(完整版)數(shù)列的綜合問題

1、10數(shù)列的綜合問題突破點(diǎn)（一）數(shù)列求和（1）倒序相加法;an= ( 1)nf(n)類1.公式法與分組轉(zhuǎn)化法：（1）公式法；（2）分組轉(zhuǎn)化法；2.倒序相加法與并項(xiàng)求和法:（2）并項(xiàng)求和法：在一個(gè)數(shù)列的前 n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例如，Sn= 1002 992+ 982 972+ 22 12=(1002 992) + (982 972) +(22 12)=(100+ 99)+(98+ 97)+ (2+ 1)=5 050.3.裂項(xiàng)相消法：（1）把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.（2）常見的裂項(xiàng)技巧：nn+1 n

2、n+1 nn+2=yn+1yn.4.錯(cuò)位相減法bn(1)若 an = bn dcn,且bn（2）通項(xiàng)公式為anbn,cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求an的前n項(xiàng)和.n為奇數(shù)，Cn,n為偶數(shù)考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和的數(shù)列，其中數(shù)列bn, cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和.2 n n + 2 " 2n 1 2n+12 2n - 1 2n + 1考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和例 1 已知數(shù)列an,bn滿足a1=5,an=2an1 +3n1(n>2, nCN*), bn=an3n(nCN*).（1）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解(1) .an = 2a

3、n 1 + 3n 1(n N*, n>2), .an-3n = 2(an 1-3n 1),.bn = 2bn 1(n N , n>2).七1 = a1 一3= 2w 0,，bn w 0(n > 2),=2,bn 1bn是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.bn = 2 2n 1=2n.3n+1 7(2)由(1)知 an=bn+3n = 2n+3n, .,.Sn=(2 + 22+ +2n)+(3+32+ +3n) = 2n+1 + 2 萬.方法技巧分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型例2（2016山東高考）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn = 3n2+8n, bn是等差數(shù)列,且 an=bn+bn+1

4、.an+ 1 n+1一，（1）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（2）令cn= 加+2 n ,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn.n= 1時(shí)，a1 = S1 = 11,滿足上式,11 = 2b1 + d,所以 bn= 3n+ 1.17=2b1 + 3d,解(1)由題意知，當(dāng) n>2 時(shí)，an = Sn Sn 1= 6n+ 5,當(dāng)a1 = b1 + b2, 所以an =6n +5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即a2 = b2 + b3,6n + 6 + 1一(2)由(1)知 Cn=3(n+ 1) 2 n + 1,又 Tn=C1 + C2+ + Cn,3n+ 3 n得 Tn=3X2 X22+ 3 X23+(n+1)

5、>2n + 1, 2Tn = 3X2 X23+ 3 X24+ (n+1) >2n+2,兩式作差，得一Tn=3X 2 X22+ 23+ 24+ - + 2n+1-(n + 1) >2n+2 = - 3n 2n+2,所以 Tn=3n 2n + 2.方法技巧一一一一一一一一一一一一一一麗而感而而S略一一一一一一”一一一”一一(1)如果數(shù)列a是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，!然后作差求解.(2)在寫Sn”與qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn qSn”的表達(dá)式.(3)

6、在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和|和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.例3數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn = 2n + 1-2,數(shù)列bn是首項(xiàng)為a1，公差為d(dw0)的等差數(shù)列，且b1, b3, b9成等比數(shù)列.2(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)若cn= n+1 b(n N ),求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng) n>2 時(shí)，an = Sn-Sn 1 = 2n + 1-2n=2n,又 a= S1 = 21 +1 2= 2= 21,也滿足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=2n.則b1= a1= 2.由b1, b3, b9成等比數(shù)列，得(2 +

7、 2d)2=2X (2+8d), ，一2(2)由(1)得 Cn=n+ 1 bn解得d=0(舍去)或d = 2,所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=2n.1,所以數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和 Tn= 77+717 + 77+ +n n+11A 2 2 A 3 3 A 41nx n+1111 2+2-3+11n n+1nn+ 1突破點(diǎn)(二)數(shù)列的綜合 應(yīng)用問題廠一一-1庫爰】一舉正藪利而!舌谷的而畫嵩萼善杳而豆"再要看"；一一一1"索各普石季i藪麗寫第正雙前而一: 1義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差比中項(xiàng)、等差比數(shù)列的，f質(zhì)；2重點(diǎn)考查基本量 即“知三求二” j解方程組的計(jì)算以及

