三重積分計(jì)算ppt課件

1、 dxdydzzyxfdvzyxf)()(，一一.直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 。投投影影域域面面上上，得得投投影影到到把把xyDxy 第第3 3節(jié)節(jié) 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算).(型型區(qū)區(qū)域域?yàn)闉椴徊欢喽嘤谟趦蓛蓚€(gè)個(gè)的的交交點(diǎn)點(diǎn)的的邊邊界界曲曲面面直直線線與與的的軸軸且且穿穿過過區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)平平行行于于xySZ xyzoxyD),(1yxzz ),(2yxzz 分成兩部分：分成兩部分：把把的交線的交線面，柱面與面，柱面與軸的柱軸的柱母線平行于母線平行于的邊界為準(zhǔn)線作的邊界為準(zhǔn)線作以以SSZDxy)()(, )()(212211yxzyxzyxzzSyxzzS，：，

2、： xyzoxyD),(1yxzz ),(2yxzz ，則則，與與，的的交交點(diǎn)點(diǎn)的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)為為線線，此此直直線線與與軸軸的的的的直直作作平平行行于于，內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)過過)()()(21yxzyxzSzyxDxy ),(),(21)(yxzyxzDdzzyxfdxdyxy，先對(duì)先對(duì) Z 積分積分（“先一后二或先一后二或“細(xì)棒法細(xì)棒法”） xyDyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf)()(),(),(21，xyzoxyD),(1yxzz ),(2yxzz 注注 1.的的積積分分；而而得得先先對(duì)對(duì)面面面面投投影影到到多多于于兩兩個(gè)個(gè)，則則同同樣樣可可把把的的交交點(diǎn)點(diǎn)不不的的直

3、直線線與與軸軸軸軸若若平平行行于于)()()(yxxzyzSyx 分分成成幾幾塊塊處處理理；可可把把的的交交點(diǎn)點(diǎn)多多于于兩兩個(gè)個(gè)，則則曲曲面面的的邊邊界界與與若若平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的直直線線 . 2 S. . 3定定積積分分個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)二二重重積積分分，再再計(jì)計(jì)算算一一化化為為先先計(jì)計(jì)算算一一計(jì)計(jì)算算一一個(gè)個(gè)三三重重積積分分也也可可稱為切片法：稱為切片法：則則所所得得的的區(qū)區(qū)域域的的平平面面截截：豎豎標(biāo)標(biāo)為為中中，設(shè)設(shè) zDCzCz21 21),(),(CCDzdxdyzyxfdzdxdydzzyxfxyzo1C2C zDz圍成的區(qū)域。圍成的區(qū)域。，為由為由積分，其中積分，其中化成各種次序

4、的累次化成各種次序的累次把把)0(200),(222 aayxayxhzzxdxdydzzyxfI xyDhdzzyxfdxdyIz0),()1(積積分分：先先對(duì)對(duì) hyayaahyaaahxaxaadzzyxfdxdydzzyxfdxdydzzyxfdydx0220002020),(),(),(222222例例1解解xyoxyz zaa2aho xzDxaxadyzyxfdxdzI222),(oxz 22222102),(),(yaDyayaDdxzyxfdydzdxzyxfdydzIydzyxfdxdzxaxaah 22200),(積積分分：先先對(duì)對(duì) x)3(積積分分：先先對(duì)對(duì) y)2(

5、22200),(xaxahadyzyxfdzdxooyzD1D2xyzo1211所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域。平平面面及及平平面面為為三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)，其其中中計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分12 zyxxdxdydz例例2 解：解： 210 , 10 :xyxDxy 向向xoy面投影，得投影區(qū)域面投影，得投影區(qū)域 yxxxdzdydxxdxdydz21211000481)2(41)21(103221100 dxxxxdyyxxdxx1222222 czbyaxdxdydzz：，計(jì)計(jì)算算： zDccdxdydzzdxdydzz2222221czbyaxDz ：zxyco202221)1(2abczdz

6、czabc 例例3解解 ccdzzczab)1(22 二二. .三重積分的換元法三重積分的換元法 wvuwvuzyxwvuwvuwvufVzyxfwvuzyxwvuwvuzwvuywvuxwvuwvuwvuddd,d, 0,R,3 則有則有且且上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。在在其中其中作變換作變換 ) ,20 sin,0( cos z-zzyx 平平面面的的平平面面平平行行于于常常數(shù)數(shù)軸軸的的半半平平面面過過常常數(shù)數(shù)的的圓圓柱柱面面半半徑徑為為常常數(shù)數(shù)xyzz: ),(),(zzyxJ dzddzfdxdydzzyxf ),sin,cos(),(xyzp),(zyxM o柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)系系

7、三三.22222,4:,22yxzzyxdxdydzzeyx 其其中中例例4 計(jì)算計(jì)算解解xyzo 222242020 zdzdeddxdydzzeyx2:22 yxDxy2202202)1(2)24(222eeede )0 cos,20 sinsin,0( cossin . rzryrrx球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)系系四四xyzp),(zyxM r o.,:,:,:為為軸軸的的圓圓錐錐面面軸軸以以以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)常常數(shù)數(shù)軸軸的的半半平平面面過過常常數(shù)數(shù)以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為球球心心的的球球面面常常數(shù)數(shù)zzr sin),(),(2rrzyxJ ddrdrrrrfdxdydzzyxfsin)cos,si

