2020屆湖南省邵陽市高三第一次聯考試題卷理科數學

1、2020屆邵陽市高三第一次聯考試題卷數學（理）、選擇題：本大題共 12個小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內，復數 z cos3 isin3對應的點位于（A.第一象限B.C.第三象限D. 第四象限解：: 3 57o18 3172o54n, cos3 0sin3 0,此點位于第二象限，故選 B.2.設 a,b ? R ,則“）（2014天津卷改編）A.充分不必要條件.必要不充分條件C.充要條件.既不充分也不必要條件,所以f （x）是R上的增函數,解1 ：設函數f （x）=皿?x2, x 3 0則 f(x)=?-x2,x<0a3

2、> b3 ? a b”的充要條件，故選 C.解2：當ab> 0時，可得a>b與a| a|>b| b|等價.當反之,由 a| a|> b| b| 知 a>0>b,即a>b,故選ab<0 時，可得 a>b 時 a| a|>0> b| b| ； C.3.在uurABC中，ACuu(1,2), AB(4,2),ABC的面積為（.2.5解1:由三角形面積公式的向量式（題根P154)4 2| 5,故選C.解 2: kACA 90°,則 S ABO2.55,故選C.2y的取值范圍是（)4.若實數x ,y滿足條件0,y 3 0,

3、貝U z2y 0,A . 0,60,4C. 6,+ )D. 4,+ )解：如圖，在點（2,1）處時取得最小值4,無最大值,故選 D.2圭視國 龍視限q俯謳圖圖(一)5. 一個幾何體的三視圖如圖(一)所示，則該幾何體的體積為A . 34B . 3C .2解：這是半個圓柱， V 112 2,故選D.26.函數f(x) 1 log2X與g(x) 2 x 1在同一直角坐標系下的圖象大致是()解：f (x) 1 log2X過定點(1,1)且單調遞增，g(x) 2 x1過定點(0,2)且單調遞增減，故選 C.7.已知奇函數 f (x)在 R 上是增函數，若 a f(ln), b f(ln 2018) ,

4、cf (e0.5),2019則a, b, c的大小關系為()A. a b cB. b a cC. c b a D.cab105.解：: a f (ln) f(ln 2019), b f(ln 2018) , c f(e . ) f(Je),2019由奇函數f (x)在R上是增函數得c b a,故選C.8 .設m為正整數，(x y)2m展開式的二項式系數的最大值為a, (x y)2m 1展開式的二項式系數的最大值為b,若13a =7b,則m =()A. 5B . 6C . 7D . 8解： a = C2m, b=C2m11, -13C2mm=7Cmm11,即 13 (2m),=7 (2m 1),

5、m!m! (m 1)!m!解得m=6,故選B.(2013全國I卷改編)9 .已知點P是直線l : 4x 3y 7 0上的動點，過點 P引圓C:x2 (y 1)2 r2(r 0)的兩條切線PM ,PN , M N為切點，當 MPN的最大值為一時，則r的值為()2A .應B .向C. 2 近D . 1解:10.如圖，連接 PC ,當PC l時， MPN最大. MPN ,故 MPC , 24| PC | 72r.又. d_L2_7J_ 2,42 ( 3)2. | PC | V2r 2 r 衣，故選 A英國統(tǒng)計學家E.H.辛普森1951年提出了著名的辛普森悖論.下面這個案例可以讓我們感受到這個悖論.有

6、甲乙兩名法官，他們都在民事庭和行政庭主持審理案件，他們審理的部分案件被提出上訴.統(tǒng)計這些被提出上訴案件的終審結果如下表所示（單位：件）：法官甲法官乙終審結果民事庭行政庭合計終審結果民事庭行政庭合計維持29100129維持9020110推翻31821推翻10515合計32118150合計10025125記甲法官在民事庭、行政庭以及所有審理的案件被維持原判的比率分別為x1, *2和*；記乙法官在民事庭、行政庭以及所有審理的案件被維持原判的比率分別為y1，y2和y ,解:A-x1y1,x2y2, xyB*-x1C.x1y1,x2y2 , xyD.x129由題意可得法官甲民事庭維持原判的案件率為x1

7、至32的案件率x2100 0.847 ,總體上維持原判的案件率為118y1 , x2y2, x yy1, x2y2, x y0.906 ,行政庭維持原判129x 1500.86 ;11.一 90法官乙民事庭維持原判的案件率為y1 ±010020y2 0.8,總體上維持原判的案件率為25所以 x1y1 , x2y2 , x y ,故選 D.2已知雙曲線E ：得 a0.9 ,行政庭維持原判的案件率為1101250.88 .2的右頂點為A ,拋物線C: y2 8ax的焦點為F .則下面說法正確的是（）若在E的漸近線上存在點 P，使得AP FP ,則E的離心率的取值范圍是(A- (1,2)

