第2講邏輯函數(shù)的化簡

1、第一章第一章 開關(guān)理論基礎(chǔ)開關(guān)理論基礎(chǔ)第第2 2講講數(shù)子邏輯與數(shù)字系統(tǒng)數(shù)子邏輯與數(shù)字系統(tǒng)上節(jié)主要內(nèi)容回顧上節(jié)主要內(nèi)容回顧邏輯代數(shù)的基本運算：與或非及電路邏輯代數(shù)的基本運算：與或非及電路符號符號用真值表和邏輯函數(shù)描述邏輯電路用真值表和邏輯函數(shù)描述邏輯電路根據(jù)真值表寫出原始的邏輯函數(shù)表達根據(jù)真值表寫出原始的邏輯函數(shù)表達式式本講主要內(nèi)容本講主要內(nèi)容布爾代數(shù)的基本公式和定布爾代數(shù)的基本公式和定律律邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡用真值表證明分配律：用真值表證明分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)兩個變量的摩根定律的真值表證

2、明：兩個變量的摩根定律的真值表證明：基本定律的證明基本定律的證明吸收律證明： A+AB=A(1+B)=A(因為1+B=1) 1()(_AABABAAABAA因為根據(jù)分配律根據(jù)分配律A+BC=(A+B)(A+C)多余項定律證明如下：多余項定律證明如下：CAABBCACABBCAABCCAABAABCCAABBCCAAB_)1 ()1 ()(多余項定律可推廣為多余項定律可推廣為CAABEFGBCCAABBCBCEFGBCCAABBCEFGCAABCAABBCEFGCAAB_)1 ()(加多余項基本規(guī)則基本規(guī)則 1、代入規(guī)則：、代入規(guī)則： 邏輯等式等式中的任何變量A， 都可用另一邏輯函數(shù)Z代替，等式

3、仍然成立。例例 1 證明_CBACBACBA_CBACBA解解_BABA這是兩變量的摩根定律， 若將等式兩邊的B用B+C代入便得到這樣就得到三變量的摩根定律。同理可將摩根定律推廣到n變量nnnnAAAAAAAAAAAA_2_1_21_2_1_21 2. 對偶法則對偶法則 對于任何一個邏輯表達式F， 如果將其中的“+”換成“”， “”換成“+”， “”換成“0”， “0”換成“1”，則可得原函數(shù)F的對偶式G， 且F和G互為對偶式。對偶法則：對偶法則：原式F成立，則其對偶式也一定成立。 CAAB_其對偶式為：其對偶式為：)()(_CABA如不加括號，就變成如不加括號，就變成CABA_是錯誤的。是錯

4、誤的。 注意：注意：在求對偶式時，要保持原式的邏輯優(yōu)先關(guān)系，在求對偶式時，要保持原式的邏輯優(yōu)先關(guān)系， 應(yīng)正確使用括號。應(yīng)正確使用括號。 “異或異或”邏輯和邏輯和“同或同或”邏輯邏輯互為對偶式_BABABAFBABABAF_3. 反演法則用途：由原函數(shù)求反函數(shù)，稱為反演或求反。用途：由原函數(shù)求反函數(shù)，稱為反演或求反。方法：方法：利用摩根定律利用摩根定律利用反演法則利用反演法則例例 ：求的反函數(shù)_F解解1 用摩根定律求_EDCBAF_EDCBAF利用反演法則反演法則求反：將原函數(shù)F中的“”換成“+”, “+”換成“”； “0”換成“1”， “1”換成“0”； 原變量換成反變量， 反變量換成原變量，