8、nsin,cossin(),(2 2222222210yzyzzzyzyzDfdxdydzfdxdydzyzxyzo.,22積積分分球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下化化為為累累次次柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)系系系系坐坐標(biāo)標(biāo)試試分分別別在在直直角角圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域yxz 解解例例 5, 1,),( zdxdydzzyxfI為為由由設(shè)設(shè) 111111222222 yxxxyxDfdzdydxfdzdxdyIxy直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系drrrrrfddI sin)cos,sinsin,cossin(2cos100204 球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)系系dzzfdddzddzfI),sin,cos(),sin,cos(11020

9、 柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)系系xyzo例例 6Rzzyxdxdydzzyxz2,)(222222 為為球球體體其其中中計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分zxyo), 0 , 0(R638R 圍圍成成與與由由的的體體積積求求下下列列立立體體 11: (1) :2222yxzyxz ddzdddxdydzV102112010112: )1(2利利用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)系系xyzo解解例例 7.1)1(2: (2)22222圍圍成成的的含含有有球球心心的的部部分分與與由由 zyxyxz2532 )cos41(316 cossin382sin: 2arctan042arctan03cos2022arctan020 ddr

10、rdddxdydzV利利用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)系系oxyz解解 67)1(32)1(21 112: 102322102211102022 ddzdddxdydzV利利用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)系系xyzo.11,: (3)2222圍圍成成由由yxzyxz 解解xyzo1 z22yxz 成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域。所所圍圍與與是是由由曲曲面面其其中中計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分1,122222 zyxzdxdydzzyx例例 7 )12( ,cos,sinsin,cossin: crzbryarxT3. 廣義球坐標(biāo)變換廣義球坐標(biāo)變換 J(r, , ) = abcr2sin. ,ddd zyxz, 1222222

11、czbyax ,cos,sinsin,cossin: crzbryarxT,2 zyxzddd 10322020dsincosddrrabc 202dsincos2 abc.42abc 其中其中 :解解: :z 0. = (r, , ) | 0 r 1, 0 J = abcr2sin ,例例7. 7. 求求0 2 ,習(xí)題習(xí)題6.3(P106-108)1(2) 2(2)(4) 3(1)(3)(4) 4(2)(3) 5(1)(3) 6 7(2) 8(3) 10作作 業(yè)業(yè)重積分的對(duì)稱性重積分的對(duì)稱性12121,),(DDDDDDDyxf 上上可可積積在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè) ),( .),(),

12、( , 0 ),( .),(),( ,),(2),(,1121為奇函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于關(guān)于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)為偶函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)軸對(duì)稱，則軸對(duì)稱，則關(guān)于關(guān)于）（xyxfyxfyxfxyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfyDDDD一一.二重積分二重積分 ),( .),(),( , 0 ),( .),(),( ,),(2),(,2121為為奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)為為偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)軸軸對(duì)對(duì)稱稱，則則關(guān)關(guān)于于）（yyxfyxfyxfyyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfxDDDD ),(),( .),(),( , 0 ),(),( .),(),(

13、,),(2),(,)3(121為為奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)為為偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱，則則yxyxfyxfyxfyxyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDDDD 21),(),(,)4(21DDdxdyxyfdxdyyxfxyDD對(duì)對(duì)稱稱，則則關(guān)關(guān)于于直直線線二二.三重積分三重積分 ),( ),(),( 0 ),( ),(),( ),(2),(1是奇的是奇的關(guān)于關(guān)于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是偶的是偶的關(guān)于關(guān)于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)zzyxfzyxfzyxfzzyxfzyxfzyxfdxdydzzyxfdxdydzzyxf12121),( ，上可積，其中上可積，其中

14、在空間閉區(qū)域在空間閉區(qū)域設(shè)設(shè)zyxf面面對(duì)對(duì)稱稱，則則關(guān)關(guān)于于與與）若若（xoy211 ),( ),(),( 0 ),( ),(),( ),(2),(1是奇的是奇的關(guān)于關(guān)于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是偶的是偶的關(guān)于關(guān)于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yzyxfzyxfzyxfyzyxfzyxfzyxfdxdydzzyxfdxdydzzyxf面面對(duì)對(duì)稱稱，則則關(guān)關(guān)于于與與）若若（xoz212 ),( ),(),( 0 ),( ),(),( ),(2),(1是是奇奇的的關(guān)關(guān)于于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是偶偶的的關(guān)關(guān)于于即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xzyxfzyxfzyxfxzyxfzyxfzyxfdxdydzzyxfdxdydzzyxf面面對(duì)對(duì)稱稱，則則關(guān)

15、關(guān)于于與與）若若（yoz213 以以上上結(jié)結(jié)論論都都不不成成立立則則有有為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)）（)(),(4),()(),(4),()(),(4),()(, 0, 0, 41:, 41:,),(.1 1113333222222122DdxdyyxfdxdyyxfCdxdyyxfdxdyyxfBdxdyyxfdxdyyxfAyxyxDyxDyxfDDDDDD 例例1 DyxdxdyyexyDDD)sin()1, 1()1 , 1(),1 , 1(2221則則在第一象限部分，在第一象限部分，是是三角形區(qū)域，三角形區(qū)域，為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的和和是以是以）設(shè)）設(shè)（0)()sin(4)(sin2)(2)(1221221DdxdyyexyCdxdyyeBxydxdyADyxDyxD 31212121),(8),()(),(2),()(),(2),()(),(2),()( 222222dxdydzzyxfdxdydzzyxfDdxdydzzyxfdxdydzzyxfCdxdydzzyxfdxdydzzyxfBdxdydzzyxfdxdydzzyxfA則則下下列列等等式式成成立立的的是是設(shè)設(shè)）（, 0, 0, 0,:, 0