雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案

1、WORD格式整理圓錐曲線教案雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案教學(xué)目標(biāo)1 .通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生熟記雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，理解雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的探索推導(dǎo)過(guò)程.2 .在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)合情猜想，進(jìn)一步提高分析、歸納、推理的能力.3 .培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，獨(dú)立思考、勇于探索精神及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其探索推導(dǎo)過(guò)程是本課的重點(diǎn).定義中的“差的絕對(duì)值”，a與c的關(guān)系的理解是難點(diǎn).教學(xué)過(guò)程師：橢圓的定義是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？（學(xué)生口述橢圓的兩個(gè)定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，教師利用投影儀把橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和圖象放出來(lái).）專業(yè)資料值

2、得擁有WORD格式整理師：橢圓的兩個(gè)定義雖然都是由軌跡的問(wèn)題引出來(lái)的，但所采用的方法是不同的.定義二是在認(rèn)識(shí)上已經(jīng)把橢圓和方程統(tǒng)一起來(lái)，在掌握了坐標(biāo)法基礎(chǔ)上利用坐標(biāo)方法建立軌跡方程.這是通過(guò)方程去認(rèn)識(shí)軌跡曲線.定義中設(shè)定的常數(shù)2a,|FF|=2c,它們之間的變化對(duì)橢圓有什么影響？生：當(dāng)a=c時(shí)，相應(yīng)的軌跡是線段FE.當(dāng)a<c時(shí)，軌跡不存在.這是因?yàn)閍、c的關(guān)系違背了三角形中邊與邊之間的關(guān)系.師：如果把橢圓定義中的“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F、F2的距離的和”改寫(xiě)為“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)R、F2的距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程又是怎樣的呢？（師生共同做一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們把準(zhǔn)備好的實(shí)驗(yàn)用

3、具拿出來(lái)，一起做實(shí)驗(yàn).教師把教具掛在黑板上，同時(shí)板書(shū)：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F、F2的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么曲線？邊畫(huà)、邊操作、邊說(shuō)明.）師：做法是：適當(dāng)選取兩定點(diǎn)Fi、F2,將拉鎖拉開(kāi)一段，其中一邊的端點(diǎn)固定在Fi處，在另一邊上截取一段AF（<F1F2），作為動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)Fi和F2距離之差.而后把它固定在F2處.這時(shí)將鉛筆（粉筆）置于P處，于是隨著拉鎖的逐漸打開(kāi)鉛筆就徐徐畫(huà)出一條曲線；同理可畫(huà)出另一支.如圖2-36.專業(yè)資料值得擁有WORD格式整理圖2-38師：通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？生：所畫(huà)的曲線不是橢圓，是兩條相同的曲線，只是位置不同.其原因都是應(yīng)用“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距

4、離之差|MFiHMF2|(或IMF2HMFi|)是同一常數(shù)的條件畫(huà)圖的.師：所畫(huà)出圖象與橢圓完全不同，能說(shuō)出屬于哪一類曲線嗎？生：屬于雙曲型曲線.師：很好！我們把這類曲線就叫做雙曲線.我們思考以下幾個(gè)問(wèn)題：1.|MF|和|MF2|哪個(gè)大？生：不一定.當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線右支時(shí)，有|MFi|>|MFz|,當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支時(shí)，|MFi|<|MF2|.師：2.點(diǎn)M與點(diǎn)Fi、F2距離之差是否就應(yīng)是|MFi|-|MF2|?生：未必是.也可以是|MF2|-|MFi|.師：如何表示這兩種情況？專業(yè)資料值得擁有WORD格式整理生：若要同時(shí)表示這兩種情況，正確的表示是應(yīng)|MFi|-|MF2|.無(wú)論哪種情

5、況總是成立的.師：3點(diǎn)M與點(diǎn)F、F2的距離之差的絕對(duì)值與|FF|的大小關(guān)系怎樣？生：由三角形的兩邊之差小于第三邊可知，應(yīng)是小于|FF|.否則作不出圖形.在上述討論的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義，教師板書(shū)課題.(學(xué)生試敘述，教師協(xié)助完成.)一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)R、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)2a(a>0且小于|FE|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，這兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做焦距，記作2c(c>0).通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖，得到了雙曲線定義，同時(shí)進(jìn)一步讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中觀察定義中兩個(gè)常數(shù)間大小關(guān)系對(duì)于動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的影響.激發(fā)學(xué)生探求知識(shí)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知

