(浙大第四版)概率論與數理統(tǒng)計知識點總結

1、概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結第1章隨機事件及其概率（1）排列 組合公式P； - m!從m個人中挑出n個人進行排列的可能數（m - n）!cm -m!從m個人中挑出n個人進行組合的可能數n!（m _n）!（2）加法 和乘法原 理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由 m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mx n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由 mx n種方法來完成。（3）一些 常見排列重復排列和非重復排列（有

2、序） 對立事件（至少有一個） 順序冋題（4）隨機 試驗和隨 機事件如果一個試驗在相同條件下可以重復進行，而每次試驗的可能結果 不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結果，則 稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。（5）基本 事件、樣 本空間和 事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事 件，它具有如下性質： 每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件； 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用 0表示。一個事件就是由0中的部分點（基本事件）組成的集合。

3、通常用 大寫字母A, B, C,表示事件，它們是 0的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Q）的概率為1，而概率為1的事件也不一定 是必然事件。（6）事件 的關系與 運算關系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：Au B如果同時有A二B，B二A，則稱事件A與事件B等價，或稱A 等于B： A=BA、B中至少有一個發(fā)生的事件：AUB,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構成的事件，稱為 A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：A“

4、B，或者AB AB=?，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相谷或者互斥?；臼录饣ゲ?相容的。Q-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\算：結合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C)n (B U C) (A U B) A C=(AC)U (BC)0QOH A： = U Ai德摩根率：77aJb = ab，打TB = aUb(7)概率 的公理化 定義設。為樣本空間，A為事件，對每一個事件 A都有一個實數 P(A)，若滿足下列三個條件：1 0 P(A) 1，2

5、P( Q) =13對于兩兩互不相容的事件 A1，A，,有0，則稱P(AB)為事件A發(fā)生條 P(A)件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)- P(AB)。P(A) 條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合于條件概率。例如 P( Q /B)=1 n P(b/A)=1-P(B/A)(13 )乘 法公式乘法公式：P(AB) =P(A)P(B/A)更一般地，對事件 A1, A, A,若P(AA, A-1)0，則有 P(A1A2 An) =P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)P(An | A1A2JJ JJAn -1) o(14 )獨 立性 兩個事件的獨立性設事件A、B滿足P(AB)

6、 = P(A)P(B)，則稱事件A、B是相互獨 立的。若事件A、B相互獨立，且P(A)0，則有P(B|A) = P(AB)= P(A)P(B)=p(b)P(A)P(A)若事件A、B相互獨立，則可得到A與B、A與B、A與B也都 相互獨立。必然事件。和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。 多個事件的獨立性設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C); P(CA)=P(C)P(A) 并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。 對于n個事件類似。(15 )全概公式設事件BxB2,，Bn滿足

7、1 B1,B2, ,Bn兩兩互不相容，P(Bi)0(i =1,2, ,n)，nAuU Bi2-，(分類討論的則有P(A) = P(B1)P(A| B1)+ P(B2)P(A | B2) + + P(Bn)P(A| Bn)。(16 )貝 葉斯公式設事件B1， B2，,，Bn及A滿足1 B1，B2，,， Bn兩兩互不相容，P(Bi)0, i=1, 2，,， n ,nAU U Bi2, P(A)aO ,(已經知道結果 求原因則1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結，i=1，2, n。送 P（Bj）P（A/Bj）j4此公式即為貝葉斯公式。P（Bi），（ 1 二1，2，,， n），通常叫先驗概率。P（B

8、i /A），（ i “， 2, ,， n），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概 率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17 ）伯 努利概型我們作了 n次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗是重復進行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣； 每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗 A 發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為 n重伯努利試驗。用p表示每次試驗A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為p = q，用Pn（k）表示n重伯努利試驗中A出現(xiàn)k（0蘭k蘭n）次的概率，_. .k k n _kPn（k） =Cn p qk =0,1,2，,n第二章隨