5、長非號即兩個或兩個以上變量的非號不變， 即可得反函數(shù)。如上例_EDCBAFEDCBAF_注意，與求對偶式一樣，為了保持原函數(shù)邏輯優(yōu)先順序，應(yīng)合理加括號，否則出錯。公式的應(yīng)用：公式的應(yīng)用：邏輯函數(shù)的形式轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)的形式轉(zhuǎn)換用選定的邏輯器件實現(xiàn)用選定的邏輯器件實現(xiàn)邏輯函數(shù)的化簡：邏輯函數(shù)的化簡：實現(xiàn)單路簡單，降低成本和系統(tǒng)的復(fù)雜性實現(xiàn)單路簡單，降低成本和系統(tǒng)的復(fù)雜性例例 ：將函數(shù)與或表達式：將函數(shù)與或表達式 轉(zhuǎn)換為其轉(zhuǎn)換為其它形式。它形式。解：解： （1）轉(zhuǎn)換為）轉(zhuǎn)換為 與非與非-與非式。與非式。 將與或式兩次取反，利用摩根定律可得將與或式兩次取反，利用摩根定律可得CAABF_這樣就可以全部使用

6、與非門實現(xiàn)這樣就可以全部使用與非門實現(xiàn)CAABCAABF_（詳見第（詳見第2章）章）代數(shù)法化簡代數(shù)法化簡1 1、并項法、并項法2 2、吸收法、吸收法3 3、應(yīng)用多余項定律、應(yīng)用多余項定律4 4、 拆項法拆項法5 5、 添項法添項法例例 ：_CBACBAF解解 令 則GBA_BAGCGGCF1、并項法：利、并項法：利利用利用A +A=1的公式，將兩項的公式，將兩項合并為一項，消去一個變量合并為一項，消去一個變量用用1、并項法：、并項法：利利利用利用A +A=1的公式，將兩項的公式，將兩項合并為一項，消去一個變量合并為一項，消去一個變量用用DA原式DCBACDABF_例例 ：解解例例 ：_CBAC

7、BAF解解 令 則GBA_BAGCGGCF2、 吸收法：吸收法：應(yīng)用以下定律應(yīng)用以下定律)(_BABAAAABA 例例 ：CDBAABBF_ABABB_原式例例 ：)(_FEDCABCAF解解 令GCA_)(CAGFEGBDGF例例 13CDBAABCDBABAF_解解CDBABABABACDBAABBABA)()(_原式令則,_GBABACDBABACDGCDGGF_3、應(yīng)用多余項定、應(yīng)用多余項定律律)(_CAABBCCAAB例例 ：BCDECDAABF_解解CDAAB_原式例例 ：BDDCACABF)(_解解DCACABBDDCACAB_原式例例。_CBDBDAACF解解DCBACABDC

8、BACABDABCBACDBACBAC_)(原式綜合例子綜合例子化簡DEGHEGBACEGBDCAABDAADF_解解EGBBDCADEGHEGBBDCADEGHEGBBDCAADEGHEGBACEGBDCAABA_原式)(_ABAAB)(AABA)(多余項定律)(_BABAA4、 拆項法拆項法例例。BACBCBBAF_拆項法就是用 去乘某一項，將一項拆成兩項，再利用公式與別的項合并達到化簡的目的?；嗊^程如下：)(_xx _)()(CBCABACBABCACBACBACBBACCBAAACBCBBA原式_)()(CBCABACBABCACBACBACBBACCBAAACBCBBA原式在函數(shù)中

9、加入零項因子 ，利用加進的新項，進一步化簡函數(shù)。 例 解解)(_ABfxxxx或。_ABABCCABF_)(ABCABABCABCABABABCCABABABABCCABABAB原式5、 添項法添項法【例13】 ：有原始邏輯函數(shù)表達式為 要求：(1)畫出原始邏輯表達式的邏輯圖；(2)用布爾代數(shù)簡化邏輯表達式； (3)畫出簡化邏輯表達式的邏輯圖。化簡：化簡：【例15】設(shè)計一個邏輯電路，當三個輸入A,B,C中至少有兩個為低時，該電路則輸出為高。 要求：(1)建立真值表； (2)從真值表寫出布爾表達式； (3)如果可能，簡化表達式； (4)畫出邏輯電路圖。 解解 (1)由于有三個變量，真值表有8種輸