6、的渴望.師生共同歸納：師：由定義知|MFi|-|MF2|二2a,|FF|=2c,并設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M請(qǐng)大家討論以下幾個(gè)問(wèn)題：(1)當(dāng)0<a<c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？學(xué)生略思考一下，回答出是雙曲線.專業(yè)資料值得擁有WORD格式整理當(dāng)a=c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？分析若2=孰也就是|MFi|-|MF2|=2a=2c,如圖2-37所示:圉2-37可以看出，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是分別以點(diǎn)R、F2為端點(diǎn)，方向指向FF2外側(cè)的兩條射線.(3)當(dāng)a>c>0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？由前面歸納已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡不存在.這是因?yàn)閍、c的關(guān)系違背了三角形中兩邊之差小于第三邊的性質(zhì).二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程師：現(xiàn)

7、在來(lái)研究雙曲線的方程.我們可以參照求橢圓的方程的方法來(lái)求雙曲線的方程.首先建立直角坐標(biāo)系，即以兩定點(diǎn)連線為x軸，兩定點(diǎn)的垂直平分線為y軸.然后，觀察雙曲線的特征，猜測(cè)雙曲線方程的結(jié)構(gòu)與橢圓方程的結(jié)構(gòu)是否有類似之處？(如圖2-38)圖2-33專業(yè)資料值得擁有WORD格式整理當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到x軸上點(diǎn)A、A時(shí)，如何求點(diǎn)A、A的坐標(biāo)？生：點(diǎn)A、A是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，所以|AA|=|FFHF1A|-|F2A|=|FW-2|F2A|=|F四-尸2A|=2a.所以點(diǎn)A和A的坐標(biāo)分別是(-a,0)和(a,0).師：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.生：1.建立直角坐標(biāo)系.2 .設(shè)雙曲線

8、上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x、y),|FE|=2c,并設(shè)F(-c,0),F?(c,0).3 .由兩點(diǎn)間距離公式，得|MFJ="!+R+了|=而彳虧34 .由雙曲線定義，得|MF|-|MF2|=受a,即而+及+7-根仔+y'=土2乳5 .化簡(jiǎn)方程+。尸+弋=+2a+而一短+弋,專業(yè)資料值得擁有WORD格式整理兩邊平方，得(x+c)°+y'=4/土=或+y，+(x-c)a+y化簡(jiǎn)得：ex-a2=±了十,兩邊再平方，整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(為使方程簡(jiǎn)化，更為對(duì)稱和諧起見(jiàn).)由2c-2a>0,即c>a,所以c2-a

9、2>0.設(shè)c2-a2=b2(b>0),代入上式，得b2x2-a2y2=a2b2,也就是/y2丁-淳二L魚(yú)b師：利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)類比地推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它同樣具有方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱，具有和諧美的特點(diǎn)，便于我們今后研究雙曲線的有關(guān)性質(zhì).這一簡(jiǎn)化的方程稱為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.專業(yè)資料值得擁有WORD格式整理結(jié)合圖形再一次理解方程中a>b>0的條件是不可缺少的.b的選取不僅使方程得到了簡(jiǎn)化、和諧，也有實(shí)際的幾何意義.具有c2=a2+b2與橢圓中a2=b2+c2的不同之處.師：與橢圓方程一樣，如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，這時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式又怎樣呢？我們可以從所畫(huà)的圖形上觀