9、機變量及其分布（1）離設離散型隨機變量X的可能取值為人（k=1,2,）且取各個值的散型隨概率，即事件（X=X）的概率為機變量P(X=x0，k!k =0,1,2，則稱隨機變量X服從參數為丸的泊松分布，記為X 兀仏）或者P（九）。泊松分布為二項分布的極限分布（np=X，nx)。超幾何分布P(X=k)=CM C壯丫0,1,211CNI = min(M , n)隨機變量 X服從參數為 n,N,M H（n,N,M）。的超幾何分布，記為幾何分布P（X =k）=q2p,k =1,2,3,，其中 p0，q=1-p。隨機變量X服從參數為p的幾何分布，記為G（p）。1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結均勻分布設

10、隨機變量X的值只落在a , b內，其密度函數f (x)在a，b上為常數一b 一，即a1a x bf(x)=y其他,L0,則稱隨機變量X在a , b上服從均勻分布，記為XU(a,b)。分布函數為0，xa，x a彳jb - aaw x bxF (x) = f f (x)dx =b。當aX1VX2W b時，X洛在區(qū)間(xi，x2)內的概率為x2 XtP( cX cx2)= 21。b a指數分布_3x,x K05f (x)=1 0,x v 05其中九0，則稱隨機變量X服從參數為人的指數分布。 X的分布函數為1， F(xdo,x05x0。記住積分公式：-boJ xndx = n!01概率論與數理統(tǒng)計公式

11、(全)知識點總結正態(tài)分布設隨機變量X的密度函數為13f（X）e 2-，-二：:X ：,Q2咒口其中 c 0為常數，則稱隨機變量X服從參數為、二的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為X N（,2）。f（x）具有如下性質:1f（x）的圖形是關于X對稱的;2當時，f（j= 1為最大值;2J2W若XN（1，二），地X的分布函數為F （x） - e 2匚 dt參數 =、卞二1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記 為X N（0,1），淇密度函數記為：（x）=2勺 2兀，一血 CX+O，1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結6）分 位數（7）函 數分布分布函數為（X）=-

12、 J 爪2 q，J（X）是不可求積函數，其函數值，已編制成表可供查用。廠1（-x） = 1-（x）且（0） = 1 oX _卩2如果 XN（P,a2），則N（0,1） o- 為-叮x t2e 2 dt ofxfx _叮P(X1 cX 蘭X2)= 2 |一 1 Iii下分位表：P（X 一：.）=； 上分位表：P（X 7A： o離散型XX1,X2,Xn,P(X =Xi)P1,P2,Pn,已知X的分布列為1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結g（x1）, g（x2）, g（xn）,2則應將對應的Pi相加作為g（xi）的y =g（x）的分布列（yi =g（x互不相等）如下:YP1P（Y 曲） 若有某些

13、g（XT）相等，概率。1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結連續(xù)型先利用X的概率密度fx(x)寫出丫的分布函數FY(y)=P(g(X) 0 (i,j=1,2,);(2) 二二pj =1.i j連續(xù)型對于二維隨機向量 =(X,Y),如果存在非負函數f (x, y)(4 x 乜嚴 y )，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D,即D-(X,Y)|axb,cy 0;(2) 亡亡 f(x,y)dxdy = 1.(2)二維 隨機變量 的本質X =x,Y = y)=E(X =xY = y)(3)聯(lián)合 分布函數設(X，Y)為二維隨機變量，對于任意實數x,y,二元函數F(x,y) = PX Ex,YR

14、稱為二維隨機向量(X，Y)的分布函數，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數。分布函數是一個以全平面為其定義域，以事件(叫，國2)1蟲V X(餌)蘭X,皿vY 2)蘭y的概率為函數值的一個實值函 數。分布函數F(x,y)具有以下的基本性質：(1) 0 MF(x, y)蘭 1;(2) F(x,y )分別對x和y是非減的，即當 X2X1 時，有 F ( X2,y ) F(x I,y);當 y2yi 時，有 F(x,y 2) F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x, y) = F(x+0,y),F(x,y) = F(x,y+0);(4) F (-00, -o) = F