8、B 。苧 C 手，)D- (2,+)解：A(a,0)F(2a,0),雙曲線E的漸近線方程為bx ayuurAPFP，,以| AF | a為直徑的圓與直線bx ay相切，則12abifb二，則c 3b,平方c 2得 c2 9b222、9(c a )9 皿一，貝U 1<e<83二，故選b.412.在正四棱錐P- ABCDK已知異面直線PB與AD所成的角為60o,給出下面三個命題:P1 ：若AB 2 ,則此四棱錐的側面積為p2:若E, F分別為PC, AD的中點，則EF /平面 PABP3：若P, A B, C, D都在球O的表面上，則球 O的表面積是四邊形 ABC雨積的2 倍.在下列命

9、題中，為真命題的是()A P2 p3B . P1 ( P2)C P1p3D . p2( p3)解：如圖.P1 ： S側4 22 473,故為假命題；4p2 :由平面EFH /平面PAB知EF /平面PAB故為真命題;p3： (g R)2 ("2 R2,解得 R J2,S求 4 R2 8 , Sabcd 22 4 ,故為真命題.二、填空題：本大題有 4個小題，每題5分，滿分20分.13.已知為三角形內角，sin cos解 1： sin cos 石sin(45°)二 sin( 45。)275°,-1 cos 2cos150°cos30°解 2： ,

10、 (sin、2cos )1 2sin1cos 一2sincos1.一， sin20,cos0,則(sin2cos )2sincos即得sincos故 cos2(cossin )(cossin )14.已知函數f(x)f (Xi)f (X2)X1X2X3X42x,0 xsin x,2 x2f (X3)2 3 6,x1 x2 x3 x4 22,若存在四個不同的實數4Xi, X2 , X3, X4 滿足f (X4),且 Xi2,6 8.X2一個“太極函數”.現有下列說法:對于圓O:x21的所有非常數函數的太極函數中，一定不能為偶函數;函數f (x) sin x1是圓O:x2 (y 1)2 1的一個太

11、極函數;存在圓O,使得f (x)ex 1 乩 人一 ,e1是圓。的一個太極函數;ex 1直線(m 1)x(2 m1)y10所對應的函數一定是2圓 O:(x 2)(y1)2R2(R 0)的太極函數;若函數f (x)kx3kx(k22R)是圓O:x y1的太極函數，則 k ( 2,2).6；。的15 .為了解某地區(qū)的“微信健步走”活動情況，現用分層抽樣的方法從中抽取老、中、青三個年齡段人員進行問卷調查.已知抽取的樣本同時滿足以下三個條件:(i)老年人的人數多于中年人的人數；(ii )中年人的人數多于青年人的人數；(iii)青年人的人數的兩倍多于老年人的人數.若青年人的人數為 4,則中年人的人數的最

12、大值為抽取的總人數的最小值為解：當青年人的人數為4時，4,5,6和4,5, 7和4,6, 7均滿足題意，則中年人的人數的最大值為抽取的總人數的最小值為5 4 3 12.16 .如圖(二)所示，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚.太極圖展現了一種相互轉 化，相對統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩個部分的函數稱為圓其中正確的是解：錯誤，如左下圖:yt;y1 x黃，1-1正確,如右中圖：點(0,1)均為兩曲線的對稱中心，且f(x) sinx 1能夠將圓一分為二;錯誤,奇函數 f(x)正確,直線系方程(m 1)x (2m 1)y1 0恒過的定點(2,1)就是圓心，滿足題

13、意;正確,奇函數 f (x)kx3kx(k R)中f( 1) 0.則 k2t3kx32ykx2k2t2(1k2)t當k 0時，由即當k(2,2)時,2k2x4 (11 0,1.研究k2t2k4 4k2 0 ,k2)x2 1 0,令 t x2 ,由試根法得(t 1)(k2t2 k2t 1) 0,2k t 1 0 ,當k 0時顯然無解;2解得0 k2 4 ,此時也無解,曲線與單位圓僅有兩個交點，如左下圖：此時滿足題意;ex 12 一 , 一 1 關于點(0,0)對稱，而其對稱中心為間斷點，故不存在;ex 1ex 12 時，.一0 xYZ相切，曲線與單位圓有 4個交點，此時不滿足題意;2當k24時，

14、曲線與單位圓有 6個交點，如右下圖：也不能把圓一分為二.故正確的是.17.解答題：本大題有 6個小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. (10 分) 在 ABC 中，角 A, B, C 所對的邊為 a, b, c ,且 a sin A csinC J3asinC bsin B .(1)求角B的大小;(2)若 f (x)sinxcosx ,3cos2x的取值范圍.解:(1) asin A csin C3a sin Cbsin B,a2 c2 T3ac b2,.22a c22. 22a c bbv3ac , cosB 2ac又 BC (0 , n),b=羨(2) f (x) si

15、n xcosx 33 cos2 x1- 1 cos2x-sin2x 、3 221sin2x 22cos2xsin(2 xy),10分),A5 f(-) sin(A ), . A (0,5-),則 A 2363一1故 sin(A一) ( -,1.321. f(A)取值范圍為(_,1218.(12 分)已知正項數列an中，a11, a21 2an冏 3a20 .(1)求數列an的通項公式；(2)若數列bn an是等差數列，且b1 2,4 14,求數列bn的前n項和Sn .解:/八22c,、，(1), an 1 2an 1an 3an 0, (an1 an)(an 1 3an) 0 .an) . a