10、入組合。代數(shù)法化簡存在的問題代數(shù)法化簡存在的問題經(jīng)驗和技巧？是否最簡？1.51.5卡卡 諾諾 圖圖 1 1、什么是最小項？、什么是最小項？對于一個給定變量數(shù)目的邏輯函數(shù)，對于一個給定變量數(shù)目的邏輯函數(shù)， 所有所有變量參加相變量參加相“與與”的項叫做最小項。的項叫做最小項。 在一在一個最小項中，個最小項中， 每個變量只能以原變量或反每個變量只能以原變量或反變量出現(xiàn)一次。變量出現(xiàn)一次。最小項 的個數(shù)：n個變量所有可能的組合最小項的特點最小項的編號三個變量ABC有八個最小項：,)2(_3CBABCACBACBACBA。ABCCABCBA,_ 以此類推，四個變量ABCD共有24=16個最小項，n變量共

11、有2n個最小項。為方便起見，將最小項表示為mi例如： 一個變量A有二個最小項： 二個變量AB有四個最小項：。_1,)2(AA。ABBABABA,)2(_2ABCmBCAmCBAmCBAmCABmCBAmCBAmCBAm76543210三變量最小項的編號三變量最小項的編號2 2、邏輯函數(shù)的標準式、邏輯函數(shù)的標準式最小項標準式最小項標準式全是由最小項組成的“與或”式叫做最小項標準式(不一定由全部最小項組成)。由一般式獲得最小項標準式由一般式獲得最小項標準式一般式采用添項法一般式采用添項法， 例如_CABCCBAF由上式可看出，第二項缺少變量A，第三項缺少變量B， 我們可以分別用 和 乘第二項和第三

12、項， 其邏輯功能不變。)(_AA)(_BB _)()(CBACABBCAABCCBABBCAAABCCBAF4、卡諾圖的結(jié)構(gòu)、卡諾圖的結(jié)構(gòu)邏輯函數(shù)的圖形表示邏輯函數(shù)的圖形表示卡諾圖上每一個小方格代表一個最小項。卡諾圖上每一個小方格代表一個最小項。 保證相鄰關(guān)系，即圖上幾何相鄰的項邏輯上相鄰。保證相鄰關(guān)系，即圖上幾何相鄰的項邏輯上相鄰。因此每相鄰方格的變量組合之間只允許一個變量取因此每相鄰方格的變量組合之間只允許一個變量取值不同。為此，卡諾圖的變量標注均采用循環(huán)碼順值不同。為此，卡諾圖的變量標注均采用循環(huán)碼順序排列。序排列。 一變量卡諾圖：有21=2個最小項，因此有兩個方格。外標的0表示取A的反

13、變量，1表示取A的原變量。ABABABABm0m2m1m3AB0101AAm0m1A01(a)(b)(c)(d )(e)ABCABCABCABCABCABCABCABCm0m2m6m4m1m3m7m5ABC0001111001aaABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDm0m4m12m8m1m5m13m9m3m7m15m11m2m6m14m10ABCD0001111000101110baabABCDE00000101101011011110110000011110m0m4m12m8m24m28m20m16m

14、1m5m13m9m25m29m21m17m3m7m15m11m27m31m23m19m2m6m14m10m26m30m22m18pp15變量的卡諾圖4 4、卡諾圖上的有用組合、卡諾圖上的有用組合觀察卡諾圖上相鄰項的特點：只有一個變量取之不同兩項、四項、八項相加？相鄰最小項合并規(guī)律相鄰最小項合并規(guī)律 (1) 兩相鄰項可合并為一項， 消去一個取值不同的變量，保留相同變量； (2) 四相鄰項可合并為一項， 消去兩個取值不同的變量， 保留相同變量， 標注為1原變量，0反變量； (3) 八相鄰項可合并為一項，消去三個取值不同的變量，保留相同變量，標注與變量關(guān)系同上。合并的規(guī)律是2n個最小項的相鄰項可合并

15、1111ABCD0001111000011110ABDACD(a)11111111ABCD0001111000011110BDCD(b)11111111ABCD0001111000011110BDBD11111111ABCD0001111000011110B(c)(d )圖 1 8 相鄰最小項合并規(guī)律用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1 1、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法邏輯函數(shù)表達式中含有的最小項在卡諾圖相應(yīng)的方格中填上1，其余填02、利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)、利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)(1) 將原始函數(shù)用卡諾圖表示； (2) 根據(jù)最小項合并規(guī)律畫圈， 圈住全部“”方格； (

