2122kbhafkhbafkhbafkkbhafhkkbhafhkbhafkbafhbafbafkbhafyxyxyyxyxxyx就有其中記號(hào)其中記號(hào)),(bafykxh),(),(bakfbahfyx表示表示),( 2bafykxh),(),(2),( 22bafkbahkfbafhyyxyxx一般地, ),(C)(000)(t kyt hxyxkht

31、pmpmpmpmppmm),()()0(00)(yxkhmyxm .)( nn-iiinbaCniba0二項(xiàng)式定理：將導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)的n階泰勒公式. 由 的麥克勞林公式, 得 )(t)()0()0()0()0() 1 () 1(!) 1(1)(!1!21 nnnn) 10(11) ).,()!( ),(!),(! ),(),(),( ),( ),(),( ,)(),( kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxfPUkyhxnPUyxPfnn00100002000000000000011121101使得則對(duì)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)到內(nèi)有直的某鄰域在點(diǎn)若函數(shù)泰

32、勒定理) )( ( 17.917.9 定理定理 .),(0),( ,)11(00000m-iiimimimmkhyxfyxCmiyxfykxhnPf其中階的在點(diǎn)式稱為二元函數(shù) 泰泰勒勒公公式式.(1.08) ,)(1,4),( 3.96并用它計(jì)算泰勒公式二階的在求yxyxf 4 4 例例, 0)4 , 1 ( ,ln),(, 4)4 , 1 (,),( , 1)4 , 1 (,),( (1,4),( 100yyyxyxyfxxyxffyxyxffxyxfyx，： 解, )(),(!),(),( ),(),( ,)(000000000011oyxfykxhnppyxfkyhxfPUkyhxnPU

33、fnp那么當(dāng)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有直到在設(shè), 0)4 , 1 (,)(ln),( , 1)4 , 1 ( ,ln),( ,12)4 , 1 (,) 1(),( 2111yyyyyxyyyxyxxyxxfxxyxffxyxxyxffxyyyxf),()4(0)4)(1() 1(6)4(0) 1(41222oyyxxyxxy.3552. 1)04. 0(08. 008. 0608. 041(1.08)23.96解解: 因而,的三階泰勒公式. )0 , 0()1ln(),(在點(diǎn)yxyxf,11),(),(yxyxfyxfyx2)1 (1yxfffyyyxxx,)1 (!2333yxyxfpp3,2, 1

34、 ,0p,)1 (!3444yxyxfpp4,3,2, 1 ,0p)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh)0, 0()(2fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh2)(kh其中)0, 0()(3fkhyx)0 , 0(C333303ppppppyxfkh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三階泰勒公式得將ykxh,)1ln(yxyx2)(21yx33)(31Ryx),()(43khfkhRyxykxh44)1 ()(41yxyx) 10(作業(yè)作業(yè): P141, 1(2)(7), 2, 6, 7(3).三、極值問(wèn)題三、極值問(wèn)題值值

35、點(diǎn)點(diǎn). .小小極極大大值值小小極極大大 定定義義)( , )( ),()( ),()( ),(),( .)(),( 稱為點(diǎn)取得在點(diǎn)則稱函數(shù)或都有若對(duì)于內(nèi)有定義的某鄰域在點(diǎn)設(shè)函數(shù)000000000PPfPfPfPfPfPUyxPPUyxPf例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;2243yxz在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.yxz 在點(diǎn) (0,0) 有極大值;22yxz易得和的鄰域內(nèi)考察一元函數(shù)的極值點(diǎn)在 ),(),()y,(0yxfyxfxf000. (16), ,(16) .),( ,),( , ,),( )( 穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)7.107.10 1 1 定理定理的為則稱滿足在若函數(shù)反之則取極值且在存在