8、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題 ji 2.數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系，決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性，是高考命題的易考點(diǎn)，主要考查方ii式有：1以數(shù)列為載體，考查函數(shù)解析式的求法，或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關(guān)系來求數(shù)列的通 i:項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和；2根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點(diǎn)命題，考查利用函數(shù)的性質(zhì)來研究數(shù)列的單調(diào)：!性、最值等問題.!i 3.數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點(diǎn) .考查方式主要有三種：1判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān) i !系，如比較數(shù)列中的項(xiàng)的大小關(guān)系等 .2以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，求不等式中的參數(shù)的!| 羋呼 0等 _. 3 _考內(nèi)與舉gggjgj

9、勺fjg*更 2g. _ _i一“一一一一善曲二翠E!癡丁*正薪7而纂F而iif-例1在等差數(shù)列an中，a10=30,a20= 50.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn=2an-10,證明:數(shù)列bn為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列nbn的前n項(xiàng)和Tn.a1+9d=30,解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,則an = a1 + (n-1)d,由 觥=30, a20= 50,得方程組a1+ 19d=50,a1 = 12,解得所以 an=12+(n-1)x 2=2n + 10.(2)證明：由(1),得 bn=2an- 10=22n+10 10=22n=d=2.bn+14n+ 一 14n,所以方=彳-=4.所

10、以bn是首項(xiàng)為4,公比為4的等比數(shù)列.(3)由 nbn=nx 4n,得 Tn=1 X 4+ 2X42+ + nX 4n, 4Tn = 1 X 4由題思，a2 ln 2 = 2 一帖 2，斛付 a2= 2.所以 d = a2 a1 = 1,所以 an = n, bn = 2 ,則 anbn = n 4 .于是 Sn= 1 X 4+2X 42+ 3X 43+- + (n- 1)X 4n 1 + nX4n,4Sn= 1 X 42+ 2X 43+ +(n-1)X4n+nX4n + 1.因此，Sn 4Sn=4+42+4nn 4n+1 = 4-n 4n + 1= 1 - 3n 3.所以 Sn= 3n-1

11、：. 39+ (n 1) X 4n+ n X 4n+ ：，得 3Tn = 4+ 42+4n nX4n+ 1 = 4 nX4n+1.所以 Tn=n-方法技巧 !數(shù)列與函數(shù)問題的解題技巧 ! (1)數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究! i數(shù)列問題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形. | (2)解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列，因此|.-3i掌握遞推數(shù)列的常用解法有助于該類問題的解決.方法技巧廠一一一一一一

12、"一一一一得美!西j：不正藪而而而i而兩天 H而iT”一一一一”一一一”一一一ii(1)設(shè)置中間問題：分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要;先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的順序.(2)注意解題細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比j不能確定，則要看其是否有等于 1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等，這些細(xì)節(jié)對解ji題的影響也是巨大的.i考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)的綜合問題例2設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an, bn)在函數(shù)f(x) = 2x的圖象上(nCN*).(1)證明：數(shù)列bn為等比數(shù)

13、列；(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2, b2)處的切線在x軸上的截距為12-lny,求數(shù)列anb2的刖n項(xiàng)和Sn.bn+ 1.解(1)證明：由已知，bn= 2an>0.當(dāng) n>1 時(shí)，式-=2an + 1-an=2d.所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為2a1,公比為2d的等比數(shù)列.1(2)函數(shù)f(x)=2在(a2, b2)處的切線方程為 y2a2= (2a21n 2)( x-a2),匕在x軸上的截距為 a2-jn2.考點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合問題例3（2016鄭州質(zhì)量預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè) bn = log2ai + log2a2+

14、 log2an,求使(n8)bn>nk 對任意解(1)由 Sn = 2an 2 可彳導(dǎo) ai=2.因?yàn)?Sn= 2an 2,一 an .所以，當(dāng) n>2 時(shí)，an = Sn Sn 1 = 2an 2an 1 ,即 =2.所以an 1Sn = 2an 2.nCN*恒成立白實(shí)數(shù)k的取值范圍.an=2n(n 6 N*).n n+ 1（2）由知 an=2n,則 bn= log2a+log2a2+ log2an= 1 + 2+ n =2.n 8 n +1要使（n 8）bn>nk對任意n C N*恒成立，即 2> k對任意nC N*恒成立.1設(shè)cn = 2（n 8）（n+1）,則當(dāng)

15、n = 3或4時(shí)，cn取得最小值，為一10,所以kw10.即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（一8, 10.方法技巧一”一一一”一一”一”一一詬片帝軍氐后而一向朝而如包皆樂一一一一一”一一（1）如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等.（2）如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等.總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了.全國套5年宣題集中演練1 .（2012新課標(biāo)全國卷）數(shù)列an滿足an+1+（1）nan=2n1,則an的前60項(xiàng)和為（）A . 3 690 B. 3 660C . 1 845 D. 1 830解析