16、3)每一個圈對應(yīng)一個與項，然后再將各與項“或”起來得新函數(shù)。3 3、畫包圍圈的規(guī)則是：、畫包圍圈的規(guī)則是： （1）要盡可能地使卡諾圈大，這樣消去的變量就多，但每個圈中所包含的的方格數(shù)只能是2n，且只有相鄰的1才能被圈在一起； （2）使卡諾圈數(shù)目最少,這樣邏輯函數(shù)的與項就少，但所有填1的方格必須被圈，不能遺漏； （3）每個為1的方格可被圈多次，但每個圈中至少有一個1只被圈過一次；化簡舉例：化簡舉例：1567_mmmmCBACBACABABCF0ABC00011110011010011 例： 將 用卡諾圖表示。 解解 我們逐項用卡諾圖表示，例如在B=1, C=0對應(yīng)的方格(不管A，D取值)，得m4

17、、 m5、m12、m13，在對應(yīng)位置填1； ABCDDCACDBDCCBF_CBCCBBAADD111111111111ABCD0001111000011110例例 ： 化簡。CBADCACBCDBF_解解 第一步： 用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。 CDB_： 對應(yīng)m3、m11：_CB對應(yīng)m4、m5、m12、m13：DCA_對應(yīng)m1、m5：DCA_對應(yīng)m10、m1111111111ABCD0001111000011110 第二步： 畫卡諾圈圈住全部“”方格。 11111111ABCD0001111000011110ABDABCBC 第三步： 組成新函數(shù)。 第四步：畫出邏輯電路。 DBACBACBF_

18、&AB&1F&BCCABD(a)(b)111111111ABCD0001111000011110ABCBDABCABDACD111111111ABCD0001111000011110ABCBDACDABC例例 ： 化簡)15,13,12, 7 , 6 , 5 , 2 , 1 , 0(F_DCABDCABCBAF1111111111ABCD0001111000011110ACDABCDBCABACDBCD1111111111ABCD0001111000011110(a)(b)(c)1111111111ABCD0001111000011110ACDABCDBDBCACDAB

19、_DBBACBDCADCACDBAF11111111111ABCD0001111000011110BDABABDBC(a)(b)&A&1F BD AB ABD BC&BDBAD&BCB圖 1 15 化簡過程及邏輯圖)15,14,11,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 2 , 0(F&AC&1F&ACDAC&ACDBB11111111ABCD0001111000011110ABCABCACDACD(b)11111111ABCD0001111000011110(a)(c)圖 1 16 化簡過程及邏輯圖(a)中出現(xiàn)了多余圈

20、。m5、m7、m13、m15雖然可圈成四單元圈，但它的每一個最小項均被別的卡諾圈圈過，是多余圈無關(guān)項及無關(guān)項的應(yīng)用無關(guān)項及無關(guān)項的應(yīng)用真值表中變量的某些取值組合不允許出現(xiàn)， 或者是變量的某些取值下，函數(shù)的值可以是任意。我們將這些變量取值對應(yīng)的最小項稱為無關(guān)項，我們用或者用表示，其值可以取0或1。例如：對于含有無關(guān)項邏輯函數(shù)： A B CF000011110011001101010101010X1XXX)7 , 6 , 5 , 3()4 , 1 (dF11ABC0001111001圖 1 25 考慮無關(guān)項函數(shù)化簡CAF例：例： 化簡)15,14,13,12,11,10()9 , 8 , 7 , 6 , 5(dF解解 化簡函數(shù)為BCBDAF11111ABCD0001111000011110BDABCBCD&F1&AF A BD BC例例 ： 化簡。)15,14,11,10, 7 , 3()12, 8 , 5 , 1 (dF 解解 由于m11和m15對化簡不利， 因此就沒圈進。DADAF_1111ABCD0001111000011110ADADDDA&F1&A1.61.6數(shù)字集成電路數(shù)字集成電路把數(shù)字電路制做在同一塊半導(dǎo)體基