36、偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)極值的必要條件fPPfyxfyxf PyxPfyx000000000000證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值故),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因00),(xxyxfz在00),(yyyxfz在.)Hesse(,)()()()()( ,)(0000000矩矩陣陣黑黑賽賽的稱為并記有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在假設(shè)函數(shù)fffffPfPfPfPfPPUfPyyyxxyxxyyyxxyxxfH. ,)( ; ,)( ; ,)( . ,)(),( 00000000000不取極值在是不定矩陣時(shí)當(dāng)取得極大值在是負(fù)定矩陣時(shí)當(dāng)取得極小值在是正定矩陣時(shí)則當(dāng)?shù)姆€(wěn)定點(diǎn)是并

37、且連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階的鄰域在點(diǎn)設(shè)二元函數(shù)PfPPfPPfPfPPUyxPffffHHH定定理理1 17 7. .1 11 10)(1 ()()( 222222yxoqyxoyxqX.XAXXAmin,則正定若).(),)(),( )(),(),(2),(! 21 ),(),( 22021222000020000yxoyxPyxyxoyyxfyxyxfxyxfyxfyxfTfyyxyxxH證：的極值。討論：課堂練習(xí))0, 0(22)2( ,32) 1 ( 2222qpqypxzyxz就有規(guī)則稱矩陣的主子式的符號(hào)根據(jù)半正定或半負(fù)定對(duì) ,. ,0)( )iv(; ,0)( (iii); ,0)(

38、, 0)( (ii); ,0)( , 0)( ) i ( . ,)(),( 0020020020002000000是否取得極值在不能肯定時(shí)當(dāng)不能取得極值在時(shí)當(dāng)取得極大值在時(shí)當(dāng)取得極小值在時(shí)當(dāng)則的穩(wěn)定點(diǎn)是并且連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階的鄰域在點(diǎn)設(shè)二元函數(shù)PfPfffPfPfffPfPfffPfPfPfffPffPPUyxPfxyyyxxxyyyxxxyyyxxxxxyyyxxxx推論推論.200120012001 ，如： . 3),( 33的極值求xyyxyxf 6 6 例例).1 , 1 (),0 , 0(, 033, 033 22得穩(wěn)定點(diǎn)：由解：xyfyxfyx.)0 , 0( , 090)(.

39、3,6,6)0 , 0(2不是極值點(diǎn)xyyyxxxyyyxxffffyfxf . 1) 1 , 1 (0,611, 0936)(min) 1 , 1 (2ffffffxxxyyyxx），（解解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們的穩(wěn)定點(diǎn)都是它們的穩(wěn)定點(diǎn) ,并且在 (0,0) 都有 及是否取得極值.在點(diǎn)(0,0)33yxz222)(yxz0)()0 , 0(2xyyyxxfff在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值33yxz, 因而 z(0,0) 不是極值.正正負(fù)負(fù)0可能為因而為極小值.,022時(shí)當(dāng) yx0)()0 , 0(222zyxz0)()0 , 0()0 , 0(222yxz將方程兩邊分別對(duì)將方程兩邊

40、分別對(duì)yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P,將將上上方方程程組組再再分分別別對(duì)對(duì)yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),解解,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 函函數(shù)數(shù)在在P有有極極值值.將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,當(dāng)當(dāng)21 z時(shí)時(shí)，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當(dāng)當(dāng)62 z時(shí)時(shí)，041 A,所所以以6)1, 1( fz為為極極大大值值. , , ,)( . ,區(qū)域的界點(diǎn)上的函數(shù)值無(wú)偏導(dǎo)點(diǎn)在一切穩(wěn)定點(diǎn)必須考察與一元函

41、數(shù)一樣值小上的最大區(qū)域在為了求多元函數(shù)值一定取得最大值和最小的多元連續(xù)函數(shù)還知道有界閉區(qū)域上部性質(zhì)極值是函數(shù)在某點(diǎn)的局我們知道fDff , ,解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，xyo6 yxD解解方方程程組組0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4,