16、：選D 不妨令a1=1,根據(jù)題意，得 a2= 2, a3= a5= a7=1, a4= 6, a6= 10,，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)構(gòu)成以a2=2為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列.所以前 60項(xiàng)和為S60=3030 x 30-1求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=anan+1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.+ 2X 30+2*4=1 830.解：(1)由 a2 + 2an = 4Sn + 3,可知 a2+1+2an+1= 4Sn+1+3.一，得 an+ 1 an+ 2(an+ 1 an)= 4an+ 1,即 2(an+1+an)= an+1 a2= (an+1+an)(an+1 an).由

17、an>0,得 an+1 an = 2.又 a2+2a1 = 4a1 + 3,解得 a1= 1(舍去)或 a1 = 3.所以 an=2n+1.in.則 Tn =3 2n+ 311 1 _1_1(2)由 an = 2n + 1 可知 bn = o on _u d 0n qanan + 12n+ 1 2n+3 （2015新課標(biāo)全國卷I ）Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知an>0, an + 2an= 4Sn+3. 2n+1 2n+33. （2014新課標(biāo)全國卷n ）已知數(shù)列an滿足ai= 1, an+i=3an+1.（1）證明an+1是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；（2）證明：5+ W.1

18、11 313解：（1）由an+1 = 3an+1得an+1+2= 3 an + 2 .又a1+，2,所以an十萬是首項(xiàng)為哀 公比為3的等比數(shù)列.所以 an + ：=*,即 an=3v1.（2）證明：由（1）知1=，一.因?yàn)楫?dāng) n>1 時(shí)，3n-1>2X3n 2 22an 3n 1一 1121所以&即&-3n1 2X3n13n13n1于是工+& 1+1+a1 a2an 33<2.4. （2013新課標(biāo)全國卷I ）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0, S5=- 5. 1，求an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列a2n 1a2n+1的刖n項(xiàng)和. n n 13a

19、1 + 3d= 0,解：（1）設(shè)an的公差為d,則Sn = na1 + -d.由已知可得解得a1 = 1, d=1.25a1 + 10d = 5,故an的通項(xiàng)公式為an=2n. 11111 1， 一、 n（2）由（1）知="一一-=2（-"）,從而數(shù)列 a2n 1a2n+1 的刖 n 項(xiàng)和為 .檢驗(yàn)高考能力 一、選擇題1. （2017皖西七校聯(lián)考）在數(shù)列an中，an=2y,若an的前n項(xiàng)和Sn=鬻，則n =（）A. 3B. 4C. 5 D. 62n- 11 3211斛析：選D 由an=21n= 1 7則Sn= 氤=n- 1 27 ,將各選項(xiàng)中的值代入驗(yàn)證得n=6.2 .在數(shù)

20、列an中，a=1, a2= 2, an+2 an=1 + ( 1)n,那么 S100 的值為()A. 2 500 B. 2 600 C. 2 700 D. 2 800解析：選B 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an + 2an=0,所以an = 1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2an = 2,所以an=n,1 n 為奇數(shù)， 一2+ 100 X50故 an=于是 S100 = 50+7= 2 600.n n為偶數(shù)，23 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a1=1,當(dāng)n>2時(shí)，an + 2Sn 1 = n,則S2 017的值為()A. 2 017B. 2 016 C. 1 009 D, 1 007解析：選 C 因?yàn)?

21、an + 2Sn 1 = n , n>2,所以 an+1 + 2Sn = n + 1, n> 1,兩式相減得 an +1 + an= 1, n>2.又 a1=1,所以 S2 017 = a+(a2+a3)+ (a2 016 + a2 017)=1 009,故選 C.12n + 1 an 5-4.設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S1,S2,S4成等比數(shù)列，且a3= 5,則數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn=()A.n B_ C _n_2n+1.2n+ 1, 2n + 12nD- 2n+ 15151斛析：選C a=2或a1 = 2.當(dāng)a1 = 2時(shí)，公差d= 0不符合題息，舍去；當(dāng)

22、a1 = 2時(shí)，公差da3 a1111= 2 = 一 1，所以 an= - 2+(n 1)x( 1)= n + 2= 2(2n 1),故選 C.二、填空題115,已知數(shù)列an滿足an+1 = 2+an-a2,且a = 2,則該數(shù)列的刖2 016項(xiàng)的和等于 .111斛析：因?yàn)閍1=2,又an + 1 = 2+ qanan,所以a2=1,從而a3 = 2,a4=1,即得an =1 *2 , n = 2k 1 k C N ,1故數(shù)列的前 2 016項(xiàng)的和等于 S2 016= 1 008X 1 +2 = 1 512.答案：1 5121, n = 2k kC N* ,6.對于數(shù)列an,定義數(shù)列an+1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若 a1=2, an的“差數(shù)列”的通項(xiàng) 公式為2n