10、察，對(duì)比來(lái)看一看互相間的轉(zhuǎn)化.（圖2-39、圖2-40）生：從圖形的對(duì)稱來(lái)看，只要交換一下x軸、y軸的名稱，然后逆時(shí)針?lè)D(zhuǎn)90°使之y軸向上、下，x軸水平放置即可得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.師：從方程上來(lái)分析，只要將方程（1）的x、y互換就可以得到它的方程22y乂一1T-77=13.b此方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.師：如何記憶這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程？專業(yè)資料值得擁有WORD格式整理生：雙曲線的方程右邊為1,左邊是兩個(gè)完全平方項(xiàng)，符號(hào)一正一負(fù)，為正的項(xiàng)相應(yīng)的坐標(biāo)軸為實(shí)軸，焦點(diǎn)在該軸上，且分母為a2.負(fù)項(xiàng)相應(yīng)的坐標(biāo)軸為虛軸，且分母為b2.師：用一句話概括“以正負(fù)定實(shí)虛”.三、舉例例1已知兩點(diǎn)Fi(-

11、4,0)和F2(4,0),曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為6,求曲線方程.解由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=4,2a=6,所以a=3,而b2=c2-a2=16-9=7.所以，所求的雙曲線方程為例2求滿足下列條件的雙曲線方程1 .若a=4,b=3,焦點(diǎn)在x軸上；2,若”2月經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-5),焦點(diǎn)在彈上解(1)因?yàn)閍=4,b=3,并且焦點(diǎn)在x軸上，所以所求的雙曲線方程為專業(yè)資料值得擁有WORD格式整理匚J169,(2)由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:己珈=2耳且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5),所以代入雙曲線方程得文3=1即20b2b14所以b2=16,所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為例1和例2可由學(xué)生自行解答，黑板上板演

12、，并對(duì)照檢查對(duì)錯(cuò).四、小結(jié)(師生共同參與完成)雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；方程中的3個(gè)常數(shù)a、b、c間的關(guān)系:c2=a2+b2.專業(yè)資料值得擁有WORD格式整理理解“以正負(fù)定實(shí)虛”的意義，會(huì)確定實(shí)軸、虛軸、焦點(diǎn)所在位置，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 .在教學(xué)中體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美，幾何圖形的對(duì)稱美.五、作業(yè)：第89頁(yè)習(xí)題七1,2.六、課后思考題1,利用雙曲線定義證明=l為雙曲線方程.ab2.結(jié)合圖形的演示，試討論|MFi|-|MF2|=2a,在2a趨近于零的過(guò)程中雙曲線的變化趨勢(shì).設(shè)計(jì)說(shuō)明1 .關(guān)于教學(xué)目標(biāo)(1)由于雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程是本章的重點(diǎn)之一，因而作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一.(2

13、)MM教育方式的基本要求，其課堂教學(xué)要師生共同參與.每個(gè)環(huán)節(jié)都應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種思維情境，一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的機(jī)會(huì).運(yùn)用教具的演示，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、抽象、歸納及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用能力.對(duì)全面提高學(xué)生素質(zhì)起著十分重要作用，待此制定了教學(xué)目標(biāo)2和3.專業(yè)資料值得擁有WORD格式整理2 .關(guān)于教學(xué)重點(diǎn)為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，把充分展現(xiàn)雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過(guò)程和知識(shí)形成過(guò)程作為本節(jié)課的重點(diǎn).3 .關(guān)于教學(xué)方法按照MMt育方式“學(xué)習(xí)、教學(xué)、研究同步協(xié)調(diào)原則”和“二主方針”，在教學(xué)中充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用.運(yùn)用問(wèn)題性，給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在開(kāi)放、民主、愉悅和諧的教學(xué)氛圍中獲取新知識(shí)，提高能力，促進(jìn)思維發(fā)展.因此，采用討論式、啟發(fā)式的教學(xué)方法.4 .關(guān)于教學(xué)過(guò)程(1)利用學(xué)生已清楚的知識(shí)，轉(zhuǎn)換條件提出問(wèn)題，通過(guò)自己動(dòng)手和聯(lián)想，為類比地探索雙曲線的定義奠定基礎(chǔ)，最后推出雙曲線的定義.(2)在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，揭示科學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)律，巧妙地把學(xué)生從舊知識(shí)引向新知識(shí)，使知識(shí)過(guò)渡那么自然，學(xué)生學(xué)起來(lái)不感到困難.體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力、邏輯思維能力、科學(xué)思維方式、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度及勇于探索的精神.(3)例