15、 (-, y) = F (x,-) = 0, F (母,址)=1.(5) 對于 vx2, y1 vy2,F(X2, y2)F(X2, yjF(X1, y2)+ F(X1, yJKO.(4)離散 型與連續(xù) 型的關系P(X=x,蘭 x + dx, ycYy + dy)彩 f (x, y) dxdy(5)邊緣 分布離散型X的邊緣分布為PP(X=Xi)=送Pj(i,j=1,2,)；jY的邊緣分布為Pj=P(Y = yi)l Pj(i,j=i,2,)。i連續(xù)型X的邊緣分布密度為bofx(x) = Qf (x, y)dy；Y的邊緣分布密度為bofY(y)=Lof(X,y)dx_(6)條件 分布離散型在已知

16、X=x的條件下，Y取值的條件分布為Pj P(Y = yj |X；Pi*在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PijP(X =人 |Y = yj)=-P軸連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)f(；,y)；fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為 f(y|x)(x，y)fx(X)(7)獨立 性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)離散型Pj = PiP制有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)f Y(y)直接判斷，充要條件： 可分離變量 正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分 布12金岀)(y出)/出f(X,y)=廣衛(wèi)&丿2兀CT 16 才1 - P2p=01概率論

17、與數理統(tǒng)計公式（全）知識點總結（8）二維 均勻分布隨機變量的若Xi,X2, , XnXm+i,人相互獨立，h,g為連續(xù)函數，則:函數h（ Xi，X2, , Xm）和 g（ Xm+1 , Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（ X）和g（ Y）獨立。例如：若 X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。設隨機向量（X，Y）的分布密度函數為1SDf(x,y)=-0,(X, y) D其他其中S為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y） U（ D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3 。圖3.1D3c1O a b x圖3.3（9）二維設隨機向量（X, Y的分布密度函數為正態(tài)分布1

18、 點_耳畀2斎x_H）（y_H）出上 泊f (x, y)=1丿鈕匕丿2g 16 Ji - P其中已，卩2,b布，1 0,0,| P|c1是5個參數，則稱（X, Y服從二維正態(tài)分記為（X，Y）N （卩1,巴嚴2,；, P）.由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分 布，即XN ( 41 ,卩2),丫 N(卩2,1；).但是若XN （2 2#1,6 ),丫 N(#2b2 ) , (X , Y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數Z=X+Y根據定義計算：FZ (z) = P(Z W z) = P(X + Y W z)分布-bo對于連續(xù)型，fz(z) = Jf(x,z-x)dxa

19、兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（卩1+卩212+0；）。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。CH ,i2iiZ=max,mi n(X1,X2” Xn)若X1,X2Xn相互獨立，其分布函數分別為Fx1 (x), Fx, (x) Fx (x)，貝V Z=max,min(X 1 ,X2, Xn)的分布函數為：Fmax(X)= Fx1(X)Fx2(X)F%(X)Fmin (x) = 1 -1 一 FX1 (X)1 一 Fx2 (X)1 一 Fxn (x)1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結2分布設n個隨機變量Xi,X2 / ,Xn相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明它們的平方和n

20、2W八Xii 4的分布密度為u _ 0,u ： 0.n u J u2 f(u)= 22】nI12丿0,我們稱隨機變量 W/服從自由度為n的2分布，記為 W 2(n),其中1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數，它是隨機變量 分布中的一個重要參數。2分布滿足可加性：設Yi -2(n)則k2Z 八 Yi (n1n2- nk).i壬1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結t分布F分布設X, Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數的概率密度為2XN(0