42、 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為為最最小小值值.xyo6 yxD解解水箱表面積從而已知設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別是,z,.,xyVxyzVzyx).0 ,0(),11(2)22(yxyxVxyyxxyVxyS）唯一穩(wěn)定點(diǎn)（33222,2 0202VVyVxSxVySyx.4, 1,433yVSSxVSyyxyxx. 02)2,2(, 03116V)(332,23322,223333VVSyxSSSxxVVVVxyyyxx）（）（,2,2S33）取極小值在（故VV.也是最小值小結(jié)小結(jié):1、掌握高階

43、偏導(dǎo)數(shù)的求法；、掌握高階偏導(dǎo)數(shù)的求法；2、了解中值公式和泰勒公式；、了解中值公式和泰勒公式；3、掌握利用極值的必要條件和充分條件求極、掌握利用極值的必要條件和充分條件求極值。值。作業(yè)作業(yè): P141, 8(3), 9(1), 11.) ,( 自學(xué)最小二乘法 1 10 0 例例1、 理解可微和全微分的概念，了解可微的必要條件和充分條件， 了解全微分的幾何意義。2、 會(huì)求曲面的切平面和法線，會(huì)用全微分作近似計(jì)算。3、 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，會(huì)用一階全微分形式不變性。4、 會(huì)計(jì)算方向?qū)?shù)，梯度及其模。5、 掌握高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。6、 掌握中值定理，會(huì)用泰勒公式， 掌握極值的必要條件和充分條件，及

44、其應(yīng)用。: , . 1如偏導(dǎo)連續(xù)之間的關(guān)系偏導(dǎo)存在連續(xù)說(shuō)明可微. 0, 0, 0,)( 222222yxyxyxxyx,yf.,)0 , 0(但在該點(diǎn)不可微點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)存在在., 0,0, 1),( 2其它部分xxyyxf.,0)0 , 0(更不可微但在該點(diǎn)不連續(xù)，點(diǎn)各方向?qū)?shù)為在. 0, 0, 0,1sin)()( 22222222yxyxyxyxx,yf.,)0 , 0(該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)但在點(diǎn)可微在. ,),(,),(,)( : .僅在原點(diǎn)連續(xù)且可微為其它點(diǎn)為有理點(diǎn)函數(shù)試證yxyxyxx,yf0222.,)0 , 0(),(:不可微不連續(xù)在解yxf.)0 , 0(, 000 22連續(xù)在fy

45、xf, 0)0(0, 0)0 , 0()0 ,(lim)0(0 0,fxfxf,fyxx.),0 , 0(),( , 0)0 , 0()0 , 0( 0 2222在原點(diǎn)可微yxyxyxyfxffyx.),( ,),(,),( .000可微在點(diǎn)求證存在在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)設(shè)yxfyxfyxfxy0003, )(),(),( ),(),(),(),(000000000000 xoxyxfyyyxxfyxfyxxfyxxfyyxxffxy :證),(),(),(),(),(00000000 xoyyxfyyxxfyyxfxyxffyyyxyyxfxyxffyx),(),( 0000).0( , 0)(),(

46、),(0000 xoyxfyyxxfyy).(),(),(0000oyyxfxyxffyx.),(00可微在點(diǎn)故yxf.,0, 0| ),(, 0, 0, 0.),(,),( , 0),(.232IRDyxyxIDyxxx,yfyxfDyxyxfRDx,yfy其中中其它點(diǎn)請(qǐng)考察下例對(duì)嗎無(wú)關(guān)與則且內(nèi)有定義在區(qū)域設(shè)函數(shù) ,)( ? y ,)( 4., 0) 1, 1 (1,(1,1), 0有關(guān)與但連續(xù)可微且上答：在yfffffDy. 0, 0, 0),)ln()( ),( ),(),()( . 522222222000000yxyxyxyxx,yfyxfyxfyxx,yfyxxy能否相等?？紤]與都不連續(xù)，問(wèn)的混合偏導(dǎo)數(shù)在若, 0lnlim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0220022xxxxfxffyxxxx時(shí)，當(dāng)不連續(xù)