16、n 1an0 5 an 13an 0 ，an 1C3Cib3a3 5 , d 2，3 1n 1an 2n 1 3n 1 n 1八. a1 , . an 1 33； 5分令 cnbn an,則 Ci Da11 ,c3 cn1 2(n 1) 2n 1,則bnCn Sn blb2b3 L bn(1 3 5 L 2n 1) (1 3 32 L3n 1)n(1 2n 1) 1(1 3n)21 312分3n1n 2219.（12 分）已知菱形 ABCD勺邊長為4, AS BD= Q / ABO 60° ,將菱形 ABC評對角線B所起, 使AC= a,得到三棱錐 A BCD如圖（三）所示.（1）當

17、a 2J2時，求證：AOL平面BCD（2）當二面角 A-BD-C的大小為120。時，求直線 AD與平面ABC所成角的正切值.四（三）解:(1)在 4AOC 中，OA= OC= 2, AC= a 272 , . OA2 OC2 AC2, /AOC= 90 ,即 AOL OC AOL BQ 且 A6 BD= O, AOL平面 BCD 4分(2)由(1)知，OCLOD以O為原點，OC OD所在的直線分別為 x軸、y軸建立如圖的空間直角坐標系O-xyz,則Q0, 0, 0）, B（0,2底,0）,C(2 , 0, 0) , R0, 273, 0).ACL BD COL BD / AO二面角 A- BD

18、-C 的平面角, ，/AOC= 120° .點 A(-1, 0, V3 ),uuu AD(1,2 石超,BauurBC(2,2 60).2x 2,3y 0x 2 . 3y 3z 0r設平面ABC勺法向量為n (x, y, z),r uuu n BC 則 r uurn BA取 x=1,則 y 9, Z 33 , 3rn (1,設直線AD與平面ABC所成的角為sinuuu r|AD n|uuu r|AD|n|413313一cos1013，故tansincos10301012分20. (12 分)半圓O : x22y 1(y0)的直徑的兩端點為 A(1,0)B(1,0),點P在半圓O及直徑

19、AB上運動，若將點P的縱坐標伸長到原來的 2倍(橫坐標不變)得到點Q記點Q的軌跡為曲線 C(1)求曲線C的方程;(2)若稱封閉曲線上任意兩點距離的最大值為該曲線的“直徑”求曲線C的“直徑”.解：(1)設 Qx, y),則 P(x,-),2由題意可知當 P在直徑AB上時,顯然 y=0(-1< x <1);當P在半圓O上時，x2 (2)221(y 0)所以曲線C的方程為y=0(-1< x<1)或 x22r 1(y 0)(2)設曲線C上兩動點G(x, y), H(x0,y0).y2 (x %)2 4(1 x2),顯然G, H至少有一點在橢圓上時 GH能取得最大，不妨設 y y

20、0 0,則 |GH |2 (x x。)2 (y y。)2 (x x。)22 (x x°)4(1 x2)C 223x 2x0x x0x0 243(x )3等號成立時:14 2、一，),H (1,0) .33巡4343由兩點距離公式可得：|GH |min3故曲線C的“直徑”為竽12分21. （12 分）某地政府為了幫助當地農民脫貧致富，開發(fā)了一種新型水果類食品，該食品生產成本為每件8元.當天生產當天銷售時，銷售價為每件12元，當天未賣出的則只能賣給水果罐頭廠，每件只能賣5元.每天的銷售量與當天的氣溫有關，根據市場調查，若氣溫不低于30 C,則銷售5000件；若氣溫位于25 C, 30C）

21、,則銷售3500件；若氣溫低于25C,則銷售 2000件.為制定今年8月份的生產計劃，繞計了前三年8月份的氣溫范圍數據，得到下面的頻數分布表：氣溫范圍（單位：C）15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數414362115以氣溫范圍位于各區(qū)間的頻率代替氣溫范圍位于該區(qū)間的概率.（1）求今年8月份這種食品一天銷售量（單位：件）的分布列和數學期望值；（2）設8月份一天銷售這種食品的利潤為y （單位：元），當8月份這種食品一天生產量n （單位：件）為多少時，y的數學期望值最大，最大值為多少？解：（1）今年8月份這種食品一天的銷售量X的可能取值為2000、3500、5000件,4

22、 1436P（X 2000） 0.2, P（X 3500） - 0.4,909021 15P（X 5000） 0.4,90于是X的分布列為：X200035005000P0.20.40.4X 的數學期望為 EX 2000 0.2 3500 0.4 5000 0.4 3800; 5 分(2)由題意知，這種食品一天的需求量至多為5000件，至少為2000件，因此只需要考慮 2000 n 5000 .當3500 n 5000時，若氣溫不低于 30度，則Y 4 n;若氣溫位于25, 30),則 Y 3500 4 (n 3500) 3 24500 3n ；若氣溫低于 25度，則 Y 2000 4 (n 2000) 3 14000 3n ;2211此日EY-4n-(24500 3n)一(14000 3n) 12600-n11900,5555當2000 n 3500時，若氣溫不低于 25度，則Y 4 n；若氣溫低于 25 度，則 Y 200