21、,1),Y(n),n +1、I 2丿rf(t)= f 、JnxF i、2)(-：:t ：:：).我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。n) = -t：.( n)設X 2(n 1),Y 2(n2)，且 X與Y獨立，可 以證明F =的概率密度函數為Y/n2我們稱隨機變量 的F分布，記為n12 Jy22,y-0, y 0F服從第一個自由度為 n 1,第二個自由度為n2Ff(n 1, n 2).片_-5, rh)=Fa( n2,n1)第四章隨機變量的數字特征(1)離散型連續(xù)型1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結一維 隨機 變量 的數 字特 征期望期望就是平均值設X是離散型隨機變量，

22、其分布律為 P( X = Xk ) = pk ,k=1,2, , ,n ,nE(X) = 5； XkPkk(要求絕對收斂)設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(X),boE(X) = Jxf (x)dx-CO(要求絕對收斂)函數的期望Y=g(X)nE(Y)=：Z g(Xk)PkkJY=g(X)-boE(Y)= Jg(X)f(X)dX方差2D(X)=EX-E(X)， 標準差2) n -2(5) 二維 隨機 變量 的數 字特 征期望nE(X)=Z XiPq i 二nE(Y)=E yjP*-boE(X)= JxfX(x)dxa-boE(Y)= f yfY (y)dy函數的期望EG(X,Y)=遲遲 G

23、(Xi, yj) Piji jEG(X,Y)=-bo -beJ fG(x,y) f(x, y)dxdy-00-00方差D(X)=：E Xi-E(X)2pi.iD(Y)=：S Xj -E(Y)2p.jj-boD(X)= Jx-E(X)2fx(x)dxa-boD(Y)= Jy-E(Y)2fY(y)dy協(xié)方差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩k11為X與Y的協(xié)方差或相關矩，記為 aXY或COV(X,Y)，即&XY =氣1 =E(XE(X)(Y E(Y).與記號CT XY相對應，X與Y的方差D( X)與D( Y)也可分別記為坊XX 與 U yy。1概率論與數理統(tǒng)計公式（全）知識點總結相關系數對

24、于隨機變量X 與丫，如果 D（X） 0, D（Y）0，則稱 XYJD(X)JD(丫)為X與Y的相關系數，記作 PXY （有時可簡記為 P）。| PI 1,當 1 Pl=1時，稱X與Y完全相關：P（X=aY + b） = 1完全相關0）, 1負相關，當P = -1時（acO）,而當p =0時,稱X與Y不相關。以下五個命題是等價的：卩XY = 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣 XXa XYYXG YY 混合矩對于隨機變量X與Y,如果有E（XkYl）存在，則稱之為 X與Y的k+l階混合原點

25、矩，記為vkl ； k+l階混合中心矩記為：Uki =E(X -E(X)k(Y-E(Y)1.（6）(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);協(xié)方(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);差的(iii)cov(X 1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X 2,Y);性質(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7） 獨立（i）若隨機變量X與Y相互獨立，則XY）;反之不真。和不 相關（ii）若（X，Y）N（巴，2，町月 2,P），則X與Y相互獨立的充要條件是X和Y不相關。第五章 大數定律和中心極限定理1概率論與數理統(tǒng)計公式（全）知識點總結1概率論與數理統(tǒng)

26、計公式（全）知識點總結(1 )大數定律切比雪 夫大數 定律設隨機變量 Xi，X2，,相互獨立,常數 C所界：D (X)C(i=1,2,均具有有限方差，且被同一,),則對于任意的正數 ，有1im P _送 Xj _送 E(Xi) N()n1 n-z Xi 丿 z1n yJlim Pn j：:=1.伯努利 大數定 律辛欽大數定律列維林德伯格定理設卩是n次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數，p是事件A在 每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數，有l(wèi)im Pn廠:伯努利大數定律說明，當試驗次數n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，艮卩l(xiāng)im P p & 0. IlnJ這就以嚴格的數學形式描

27、述了頻率的穩(wěn)定性。設X, X2, , Xn,是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E(% ) = ，則對于任意的正數 有l(wèi)im Pn 廠:n:z Xj 卩 * =1. Jn 7丿設隨機變量X1, 相 同 的 數E(Xk)D(Xk)X2,相互獨立，服從同一分布，且具有 方 差二 2 = 0(k =1,2/ ),則隨機變量的分布函數Fn(x)對任意的實數X,有X,1概率論與數理統(tǒng)計公式（全）知識點總結nxt2X -|Z Xk - nA nmFng迥p仁后此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗 拉普 拉斯定 理設隨機變里X n為具有參數 n, p（0p0，貝U_ kkk 一、n_k扎Cnp (1

28、p) t ev(nT o).k!其中 k=0, 1, 2,n , , 二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數理 統(tǒng)計的基 本概念總體在數理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標的全 體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨 機變量（或隨機向量）。個體總體中的每一個單兀稱為樣品（或個體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品X1, x2，,xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下， 總是把樣本看成是 n個相互獨立的且與總體有相冋分布的隨機 變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結 果時，x1,x2/i ,xn表示

29、n個隨機變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，X1,X2，Xn表示n個具體的數值（樣本值）。我們 稱之為樣本的兩重性。樣本函數和 統(tǒng)計量設X1,X2，,Xn為總體的一個樣本，稱9（ X1,X2，,Xn ）為樣本函數，其中 為一個連續(xù)函數。如果 中不包含任何未 知參數，則稱（X1,X2，,Xn ）為一個統(tǒng)計量。1概率論與數理統(tǒng)計公式(全)知識點總結常見統(tǒng)計量 及其性質樣本均值x 二鼻Xi.n y樣本萬差S2 =1 n乞(Xjn - 1 y-X)2.樣本標準差S = | n1 n _ Z (Xi x)2.- 1 i二樣本k階原點矩Mk上n yk . _Xi ,k=1,2,.樣本k階中心矩1 nM-Z

30、n i呂(Xj X)k,k=2,3，.2E(X)訣,D(X)-,ne(s2)=l2 n E(S* )-n1 2-CT51 n 其中 s*2 =送(Xj _x)2,n 7為二階中心矩。（2 ）正 總體下態(tài) 的正態(tài)分布設Xi,X2，,Xn為來自正態(tài)總體N（巴r2）的一個樣本,則樣四大分布本函數def x A N(0,1).u皿t分布設Xi,X2，,Xn為來自正態(tài)總體N（4巴）的一個樣本,則樣本函數def x 卩 t s/石t( n-1).其中t(n-1)表示自由度為 n-1的t分布。%2分布2設Xi,X2,，Xn為來自正態(tài)總體 N(4,cr )的一個樣本，則樣本函數2def (n 1)SV2,八w

31、2E (n _ 1),其中X2(n1)表示自由度為n-1的壬2分布。F分布2設X1,X2，Xn為來自正態(tài)總體 N (巴6)的一個樣本，而y1, y2 L , yn為來自正態(tài)總體 N(A,t2)的一個樣本，則樣本 函數def 丫/刁2 F 一F(m 1, n2 1),S2 /cr2其中4n1_ 1 n2 _S2=Z (Xi x)2,SX (yi y)2; 一1 yn2 -1 7F(n1 1,n2 1)表示第一自由度為n, 1，第二自由度為n2 -1的F分布。(3)正態(tài) 總體下分 布的性質- 2X與S獨立。第七章參數估計1概率論與數理統(tǒng)計公式（全）知識點總結1概率論與數理統(tǒng)計公式（全）知識點總結(1)點估計矩估計設總體X的分布中包含有未知數宀2,Rm，則其分布函數可以表成F(x;rc2,，厲).它的k階原點矩vk =E(Xk)(k = 1,2,m)中也 包含了未知參數8,2,Cm ,即Vk二VkG，,dm)。又設x2，,xn為總體X的n個樣本值，其樣本的 k階原點矩為1 n x： (k =1,2,m).n i =這樣，我們按照“當參數等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩” 的原則建立方程，即有1 nV1G1J2,Cm) Xi,n i 4八八1 n2V2(R ,二2，二m)Xi ,n yVm